高考數(shù)學考點題型歸納與方法總結(jié)(新高考)素養(yǎng)拓展24立體幾何中球與幾何體的切接問題(精講+精練)學生版+解析-試卷下載-教習網(wǎng)

一、知識點梳理
一、外接球
如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內(nèi)接多面體，這個球稱為多面體的外接球．解決這類問題的關(guān)鍵是抓住內(nèi)接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑．并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關(guān)重要的作用．
二、內(nèi)切球
球的內(nèi)切問題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時首先要找準切點，通過作截面來解決．如果外切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作．當球與多面體的各個面相切時，注意球心到各面的距離相等即球的半徑，求球的半徑時，可用球心與多面體的各頂點連接，球的半徑為分成的小棱錐的高，用體積法來求球的半徑．
【常用結(jié)論】
①外接球模型一：墻角模型是三棱錐有一條側(cè)棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用構(gòu)造法(構(gòu)造長方體)解決．外接球的直徑等于長方體的體對角線長(在長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq \r(a2＋b2＋c2)．)，秒殺公式：R2＝eq \f(a2＋b2＋c2,4)．可求出球的半徑從而解決問題．有以下四種類型：
②外接球模型二：三棱錐的三組對棱長分別相等模型，一般用構(gòu)造法(構(gòu)造長方體)解決．外接球的直徑等于長方體的體對角線長，即(長方體的長、寬、高分別為a、b、c)．秒殺公式：R2＝eq \f(x2＋y2＋z2,8)(三棱錐的三組對棱長分別為x、y、z)．可求出球的半徑從而解決問題．
③外接球模型三：直棱柱的外接球、圓柱的外接球模型，用找球心法(多面體的外接球的球心是過多面體的兩個面的外心且分別垂直這兩個面的直線的交點．一般情況下只作出一個面的垂線，然后設出球心用算術(shù)方法或代數(shù)方法即可解決問題．有時也作出兩條垂線，交點即為球心．)解決．以直三棱柱為例，模型如下圖，由對稱性可知球心O的位置是△ABC的外心O1與△A1B1C1的外心O2連線的中點，算出小圓O1的半徑AO1＝r，OO1＝，．

④外接球模型四：垂面模型是有一條側(cè)棱垂直底面的棱錐模型，可補為直棱柱內(nèi)接于球，由對稱性可知球心O的位置是△CBD的外心O1與△AB2D2的外心O2連線的中點，算出小圓O1的半徑AO1＝r，OO1＝，．

⑤外接球模型五：有一側(cè)面垂直底面的棱錐型，常見的是兩個互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如類型Ⅰ，△ABC與△BCD都是直角三角形，類型Ⅱ，△ABC是等邊三角形，△BCD是直角三角形，類型Ⅲ，△ABC與△BCD都是等邊三角形，解決方法是分別過△ABC與△BCD的外心作該三角形所在平面的垂線，交點O即為球心．類型Ⅳ，△ABC與△BCD都一般三角形，解決方法是過△BCD的外心O1作該三角形所在平面的垂線，用代數(shù)方法即可解決問題．設三棱錐A－BCD的高為h，外接球的半徑為R，球心為O．△BCD的外心為O1，O1到BD的距離為d，O與O1的距離為m，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(R2＝r2＋m2，,R2＝d2＋?h－m ?2，))解得R．可用秒殺公式：R2＝r12＋r22－eq \f(l2,4)(其中r1、r2為兩個面的外接圓的半徑，l為兩個面的交線的長)

⑥外接球模型六：圓錐、頂點在底面的射影是底面外心的棱錐．秒殺公式：R＝eq \f(h2＋r2,2h)(其中h為幾何體的高，r為幾何體的底面半徑或底面外接圓的圓心)

⑦內(nèi)切球思路：以三棱錐P－ABC為例，求其內(nèi)切球的半徑．
方法：等體積法，三棱錐P－ABC體積等于內(nèi)切球球心與四個面構(gòu)成的四個三棱錐的體積之和；
第一步：先求出四個表面的面積和整個錐體體積；
第二步：設內(nèi)切球的半徑為r，球心為O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC?VP－ABC＝eq \f(1,3)S△ABC·r＋eq \f(1,3)S△PAB·r＋eq \f(1,3)S△PAC·r＋eq \f(1,3)S△PBC·r＝eq \f(1,3)(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r；
第三步：解出r＝eq \f(3VP－ABC,SO－ABC＋SO－PAB＋SO－PAC＋SO－PBC)＝eq \f(3V,S表)．
二、題型精講精練
【典例1】（2023·浙江·高三校聯(lián)考期中）正四面體的所有頂點都在同一個表面積是36π的球面上，則該正四面體的棱長是．
【答案】
【解析】如圖所示：
因為正四面體內(nèi)接于球，則相應的一個正方體內(nèi)接球，設正方體為，
則正四面體為，
設球的半徑為R，則，
解得，
所以則正方體的棱長為，
所以正四面體的棱長為，
故答案為：
【典例2】（2023·河南·開封高中?？寄M預測）已知四面體ABCD中，，，，則四面體ABCD外接球的體積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設四面體的外接球的半徑為,
則四面體在一個長寬高為的長方體中，如圖，
則故，
故四面體ABCD外接球的體積為，
故選：C
【典例3】（2023·黑龍江齊齊哈爾·高三齊齊哈爾市第八中學校?？茧A段練習）設直三棱柱的所有頂點都在一個表面積是的球面上，且，則此直三棱柱的表面積是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設，因為，所以.
于是（是外接圓的半徑），.
又球心到平面的距離等于側(cè)棱長的一半，
所以球的半徑為.
所以球的表面積為，解得.
因此.
于是直三棱柱的表面積是
.
故選：D.
【典例4】（2023·安徽宣城·高三統(tǒng)考期末）在三棱錐中，△ABC是邊長為3的等邊三角形，側(cè)棱PA⊥平面ABC，且，則三棱錐的外接球表面積為．
【答案】
【解析】根據(jù)已知，底面是邊長為3的等邊三角形，平面，
可得此三棱錐外接球，即以為底面以為高的正三棱柱的外接球．
設正三棱柱的上下底面的中心分別為，則外接球的球心為的中點，
的外接圓半徑為，，
所以球的半徑為，
所以四面體外接球的表面積為，
故答案為：．
【典例5】（2023·四川樂山·高三期末）已知正邊長為1，將繞旋轉(zhuǎn)至，使得平面平面，則三棱錐的外接球表面積為．
【答案】
【解析】如圖，
取BC中點G，連接AG,DG，則，，
分別取與的外心E,F分別過E,F作平面ABC與平面DBC的垂線，相交于O，則O為四面體的球心，
由，
所以正方形OEGF的邊長為，則，
所以四面體的外接球的半徑，
球O的表面積為．
故答案為：．
【典例6】（2023·山東濱州·高三?？计谥校┮阎睦忮F的底面邊長為，側(cè)棱長為6，則該四棱錐的外接球的體積為．
【答案】
【解析】如圖，是正四棱錐的高，而，則，
，顯然正四棱錐的外接球的球心O在直線上，
令，則，
在中，，解得，
所以該四棱錐的外接球體積為.
故答案為：
【典例7】（2023·高三課時練習）邊長為的正四面體內(nèi)切球的體積為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】將棱長為的正四面體補成正方體，則該正方體的棱長為，
，
設正四面體的內(nèi)切球半徑為，正四面體每個面的面積均為，
由等體積法可得，解得，
因此，該正四面體的內(nèi)切球的體積為.
故選：D.
【題型訓練1-刷真題】
一、單選題
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）
A．B．C．D．
2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（）
A．B．C．D．
3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）
A．B．C．D．
4．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且，則三棱錐的體積為（）
A．B．C．D．
二、填空題
5．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知點均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，平面，則．
【題型訓練2-刷模擬】
一、單選題
1．（2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考開學考試）邊長為1的正方體的外接球表面積為（）
A．B．C．D．
2．（2023秋·四川成都·高三樹德中學校考開學考試）已知四面體滿足，，，且該四面體的外接球的表面積是（）
A．B．
C．D．
3．（2023·全國·高三專題練習）在直三棱柱中，，，則該直三棱柱的外接球的體積為（）
A．B．C．D．
4．（2023秋·四川眉山·高三?？茧A段練習）已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（）
A．B．C．D．
5．（2023·河南鄭州·校聯(lián)考二模）如圖，在三棱錐中，，，平面平面ABC，則三棱錐外接球的表面積為（）

