考點(diǎn)一 求弧長 考點(diǎn)二 求扇形的面積
考點(diǎn)三 求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積 考點(diǎn)四 求不規(guī)則圖形的面積
考點(diǎn)五 求圓錐的側(cè)面積、底面半徑、展開圖的圓心角 考點(diǎn)六 求圓錐側(cè)面的最短路徑問題
典型例題

考點(diǎn)一 求弧長
例題：（2022·河北唐山·九年級期末）如圖，將⊙O沿弦AB折疊，恰好經(jīng)過圓心O，若⊙O的半徑為3，則的長為（ ）

A．B．C．D．
【變式訓(xùn)練】
1．（2021·四川樂山·三模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，則的長為（ ）
A．πB．πC．πD．π
2．（2022·河南安陽·九年級期末）如圖，在扇形OAB中，，則的長為______cm．
考點(diǎn)二 求扇形的面積
例題：（2022·甘肅蘭州·中考真題）如圖1是一塊弘揚(yáng)“社會主義核心價值觀”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所示，它是以O(shè)為圓心，OA，OB長分別為半徑，圓心角形成的扇面，若，，則陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·九年級期末）如圖，在? ABCD中，∠D＝60°，對角線AC⊥BC，⊙O經(jīng)過點(diǎn)A，B，與AC交于點(diǎn)M，連接AO并延長與⊙O交于點(diǎn)F，與CB的延長線交于點(diǎn)E，AB＝EB．
(1)求證：EC是⊙O的切線；
(2)若AD＝2，求扇形OAM的面積（結(jié)果保留π）．
2．（2022·湖南益陽·中考真題）如圖，C是圓O被直徑AB分成的半圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)C的圓O的切線交AB的延長線于點(diǎn)P，連接CA，CO，CB．
(1)求證：∠ACO＝∠BCP；
(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度數(shù)；
(3)在（2）的條件下，若AB＝4，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π和根號）．
考點(diǎn)三 求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積
例題：（2022·廣西河池·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，，，，將繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到．在此旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為( )
A．25π+24B．5π+24C．25πD．5π
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·河北邯鄲·九年級期末）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△A'B'C，已知AC=3，BC=2，則=__________；線段AB掃過的圖形（陰影部分）的面積為__________．
2．（2022·山東·招遠(yuǎn)市教學(xué)研究室一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊△ABC的頂點(diǎn)A在y軸的正半軸上，B(﹣5，0)，C(5，0)，點(diǎn)D(11，0)，將△ACD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABE，則線段CD轉(zhuǎn)過區(qū)域的面積為________．
考點(diǎn)四 求不規(guī)則圖形的面積
例題：（2022·海南省直轄縣級單位·九年級期末）如圖，在矩形ABCD中，AC為對角線，，，以B為圓心，AB長為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，則陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·河南安陽·九年級期末）如圖，AB是半圓O的直徑，且AB=10，點(diǎn)P為半圓上一點(diǎn)．將此半圓沿AP所在的直線折疊，若恰好弧AP過圓心O，則圖中陰影部分的面積是______．（結(jié)果保留π）
2．（2022·河南信陽·九年級期末）如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在邊上，交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為______．
考點(diǎn)五 求圓錐的側(cè)面積、底面半徑、展開圖的圓心角
例題：（2022·山東濟(jì)寧·中考真題）已知圓錐的母線長8cm，底面圓的直徑6cm，則這個圓錐的側(cè)面積是（ ）
A．96πcm2B．48πcm2C．33πcm2D．24πcm2
【變式訓(xùn)練】
1．（2021·廣東·廣州市黃埔區(qū)華實(shí)初級中學(xué)二模）如圖，圓錐的母線長l為10cm，側(cè)面積為50πcm2，則圓錐的底面圓半徑r＝___cm．
2．（2022·黑龍江牡丹江·九年級期末）一個圓錐的底面周長是6cm，母線長是6cm，則圓錐側(cè)面積展開圖的扇形圓心角是_______．
考點(diǎn)六 求圓錐側(cè)面的最短路徑問題
例題：（2022·河南三門峽·九年級期末）如圖，有圓錐形糧堆，其正視圖是邊長為6的正三角形，糧堆母線的中點(diǎn)P處有一老鼠正在偷吃糧食，此時，小貓正在處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)P處，捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過的最短路程是（ ）
A．3B．C．D．4
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·湖北武漢·九年級期末）如圖，已知圓錐的母線AB長為40 cm，底面半徑OB長為10 cm，若將繩子一端固定在點(diǎn)B，繞圓錐側(cè)面一周，另一端與點(diǎn)B重合，則這根繩子的最短長度是______________．
2．（2021·江蘇省鹽城中學(xué)新洋分校九年級階段練習(xí)）如圖是一個圓錐與其側(cè)面展開圖，已知圓錐的底面半徑是1，母線長是4．
（1）求這個圓錐的側(cè)面展開圖中∠ABC的度數(shù)．
（2）如果A是底面圓周上一點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，繞圓錐側(cè)面一圈再回到A點(diǎn)，求這只螞蟻爬過的最短距離．
