一、知識(shí)點(diǎn)梳理
1.折疊問題
解決折疊問題最重要的就是對(duì)比折疊前后的圖形，找到哪些線、面的位置關(guān)系和數(shù)學(xué)量沒有發(fā)生變化，哪些發(fā)生了變化，在證明和求解的過程中恰當(dāng)?shù)丶右岳谩?br>一般步驟：
①確定折疊前后的各量之間的關(guān)系，搞清折疊前后的變化量和不變量；
②在折疊后的圖形中確定線和面的位置關(guān)系，明確需要用到的線面；
③利用判定定理或性質(zhì)定理進(jìn)行證明。
2.探索性問題
探究性問題常常是條件不完備的情況下探討某些結(jié)論能否成立，立體幾何中的探究性問題既能夠考查學(xué)生的空間想象能力，又可以考查學(xué)生的意志力及探究的能力。對(duì)于這類問題一般可用綜合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法來(lái)解決．一般此類立體幾何問題描述的是動(dòng)態(tài)的過程，結(jié)果具有不唯一性或者隱藏性，往往需要耐心嘗試及等價(jià)轉(zhuǎn)化，因此，對(duì)于常見的探究方法的總結(jié)和探究能力的鍛煉是必不可少的。
二、題型精講精練
【典例1】如圖所示的五邊形中是矩形，，，沿折疊成四棱錐，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．
(1)在四棱錐中，可以滿足條件①；②；③，請(qǐng)從中任選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件，證明：側(cè)面底面；（注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．）
(2)在（1）的條件下求直線與平面所成角的正弦值．
【分析】（1）選條件①②，利用勾股定理得到，進(jìn)而得到底面，利用面面垂直的判定定理即可得證；
選條件①③，利用正弦定理得到，進(jìn)而得到底面，利用面面垂直的判定定理即可得證；
選條件②③，利用余弦定理和勾股定理得到，進(jìn)而得到底面，利用面面垂直的判定定理即可得證；
（2）由（1）可得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得．
【詳解】（1）證明：（1）方案一：選條件①②．
因?yàn)樵谒睦忮F中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，所以，
又因?yàn)樵谥?，，所以?br>又因?yàn)槭蔷匦?，，所以，?br>由可得，所以，
則由，，，平面，所以平面，又因?yàn)閭?cè)面，所以側(cè)面底面；
方案二：選條件①③．
因?yàn)樵谒睦忮F中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，所以，
又因?yàn)樵谥?，?br>所以由正弦定理得：，即，所以，即，所以，
則由，，，平面，所以平面，又因?yàn)閭?cè)面，所以側(cè)面底面；
方案三：選條件②③．
因?yàn)樵谒睦忮F中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，所以，
又因?yàn)樵谥?，，所以?br>又因?yàn)槭蔷匦?，，所以?br>又因?yàn)樵谥校?，則，
設(shè)，，
所以有，解得或（舍，所以，
由可得，所以，
則由，，，平面，所以平面，又因?yàn)閭?cè)面，所以側(cè)面底面；
（2）在（1）條件下知平面，且，
故如圖所示：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
則，，
設(shè)平面的法向量為，則，則，
，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
直線與平面所成角的正弦值為.
【典例2】如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，，，，，．
(1)求四棱錐的體積；
(2)在線段PB上是否存在點(diǎn)M，使得平面PAD？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】(1)先證明平面ABCD,則 PG為四棱錐的高,再應(yīng)用體積公式 ；
(2)先過點(diǎn)C作交AB于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作交PB于點(diǎn)M,再證平面平面CMN，最后得出比值成立即可.
【詳解】（1）取AD的中點(diǎn)G，連接PG，GB，如圖所示．
在中，，G是AD的中點(diǎn)，所以．
又平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，
所以平面ABCD，即PG為四棱錐的高．
又平面ABCD，所以．
在中，由余弦定理得
，故．
在中，，，，所以．
所以．
（2）過點(diǎn)C作交AB于點(diǎn)N，則，
過點(diǎn)N作交PB于點(diǎn)M，連接CM，則．
又因?yàn)椋矫鍼AD，平面PAD，所以平面PAD．
因?yàn)?，平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．
又，，平面CNM，所以平面平面CMN．
又平面CMN，所以平面PAD．
所以在PB上存在點(diǎn)M，使得平面PAD，且．
【題型訓(xùn)練-刷模擬】
1.折疊問題
一、解答題
1．（2023·四川瀘州·瀘縣五中?？既＃┤鐖D1，在梯形中，，且，是等腰直角三角形，其中為斜邊.若把沿邊折疊到的位置，使平面平面，如圖2.
（1）證明：；
（2）若為棱的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離.
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四邊形中，是等腰直角三角形，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，以為折痕，將向一方折疊到的位置，使D點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在上，再將向另一方折疊到的位置，使平面平面，形成幾何體.
（1）若點(diǎn)F為的中點(diǎn)，求證：平面；
（2）求平面與平面所成角的正弦值.
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖是矩形和以邊為直徑的半圓組成的平面圖形，將此圖形沿折疊，使平面垂直于半圓所在的平面，若點(diǎn)是折后圖形中半圓上異于，的點(diǎn)
（1）證明：；
（2）若，且異面直線和所成的角為，求三棱錐的體積．
4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖1，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)P、Q分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，將、分別沿DP、DQ折疊，使A、C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)M，連BM、PQ，得到圖2所示幾何體．
(1)求證：；
(2)在線段MD上是否存在一點(diǎn)F，使平面PQF，如果存在，求的值，如果不存在，說明理由．
5．（2023·河南濮陽(yáng)·濮陽(yáng)一高?？寄M預(yù)測(cè)）如圖①，在平面四邊形中，，，．將沿著折疊，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且二面角為直二面角，如圖②．已知分別是的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)，且與平面所成角的正切值為．
(1)證明：平面平面；
(2)求四棱錐的體積．
6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖1，在直角梯形中，，，，，.現(xiàn)沿平行于的折疊，使得且平面，如圖2所示.
(1)求的長(zhǎng)度；
(2)求二面角的大小.
7．（2023·新疆阿克蘇·?？家荒＃┤鐖D甲所示的正方形中，，，，對(duì)角線分別交，于點(diǎn)，，將正方形沿，折疊使得與重合，構(gòu)成如圖乙所示的三棱柱．
(1)若點(diǎn)在棱上，且，證明：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值．
8．（2023春·四川南充·高三閬中中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖甲所示的正方形中，對(duì)角線分別交于點(diǎn)，將正方形沿折疊使得與重合，構(gòu)成如圖乙所示的三棱柱
(1)若點(diǎn)在棱上，且，證明：∥平面；
(2)求二面角的余弦值.
9．（2023·上海奉賢·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且.

