考點一 兩角對應相等，兩個三角形相似 考點二 兩邊成比例且夾角相等，兩個三角形相似
考點三 三邊對應成比例，兩個三角形相似 考點四 補充條件使兩個三角形相似
典型例題

考點一 兩角對應相等，兩個三角形相似
1．（2022·山東·濟南市天橋區(qū)濼口實驗學校九年級階段練習）如圖，在△ABP和△CDP中，∠B=∠C=，點P在BC上，且∠APD=，證明：△ABP△PCD．
2．（2022·湖南婁底·九年級期末）如圖，在中，D為延長線上一點，，過點D作，交延長線于點E．求證：．
3．（2022·全國·九年級專題練習）已知：如圖，在正方形ABCD中，P是BC上的點，Q是CD上的點，且AQ⊥PQ，△ADQ與△QCP是否相似？并證明你的結論．
4．（2022·山東·濟南世紀英華實驗學校九年級階段練習）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC邊上一點，E為AC邊上一點，且∠ADE=∠B．
(1)求證：△ABD∽△DCE；
(2)若AC=12，BC=11，CE=2，求BD的長.
5．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，在中，，于點．
（1）求證：；
（2）若點是邊上一點，連接交于，交邊于點，求證：．
6．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在中，，是邊上的中線，垂直平分，分別交，于，，連接，．
(1)求證：．
(2)當，時，求線段的長．
7．（2022·江蘇南京·九年級期末）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，且AB＝AC，四邊形ABCD是平行四邊形，邊CD與⊙O交于點E，連接AE．
(1)求證△ABC∽△ADE；
(2)求證：AD是⊙O的切線．
8．（2022·江蘇·南京市第一中學一模）如圖，在正方形ABCD中，E是BD上一點，過B、C、E三點的⊙O與CD相交于點F，連接AE、BF．
(1)求證：△ADE∽△BDF；
(2)當BE＝AB時，求證：直線AE是⊙O的切線．
9．（2021·浙江省常山育才中學九年級期中）【問題提出】已知有兩個Rt△ABC和Rt△A'B′C'，其中∠C＝∠C′＝90°，∠A＝60°，∠A′＝45°．
（1）如圖1，作線段CD，C′D′，分別交AB于點D，交A'B′于點D′，使得∠BCD＝45°，∠B'C′D'＝30°，問△BCD與△B'C′D'，△ACD與△A′C′D′是否相似？并選擇其中相似的一對三角形，說明理由．
（2）如圖2，作線段AD，B'D′，分別交BC于點D，交A'C'于點D，若△ACD與△B′C′D′、△ABD與△A′B'D'均相似，求∠CAD，∠C'B'D′的度數．
【拓展思考】已知任意兩個不相似的直角三角形，能否分別作一條直線對其進行分割，使其中一個三角形所分割得到的兩個三角形與另一個三角形所分割得到的兩個三角形分別對應相似？如果可以，請直接畫出一種分割示意圖；如果不能，請說明理由．
考點二 兩邊成比例且夾角相等，兩個三角形相似
1．（2022·全國·九年級課時練習）已知：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′．求證：△ABC∽△A′B′C′．
2．（2022·全國·九年級專題練習）已知，如圖，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D為BC邊上一點，BD＝2．求證：△ABD∽△CBA．
3．（2021·湖南永州·九年級期中）如圖，在△ABC中，點D是AB上一點，且AD＝1，AB＝3，．
求證：△ACD∽△ABC．
4．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，是等邊三角形，D、E在BC所在的直線上，且．求證：．
5．（2022·廣東·深圳市福田區(qū)彩田學校九年級階段練習）如圖，在△ABC中，AC=BC，在邊AB上截取AD=AC，連接CD，若點D恰好是線段AB的一個黃金分割點，且有AD>BD．
(1)求證：△ABC與△BCD相似：
(2)求∠A的度數
6．（2021·山東·章丘雙語學校九年級階段練習）如圖，已知AB∥DC，點E、F在線段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF．
（1）求證：△ABE∽△CDF．
（2）若BD＝8，DF＝2，求EF的長．
7．（2021·全國·九年級專題練習）如圖所示，△ABC中，BD⊥AC于點D，CE⊥AB于點E，BD與CE相交于點F．
（1）求證：△BEF∽△CDF；
（2）求證：DE·BF＝EF·BC．
8．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上．
（1）填空：∠ABC＝ °，BC＝ ；
（2）判斷△ABC和△DEF是否相似，并證明你的結論．
9．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖，在矩形ABCD中，點E是邊CD上任意一點（點E與點C、D不重合），過點A作AF⊥AE，交邊CB的延長線于點F，聯結EF交邊AB于點G，連接AC．
(1)求證：△AEF∽△DAC；
(2)如果FE平分∠AFB，聯結CG，求證：四邊形AGCE為菱形．
考點三 三邊對應成比例，兩個三角形相似
1．（2021·江蘇·九年級專題練習）如圖，與相似嗎？為什么？