A．B．C．D．
6．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考開學考試）已知是邊長為4的等邊三角形，將它沿中線折起得四面體，使得此時，則四面體的外接球表面積為（）
A．B．C．D．
7．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）在三棱錐中，已知底面，，，則三棱錐外接球的體積為（）
A．B．C．D．
8．（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）在三棱錐中，，，，平面平面，若三棱錐的所有頂點都在球的表面上，則球的半徑為（）
A．B．3C．D．4
9．（2023秋·陜西西安·高三校聯(lián)考開學考試）在三棱錐中，是邊長為3的等邊三角形，側(cè)棱平面，且，則三棱錐的外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
10．（2023春·四川綿陽·高三綿陽南山中學實驗學校?？茧A段練習）已知四棱錐的體積是，底面是正方形，是等邊三角形，平面平面，則四棱錐外接球表面積為（）
A．B．C．D．
11．（2023·江西南昌·南昌市八一中學?？既＃┮阎睦忮F的底面是矩形，高為，，，，，則四棱錐的外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
12．（2023秋·陜西西安·高三校聯(lián)考開學考試）已知在三棱錐中，，，平面，則三棱錐的外接球表面積的最小值為（）
A．B．C．D．
13．（2023秋·湖南衡陽·高三衡陽市田家炳實驗中學校考階段練習）球O內(nèi)接三棱錐，平面，.若，球O表面積為.則三棱錐體積最大值為（）
A．1B．C．D．
14．（2023秋·四川成都·高三樹德中學校考開學考試）已知四面體ABCD滿足，，，且該四面體ABCD的外接球的球半徑為，四面體的內(nèi)切球的球半徑為，則的值是（）
A．B．C．D．
15．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）在三棱錐中，，平面ABC，，，則三棱錐外接球體積的最小值為（）
A．B．C．D．
16．（2023·河南·統(tǒng)考三模）如圖，該幾何體為兩個底面半徑為1，高為1的相同的圓錐形成的組合體，設它的體積為V1，它的內(nèi)切球的體積為V2，則（）

A．B．C．D．
17．（2023·福建寧德·?？寄M預測）將一個半徑為2的球削成一個體積最大的圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的半徑為（）
A．B．
C．D．
18．（2023·全國·高三專題練習）已知四棱錐的各棱長均為2，則其內(nèi)切球表面積為（）

A．B．
C．D．
19．（2023·全國·高三專題練習）若一個正三棱柱存在外接球與內(nèi)切球，則它的外接球與內(nèi)切球體積之比為（）
A．B．C．D．
20．（2023·湖北·統(tǒng)考二模）已知直三棱柱存在內(nèi)切球，若，則該三棱柱外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
21．（2023春·貴州·高三校聯(lián)考期中）已知正三棱錐P—ABC的底面邊長為3，高為，則三棱錐P—ABC的內(nèi)切球的表面積為（）
A．B．C．D．
22．（2023·全國·高三專題練習）已知圓臺的下底面半徑是上底面半徑的2倍，其內(nèi)切球的半徑為，則該圓臺的體積為（）
A．B．C．D．
23．（2023·廣東深圳·高三深圳外國語學校校考階段練習）已知正三棱錐中，，其內(nèi)切球半徑為r，外接球半徑為，則（）
A．B．C．D．
24．（2023秋·浙江麗水·高三浙江省麗水中學校聯(lián)考期末）將菱形沿對角線折起，當四面體體積最大時，它的內(nèi)切球和外接球表面積之比為（）
A．B．C．D．
二、填空題
25．（2023·全國·高三專題練習）在矩形中，，，平面，，四棱錐的外接球的表面積為．
26．（2023秋·四川眉山·高三?？奸_學考試）已知正三棱柱的底面邊長為6，三棱柱的高為，則該三棱柱的外接球的表面積為 .
27．（2023秋·重慶·高三統(tǒng)考階段練習）正三棱錐底面邊長為為的中點，且，則正三棱錐外接球的體積為 .
28．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預測）在菱形ABCD中，，，AC與BD的交點為G，點M，N分別在線段AD，CD上，且，，將沿MN折疊到，使，則三棱錐的外接球的表面積為．
29．（2023秋·河北秦皇島·高三校聯(lián)考開學考試）三棱錐中，在底面的射影為的內(nèi)心，若，，則四面體的外接球表面積為 .
30．（2023秋·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開學考試）在中，，，將繞著邊BC逆時針旋轉(zhuǎn)后得到，則三棱錐的外接球的表面積為 .
31．（2023春·江西南昌·高三南昌市八一中學校考階段練習）四棱錐中，底面為菱形，底面，，若，，則三棱錐的外接球表面積為 .
32．（2023·四川綿陽·綿陽南山中學實驗學校?？寄M預測）在邊長為2的正方形中，分別為線段，的中點，連接，將分別沿折起，使三點重合，得到三棱錐，則該三棱錐外接球的表面積為 .