(1)求證：直線EC與平面ABD沒有公共點(diǎn)；
(2)求點(diǎn)C到平面BED的距離.
10．（2023·廣東深圳·校考二模）如圖1所示，等邊的邊長(zhǎng)為，是邊上的高，，分別是，邊的中點(diǎn)．現(xiàn)將沿折疊，如圖2所示.

(1)證明：；
(2)折疊后若，求二面角的余弦值.
11．（2023秋·四川成都·高三?？茧A段練習(xí)）在圖1中，為等腰直角三角形，，，為等邊三角形，O為AC邊的中點(diǎn)，E在BC邊上，且，沿AC將進(jìn)行折疊，使點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F的位置，如圖2，連接FO，F(xiàn)B，F(xiàn)E，使得．

(1)證明：平面．
(2)求二面角的余弦值．
12．（2023秋·四川成都·高三成都七中?？奸_學(xué)考試）已知矩形ABCD中，，，M，N分別為AD，BC中點(diǎn)，O為對(duì)角線AC，BD交點(diǎn)，如圖1所示．現(xiàn)將和剪去，并將剩下的部分按如下方式折疊：沿MN將折疊，并使OA與OB重合，OC與OD重合，連接MN，得到由平面OAM，OBN，ODM，OCN圍成的無(wú)蓋幾何體，如圖2所示．

(1)求證：MN⊥平面；
(2)求此多面體體積V的最大值．
13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖（1）所示，在中，，，，垂直平分．現(xiàn)將沿折起，使得二面角大小為，得到如圖（2）所示的空間幾何體（折疊后點(diǎn)記作點(diǎn)）

(1)求點(diǎn)到面的距離；
(2)求四棱錐外接球的體積；
(3)點(diǎn)為一動(dòng)點(diǎn)，滿足，當(dāng)直線與平面所成角最大時(shí)，試確定點(diǎn)的位置．
14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在邊長(zhǎng)為的正方形中，點(diǎn)在線段上，且，作，分別交于點(diǎn)，作，分別交于點(diǎn)，將該正方形沿折疊，使得與重合，構(gòu)成如圖所示的三棱柱．
(1)在三棱柱中，求證：平面；
(2)試判斷直線是否與平面平行，并說明理由．
2.探索性問題
一、解答題
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正四棱臺(tái)的體積為，其中.

(1)求側(cè)棱與底面所成的角；
(2)在線段上是否存在一點(diǎn)P，使得？若存在請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.
2．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）如圖，在五棱錐中，，，.

(1)證明：；
(2)若平面平面，平面平面，探索：是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出的值；若不是定值，請(qǐng)說明理由.
3．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，，平面平面ABCD，且，，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)．

(1)證明：平面ABCD；
(2)線段AC上是否存在一點(diǎn)M，使平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
4．（2023秋·浙江·高三浙江省春暉中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，，，，為等邊三角形．

(1)求證：平面平面；
(2)是否存在一點(diǎn)，滿足，使直線與平面所成的角為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
5．（2023秋·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？奸_學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，三角形為正三角形，且側(cè)面底面.分別為線段的中點(diǎn).

(1)求證：平面；
(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
6．（2023秋·江西吉安·高三吉安三中?？奸_學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，，四邊形是菱形，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且．

(1)證明:平面．
(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值是?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
7．（2023春·河南信陽(yáng)·高三信陽(yáng)高中?？茧A段練習(xí)）如圖，在等腰梯形中，，四邊形為矩形，且平面，.

(1)求證：平面；
(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的平面角為，且滿足.若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，求出的長(zhǎng)度.
8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，D，E分別為，的中點(diǎn)，，，.
(1)求證：平面；
(2)在線段上是否存在點(diǎn)F，使得平面與平面的夾角為，若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
9．（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，側(cè)面SAD為等邊三角形，，．

(1)證明：平面平面；
(2)側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)P（P不在端點(diǎn)處），使得直線BP與平面SAC所成角的正弦值等于？若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．
10．（2023·廣西南寧·南寧三中校考一模）如圖，在四棱錐中，平面平面，底面為菱形，為等邊三角形，且，，O為的中點(diǎn)．
(1)若E為線段上動(dòng)點(diǎn)，證明：；
(2)G為線段PD上一點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，當(dāng)使得二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
11．（2023秋·福建三明·高三統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，四邊形為菱形，，，.

(1)求證：平面；
(2)線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的正弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.
12．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）如圖所示，等腰梯形中，，，，E為中點(diǎn)，與交于點(diǎn)O，將沿折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置（平面）.