2．（2022·全國·九年級專題練習）根據下列條件，判斷與是否相似，并說明理由：
(1)，，，，，；
(2)，，，，，．
3．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在和中，、分別是、上一點，，當時，求證：．
4．（2021·河南南陽·九年級期中）如圖，設網格中每個小正方形的邊長均為1．點、、和、、都在正方形的頂點上．求證：．
5．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，△ABC與△DEF在5×7的長方形網格中，它們的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點位置，試判斷△ABC與△DEF是否相似，并說明理由．
考點四 補充條件使兩個三角形相似
1．（2021·云南楚雄·九年級期中）如圖，E、D是△ABC的邊AB、AC上一點，請?zhí)砑右粋€條件__________使得△ABC與△ADE相似．
2．（2022·黑龍江·肇源縣第四中學八年級期中）在△ABC和△DEF中，AB=6，BC=8，DE=4，∠B=∠E，當EF=_________時，△ABC與△DEF相似.
3．（2020·北京延慶·九年級期中）如圖，在△ABC中，D是邊AC上的一點，連接BD，請你再添加一個條件_____，使得△ABD∽△ACB．
4．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，已知＝，若使△ABC∽△ADE成立_____（只添一種即可）．
5．（2022·黑龍江齊齊哈爾·九年級期末）如圖，在中，是線段上的一點（不與點，重合），連接．請?zhí)砑右粋€條件使與相似，這個條件可以是___________（寫出一個即可）．
6．（2022·湖南·新化縣東方文武學校九年級期末）如圖，AB、CD相交于點O，添加一個條件 ___，可以使△AOD與△BOC相似．
7．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，∠1＝∠2，請補充一個條件：________________，使△ABC∽△ADE．
8．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，在與中，，點在上，若只添加一個條件便能判定，則添加的條件是____．
9．（2021·江蘇·蘇州市平江中學校八年級階段練習）如圖，在中，，點P是邊的中點，點Q是邊上一個動點，當_______時，與相似．
10．（2021·江蘇·九年級專題練習）如圖，、是以為直徑的半圓上任意兩點，連接、、，與相交于點，要使與相似，可以添加的一個條件是___________（填正確結論的序號）．
①；②；③；④．
專題08 兩個三角形相似的判定壓軸題四種模型全攻略
考點一 兩角對應相等，兩個三角形相似 考點二 兩邊成比例且夾角相等，兩個三角形相似
考點三 三邊對應成比例，兩個三角形相似 考點四 補充條件使兩個三角形相似
典型例題

考點一 兩角對應相等，兩個三角形相似
1．（2022·山東·濟南市天橋區(qū)濼口實驗學校九年級階段練習）如圖，在△ABP和△CDP中，∠B=∠C=，點P在BC上，且∠APD=，證明：△ABP△PCD．
【答案】證明見解析
【分析】根據∠APD=，∠B=，可以推出∠BAP=∠CPD，再證明相似即可．
【詳解】證明：∵∠APD=，∠B=∠C=
∴∠BAP+∠APB=∠APB+∠CPD=
∴∠BAP=∠CPD
又∵∠B=∠C
∴△ABP△PCD．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題關鍵．
2．（2022·湖南婁底·九年級期末）如圖，在中，D為延長線上一點，，過點D作，交延長線于點E．求證：．
【答案】見解析
【分析】根據兩直線平行內錯角相等，相似三角形的判定：兩組對應角分別相等的兩個三角形相似；即可證明；
【詳解】證明∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴．
【點睛】本題考查了平行線的性質，相似三角形的判定；掌握相似三角形的判定方法是解題關鍵．
3．（2022·全國·九年級專題練習）已知：如圖，在正方形ABCD中，P是BC上的點，Q是CD上的點，且AQ⊥PQ，△ADQ與△QCP是否相似？并證明你的結論．
【答案】相似，見解析
【分析】在所要求證的兩個三角形中，已知的等量條件為：∠D＝∠C＝90°，若證明兩三角形相似，再得出∠DAQ＝∠PQC即可．
【詳解】解：相似，證明如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠C＝90°，
∴∠DAQ+∠AQD＝90°
∵AQ⊥PQ，
∴∠AQP＝90°，
∴∠AQD+∠PQC＝90°，
∴∠DAQ＝∠PQC，
∴△ADQ∽△QCP．
【點睛】本題主要考查了正方形的性質，相似三角形的判定，垂直的定義，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相似三角形的判定條件．
4．（2022·山東·濟南世紀英華實驗學校九年級階段練習）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC邊上一點，E為AC邊上一點，且∠ADE=∠B．
(1)求證：△ABD∽△DCE；
(2)若AC=12，BC=11，CE=2，求BD的長.