33．（2023秋·河南周口·高三校聯(lián)考階段練習）已知一個圓臺內(nèi)切球的半徑為，圓臺的表面積為，則這個圓臺的體積為 .
34．（2023·全國·高三專題練習）已知圓錐的底面半徑為2，高為，則該圓錐的內(nèi)切球表面積為 .
35．（2023·全國·高三專題練習）已知三棱錐的所有棱長都相等，現(xiàn)沿三條側(cè)棱剪開，將其表面展開成一個平面圖形，若這個平面圖形外接圓的半徑為，則三棱錐的內(nèi)切球的體積為
36．（2023·湖南長沙·雅禮中學?？寄M預測）如圖，四邊形為平行四邊形，，，，現(xiàn)將沿直線翻折，得到三棱錐，若，則三棱錐的內(nèi)切球表面積為．

37．（2023·全國·高三專題練習）已知菱形ABCD的邊長為1，，將沿AC翻折，當三棱錐表面積最大時，其內(nèi)切球表面積為 .
38．（2023·全國·河南省實驗中學?？寄M預測）已知四棱錐的各個頂點都在同一個球面上．若該球的體積為，則該四棱錐體積的最大值是．
2024年高考數(shù)學高頻考點題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
素養(yǎng)拓展24 立體幾何中球與幾何體的切接問題（精講+精練）
一、知識點梳理
一、外接球
如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內(nèi)接多面體，這個球稱為多面體的外接球．解決這類問題的關(guān)鍵是抓住內(nèi)接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑．并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關(guān)重要的作用．
二、內(nèi)切球
球的內(nèi)切問題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時首先要找準切點，通過作截面來解決．如果外切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作．當球與多面體的各個面相切時，注意球心到各面的距離相等即球的半徑，求球的半徑時，可用球心與多面體的各頂點連接，球的半徑為分成的小棱錐的高，用體積法來求球的半徑．
【常用結(jié)論】
①外接球模型一：墻角模型是三棱錐有一條側(cè)棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用構(gòu)造法(構(gòu)造長方體)解決．外接球的直徑等于長方體的體對角線長(在長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq \r(a2＋b2＋c2)．)，秒殺公式：R2＝eq \f(a2＋b2＋c2,4)．可求出球的半徑從而解決問題．有以下四種類型：
②外接球模型二：三棱錐的三組對棱長分別相等模型，一般用構(gòu)造法(構(gòu)造長方體)解決．外接球的直徑等于長方體的體對角線長，即(長方體的長、寬、高分別為a、b、c)．秒殺公式：R2＝eq \f(x2＋y2＋z2,8)(三棱錐的三組對棱長分別為x、y、z)．可求出球的半徑從而解決問題．
③外接球模型三：直棱柱的外接球、圓柱的外接球模型，用找球心法(多面體的外接球的球心是過多面體的兩個面的外心且分別垂直這兩個面的直線的交點．一般情況下只作出一個面的垂線，然后設出球心用算術(shù)方法或代數(shù)方法即可解決問題．有時也作出兩條垂線，交點即為球心．)解決．以直三棱柱為例，模型如下圖，由對稱性可知球心O的位置是△ABC的外心O1與△A1B1C1的外心O2連線的中點，算出小圓O1的半徑AO1＝r，OO1＝，．

④外接球模型四：垂面模型是有一條側(cè)棱垂直底面的棱錐模型，可補為直棱柱內(nèi)接于球，由對稱性可知球心O的位置是△CBD的外心O1與△AB2D2的外心O2連線的中點，算出小圓O1的半徑AO1＝r，OO1＝，．

⑤外接球模型五：有一側(cè)面垂直底面的棱錐型，常見的是兩個互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如類型Ⅰ，△ABC與△BCD都是直角三角形，類型Ⅱ，△ABC是等邊三角形，△BCD是直角三角形，類型Ⅲ，△ABC與△BCD都是等邊三角形，解決方法是分別過△ABC與△BCD的外心作該三角形所在平面的垂線，交點O即為球心．類型Ⅳ，△ABC與△BCD都一般三角形，解決方法是過△BCD的外心O1作該三角形所在平面的垂線，用代數(shù)方法即可解決問題．設三棱錐A－BCD的高為h，外接球的半徑為R，球心為O．△BCD的外心為O1，O1到BD的距離為d，O與O1的距離為m，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(R2＝r2＋m2，,R2＝d2＋?h－m ?2，))解得R．可用秒殺公式：R2＝r12＋r22－eq \f(l2,4)(其中r1、r2為兩個面的外接圓的半徑，l為兩個面的交線的長)

⑥外接球模型六：圓錐、頂點在底面的射影是底面外心的棱錐．秒殺公式：R＝eq \f(h2＋r2,2h)(其中h為幾何體的高，r為幾何體的底面半徑或底面外接圓的圓心)