(1)證明：平面平面；
(2)若，試判斷線段上是否存在一點(diǎn)Q（不含端點(diǎn)），使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求三棱錐的體積，若不存在，說明理由.
2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
素養(yǎng)拓展27 立體幾何中的折疊和探索性問題（精講+精練）
一、知識(shí)點(diǎn)梳理
1.折疊問題
解決折疊問題最重要的就是對(duì)比折疊前后的圖形，找到哪些線、面的位置關(guān)系和數(shù)學(xué)量沒有發(fā)生變化，哪些發(fā)生了變化，在證明和求解的過程中恰當(dāng)?shù)丶右岳谩?br>一般步驟：
①確定折疊前后的各量之間的關(guān)系，搞清折疊前后的變化量和不變量；
②在折疊后的圖形中確定線和面的位置關(guān)系，明確需要用到的線面；
③利用判定定理或性質(zhì)定理進(jìn)行證明。
2.探索性問題
探究性問題常常是條件不完備的情況下探討某些結(jié)論能否成立，立體幾何中的探究性問題既能夠考查學(xué)生的空間想象能力，又可以考查學(xué)生的意志力及探究的能力。對(duì)于這類問題一般可用綜合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法來(lái)解決．一般此類立體幾何問題描述的是動(dòng)態(tài)的過程，結(jié)果具有不唯一性或者隱藏性，往往需要耐心嘗試及等價(jià)轉(zhuǎn)化，因此，對(duì)于常見的探究方法的總結(jié)和探究能力的鍛煉是必不可少的。
二、題型精講精練
【典例1】如圖所示的五邊形中是矩形，，，沿折疊成四棱錐，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．
(1)在四棱錐中，可以滿足條件①；②；③，請(qǐng)從中任選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件，證明：側(cè)面底面；（注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．）
(2)在（1）的條件下求直線與平面所成角的正弦值．
【分析】（1）選條件①②，利用勾股定理得到，進(jìn)而得到底面，利用面面垂直的判定定理即可得證；
選條件①③，利用正弦定理得到，進(jìn)而得到底面，利用面面垂直的判定定理即可得證；
選條件②③，利用余弦定理和勾股定理得到，進(jìn)而得到底面，利用面面垂直的判定定理即可得證；
（2）由（1）可得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得．
【詳解】（1）證明：（1）方案一：選條件①②．
因?yàn)樵谒睦忮F中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，所以，
又因?yàn)樵谥校?，所以?br>又因?yàn)槭蔷匦?，，所以，?br>由可得，所以，
則由，，，平面，所以平面，又因?yàn)閭?cè)面，所以側(cè)面底面；
方案二：選條件①③．
因?yàn)樵谒睦忮F中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，所以，
又因?yàn)樵谥?，?br>所以由正弦定理得：，即，所以，即，所以，
則由，，，平面，所以平面，又因?yàn)閭?cè)面，所以側(cè)面底面；
方案三：選條件②③．
因?yàn)樵谒睦忮F中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，所以，
又因?yàn)樵谥?，，所以?br>又因?yàn)槭蔷匦?，，所以?br>又因?yàn)樵谥?，，則，
設(shè)，，
所以有，解得或（舍，所以，
由可得，所以，
則由，，，平面，所以平面，又因?yàn)閭?cè)面，所以側(cè)面底面；
（2）在（1）條件下知平面，且，
故如圖所示：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
則，，
設(shè)平面的法向量為，則，則，
，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
直線與平面所成角的正弦值為.
【典例2】如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，，，，，．
(1)求四棱錐的體積；
(2)在線段PB上是否存在點(diǎn)M，使得平面PAD？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】(1)先證明平面ABCD,則 PG為四棱錐的高,再應(yīng)用體積公式 ；
(2)先過點(diǎn)C作交AB于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作交PB于點(diǎn)M,再證平面平面CMN，最后得出比值成立即可.
【詳解】（1）取AD的中點(diǎn)G，連接PG，GB，如圖所示．
在中，，G是AD的中點(diǎn)，所以．
又平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，
所以平面ABCD，即PG為四棱錐的高．
又平面ABCD，所以．
在中，由余弦定理得
，故．
在中，，，，所以．
所以．
（2）過點(diǎn)C作交AB于點(diǎn)N，則，
過點(diǎn)N作交PB于點(diǎn)M，連接CM，則．
又因?yàn)?，平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．
因?yàn)椋矫鍼AD，平面PAD，所以平面PAD．
又，，平面CNM，所以平面平面CMN．
又平面CMN，所以平面PAD．
所以在PB上存在點(diǎn)M，使得平面PAD，且．
【題型訓(xùn)練-刷模擬】
1.折疊問題
一、解答題
1．（2023·四川瀘州·瀘縣五中?？既＃┤鐖D1，在梯形中，，且，是等腰直角三角形，其中為斜邊.若把沿邊折疊到的位置，使平面平面，如圖2.
（1）證明：；
（2）若為棱的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】（1）見解析；（2）.
【分析】（1）證明平面，則有；
（2）等體積法求點(diǎn)到平面的距離.
【詳解】（1）證明：∵是等腰直角三角形，為斜邊，
∴.
∵平面平面，平面平面，平面
∴平面，
∵平面，
∴；
（2）解：由（1）知，平面，
由題意可得，，，
則，，
∵為棱的中點(diǎn)，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，
即，
則的面積為，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為
∵，
∴，
∴.
【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)，點(diǎn)到平面距離的求法，考查直觀想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題.
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四邊形中，是等腰直角三角形，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，以為折痕，將向一方折疊到的位置，使D點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在上，再將向另一方折疊到的位置，使平面平面，形成幾何體.
（1）若點(diǎn)F為的中點(diǎn)，求證：平面；
（2）求平面與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為，連接，，又的中點(diǎn)為，易得平面.取的中點(diǎn)，連接，由平面平面，得到平面，又平面，則，則平面，然后由面面平行的判定定理證明；
（2）連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面的一個(gè)法向量為和平面的一個(gè)法向量為，由求解．
【詳解】解：（1）如圖，設(shè)D點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為O，連接，連接.
∵，∴，
∴在等腰中，O為的中點(diǎn).
∵F為中點(diǎn)，∴.
又平面，平面，
∴平面.取的中點(diǎn)H，連接，
則易知，又平面平面，
平面平面，
∴平面，
又平面，
∴，又平面，平面，
∴平面，
又.∴平面平面.
又平面，∴平面.
（2）連接，由（1）可知兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