課后訓(xùn)練
一、選擇題
1．（2022·遼寧大連·九年級期末）在半徑為6的圓中，120°的圓心角所對的弧長是（ ）
A．3πB．4πC．6πD．12π
2．（2022·云南紅河·九年級期末）用一個圓心角為，半徑為6的扇形做一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面圓的面積為（ ）．
A．B．C．D．
3．（2021·浙江金華·九年級階段練習(xí)）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，若將△ABC繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△，則 的長為（ ）
A．B．C．7D．6
4．（2022·江蘇泰州·九年級期末）如圖，△ABC中，AB=2，將△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AB1C1，AB1恰好經(jīng)過點(diǎn)C．則陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
5．（2022·遼寧大連·九年級期末）圓錐的底面半徑為40cm，母線長80cm，則它的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為 _____．
6．（2021·寧夏銀川·一模）已知圓錐的底面半徑長為5，側(cè)面展開后所得的扇形的圓心角為120°，則該圓錐的母線長等于_______．
7．（2022·云南紅河·九年級期末）如圖，在半徑為3的⊙O中，A、B、C都是圓上的點(diǎn)，∠ABC=60°，則的長為__________．
8．（2022·山東棗莊·中考真題）在活動課上，“雄鷹組”用含30°角的直角三角尺設(shè)計風(fēng)車．如圖，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，將直角三角尺繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，使點(diǎn)C′落在AB邊上，以此方法做下去……則B點(diǎn)通過一次旋轉(zhuǎn)至B′所經(jīng)過的路徑長為 _____．（結(jié)果保留π）
三、解答題
9．（2022·江蘇宿遷·九年級期末）一塊四邊形余料如圖所示，已知，米，米，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與相切于點(diǎn)，交于點(diǎn)，用扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，求這個圓錐底面圓的半徑．
10．（2022·江蘇揚(yáng)州·九年級期末）如圖，直線l經(jīng)過⊙O上一點(diǎn)C，點(diǎn)A、B在直線l上，且OA＝OB，CA＝CB．
(1)直線l與⊙O相切嗎？請說明理由；
(2)若OC＝AC，⊙l的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．
11．（2022·江蘇·九年級）如圖，已知扇形AOB的圓心角為120°，半徑OA為9cm．
(1)求扇形AOB的弧長和扇形面積；
(2)若把扇形紙片AOB卷成一個圓錐形無底紙帽，求這個紙帽的高OH．
12．（2022·湖南長沙·九年級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D是AB延長線上的一點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°．
(1)求證：CD是⊙O的切線；
(2)若AC=12，求AD的長；
(3)若⊙O的半徑為3，求圖中陰影部分的面積．
13．（2022·湖南長沙·九年級期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點(diǎn)A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2），請在網(wǎng)格圖中進(jìn)行如下操作：
(1)若該圓弧所在圓的圓心為D，則D點(diǎn)坐標(biāo)為 ；
(2)連接AD、CD，則⊙D的半徑長為 （結(jié)果保留根號），∠ADC的度數(shù)為 ；
(3)若扇形ADC是一個圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面圓的周長為 ．（結(jié)果保留根號）
14．（2021·廣東湛江·九年級期末）如圖，以△ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓，經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，且與BC邊交于點(diǎn)E，DO⊥BE于點(diǎn)O，連接AD交BC于F，若AC=FC．
(1)求證：AC是⊙O的切線：
(2)若BF=8，DF=，求⊙O的半徑；
(3)若∠ADB=60°，BD=1，求陰影部分的面積．（結(jié)果保留根號）
專題08 弧長、扇形的面積與圓錐的側(cè)面積壓軸題六種模型全攻略
考點(diǎn)一 求弧長 考點(diǎn)二 求扇形的面積
考點(diǎn)三 求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積 考點(diǎn)四 求不規(guī)則圖形的面積
考點(diǎn)五 求圓錐的側(cè)面積、底面半徑、展開圖的圓心角 考點(diǎn)六 求圓錐側(cè)面的最短路徑問題
典型例題

考點(diǎn)一 求弧長
例題：（2022·河北唐山·九年級期末）如圖，將⊙O沿弦AB折疊，恰好經(jīng)過圓心O，若⊙O的半徑為3，則的長為（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】連接OA、OB，作OC⊥AB于C，根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到OC=OA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理求出∠AOB，根據(jù)弧長公式計算即可．
【詳解】解：連接OA、OB，作OC⊥AB于C，
由題意得，OC=OA，
∴∠OAC=30°，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAC=30°，
∴∠AOB=120°，
∴劣的長==2π，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是弧長的計算、直角三角形的性質(zhì)、翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2021·四川樂山·三模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，則的長為（ ）