⑦內(nèi)切球思路：以三棱錐P－ABC為例，求其內(nèi)切球的半徑．
方法：等體積法，三棱錐P－ABC體積等于內(nèi)切球球心與四個面構(gòu)成的四個三棱錐的體積之和；
第一步：先求出四個表面的面積和整個錐體體積；
第二步：設內(nèi)切球的半徑為r，球心為O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC?VP－ABC＝eq \f(1,3)S△ABC·r＋eq \f(1,3)S△PAB·r＋eq \f(1,3)S△PAC·r＋eq \f(1,3)S△PBC·r＝eq \f(1,3)(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r；
第三步：解出r＝eq \f(3VP－ABC,SO－ABC＋SO－PAB＋SO－PAC＋SO－PBC)＝eq \f(3V,S表)．
二、題型精講精練
【典例1】（2023·浙江·高三校聯(lián)考期中）正四面體的所有頂點都在同一個表面積是36π的球面上，則該正四面體的棱長是．
【答案】
【解析】如圖所示：
因為正四面體內(nèi)接于球，則相應的一個正方體內(nèi)接球，設正方體為，
則正四面體為，
設球的半徑為R，則，
解得，
所以則正方體的棱長為，
所以正四面體的棱長為，
故答案為：
【典例2】（2023·河南·開封高中?？寄M預測）已知四面體ABCD中，，，，則四面體ABCD外接球的體積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設四面體的外接球的半徑為,
則四面體在一個長寬高為的長方體中，如圖，
則故，
故四面體ABCD外接球的體積為，
故選：C
【典例3】（2023·黑龍江齊齊哈爾·高三齊齊哈爾市第八中學校?？茧A段練習）設直三棱柱的所有頂點都在一個表面積是的球面上，且，則此直三棱柱的表面積是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設，因為，所以.
于是（是外接圓的半徑），.
又球心到平面的距離等于側(cè)棱長的一半，
所以球的半徑為.
所以球的表面積為，解得.
因此.
于是直三棱柱的表面積是
.
故選：D.
【典例4】（2023·安徽宣城·高三統(tǒng)考期末）在三棱錐中，△ABC是邊長為3的等邊三角形，側(cè)棱PA⊥平面ABC，且，則三棱錐的外接球表面積為．
【答案】
【解析】根據(jù)已知，底面是邊長為3的等邊三角形，平面，
可得此三棱錐外接球，即以為底面以為高的正三棱柱的外接球．
設正三棱柱的上下底面的中心分別為，則外接球的球心為的中點，
的外接圓半徑為，，
所以球的半徑為，
所以四面體外接球的表面積為，
故答案為：．
【典例5】（2023·四川樂山·高三期末）已知正邊長為1，將繞旋轉(zhuǎn)至，使得平面平面，則三棱錐的外接球表面積為．
【答案】
【解析】如圖，
取BC中點G，連接AG,DG，則，，
分別取與的外心E,F分別過E,F作平面ABC與平面DBC的垂線，相交于O，則O為四面體的球心，
由，
所以正方形OEGF的邊長為，則，
所以四面體的外接球的半徑，
球O的表面積為．
故答案為：．
【典例6】（2023·山東濱州·高三?？计谥校┮阎睦忮F的底面邊長為，側(cè)棱長為6，則該四棱錐的外接球的體積為．
【答案】
【解析】如圖，是正四棱錐的高，而，則，
，顯然正四棱錐的外接球的球心O在直線上，
令，則，
在中，，解得，
所以該四棱錐的外接球體積為.
故答案為：
【典例7】（2023·高三課時練習）邊長為的正四面體內(nèi)切球的體積為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】將棱長為的正四面體補成正方體，則該正方體的棱長為，
，
設正四面體的內(nèi)切球半徑為，正四面體每個面的面積均為，
由等體積法可得，解得，
因此，該正四面體的內(nèi)切球的體積為.
故選：D.
【題型訓練1-刷真題】
一、單選題
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．
【詳解】設正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．
故選：A．

2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】方法一：先證明當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為，進而得到四棱錐體積表達式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而得到當該四棱錐的體積最大時其高的值.
【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】基本不等式
設該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，
設四邊形ABCD對角線夾角為，
則
（當且僅當四邊形ABCD為正方形時等號成立）
即當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為
又設四棱錐的高為，則，
當且僅當即時等號成立.
故選：C
[方法二]：統(tǒng)一變量＋基本不等式
由題意可知，當四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設底面邊長為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高，

(當且僅當，即時，等號成立)
所以該四棱錐的體積最大時，其高.
故選：C．
[方法三]：利用導數(shù)求最值
由題意可知，當四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設底面邊長為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高，，令，，設，則，
，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，
所以當時，最大，此時．
故選：C.
【點評】方法一：思維嚴謹，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是該題的最優(yōu)解；
方法二：消元，實現(xiàn)變量統(tǒng)一，再利用基本不等式求最值；
方法三：消元，實現(xiàn)變量統(tǒng)一，利用導數(shù)求最值，是最值問題的常用解法，操作簡便，是通性通法．
3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.
【詳解】∵球的體積為，所以球的半徑,
[方法一]：導數(shù)法
設正四棱錐的底面邊長為，高為，
則，,
所以，
所以正四棱錐的體積，
所以，
當時，，當時，，
所以當時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，
又時，，時，,
所以正四棱錐的體積的最小值為，
所以該正四棱錐體積的取值范圍是.
故選：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以當且僅當取到，
當時，得，則
當時，球心在正四棱錐高線上，此時，
，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是
4．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且，則三棱錐的體積為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題可得為等腰直角三角形，得出外接圓的半徑，則可求得到平面的距離，進而求得體積.
【詳解】，為等腰直角三角形，，
則外接圓的半徑為，又球的半徑為1，
設到平面的距離為，
則，
所以.
故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查球內(nèi)幾何體問題，解題的關(guān)鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、球心到截面距離的勾股關(guān)系求解.
二、填空題
5．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知點均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，平面，則．
【答案】2
【分析】先用正弦定理求底面外接圓半徑，再結(jié)合直棱柱的外接球以及求的性質(zhì)運算求解.
【詳解】如圖，將三棱錐轉(zhuǎn)化為正三棱柱，
設的外接圓圓心為，半徑為，
則，可得，
設三棱錐的外接球球心為，連接，則，
因為，即，解得.
故答案為：2.
【點睛】方法點睛：多面體與球切、接問題的求解方法
（1）涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解；
（2）若球面上四點P、A、B、C構(gòu)成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，根據(jù)4R2＝a2＋b2＋c2求解；
（3）正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長；
（4）球和正方體的棱相切時，球的直徑為正方體的面對角線長；
（5）利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解．
【題型訓練2-刷模擬】
一、單選題
1．（2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考開學考試）邊長為1的正方體的外接球表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】正方體的對角線就是其外接球的直徑，代入對角線公式，即可求解.
【詳解】其外接球直徑，所以.
故選：B．
2．（2023秋·四川成都·高三樹德中學?？奸_學考試）已知四面體滿足，，，且該四面體的外接球的表面積是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】將將四面體放入長方體中，求出長方體的體對角線，進而得到外接球半徑，得到表面積.
【詳解】將四面體放入長方體中，如圖，
則四面體的外接球，即為長方體的外接球，
設長方體中，則，
三式相加得，故，
所以四面體的外接球半徑為，
故四面體的外接球表面積為.
故選：B
3．（2023·全國·高三專題練習）在直三棱柱中，，，則該直三棱柱的外接球的體積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】將直三棱柱放入長方體中，借助長方體的外接球求解.
【詳解】如圖所示，將直三棱柱補成長方體，則長方體的外接球即直三棱柱的外接球.
長方體的體對角線長為
設長方體的外接球的半徑為，則，得，
所以該直三棱柱的外接球的體積.
故選:C.