從而.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，
得，取，則.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，
得，取，則，
從而.
∴，
∴平面與平面所成角的正弦值為．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）在求解與圖形的翻折有關(guān)的問題時(shí)，關(guān)鍵是弄清翻折前后哪些量變了，哪些量沒變，哪些位置關(guān)系變了，哪些位置關(guān)系沒變；（2）利用向量法求二面角的關(guān)鍵是建立合適的空間直角坐標(biāo)系及準(zhǔn)確求出相關(guān)平面的法向量．
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖是矩形和以邊為直徑的半圓組成的平面圖形，將此圖形沿折疊，使平面垂直于半圓所在的平面，若點(diǎn)是折后圖形中半圓上異于，的點(diǎn)
（1）證明：；
（2）若，且異面直線和所成的角為，求三棱錐的體積．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【分析】（1）由面面垂直得到，利用直徑對(duì)應(yīng)的圓周角為直角得到，可以證明平面，再利用線面垂直的性質(zhì)定理即可證明；
（2）先求出，利用等體積轉(zhuǎn)化法把求三棱錐的體積轉(zhuǎn)化為求三棱錐，即可求解.
【詳解】（1）∵平面垂直于圓所在的平面，兩平面的交線為，平面，，∴垂直于圓所在的平面．又在圓所在的平面內(nèi)，∴．
∵是直角，∴．而，∴平面．
又∵平面，∴
（2）因?yàn)樵诰匦沃校本€和所成的角為，
所以直線和所成的角為，即．
過作于，則平面．
又，所以，
因此．
于是．
故三棱錐的體積是．
4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖1，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)P、Q分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，將、分別沿DP、DQ折疊，使A、C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)M，連BM、PQ，得到圖2所示幾何體．
(1)求證：；
(2)在線段MD上是否存在一點(diǎn)F，使平面PQF，如果存在，求的值，如果不存在，說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，
【分析】（1）由勾股定理得，從而證得平面MDQ，然后可得線線垂直；
（2）假設(shè)在線段DM上存在一點(diǎn)F，使平面PQF．連BD交PQ于點(diǎn)O，連OF，由線面平行性質(zhì)定理得線線平行，由平行線得線段的比例．
【詳解】（1）由圖1可得，，
∴， ∴，
∵，，MD、平面MDQ ，
∴平面MDQ，
∵平面MDQ ，
∴．
（2）當(dāng)時(shí)，平面PQF，
理由如下：
連BD交PQ于點(diǎn)O，連OF，由圖1可得，，即，
因?yàn)?，所以?br>所以，所以，
因?yàn)槠矫?，平面，所以平面PQF．
5．（2023·河南濮陽(yáng)·濮陽(yáng)一高?？寄M預(yù)測(cè)）如圖①，在平面四邊形中，，，．將沿著折疊，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且二面角為直二面角，如圖②．已知分別是的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)，且與平面所成角的正切值為．
(1)證明：平面平面；
(2)求四棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用三角形中位線性質(zhì)和線面平行的判定可證得平面，平面，由面面平行的判定可證得結(jié)論；
（2）取的中點(diǎn)，根據(jù)已知的長(zhǎng)度關(guān)系和面面垂直性質(zhì)可證得平面，結(jié)合線面角定義可得，由此可確定點(diǎn)位置，從而求得，利用棱錐體積公式可求得結(jié)果.
【詳解】（1）分別為的中點(diǎn)，，，
平面，平面，
平面，平面，
又，平面，平面平面.
（2）取的中點(diǎn)，連接，
，，為等邊三角形，，
又，，為等腰直角三角形，
，；
二面角是直二面角，即平面平面，平面平面，平面，平面，
即為與平面所成角，
，解得：；
在中，由余弦定理得：，
即，解得：，為線段上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，
，
.
6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖1，在直角梯形中，，，，，.現(xiàn)沿平行于的折疊，使得且平面，如圖2所示.
(1)求的長(zhǎng)度；
(2)求二面角的大小.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）利用垂直關(guān)系得，再結(jié)合勾股定理，即可求解；
（2）分別求平面和的法向量，根據(jù)二面角的向量公式，即可求解.
【詳解】（1）由平面，平面，得，
在矩形中，由，，知，
設(shè)，則，，
故，，
由勾股定理：，
解得：，
的長(zhǎng)度為1；
（2）因?yàn)?，，?br>且平面，所以平面，
結(jié)合知，兩兩互相垂直，故以點(diǎn)為原點(diǎn)，為，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，所以
，，，，，，
所以，，，，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，所以，
取，則，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，所以，
取，則，
記所求二面角大小為，為鈍角，則，
所求二面角的大小為.
7．（2023·新疆阿克蘇·?？家荒＃┤鐖D甲所示的正方形中，，，，對(duì)角線分別交，于點(diǎn)，，將正方形沿，折疊使得與重合，構(gòu)成如圖乙所示的三棱柱．
(1)若點(diǎn)在棱上，且，證明：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】(1)證明見詳解
(2)
【分析】（1）在圖乙中，過作，交于，連接，證明四邊形為平行四邊形，然后得到即可；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，利用兩個(gè)法向量所成角的余弦值求得結(jié)果.
【詳解】（1）證明：在圖乙中，過作，交于，連接，
則，∴共面且平面交平面于，
圖甲中，∵，，
∴，又為正方形，
，，由，有，
∴四邊形為平行四邊形，∴，
又平面，平面，
∴平面．
（2）由（1），，∴．
由題圖知，，，分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
設(shè)平面的法向量為，
則
令，得，
則，，，
設(shè)平面的法向量為，
則
令，得，
，
平面與平面夾角的余弦值為．
8．（2023春·四川南充·高三閬中中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖甲所示的正方形中，對(duì)角線分別交于點(diǎn)，將正方形沿折疊使得與重合，構(gòu)成如圖乙所示的三棱柱
(1)若點(diǎn)在棱上，且，證明：∥平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）過作交于，證明四邊形平行四邊形后可證得線面平行；
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角．
【詳解】（1）在三棱柱中過作交于，連接，則，
所以四點(diǎn)共面，且平面平面，
因?yàn)椋裕?br>又是正方形，所以，，，
又，則，
所以四邊形平行四邊形，，
又平面，平面，所以平面；
（2）由（1）知，所以，而與都垂直，
則分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
由得，，，
所以，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量是，
由，取得，
又，則，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量是，
由，取得，
設(shè)二面角的平面角為，
則，
由圖可知二面角的平面角為鈍角，
所以二面角的余弦值是．
9．（2023·上海奉賢·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且.