A．πB．πC．πD．π
【答案】B
【分析】直接利用等腰三角形的性質(zhì)得出∠A的度數(shù)，再利用圓周角定理得出∠BOC的度數(shù)，再利用弧長公式求出答案．
【詳解】解：∵∠OCA＝50°，OA＝OC，
∴∠A＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°，
∵AB＝4，
∴BO＝2，
∴的長為：π．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了弧長公式應(yīng)用以及圓周角定理，正確得出∠BOC的度數(shù)是解題關(guān)鍵．
2．（2022·河南安陽·九年級期末）如圖，在扇形OAB中，，則的長為______cm．
【答案】##
【分析】利用弧長公式，代入數(shù)值計算即可．
【詳解】解：由題意得的長＝＝(cm)，
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題考查了弧長，熟練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)二 求扇形的面積
例題：（2022·甘肅蘭州·中考真題）如圖1是一塊弘揚(yáng)“社會主義核心價值觀”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所示，它是以O(shè)為圓心，OA，OB長分別為半徑，圓心角形成的扇面，若，，則陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)S陰影=S扇形AOD-S扇形BOC求解即可．
【詳解】解：S陰影=S扇形AOD-S扇形BOC
=
=
=
=2.25π（m2）
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積，不規(guī)則圖形面積，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·九年級期末）如圖，在? ABCD中，∠D＝60°，對角線AC⊥BC，⊙O經(jīng)過點(diǎn)A，B，與AC交于點(diǎn)M，連接AO并延長與⊙O交于點(diǎn)F，與CB的延長線交于點(diǎn)E，AB＝EB．
(1)求證：EC是⊙O的切線；
(2)若AD＝2，求扇形OAM的面積（結(jié)果保留π）．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接OB，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠D＝60°，求得∠E=∠BAE=30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)得到∠ABO＝∠OAB＝30°，然后說明∠OBC=90°即可證明結(jié)論；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到BC＝AD＝2，過O作OH⊥AM于H，則四邊形OBCH是矩形，然后再說明△AOM是等邊三角形，即∠AOM＝60°；最后根據(jù)扇形的面積公式求解即可．
（1）證明：連接OB∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠ABC=∠D=60°∴∠ABE=120°∵AB=EB∴∠E=∠BAE=30°∵OA=OB∴∠ABO=∠OAB=30°∴∠OBC=30°+60°= 90°∴OB⊥CE∵OB是半徑 ∴EC是⊙O的切線．
（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴BC=AD=2過O作OH⊥AM于H則四邊形OBCH是矩形∴OH=BC=2，OH∥EC∴∠AOH=∠E=30°∴AH=2，AM=4，OA=4，∠OAH=60°∵OA=OM，∠OAH=60°∴△AOM是等邊三角形 ∴∠AOM＝60°∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定、直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、扇形面積計算等知識點(diǎn)，正確的作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．
2．（2022·湖南益陽·中考真題）如圖，C是圓O被直徑AB分成的半圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)C的圓O的切線交AB的延長線于點(diǎn)P，連接CA，CO，CB．
(1)求證：∠ACO＝∠BCP；
(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度數(shù)；
(3)在（2）的條件下，若AB＝4，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π和根號）．
【答案】(1)見解析
(2)30°
(3)2π﹣2
【分析】（1）由AB是半圓O的直徑，CP是半圓O的切線，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP；
（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，從而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度數(shù)是30°；
（3）∠A＝30°，可得BC＝AB＝2，AC＝BC，即得S△ABC，再利用陰影部分的面積等于半圓減去S△ABC即可解題．
（1）∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵CP是半圓O的切線，∴∠OCP＝90°，∴∠ACB＝∠OCP，∴∠ACO＝∠BCP；
（2）由（1）知∠ACO＝∠BCP，∵∠ABC＝2∠BCP，∴∠ABC＝2∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∴∠ABC＝2∠A，∵∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，∴∠ACO＝∠BCP＝30°，∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，答：∠P的度數(shù)是30°；
（3）由（2）知∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，∴S△ABC＝BC?AC＝×2×2＝2，∴陰影部分的面積是﹣2＝2π﹣2，答：陰影部分的面積是2π﹣2．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，涉及圓的切線性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)及應(yīng)用等知識，題目難度不大．