4．（2023秋·四川眉山·高三?？茧A段練習）已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設圓柱的底面半徑為，利用勾股定理求出，再根據(jù)圓柱的體積公式計算可得.
【詳解】設圓柱的底面半徑為，則，解得或（舍去），
所以圓柱的體積.
故選：C
5．（2023·河南鄭州·校聯(lián)考二模）如圖，在三棱錐中，，，平面平面ABC，則三棱錐外接球的表面積為（）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題意說明為等腰直角三角形，根據(jù)面面垂直性質(zhì)推出平面，進而結(jié)合球的幾何性質(zhì)，確定三棱錐外接球球心位置，求出外接球半徑，即可求得答案.
【詳解】由于，，故，
即為等腰直角三角形，
取AC的中點為M，連接，

因為，即為正三角形，故,
由于平面平面，平面平面，平面，
故平面，平面，故；
又M為的外心，
則三棱錐外接球的球心必在BM上，
設的中心為O，則O在BM上且，
而，
則，
即，
即O點即為三棱錐外接球的球心，
故外接球半徑為，所以外接球表面積為，
故選：B
【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵在于要能根據(jù)條件，結(jié)合球的幾何性質(zhì)，確定出三棱錐外接球球心的位置，進而求得半徑.
6．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考開學考試）已知是邊長為4的等邊三角形，將它沿中線折起得四面體，使得此時，則四面體的外接球表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可得平面，將四面體轉(zhuǎn)化為直三棱柱，四面體的外接球即為直三棱柱的外接球，結(jié)合直三棱柱的性質(zhì)求外接圓半徑.
【詳解】因為為等邊三角形，且為中線，則，
即，且平面，
可得平面，
設的外接圓圓心為，半徑為，
因為，由余弦定理可得，
且，則，所以，
將四面體轉(zhuǎn)化為直三棱柱，四面體的外接球即為直三棱柱的外接球，
設四面體的外接球的球心為，半徑為，
則，則，
所以四面體的外接球表面積為.
故選：D.
7．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）在三棱錐中，已知底面，，，則三棱錐外接球的體積為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設中點，中點，由直角三角形外接圓為斜邊中點，且由題意可知，所以底面，則為三棱錐外接球的球心，可解.
【詳解】設中點，中點，
由，，所以的外接圓直徑，
且圓心為，
由于底面，，所以底面，
則為三棱錐外接球的球心，
所以外接球的直徑，
所以外接球的體積．
故選：B

8．（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）在三棱錐中，，，，平面平面，若三棱錐的所有頂點都在球的表面上，則球的半徑為（）
A．B．3C．D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)三棱錐中線面關(guān)系可先確定球心點在上，再利用勾股定理求解即可.
【詳解】
取的中點為，連接，因為，，
所以，,
所以．
又因為平面平面，平面平面，
所以平面，又，則球心在直線上，
連接，設球的半徑為，則，
即有，得,
故選：B
9．（2023秋·陜西西安·高三校聯(lián)考開學考試）在三棱錐中，是邊長為3的等邊三角形，側(cè)棱平面，且，則三棱錐的外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】應用補體法，將三棱錐外接球問題轉(zhuǎn)化為三棱柱外接球問題，找到球心，求解半徑即可.
【詳解】由底面是邊長為3的等邊三角形，平面，
可得此三棱雉的外接球即以為底面，為高的正三棱柱的外接球.
設正三棱柱的上、下底面的中心分別為，，
則外接球的球心為的中點，
外接圓的半徑，
球心到下底面的距離，
所以球的半徑，
所以三棱錐外接球的表面積.
故選：A.

10．（2023春·四川綿陽·高三綿陽南山中學實驗學校?？茧A段練習）已知四棱錐的體積是，底面是正方形，是等邊三角形，平面平面，則四棱錐外接球表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】過點作于E，則PE為四棱錐的高，據(jù)此求出正方形棱長.再根據(jù)幾何關(guān)系找出外接球球心，根據(jù)勾股定理求出外接球半徑即可.
【詳解】
設正方形的邊長為，在等邊三角形中，過點作于E，
由于平面平面，∴平面．
由于是等邊三角形，則，
∴，解得．
設四棱錐外接球的半徑為，為正方形ABCD中心，為等邊三角形PAB中心，
O為四棱錐P－ABCD外接球球心，則易知為矩形，
則，，
，
∴外接球表面積．
故選：C．
11．（2023·江西南昌·南昌市八一中學校考三模）已知四棱錐的底面是矩形，高為，，，，，則四棱錐的外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出輔助線，求出平面外接圓半徑，再利用勾股定理求出外接球的半徑，即可求出球的表面積.
【詳解】如圖，在矩形中，連接對角線，記，則點為矩形的外接圓圓心，
取的中點，連接，記的外接圓圓心為，易知，且共線.
因為，平面，所以平面，
所以平面，平面，，，平面，
所以平面，所以，所以，易得，
所以由正弦定理得的外接圓半徑為，即.
過作平面，且，連接，由平面，
可知，則四邊形為矩形，所以，則平面.
根據(jù)球的性質(zhì)，可得點為四棱錐的外接球的球心，
因為，所以四棱錐的外接球的表面積為.

故選：C
12．（2023秋·陜西西安·高三校聯(lián)考開學考試）已知在三棱錐中，，，平面，則三棱錐的外接球表面積的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】通過補形的方法，求得外接球半徑的表達式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得半徑的最小值，進而求得外接球表面積的最小值.
【詳解】將三棱錐補成直三棱柱，如圖所示，設點，為上下底面的外心，
則分別是的中點，
點為直棱柱的外接球的球心，則為的中點，
為底面外接圓的半徑，設，，
所以，，
得外接球半徑，
當時，有最小值為，此時球的表面積為：.
故選：C

【點睛】求解幾何體外接球有關(guān)的問題，關(guān)鍵點在于找到球心的位置，然后計算出外接球的半徑.方法有直接法和補形法，直接法是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)來找到球心；補形法是補形成直棱柱、長方體（正方體）等幾何體，并根據(jù)這些幾何體的結(jié)構(gòu)找到球心并求得半徑.
13．（2023秋·湖南衡陽·高三衡陽市田家炳實驗中學?？茧A段練習）球O內(nèi)接三棱錐，平面，.若，球O表面積為.則三棱錐體積最大值為（）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】利用線面垂直的性質(zhì)有，，根據(jù)線面垂直的判定得面，進而易得都為直角三角形，找到外接球的球心為的中點，根據(jù)已知求球體半徑，結(jié)合和基本不等式求體積最大值.
【詳解】由平面，面，則，，
又，，面，所以面，
由面，故，
所以都為直角三角形，且為它們的斜邊，
所以的中點為棱錐外接球球心，如下圖示，即球體半徑，
由，則，即，而，
又，，即，
故，僅當取等號，
所以.
故選：B
14．（2023秋·四川成都·高三樹德中學?？奸_學考試）已知四面體ABCD滿足，，，且該四面體ABCD的外接球的球半徑為，四面體的內(nèi)切球的球半徑為，則的值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】將四面體補全為長方體，根據(jù)它們外接球相同求出外接球半徑，利用等體積法求內(nèi)切球半徑，即可得結(jié)果.
【詳解】由題設，可將四面體補全為如下長方體，長寬高分別為，