(1)求證：直線EC與平面ABD沒有公共點(diǎn)；
(2)求點(diǎn)C到平面BED的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)1
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，證明平面即可得解；
（2）在三棱錐中，利用等體積法即可求出點(diǎn)到平面的距離.
【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接、，如圖，

依題意，在中，，則，
而平面平面，平面平面，平面，于是得平面，且，
因?yàn)槠矫妫?，則有，且，
從而得四邊形為平行四邊形，，
又平面，平面，
則平面，所以直線EC與平面ABD沒有公共點(diǎn)；
（2）因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>因?yàn)?，，平面所以平?br>因?yàn)椋谑堑闷矫妫?br>因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>因?yàn)?，所以?br>則等腰底邊上的高，，
而，設(shè)點(diǎn)C到平面BED的距離為d，
由得，
即，解得，
所以點(diǎn)C到平面BED的距離為1
10．（2023·廣東深圳·?？级＃┤鐖D1所示，等邊的邊長(zhǎng)為，是邊上的高，，分別是，邊的中點(diǎn)．現(xiàn)將沿折疊，如圖2所示.

(1)證明：；
(2)折疊后若，求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由已知可得面，進(jìn)而可證，可證，
（2）取的中點(diǎn)，連接，，取和的中點(diǎn)分別為和，連接，，，可證二面角的平面角為，進(jìn)而求解即可．
【詳解】（1）在等邊的邊長(zhǎng)為，是邊上的高，
根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，
因?yàn)?，，，平面?br>所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?br>因?yàn)楹头謩e是和的中點(diǎn)，
所以，所以，
（2）取的中點(diǎn)，連接，
取和的中點(diǎn)分別為和，連接，，，

因?yàn)?，，的中點(diǎn)分別為，，，
所以，，
因?yàn)椋詾榈冗吶切?，又為的中點(diǎn)，所以，
所以，又平面，平面，平面，所以，
又因?yàn)槠矫妫?br>所以，又因?yàn)椋矫妫?br>所以平面，平面，
所以，
則二面角的平面角為，
所以，
又，解得，顯然為銳角，
所以，即二面角的余弦值為．
11．（2023秋·四川成都·高三?？茧A段練習(xí)）在圖1中，為等腰直角三角形，，，為等邊三角形，O為AC邊的中點(diǎn)，E在BC邊上，且，沿AC將進(jìn)行折疊，使點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F的位置，如圖2，連接FO，F(xiàn)B，F(xiàn)E，使得．

(1)證明：平面．
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由等邊三角形三線合一，得出，再由勾股定理逆定理得出，即可證明；
（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，由面面夾角的向量法計(jì)算即可；方法二：作，垂足為M，作，垂足為N，連接，首先由線面垂直得出，則二面角的平面角為，在中，求出即可．
【詳解】（1）證明：連接OB，
因?yàn)闉榈妊苯侨切?，，?br>所以，
因?yàn)镺為AC邊的中點(diǎn)，
所以，
在等邊三角形中，，
因?yàn)镺為AC邊的中點(diǎn)，
所以，則，
又，
所以，即，
因?yàn)?，平面，平面?br>所以平面．

（2）方法一：因?yàn)槭堑妊苯侨切危?，為邊中點(diǎn)，
所以，
由（1）得平面，則以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，
所以，，
設(shè)平面的法向量為，
由，得，令，得，
易知平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)二面角的大小為θ，
則，
由圖可知二面角為銳角，
所以二面角的余弦值為．
方法二：
作，垂足為M，作，垂足為N，連接，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，
又因?yàn)椋矫妫?br>所以平面，
又平面，
所以，
又，，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
又平面平面，
所以二面角的平面角為，
因?yàn)?，所以?br>所以，，
在中，，，
所以，
所以，
所以，即二面角的余弦值為．

12．（2023秋·四川成都·高三成都七中?？奸_學(xué)考試）已知矩形ABCD中，，，M，N分別為AD，BC中點(diǎn)，O為對(duì)角線AC，BD交點(diǎn)，如圖1所示．現(xiàn)將和剪去，并將剩下的部分按如下方式折疊：沿MN將折疊，并使OA與OB重合，OC與OD重合，連接MN，得到由平面OAM，OBN，ODM，OCN圍成的無(wú)蓋幾何體，如圖2所示．