考點(diǎn)三 求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積
例題：（2022·廣西河池·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，，，，將繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到．在此旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為( )
A．25π+24B．5π+24C．25πD．5π
【答案】A
【分析】根據(jù)勾股定理定理求出AB，然后根據(jù)扇形的面積和三角形的面積公式求解．
【詳解】解：∵，，，
∴，
∴所掃過的面積為．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，扇形的面積的計算，勾股定理，熟練掌握扇形的面積公式是解答的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·河北邯鄲·九年級期末）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△A'B'C，已知AC=3，BC=2，則=__________；線段AB掃過的圖形（陰影部分）的面積為__________．
【答案】 ##
【分析】根據(jù)弧長公式可求得的長；根據(jù)圖形可以得出AB掃過的圖形的面積=S扇形ACA′+S△ABC-S扇形BCB′-S△A′B′C，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就可以得出S△ABC=S△A′B′C就可以得出AB掃過的圖形的面積=S扇形ACA′-S扇形BCB′求出其值即可．
【詳解】解：∵△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)120°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴S△ABC=S△A′B′C，∠BCB′=∠ACA′=120°．
∴的長為:2π；
∵AB掃過的圖形的面積=S扇形ACA′+S△ABC-S扇形BCB′-S△A′B′C，
∴AB掃過的圖形的面積=S扇形ACA′-S扇形BCB′，
∴AB掃過的圖形的面積= ．
故答案為：2π；．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，弧長公式以及扇形的面積公式的運(yùn)用，解答時根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．
2．（2022·山東·招遠(yuǎn)市教學(xué)研究室一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊△ABC的頂點(diǎn)A在y軸的正半軸上，B(﹣5，0)，C(5，0)，點(diǎn)D(11，0)，將△ACD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABE，則線段CD轉(zhuǎn)過區(qū)域的面積為________．
【答案】
【分析】先判斷出OB＝OC＝5，根據(jù)勾股定理可得OA和AD的長，根據(jù)△ACD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABE，可得∠DAE＝60°，AE＝AD；再利用扇形面積公式即可求出結(jié)果．
【詳解】解：∵B（?5，0），C（5，0），
∴OB＝OC＝5，AB＝AC＝BC＝10，
∴，
∵D（11，0），
∴OD＝11，
∴AD2＝AO2＋OD2＝75＋121＝196，
∵△ACD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD＝，
∴圖中陰影部分面積＝S扇形DAE?S扇形BAC


故答案為：16π
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計算，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形變化?旋轉(zhuǎn)，熟記扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)四 求不規(guī)則圖形的面積
例題：（2022·海南省直轄縣級單位·九年級期末）如圖，在矩形ABCD中，AC為對角線，，，以B為圓心，AB長為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，則陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】連接BM，過M作MH⊥BC于H，由∠ACB=30°得到∠BAC=60°，求得△ABM是等邊三角形，得到∠ABM=60°，推出∠MBN=30°，根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得到結(jié)論．
【詳解】解：連接BM，過M作MH⊥BC于H，
在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
∵AB=1，∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°，AC=2AB=2，BC=，
∵BA=BM，
∴△ABM是等邊三角形，
∴∠ABM=60°，
∴∠MBN=30°，
∴MH=BM=，
∴S陰=S△BCM-S扇形BMN==，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的計算，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形的面積公式等知識，明確S陰=S△BCM-S扇形BMN是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·河南安陽·九年級期末）如圖，AB是半圓O的直徑，且AB=10，點(diǎn)P為半圓上一點(diǎn)．將此半圓沿AP所在的直線折疊，若恰好弧AP過圓心O，則圖中陰影部分的面積是______．（結(jié)果保留π）
【答案】
【分析】過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，交弧AP于點(diǎn)E，則可判斷點(diǎn)O是弧AOP的中點(diǎn)，由折疊的性質(zhì)可得OD=DE=R=，在Rt△OBD中求出∠OAD=30°，繼而得出∠AOC，求出扇形AOC的面積即可得出陰影部分的面積．
【詳解】解：過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，交弧AP于點(diǎn)E，連接OP，