所以，四面體外接球即為長方體外接球，則半徑，
由題意，四面體的四個側(cè)面均為全等三角形，，為三角形內(nèi)角，
所以，則，
又，且，
所以，即，
綜上，.
故選：A
15．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）在三棱錐中，，平面ABC，，，則三棱錐外接球體積的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】將三棱錐可以補成長方體，從而得到為三棱錐的外接球的直徑，要想體積最小，則最小即可，設，表達出，從而得到，進而求出外接球體積的最小值.
【詳解】根據(jù)題意三棱錐可以補成分別以為長、寬、高的長方體，其中為長方體的對角線，
則三棱錐的外接球球心即為的中點，要使三棱錐的外接球的體積最小，則最小．
設，則，，，
所以當時，，則有三棱錐的外接球的球半徑最小為，
所以．
故選：A
16．（2023·河南·統(tǒng)考三模）如圖，該幾何體為兩個底面半徑為1，高為1的相同的圓錐形成的組合體，設它的體積為V1，它的內(nèi)切球的體積為V2，則（）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】軸截面四邊形的內(nèi)切圓的半徑即為該幾何體內(nèi)切球的半徑，求出半徑，再根據(jù)球的體積公式和圓錐的體積公式即可得解.
【詳解】如圖，四邊形為該幾何體的軸截面，
則四邊形的內(nèi)切圓的半徑即為該幾何體內(nèi)切球的半徑，
設內(nèi)切球的半徑為，
由，得，
則，
，
所以.
故選：D.

17．（2023·福建寧德·?？寄M預測）將一個半徑為2的球削成一個體積最大的圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的半徑為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】設圓錐的底面半徑為，則圓錐的高為，表示出圓錐的體積，換元后利用導數(shù)可求出體積的最大值，從而可求出圓錐的底面半徑和高，再求出母線長，作出圓錐的截面，然后利用三角形相似可求出圓錐內(nèi)切圓的半徑.
【詳解】設圓錐的底面半徑為，則圓錐的高為，
所以圓錐的體積，
令（），則，
所以，
則，
當時，，當時，，
所以在上遞增，在上遞減，
所以當，即時，圓錐的體積最大，此時圓錐的高為，母線長為，
設圓錐的內(nèi)切球半徑為，圓錐的截面如圖所示,
則，，，
因為∽，所以，，解得,
故選：D
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查圓錐的內(nèi)切球問題，解題的關(guān)鍵是表示出圓錐的體積，化簡后利用導數(shù)求出其最大值，從而可確定出圓的大小，考查空間想象能力和計算能力，屬于較難題.
18．（2023·全國·高三專題練習）已知四棱錐的各棱長均為2，則其內(nèi)切球表面積為（）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出四棱錐的表面積和體積，利用等體積法即可求出內(nèi)切圓半徑，從而得解.
【詳解】因為四棱錐的各棱長均為2，所以四棱錐是正四棱錐，
則，
過P作底面垂線，垂足為H，則，

所以，則，
故其內(nèi)切圓表面積為，
故選：B．
19．（2023·全國·高三專題練習）若一個正三棱柱存在外接球與內(nèi)切球，則它的外接球與內(nèi)切球體積之比為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設正三棱柱底面正三角形的邊長為a，由正三棱柱的結(jié)構(gòu)特征確定正三棱柱的高，再計算出其外接球的半徑，進而由體積公式求解即可.
【詳解】設正三棱柱底面正三角形的邊長為a，則正三棱柱的內(nèi)切球半徑等于正三角形的內(nèi)切圓半
徑，則內(nèi)切球的半徑，正三棱柱的高．
設正三角形的外接圓半徑為R，易得，
所以外接球的半徑．
所以它的外接球與內(nèi)切球體積之比為．
故選：C
20．（2023·湖北·統(tǒng)考二模）已知直三棱柱存在內(nèi)切球，若，則該三棱柱外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出直三棱柱的高后可求其外接球的半徑，從而可求外接球的表面積.
【詳解】因為，故，
故的內(nèi)切圓的半徑為.
因為直三棱柱存在內(nèi)切球，故直三棱柱的高即為內(nèi)切球的直徑.
而內(nèi)切球的半徑即為底面三角形內(nèi)切圓的半徑，故內(nèi)切球的半徑為1，
故直三棱柱的高為2.
將直三棱柱補成如圖所示的長方體，則外接球的直徑即為該長方體的體對角線，
故外接球的半徑為，
故外接球的的表面積為.
故選：D.
21．（2023春·貴州·高三校聯(lián)考期中）已知正三棱錐P—ABC的底面邊長為3，高為，則三棱錐P—ABC的內(nèi)切球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用條件求出的長，從而得出正三棱錐為正四面體，進而求出三棱錐的表面積，再利用等體法求出內(nèi)切球的半徑，即可得出結(jié)果.
【詳解】如圖，取棱AB的中點D，連接CD，作平面，垂足為H，則．由正三棱錐的性質(zhì)可知在上，且．
因為，所以，則．因為，所以，則三棱錐P—ABC的表面積，設三棱錐P—ABC的內(nèi)切球的半徑為r，則．解得，
從而三棱錐P—ABC的內(nèi)切球的表面積為．
故選：A.
22．（2023·全國·高三專題練習）已知圓臺的下底面半徑是上底面半徑的2倍，其內(nèi)切球的半徑為，則該圓臺的體積為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】畫出圓臺軸截面的平面圖，根據(jù)上下底面圓半徑的關(guān)系以及內(nèi)切球的半徑，可解得上底面半徑，下底面圓半徑為2，代入圓臺體積公式即可得其體積為.
【詳解】取圓臺的軸截面如下圖所示：
設上底面半徑，則下底面半徑，為軸截面的切點，
易知，，所以，圓臺高，
作，垂足為，則，，
在中，，即，解得；
所以圓臺上底面面積，下底面面積；
所以圓臺體積為.
故選：B
23．（2023·廣東深圳·高三深圳外國語學校?？茧A段練習）已知正三棱錐中，，其內(nèi)切球半徑為r，外接球半徑為，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設出邊長，找到外接球的球心位置，利用勾股定理得到方程，求出，再找到內(nèi)切球球心位置，利用三角形相似求出，得到答案.
【詳解】因為正三棱錐中，，不妨設，
由勾股定理得，故，
取中點，連接，
過點作⊥平面于點，則點落在上，且，
故，由勾股定理得，
由對稱性可知外接球的球心在上，連接，則，，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
設內(nèi)切球球心為，則在上，取的中點，連接，則切點在上，
且，由重心性質(zhì)可得，
因為，故，
因為∽，所以，即，解得，
故.
故選：A
【點睛】解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對于外切的問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個頂點的距離相等，解題時要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑.
24．（2023秋·浙江麗水·高三浙江省麗水中學校聯(lián)考期末）將菱形沿對角線折起，當四面體體積最大時，它的內(nèi)切球和外接球表面積之比為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】當平面平面時，四面體的高最大，并利用導函數(shù)討論體積的最大值，構(gòu)造長方體求外接球的半徑，利用等體積法求內(nèi)切球的半徑，進而可求解.
【詳解】不妨設菱形的邊長為，，，
外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為，
取中點為，連接，
因為，所以，
當平面平面時，平面平面，
平面，所以平面，
此時四面體的高最大為，
因為，所以
所以，
，
令解得，
令解得，
所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，
所以當時最大，最大體積為，
此時，
以四面體的頂點構(gòu)造長方體，長寬高為，
則有解得，所以，
所以外接球的表面積為，
又因為，
所以，
，
所以，
所以，
所以，所以內(nèi)切球的表面積為，
所以內(nèi)切球和外接球表面積之比為，
故選:C.
二、填空題
25．（2023·全國·高三專題練習）在矩形中，，，平面，，四棱錐的外接球的表面積為．
【答案】
【分析】利用補形法，結(jié)合長方體和球的幾何性質(zhì)、球的表面積公式進行求解即可.
【詳解】四棱錐可以補形為長方體，
則四棱錐的外接球的直徑為，
又，則四棱錐的外接球的半徑為1，
則四棱錐的外接球的表面積為.