(1)求證：MN⊥平面；
(2)求此多面體體積V的最大值．
【答案】(1)證明見解析
(2)1
【分析】（1）取中點(diǎn)E，通過證明平面，平面，證得即可得出線面垂直；
（2）由幾何體的對(duì)稱性化為求的最值，即M到面的距離最大，再結(jié)合三棱錐體積公式計(jì)算即可.
【詳解】（1）
在圖2中，取的中點(diǎn)E，連，
因?yàn)?，E為的中點(diǎn)，所以，同理得，，
因?yàn)椋矫?，所以平面?br>因?yàn)槠矫妫裕?br>因?yàn)?，平面，所以平面?br>因?yàn)槠矫妫裕?br>因?yàn)?，平面，所以平面?br>（2）根據(jù)圖形的對(duì)稱性可知，，
因?yàn)榈拿娣e為，為定值，
所以當(dāng)點(diǎn)M到平面OCN的距離最大值時(shí)，三棱錐體積最大，
此時(shí)平面OMC⊥平面ONC，點(diǎn)M到平面OCN的距離等于點(diǎn)M到OC的距離，等于，
所以此多面體體積V的最大值為．
13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖（1）所示，在中，，，，垂直平分．現(xiàn)將沿折起，使得二面角大小為，得到如圖（2）所示的空間幾何體（折疊后點(diǎn)記作點(diǎn)）

(1)求點(diǎn)到面的距離；
(2)求四棱錐外接球的體積；
(3)點(diǎn)為一動(dòng)點(diǎn)，滿足，當(dāng)直線與平面所成角最大時(shí)，試確定點(diǎn)的位置．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由已知可證得平面平面，取中點(diǎn) ，連接 ，則有兩兩垂直，所以以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解，
（2）連接，則四邊形的外接圓圓心在的中點(diǎn)，外接圓的圓心為的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)圓心分別作兩面垂線，則垂線交點(diǎn)即為球心，連接，求出其長(zhǎng)度可得外接球的半徑，從而可求出外接球的體積，
（3）由，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用空間向量表示出直線與平面所成角的正弦值，求出其最大值可得答案.
【詳解】（1）由，，，得 ，，
因?yàn)榇怪逼椒郑?br>所以，
所以為平面與平面的二面角的平面角，
所以 ，，所以為等邊三角形，
取中點(diǎn) ，連接 ，所以，
因?yàn)椋矫妫?br>所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面平面，
因?yàn)?br>所以為二面角的平面角，
所以，
以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
設(shè)的一個(gè)法向量為 ，則
，令，則
又，
所以點(diǎn)到面的距離；
（2）連接，由，則四邊形的外接圓圓心在的中點(diǎn)，
為正三角形，則外接圓的圓心為的三等分點(diǎn)，
過點(diǎn)圓心分別作兩面垂線，則垂線交點(diǎn)即為球心，
如圖所示，連接，則即球的半徑.
在中，，
則，
在中，，
所以由勾股定理得，
則球的體積 ；

（3）設(shè)，由得，
所以，得， ，
所以，
設(shè)直線與平面所成角為（），
則
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，
此時(shí)直線與平面所成角最大，
即當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角最大.

14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在邊長(zhǎng)為的正方形中，點(diǎn)在線段上，且，作，分別交于點(diǎn)，作，分別交于點(diǎn)，將該正方形沿折疊，使得與重合，構(gòu)成如圖所示的三棱柱．
(1)在三棱柱中，求證：平面；
(2)試判斷直線是否與平面平行，并說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)直線與平面不平行，理由見解析．
【分析】（1）利用線面垂直判定定理去證明平面；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法去判斷直線與平面是否平行.
【詳解】（1），
從而有，
又，
平面．
（2）直線與平面不平行．理由如下：
以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
，，，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
則，取，得，
，
直線與平面不平行．
2.探索性問題
一、解答題
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正四棱臺(tái)的體積為，其中.

(1)求側(cè)棱與底面所成的角；
(2)在線段上是否存在一點(diǎn)P，使得？若存在請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由見解析
【分析】（1）先求得正四棱臺(tái)的高，然后求得側(cè)棱與底面所成的角.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法確定是否存在符合題意的點(diǎn).
【詳解】（1）依題意，在正四棱臺(tái)中，，
所以上底面積，下底面積，
設(shè)正四棱臺(tái)的高為，則.
連接，則，
所以，
設(shè)側(cè)棱與底面所成的角為，則，
由于線面角的取值范圍是，所以.
（2）連接，設(shè)正四棱臺(tái)上下底面的中心分別為，
以為原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
，
設(shè)線段上存在一點(diǎn)，滿足，
，
，
則，
，
若，則，
即，
解得，舍去，
所以在線段上不存在一點(diǎn)，使得.

2．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）如圖，在五棱錐中，，，.

(1)證明：；
(2)若平面平面，平面平面，探索：是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出的值；若不是定值，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)是定值，
【分析】（1）由線面垂直證線線垂直.
（2）由空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)面面垂直的向量表示可得，
即得.
【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，連接交于，
如圖，由知為等腰梯形，，
又，故，
顯然為中點(diǎn)，，
故 又，所以平面
又平面，故.