則點(diǎn)E是弧AEP的中點(diǎn)，由折疊的性質(zhì)可得點(diǎn)O為弧AOP的中點(diǎn)，
∴S弓形AO=S弓形PO，
在Rt△AOD中，OA=OB=R=5，OD=DE=R=，
∴∠OAD=30°，
∴∠BOP=60°，
∴S陰影=S扇形BOP==π．
故答案為：π．
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計算，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，判斷點(diǎn)O是弧AOP的中點(diǎn)，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積．
2．（2022·河南信陽·九年級期末）如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在邊上，交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為______．
【答案】
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得，，再由勾股定理可得，再證得為等邊三角形，可得，，進(jìn)而得到，，再根據(jù)陰影部分的面積等于，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：，，
在中，，，，
∴AB=2BC=4，，
∴， ，
∴為等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴陰影部分的面積等于．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求扇形面積，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，根據(jù)題意得到陰影部分的面積等于是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)五 求圓錐的側(cè)面積、底面半徑、展開圖的圓心角
例題：（2022·山東濟(jì)寧·中考真題）已知圓錐的母線長8cm，底面圓的直徑6cm，則這個圓錐的側(cè)面積是（ ）
A．96πcm2B．48πcm2C．33πcm2D．24πcm2
【答案】D
【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積=×底面周長×母線長計算即可求解．
【詳解】解：底面直徑為6cm，則底面周長=6π，
側(cè)面面積=×6π×8=24πcm2．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的計算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓錐的側(cè)面積=×底面周長×母線長．
【變式訓(xùn)練】
1．（2021·廣東·廣州市黃埔區(qū)華實(shí)初級中學(xué)二模）如圖，圓錐的母線長l為10cm，側(cè)面積為50πcm2，則圓錐的底面圓半徑r＝___cm．
【答案】5
【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積和圓錐的母線長求得圓錐的弧長，利用圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長等于圓錐的底面周長求得圓錐的底面半徑即可．
【詳解】解：∵圓錐的母線長是10cm，側(cè)面積是50πcm2，
∴圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長為：l10π（cm），
∵圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長等于圓錐的底面周長，
∴r5（cm），
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計算，解題的關(guān)鍵是正確地進(jìn)行圓錐與扇形的轉(zhuǎn)化．
2．（2022·黑龍江牡丹江·九年級期末）一個圓錐的底面周長是6cm，母線長是6cm，則圓錐側(cè)面積展開圖的扇形圓心角是_______．
【答案】
【分析】先用圓錐的底面周長得到圓錐的側(cè)面扇形的弧長，然后再利用弧長公式求得側(cè)面展開扇形的圓心角的度數(shù)即可．
【詳解】解：∵圓錐的底面圓的周長是6cm，
∴圓錐的側(cè)面扇形的弧長為6πcm，
，解得：．
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查弧長的計算，掌握弧長公式成為解答本題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)六 求圓錐側(cè)面的最短路徑問題
例題：（2022·河南三門峽·九年級期末）如圖，有圓錐形糧堆，其正視圖是邊長為6的正三角形，糧堆母線的中點(diǎn)P處有一老鼠正在偷吃糧食，此時，小貓正在處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)P處，捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過的最短路程是（ ）
A．3B．C．D．4
【答案】B
【分析】求這只小貓經(jīng)過的最短距離的問題首先應(yīng)轉(zhuǎn)化為圓錐的側(cè)面展開圖的問題，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的距離的問題．根據(jù)圓錐的軸截面是邊長為的等邊三角形可知，展開圖是半徑是6的半圓．點(diǎn)是半圓的一個端點(diǎn)，而點(diǎn)是平分半圓的半徑的中點(diǎn)，根據(jù)勾股定理就可求出兩點(diǎn)和在展開圖中的距離，就是這只小貓經(jīng)過的最短距離．
【詳解】解：圓錐的底面周長是，則，
，即圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是180度．
則在圓錐側(cè)面展開圖中，，度．
在圓錐側(cè)面展開圖中．
故小貓經(jīng)過的最短距離是．故選：．

【點(diǎn)睛】本題考查的是平面展開最短路線問題，根據(jù)題意畫出圓錐的側(cè)面展開圖，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·湖北武漢·九年級期末）如圖，已知圓錐的母線AB長為40 cm，底面半徑OB長為10 cm，若將繩子一端固定在點(diǎn)B，繞圓錐側(cè)面一周，另一端與點(diǎn)B重合，則這根繩子的最短長度是______________．
【答案】cm
【分析】根據(jù)底面圓的周長等于扇形的弧長求解扇形的圓心角 再利用勾股定理求解即可.