故答案為：
26．（2023秋·四川眉山·高三?？奸_學考試）已知正三棱柱的底面邊長為6，三棱柱的高為，則該三棱柱的外接球的表面積為 .
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，求出三棱柱底面正三角形外接圓半徑，再求出球半徑即可計算作答.
【詳解】由正三棱柱的底面邊長為6，得底面所在平面截其外接球所成的圓O的半徑，如圖，

又由三棱柱的高為，則球心到圓O的圓心O的距離，
因此球半徑R滿足：，即有，
所以外接球的表面積
故答案為：
27．（2023秋·重慶·高三統(tǒng)考階段練習）正三棱錐底面邊長為為的中點，且，則正三棱錐外接球的體積為 .
【答案】
【分析】首先求得正三棱錐的側(cè)棱長和高，然后求得正三棱錐外接球的半徑，從而求得外接球的體積.
【詳解】設是正三棱錐底面三角形的中心，則平面，
且三點共線，，
設，
依題意，，，是中點，，
所以三角形和三角形是直角三角形，
所以，即.
由于平面，所以，
所以，
設正三棱錐外接球球心為，則三點共線，
設正三棱錐外接球半徑為，則，
即，解得，
所以外接球的體積為.
故答案為：

【點睛】求解正棱錐有關(guān)問題，要把握住正棱錐的性質(zhì)，如底面是正多邊形，定點在底面的射影是底面的中心等等.求解幾何體外接球有關(guān)問題，關(guān)鍵點是判斷出球心的位置以及計算出球的半徑.另外要注意看清題目是求球的表面積還是求體積.
28．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預測）在菱形ABCD中，，，AC與BD的交點為G，點M，N分別在線段AD，CD上，且，，將沿MN折疊到，使，則三棱錐的外接球的表面積為．
【答案】
【分析】設MN與BD的交點為H，連接，證明平面ABC，設的外接圓圓心為，的外接圓圓心為，過，分別作平面ABC，平面的垂線，設兩垂線交于點O，則O是三棱錐外接球的球心，先求出兩外接圓的半徑，再求出三棱錐的外接球的半徑即得解.
【詳解】如圖所示，因為，，
所以，設MN與BD的交點為H，連接，
因為，，所以，
則，，所以，
又，則，則，
又，，平面ABC，
所以平面ABC，
設的外接圓圓心為，的外接圓圓心為，
過，分別作平面ABC，平面的垂線，
設兩垂線交于點O，則O是三棱錐外接球的球心，
且四邊形為矩形，
設的外接圓半徑為，在中，由，解得，
同理可得的外接圓半徑，所以，
設三棱錐的外接球半徑為R，
則，
則三棱錐的外接球的表面積.
故答案為：．

【點睛】方法點睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：
①補形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ停梢赃€原到正方體或長方體中去求解；
②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；
③定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點距離也是半徑，列關(guān)系求解即可；
④坐標法：建立空間直角坐標系，設出外接球球心的坐標，根據(jù)球心到各頂點的距離相等建立方程組，求出球心坐標，利用空間中兩點間的距離公式可求得球的半徑.
29．（2023秋·河北秦皇島·高三校聯(lián)考開學考試）三棱錐中，在底面的射影為的內(nèi)心，若，，則四面體的外接球表面積為 .
【答案】
【分析】根據(jù)三棱錐的幾何特征可知內(nèi)切圓半徑為，所以可得四面體外接球球心為在平面射影為中點，根據(jù)勾股定理找出等量關(guān)系可解得外接球半徑，即可求出結(jié)果.
【詳解】三棱錐底面為直角三角形，為內(nèi)心，

由，可得，
以為坐標原點，分別為軸建立平面直角坐標系，如下圖所示：

設內(nèi)切圓半徑，易知的周長為，面積為；
由等面積可得，解得；
設四面體外接球球心為，
所以易知在平面射影為中點，易知，則，
設，
則，
且，即，
解得，
則四面體的外接球表面積為.
故答案為：
【點睛】方法點睛：求解幾何體外接球半徑問題時，一般是根據(jù)幾何體特征找出外接球球心位置再利用等量關(guān)系解出半徑即可求出結(jié)果.
30．（2023秋·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開學考試）在中，，，將繞著邊BC逆時針旋轉(zhuǎn)后得到，則三棱錐的外接球的表面積為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意分析可得三棱錐的外接球的球心O在過點G且與平面ABC垂直的直線上，結(jié)合直角三角形求三棱錐的外接球的半徑，進而可得結(jié)果.
【詳解】如圖所示，取BC的中點E，連接AE，DE，則有，
由于與的外心G與F分別在AE與DE上，
則三棱錐的外接球的球心O在過點G且與平面ABC垂直的直線上，
由對稱性可知：，則，
設，則，
在中，則，
即，解得，則，，
又在中，由，可得，
設三棱錐的外接球的半徑為，
在中，，
所以三棱錐的外接球的表面積.
故答案為：.