（2）若平面平面，
由為平面與平面的交線，知，，
如圖，可以為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)，因，

如圖，底面延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
由知為等邊三角形，
又，可知也為等邊三角形，
故，
又，
所以，又，所以為等邊三角形，
所以也為等邊三角形，故，
所以，故，
，，
，
設(shè)平面法向量為，則即
可令得，
，
設(shè)平面法向量為，則即
可令，
，有，
故.
3．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，，平面平面ABCD，且，，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)．

(1)證明：平面ABCD；
(2)線段AC上是否存在一點(diǎn)M，使平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，
【分析】（1）直接利用面面垂直的性質(zhì)定理得到線面垂直；
（2）利用題中的已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，首先假設(shè)存在點(diǎn)M，設(shè)，求出平面ABF的法向量，進(jìn)一步利用線面平行建立等量關(guān)系，求解即可．
【詳解】（1）因?yàn)?，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，所以，
又因?yàn)?，所以?br>由平面平面ABCD，平面平面，平面ADEF，
所以平面ABCD．
（2）由（1）得平面ABCD，平面ABCD，∴，
四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，所以AG、AD、AB兩兩垂直，
以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

所以，
假設(shè)線段AC上存在一點(diǎn)M，使平面ABF，
設(shè)，則，
∵，∴，
設(shè)，則,
所以，
,
設(shè)平面ABF的法向量為
，取
由于平面ABF，所以，即，解得
所以，此時(shí)，
即當(dāng)時(shí)，平面ABF．
4．（2023秋·浙江·高三浙江省春暉中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，，，，為等邊三角形．

(1)求證：平面平面；
(2)是否存在一點(diǎn)，滿足，使直線與平面所成的角為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，
【分析】（1）利用面面垂直判定定理即可證得平面平面；
（2） 法一，先確定出直線與平面所成的角，再求得的值即可求得的值；法二，建立空間直角坐標(biāo)系，依據(jù)題給條件列出關(guān)于的方程即可求得的值.
【詳解】（1）等腰梯形中，，則，
則，所以，．又，
由，得到，
又，平面，
因此平面，又因?yàn)槠矫妫?br>故平面平面
（2）方法一：由（1）知平面，面，則面面．
作于點(diǎn)，則有面．
則即為直線與面所成角，
在直角三角形中，由，，得到
由，可得，又，所以存在．
方法二：過點(diǎn)作平面于，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．

其中
得到，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
由，得，
不妨設(shè)，則，，則，
又，
則，
解之得（舍去）或，所以
5．（2023秋·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？奸_學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，三角形為正三角形，且側(cè)面底面.分別為線段的中點(diǎn).

(1)求證：平面；
(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，
【分析】（1）構(gòu)造三角形的中位線得到線線平行，再利用線面平行的判定定理即可得到線面平行；
（2）法一：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面和平面的法向量，再利用兩平面垂直的向量法即可求出結(jié)果.法二：利用幾何法，先找出平面，使平面平面，再利用幾何關(guān)系即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以點(diǎn)為的中點(diǎn).
又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
又因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以平面.

（2）設(shè)底面邊長(zhǎng)為2，連接，由于為菱形，且，
故，
所以，故有，
又三角形為正三角形，為中點(diǎn)，故，
又側(cè)面底面，平面平面，面，
所以平面，
如圖，以為原點(diǎn)，方向分別為軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
則，
設(shè)，則，
則，
設(shè)平面的法向量為，則有，得到，
取，得，，所以，
又平面法向量可取為，
由題可知，即，解得，
故存在點(diǎn)使得平面平面，.

法二：三角形為正三角形， 是的中點(diǎn)，
又側(cè)面底面，平面平面，面，
所以平面，
連接，取的中點(diǎn)，連接，則是的中位線，，
所以平面，
延長(zhǎng)交于，又面，所以平面平面.
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，所以，?br>故存在點(diǎn)，使得平面平面，.

6．（2023秋·江西吉安·高三吉安三中校考開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，，四邊形是菱形，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且．

(1)證明:平面．
(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值是?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)證明見解析；
(2)存在實(shí)數(shù)，使得面與面所成銳二面角的余弦值是.
【分析】（1）由題設(shè)，根據(jù)線面垂直的判定得平面，再由線面垂直的性質(zhì)有，并由勾股定理證，最后應(yīng)用線面垂直的判定證結(jié)論；
（2）取棱的中點(diǎn)，連接，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，應(yīng)用向量法求面面角的余弦值，結(jié)合已知列方程求參數(shù)，即可判斷存在性.
【詳解】（1）
因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所?
因?yàn)槠矫妫遥云矫?
因?yàn)槠矫?，所?
因?yàn)?，所以，?
因?yàn)槠矫?，且，所以平?
（2）
取棱的中點(diǎn)，連接，易證兩兩垂直，
故以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)，則，
故，
所以，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，得．
平面的一個(gè)法向量為,設(shè)面與面所成的銳二面角為，
則，整理得，解得(舍去)．
故存在實(shí)數(shù)，使得面與面所成銳二面角的余弦值是．
7．（2023春·河南信陽(yáng)·高三信陽(yáng)高中?？茧A段練習(xí)）如圖，在等腰梯形中，，四邊形為矩形，且平面，.