【詳解】解：圓錐的側(cè)面展開圖如圖所示：
設(shè)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為n°， 圓錐底面圓周長為
則n=90，
∵

即這根繩子的最短長度是cm，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是圓錐的側(cè)面展開圖，弧長的計算，掌握“圓錐的底面圓的周長等于展開圖的弧長求解圓心角”是解本題的關(guān)鍵.
2．（2021·江蘇省鹽城中學(xué)新洋分校九年級階段練習(xí)）如圖是一個圓錐與其側(cè)面展開圖，已知圓錐的底面半徑是1，母線長是4．
（1）求這個圓錐的側(cè)面展開圖中∠ABC的度數(shù)．
（2）如果A是底面圓周上一點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，繞圓錐側(cè)面一圈再回到A點(diǎn)，求這只螞蟻爬過的最短距離．
【答案】（1）90°；（2）4
【分析】（1）利用側(cè)面展開圖是以4為半徑，2π為弧長的扇形，由弧長公式求圓心角，進(jìn)而即可求解；
（2）在側(cè)面展開圖中，由兩點(diǎn)之間線段最短得螞蟻爬行的最短距離為AC的距離，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：（1）設(shè)∠ABC的度數(shù)為n，底面圓的周長等于2π×1＝，解得n＝90°；
（2）連接AC，過B作BD⊥AC于D，則∠ABD＝45°．
∴是等腰直角三角形，
∵AB＝4，
∴AD＝BD＝4÷=2，
∴AC＝2AD＝4，
即這只螞蟻爬過的最短距離4．
【點(diǎn)睛】此題考查了圓錐的側(cè)面展開圖弧長的計算；得到圓錐的底面圓的周長和扇形弧長相等是解決本題的關(guān)鍵．
課后訓(xùn)練
一、選擇題
1．（2022·遼寧大連·九年級期末）在半徑為6的圓中，120°的圓心角所對的弧長是（ ）
A．3πB．4πC．6πD．12π
【答案】B
【分析】根據(jù)弧長的公式l進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：根據(jù)弧長的公式l，
得到：l4π．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了弧長的計算，熟記弧長公式即可解答該題，屬于容易題．
2．（2022·云南紅河·九年級期末）用一個圓心角為，半徑為6的扇形做一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面圓的面積為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】易得扇形的弧長，除以2π即為圓錐的底面半徑，從而可以計算面積．
【詳解】解：扇形的弧長=，
∴圓錐的底面半徑為4π÷2π=2．
∴面積為：4π，
故選：D．
【點(diǎn)睛】考查了扇形的弧長公式；圓的周長公式；用到的知識點(diǎn)為：圓錐的弧長等于底面周長．
3．（2021·浙江金華·九年級階段練習(xí)）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，若將△ABC繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△，則 的長為（ ）
A．B．C．7D．6
【答案】A
【分析】利用格點(diǎn)可知∠BAB′＝45°，再利用弧長公式，可求出弧的長．
【詳解】解：根據(jù)圖示知，∠BAB′＝45°，
弧的長l＝．
故答案為：A．
【點(diǎn)睛】本題考查弧長的計算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用格點(diǎn)得出∠BAB′＝45°是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·江蘇泰州·九年級期末）如圖，△ABC中，AB=2，將△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AB1C1，AB1恰好經(jīng)過點(diǎn)C．則陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，由此可得，根據(jù)扇形面積公式即可得出結(jié)論．
【詳解】由旋轉(zhuǎn)得：∠B1AB＝60°，
∵，
∴＝＝．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及扇形的面積公式，解決本題的的關(guān)鍵根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出陰影部分的面積等于扇形的面積．
二、填空題
5．（2022·遼寧大連·九年級期末）圓錐的底面半徑為40cm，母線長80cm，則它的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為 _____．
【答案】##180度
【分析】根據(jù)圓錐的底面半徑求得圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長，再利用已知的母線長求得圓錐的側(cè)面展開扇形的面積，再利用扇形的另一種面積的計算方法求得圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角即可．
【詳解】解：∵圓錐的底面半徑是40cm，
∴圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長為：2πr=80π，
∵母線長80cm，
∴圓錐的側(cè)面展開扇形的面積為：
解得：n=180．
故答案為：180°．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的有關(guān)計算，解決此類題目的關(guān)鍵是明確圓錐的側(cè)面展開圖與圓錐的關(guān)系．
6．（2021·寧夏銀川·一模）已知圓錐的底面半徑長為5，側(cè)面展開后所得的扇形的圓心角為120°，則該圓錐的母線長等于_______．
【答案】15
【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長等于圓錐底面周長可得．
【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長為R，
由題意得，
解得：R=15．
故答案為：15．