31．（2023春·江西南昌·高三南昌市八一中學校考階段練習）四棱錐中，底面為菱形，底面，，若，，則三棱錐的外接球表面積為 .
【答案】
【分析】根據(jù)四棱錐的數(shù)據(jù)得到三棱錐的棱長數(shù)據(jù)和位置關(guān)系，然后利用直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半的性質(zhì)確定球心，從而得出表面積.
【詳解】∵平面，平面，∴，
又，，∴，
取中點分別為,連接,
由于,平面,所以平面,
因為底面為菱形，所以，，且，
所以,即是三角形外接圓的圓心，因此球心在直線上，
又,所以,因此可得為球心，
又，
∴.
故答案為：.
32．（2023·四川綿陽·綿陽南山中學實驗學校?？寄M預測）在邊長為2的正方形中，分別為線段，的中點，連接，將分別沿折起，使三點重合，得到三棱錐，則該三棱錐外接球的表面積為 .

【答案】
【分析】由題意可知兩兩垂直，所以將三棱錐補成一個長方體，則長方體的體對角線就是三棱錐的外接球的直徑，求出體對角線的長，則可求出外接球的表面積.
【詳解】由題意可知兩兩垂直，且，
將三棱錐補成一個長方體，如圖所示，
則長方體的體對角線就是三棱錐的外接球的直徑，設外接球的半徑為，
，得，
所以三棱錐外接球的表面積為，
故答案為：

33．（2023秋·河南周口·高三校聯(lián)考階段練習）已知一個圓臺內(nèi)切球的半徑為，圓臺的表面積為，則這個圓臺的體積為 .
【答案】
【分析】根據(jù)圓臺與球的性質(zhì)結(jié)合圓臺的表面積、體積公式計算即可.
【詳解】設內(nèi)切球的半徑為，圓臺上、下底面圓半徑分別為，，則圓臺的高，
如圖為圓臺的軸截面圖形，可得母線長，
故，
故.

故答案為：
34．（2023·全國·高三專題練習）已知圓錐的底面半徑為2，高為，則該圓錐的內(nèi)切球表面積為 .
【答案】
【分析】作出內(nèi)切球的軸截面，再根據(jù)幾何關(guān)系求解即可.
【詳解】如圖，作出該圓錐與其內(nèi)切球的軸截面圖形，

設該內(nèi)切球的球心為，內(nèi)切球的半徑為，為切點，
所以，，
由已知得，，
所以，在中，，即，解得，
所以，該圓錐的內(nèi)切球表面積為
故答案為：.
35．（2023·全國·高三專題練習）已知三棱錐的所有棱長都相等，現(xiàn)沿三條側(cè)棱剪開，將其表面展開成一個平面圖形，若這個平面圖形外接圓的半徑為，則三棱錐的內(nèi)切球的體積為
【答案】
【詳解】試題分析：三棱錐展開后為一等邊三角形，設此此三角形的邊長為．則，得．所以三棱錐的棱長為，可得棱長的高設內(nèi)切球的半徑為，，得，所以 .
考點：1.空間幾何的性質(zhì)；2.球的體積公式.
36．（2023·湖南長沙·雅禮中學?？寄M預測）如圖，四邊形為平行四邊形，，，，現(xiàn)將沿直線翻折，得到三棱錐，若，則三棱錐的內(nèi)切球表面積為．

【答案】
【分析】根據(jù)題意利用余弦定理求得，由此三棱錐的對棱相等，故此三棱錐的三組對棱是一個長方體的六個面的對角線，利用等體積法求出內(nèi)切球半徑，運算求解即可.
【詳解】中，，，，
由余弦定理得，
則折成的三棱錐中，，
即此三棱錐的對棱相等，故此三棱錐的三組對棱是一個長方體的六個面的對角線，

設長方體從同一個頂點出發(fā)的三條棱長分別為，
則，解得，
又因為三棱錐是長方體切掉四個角的余下部分，
故三棱維的體積為，
又三棱錐四個側(cè)面是全等的，
故三棱錐的表面積為，
設內(nèi)切球半徑為，以內(nèi)切球球心為頂點，把三棱錐分割為以球心為頂點，四個面為底面的的四個小三棱錐，四個小三棱錐體積等于大三棱錐的體積，
故，故內(nèi)切球表面積為.
故答案為：
37．（2023·全國·高三專題練習）已知菱形ABCD的邊長為1，，將沿AC翻折，當三棱錐表面積最大時，其內(nèi)切球表面積為 .
【答案】
【分析】求內(nèi)切球的表面積，只需根據(jù)等體積法求出內(nèi)切球的半徑即可求解.
【詳解】
因為菱形的四條邊相等，對角線互相垂直
三棱錐中，面與面的面積是確定的，所以要使三棱錐表面積最大，則需要面與面最大即可，而且；
，當時，取得最大值.
過點向平面作垂線，設的中點為垂足為，

因為，，所以由余弦定理知，
所以，易得.
所以.
因為，
設內(nèi)切球的半徑為，則根據(jù)等體積法，有：
，
即，解之得，
所以其內(nèi)切球的表面積為
故答案為：
38．（2023·全國·河南省實驗中學?？寄M預測）已知四棱錐的各個頂點都在同一個球面上．若該球的體積為，則該四棱錐體積的最大值是．
【答案】
【分析】根據(jù)球的體積求出半徑，再判斷出體積最大時為正四棱錐，根據(jù)直角三角形中勾股定理求出正四棱錐底面邊長和高的關(guān)系，表示出正四棱錐的體積，通過導數(shù)求得其最大值.
【詳解】球的體積,球的半徑
要使該四棱錐體積最大，如圖四棱錐，對于底面所在的小圓中，頂點到該小圓面距離最大，也就是高最大，即點位于小圓圓心與球心所在直線與球面的交點（遠離小圓圓心的那點）；同時要使四棱錐體積最大，底面四邊形面積取最大，
（其中為與的夾角）
所以當、取最大即小圓的直徑，取最大為1時，即時，底面四邊形面積最大，也就是四邊形為正方形時，其面積最大，因此當四棱錐為正四棱錐時，其體積最大.

設，高，
則,在Rt中，,即，
所以正四棱錐的體積
，故當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以時，函數(shù)取得最大值
故答案為：.

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