(1)求證：平面；
(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的平面角為，且滿足.若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，求出的長(zhǎng)度.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，
【分析】（1）通過證明平面來(lái)證得平面.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得正確答案.
【詳解】（1）∵為等腰梯形，，∴
∵，則，∴.
又∵，則，
∴，∵平面，平面，∴.
∵平面，∴平面，
∵四邊形為矩形，則，
∴平面.
（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，

由（1）知，，則，
，設(shè)，
則，
設(shè)平面的法向量，
則，∴，令，
則，取平面的法向量，
，
由題意，.
解得.
因此在線段上存在點(diǎn)，
使得平面與平面所成銳二面角的平面角為，
且滿足.
8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，D，E分別為，的中點(diǎn)，，，.
(1)求證：平面；
(2)在線段上是否存在點(diǎn)F，使得平面與平面的夾角為，若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，
【分析】（1）先證明，結(jié)合，由線面垂直判定定理和定義證明，取中點(diǎn)G，由面面垂直性質(zhì)定理證明平面，由此可得，最后利用線面垂直判定定理證明平面；
【詳解】（1）為等邊三角形，D為中點(diǎn)，
，
又，，，平面，
平面，
平面，
，
取中點(diǎn)G，連接，
為等邊三角形，
，
平面平面，平面平面，平面.
平面，
，
與相交，，平面，
平面；
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線為x軸，y軸，過C且與平行的直線為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則
，，，，，
設(shè)，則
，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，所以，
取，可得，
為平面的一個(gè)法向量，
取平面的一個(gè)法向量為，
則，
解得，此時(shí)，
在線段上存在點(diǎn)F使得平面與平面的夾角為，且.
9．（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，側(cè)面SAD為等邊三角形，，．

(1)證明：平面平面；
(2)側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)P（P不在端點(diǎn)處），使得直線BP與平面SAC所成角的正弦值等于？若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)證明見詳解；
(2)存在，點(diǎn)P為SC的中點(diǎn).
【分析】（1）利用面面垂直的判定定理證明即可；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，由直線BP與平面SAC所成角的正弦值等于，解得即可.
【詳解】（1）證明：因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，，所以，
又因?yàn)閭?cè)面SAD為等邊三角形，所以.
，所以，即，又,
所以平面，又因?yàn)槠矫妫?br>所以平面平面.
（2）如圖：

取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)閭?cè)面為等邊三角形，
所以，
又由（1）可知平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸為正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.
，，，，，
所以，，，設(shè).
，所以，所以.
設(shè)平面SAC的法向量為，由于，所以.
令，則，，所以，
所以.
因?yàn)橹本€BP與平面SAC所成角的正弦值等于.
所以，解得或（舍）
故存在，當(dāng)點(diǎn)P為SC的中點(diǎn)時(shí)，使得直線BP與平面SAC所成角的正弦值等于.
10．（2023·廣西南寧·南寧三中?？家荒＃┤鐖D，在四棱錐中，平面平面，底面為菱形，為等邊三角形，且，，O為的中點(diǎn)．
(1)若E為線段上動(dòng)點(diǎn)，證明：；
(2)G為線段PD上一點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，當(dāng)使得二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，
【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理證明平面，即可證明結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，表示出平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法可求解參數(shù)，即可得結(jié)論.
【詳解】（1）連接OC，OP，∵為等邊三角形，，O為的中點(diǎn),
∴，，，
∵，而底面為菱形，則，∴，
又∵，平面，平面POC，，∴平面，
又∵平面，∴.
（2）∵平面平面，平面平面，
平面，∴平面，
又∵平面，∴，
又由（1）知平面，平面，
故,
故，分別以為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則，，，，
，，
設(shè)，，
由，即，
得，
則，，
設(shè)平面的法向量，
則，
取，則，
又平面，則取平面的法向量為，
設(shè)與平面所成的角為，由題意知為銳角，
則，
解得，，（舍去）.
即存在實(shí)數(shù)，當(dāng)使得二面角的余弦值是.
11．（2023秋·福建三明·高三統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，四邊形為菱形，，，.

(1)求證：平面；
(2)線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的正弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)證明過程見詳解
(2)存在，
【分析】（1）連接與相交于點(diǎn)，連接，分別根據(jù)菱形的和等邊三角形的相關(guān)性質(zhì)得到和，再利用線面垂直的判定即可得證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，利用法向量表示平面與平面的夾角的正弦值，求出的值即可.
【詳解】（1）連接與相交于點(diǎn)，連接，如圖所示：

四邊形為菱形，，
為等邊三角形，是的中點(diǎn)，有，
、面，，面，又面，
則，又已知，，平面，
所以平面.
（2），分別為，的中點(diǎn)，連接，，
由（1）平面，所以平面面，作，所以有平面，
又因?yàn)闉榈冗吶切?，，平?br>以為原點(diǎn)，，，的方向分別為軸、軸、軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

則，，，，由，
，
設(shè)，，
則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
則有，
令，則，
易取平面的一個(gè)法向量為 ，
由已知平面與平面的夾角的正弦值為，
則平面與平面的夾角的余弦值為，
則有，
，由解得.
所以，點(diǎn)存在，.
12．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）如圖所示，等腰梯形中，，，，E為中點(diǎn)，與交于點(diǎn)O，將沿折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置（平面）.

(1)證明：平面平面；
(2)若，試判斷線段上是否存在一點(diǎn)Q（不含端點(diǎn)），使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求三棱錐的體積，若不存在，說明理由.
【答案】(1)證明詳見解析
(2)存在，且
【分析】（1）通過證明平面來(lái)證得平面平面.
（2）判斷出平面，由此建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線與平面所成角的正弦值確定點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得三棱錐的體積.
【詳解】（1）在原圖中，連接，由于，
所以四邊形是平行四邊形，由于，所以四邊形是菱形，
所以，
由于，所以四邊形是平行四邊形，
所以，所以.

在反著過程中，保持不變，
即保持不變，
由于平面，
所以平面，由于平面，
所以平面平面.
（2）由上述分析可知，在原圖中，，所以，
所以，
折疊后，若，則，
所以，
由于平面，
所以平面，
由于平面，所以，
所以兩兩相互垂直，
由此以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
，
，
設(shè)，，
，
設(shè)平面的法向量為，
則，故可設(shè)，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
，，
所以，即是的中點(diǎn).
由于軸與平面垂直，所以到平面的距離為，
所以.

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