【點(diǎn)睛】主要考查了圓錐側(cè)面展開扇形與底面圓之間的關(guān)系，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．本題就是把的扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關(guān)系，列方程求解．
7．（2022·云南紅河·九年級期末）如圖，在半徑為3的⊙O中，A、B、C都是圓上的點(diǎn)，∠ABC=60°，則的長為__________．
【答案】2π
【分析】連接OA，OC，根據(jù)圓周角定理可得∠AOC=2∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)弧長計算公式進(jìn)行計算即可得出答案．
【詳解】解：連接OA，OC，
∵∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°．
∴的長=
故答案為：2π．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧長的計算及圓周角定理，熟練掌握弧長的計算方法及圓周角定理進(jìn)行計算是解決本題的關(guān)鍵．
8．（2022·山東棗莊·中考真題）在活動課上，“雄鷹組”用含30°角的直角三角尺設(shè)計風(fēng)車．如圖，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，將直角三角尺繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，使點(diǎn)C′落在AB邊上，以此方法做下去……則B點(diǎn)通過一次旋轉(zhuǎn)至B′所經(jīng)過的路徑長為 _____．（結(jié)果保留π）
【答案】
【分析】根據(jù)題意，點(diǎn)B所經(jīng)過的路徑是圓弧，根據(jù)直角三角形30°角所對的邊等于斜邊的一半，易知AB=4，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠BAB′＝∠BAC＝60°，，最后求出圓弧的長度即可．
【詳解】∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，∠BAB′＝∠BAC＝60°，
∴B點(diǎn)通過一次旋轉(zhuǎn)至B′所經(jīng)過的路徑長為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形30°角所對的邊等于斜邊的一半，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及圓弧的求法，熟練地掌握相關(guān)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
9．（2022·江蘇宿遷·九年級期末）一塊四邊形余料如圖所示，已知，米，米，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與相切于點(diǎn)，交于點(diǎn)，用扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，求這個圓錐底面圓的半徑．
【答案】
【分析】連接AE，利用勾股定理得AE=BE，由此即可求出∠ABE的度數(shù)，再先求出扇形的圓心角∠DAB的度數(shù)，再由弧長公式求出弧長，此弧長就是所得圓錐的底面圓的周長，由圓的周長公式即可求得所得圓錐的底面半徑．
【詳解】如圖，連接，

∵AD為半徑的圓與BC相切于點(diǎn)E，
∴AE⊥BC，AE=AD=2．
在Rt△AEB中，∵AB=，AE=2，
∴AE=BE=2，
∴∠ABE=45°．
∴是等腰直角三角形，，
設(shè)圓錐底面半徑為，
由題意得，
解得．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、圓錐的計算，解題的關(guān)鍵是掌握所涉及的知識要點(diǎn)，并能夠靈活運(yùn)用．
10．（2022·江蘇揚(yáng)州·九年級期末）如圖，直線l經(jīng)過⊙O上一點(diǎn)C，點(diǎn)A、B在直線l上，且OA＝OB，CA＝CB．
(1)直線l與⊙O相切嗎？請說明理由；
(2)若OC＝AC，⊙l的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．
【答案】(1)相切，理由見解析
(2)4-π
【分析】（1）連接OC，證明△AOC≌△BOC，得到∠OCA=∠OCB=90°，根據(jù)切線的判定定理即可證明；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC=BC=2，求得AC=OC=BC=AB，再分別計算△AOB的面積和扇形的面積，相減可得結(jié)果．
(1)
解：相切，理由：如圖，連接OC，
在△AOC≌△BOC中，
，
∴△AOC≌△BOC（SSS），
∴∠OCA=∠OCB=90°，
∵OC是⊙O的半徑，
∴直線AB與⊙O相切；
(2)
∵△AOC≌△BOC，OC=AC=2，
∴AC=BC=2，
∴AC=OC=BC=AB，
∴∠AOB=90°，
∴△AOB的面積為×2×4=4，扇形面積為：=π，
∴陰影部分的面積=△AOB的面積-扇形面積=4-π．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，扇形面積的計算，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
11．（2022·江蘇·九年級）如圖，已知扇形AOB的圓心角為120°，半徑OA為9cm．
(1)求扇形AOB的弧長和扇形面積；
(2)若把扇形紙片AOB卷成一個圓錐形無底紙帽，求這個紙帽的高OH．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)弧長公式和扇形面積公式求解即可；
（2）先求出底面圓的半徑，然后利用勾股定理求解即可．
(1)
解：由題意得扇形AOB的弧長，；
(2)
解：如圖所示，AH為底面圓的半徑，OA為母線長，
由題意可得，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求扇形面積，求弧長，求圓錐的高，勾股定理等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握弧長公式和扇形面積公式．
12．（2022·湖南長沙·九年級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D是AB延長線上的一點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°．
(1)求證：CD是⊙O的切線；
(2)若AC=12，求AD的長；
(3)若⊙O的半徑為3，求圖中陰影部分的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)
【分析】（1）連接OC，AC=CD，∠ACD=120°得∠A=∠D=30°，根據(jù)圓周角定理求得∠COD=2∠A=60°，則∠OCD=90°，可證得CD是⊙O的切線；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=OA=r，由∠OCD=90°，∠D=30°得OD=2OC=2r，在Rt△DOC中根據(jù)勾股定理列方程求出r的值，即可求出AD的長；
（3）在Rt△DOC中根據(jù)勾股定理列方程求出CD的長，而∠COB=60°，由S陰影=S△COD-S扇形COB求出圖中陰影部分的面積即可．
(1)
證明：連接OC．
∵AC=CD，∠ACD=120°，
∴∠A=∠D=30°．
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°．
∴∠OCD=∠ACD-∠ACO=90°．即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線．
(2)
解：如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=OA=r，
∵∠OCD=90°，∠D=30°，
∴OD=2OC=2r，
∵，且CD=AC=12，
∴，解得或（不符合題意，舍去），
∴，，
∴．
(3)
如圖，∵⊙O的半徑為3，
∴OC=3，
∵∠OCD=90°，∠D=30°，
∴OD=2OC=6，
∴，
∵∠COB=60°，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定、圓周角定理、含30°角的直角三角形、勾股定理、扇形面積的計算等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
13．（2022·湖南長沙·九年級期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點(diǎn)A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2），請在網(wǎng)格圖中進(jìn)行如下操作：
(1)若該圓弧所在圓的圓心為D，則D點(diǎn)坐標(biāo)為 ；
(2)連接AD、CD，則⊙D的半徑長為 （結(jié)果保留根號），∠ADC的度數(shù)為 ；
(3)若扇形ADC是一個圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面圓的周長為 ．（結(jié)果保留根號）
【答案】(1)（2，0）；
(2)；90°；
(3)．
【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出D點(diǎn)位置，結(jié)合圖形得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）利用點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合勾股定理得出⊙D的半徑長，根據(jù)勾股定理的逆定理∠ADC的度數(shù)；
（3）利用圓錐的底面圓的周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長即可得出答案．
(1)
解：分別作AB、BC的垂直平分線，兩直線交于點(diǎn)D，
則點(diǎn)D即為該圓弧所在圓的圓心，
由圖形可知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0），
故答案為：（2，0）；
(2)
解：圓D的半徑長=，
AC=，
∴AD2+CD2=20+20=40=AC2，
∴∠ADC=90°，
故答案為：；90°；
(3)
解：由題意可得，該圓錐的底面圓的周長為：
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是圓錐的計算、勾股定理及其逆定理，掌握弧長公式、正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
14．（2021·廣東湛江·九年級期末）如圖，以△ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓，經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，且與BC邊交于點(diǎn)E，DO⊥BE于點(diǎn)O，連接AD交BC于F，若AC=FC．
(1)求證：AC是⊙O的切線：
(2)若BF=8，DF=，求⊙O的半徑；
(3)若∠ADB=60°，BD=1，求陰影部分的面積．（結(jié)果保留根號）
【答案】(1)見解析
(2)6
(3)
【分析】（1）連接OA．由，可得．由，可得．由，可得，所以．結(jié)合，，，可得．
所以，即AC是的切線．
（2）設(shè)的半徑為r，所以．由，可得．在中，由勾股定理得，結(jié)合，可得，解得或（不符合題意舍），故的半徑為6．
（3）由于，，在，由勾股定理得，解得，所以的半徑為．由，可得．可求出．由于，可得．所以在中，．由，可得．即可求出：，．故．
（1）證明：連接OA，，即AC是的切線．
（2）解：設(shè)的半徑為r在中，由勾股定理得解得：或（不符合題意舍）故的半徑為6．
（3）解：，，在，由勾股定理得解得即的半徑為在中，．，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查知識點(diǎn)為：切線的判定、圓的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形，扇形的面積公式．證明切線的輔助線，一般為連接圓心和切點(diǎn)，在證明垂直．求陰影部分面積，思路是用我們已知得幾何圖形面積來表示陰影部分面積．熟練掌握切線的判定、圓的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形，扇形的面積公式，是解決本題的關(guān)鍵．

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