【答案】(1)見解析
(2)3或8
【分析】（1）由AB=AC，可證得△ABD∽△DCE；
（2）由（1）根據相似三角形的對應邊成比例，求得△ABC的邊長．
（1）
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵∠ADC=∠B+∠BAD
∠ADC=∠ADE+∠CDE
∵∠ADE=∠B
∴∠BAD=∠CDE
∴△ABD∽△CDE
（2）
∵AB=AC，AC=12
∴AB=12
由（1）知，△ABD∽△CDE
∴=
即=
∴BD=3或8
【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是根據兩角相等，兩三角形相似的判定定理證明即可．
5．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，在中，，于點．
（1）求證：；
（2）若點是邊上一點，連接交于，交邊于點，求證：．
【答案】（1）見解析；（2）見解析．
【分析】（1）由得，利用同角的余角相等推出即可；
（2）兩次用同角的余角相等推出和即可．
【詳解】（1）證明：，
，，
，
，
，
；
（2）證明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點睛】本題考查三角形相似判定問題 ，掌握三角形相似的判定定理，靈活運用三角形相似的判定定理證明相似是解題關鍵．
6．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在中，，是邊上的中線，垂直平分，分別交，于，，連接，．
(1)求證：．
(2)當，時，求線段的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）如圖（見解析），先根據線段垂直平分線的性質可得，，，再根據三角形全等的判定定理證出，根據全等三角形的性質可得，從而可得，然后根據相似三角形的判定即可得證；
（2）如圖（見解析），延長至，使，連接，，先根據線段垂直平分線的判定與性質可得，再根據三角形全等的判定定理證出，根據全等三角形的性質可得，，然后根據平行線的判定與性質可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
（1）
證明：∵垂直平分，
∴，，，
在和中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，，
∴．
（2）
解：如圖，延長至，使，連接，．
則垂直平分，
，
是邊上的中線，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定、三角形全等的判定定理與性質、線段垂直平分線的判定與性質等知識點，較難的是題（2），構造全等三角形和直角三角形是解題關鍵．
7．（2022·江蘇南京·九年級期末）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，且AB＝AC，四邊形ABCD是平行四邊形，邊CD與⊙O交于點E，連接AE．
(1)求證△ABC∽△ADE；
(2)求證：AD是⊙O的切線．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據四邊形ABCD是平行四邊形，可得∠B＝∠D．再根據圓內接四邊形的性質，可得∠B＝∠AED．再由AB＝AC，可得∠ACB＝∠AED．即可求證；
（2）連接AO并延長，交BC于點M，連接OB、OC．根據AB＝AC，OB＝OC，可得AM垂直平分BC．從而得到∠DAO＝90°．即可求證．
（1）
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B＝∠D．
∵四邊形ABCE為⊙O的內接四邊形，
∴∠B+∠AEC＝180°．
∵∠AED+∠AEC＝180°．
∴∠B＝∠AED．
∵AB＝AC，
∴AB＝∠ACB
∴∠ACB＝∠AED．
∴△ABC∽△ADE．
（2）
解：如圖，連接AO并延長，交BC于點M，連接OB、OC．
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴AM垂直平分BC．
∴∠AMC＝90°．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC．
∴∠DAO＝90°．
∵點A在⊙O上，
∴AD是⊙O的切線．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定，切線的判定等知識，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．
8．（2022·江蘇·南京市第一中學一模）如圖，在正方形ABCD中，E是BD上一點，過B、C、E三點的⊙O與CD相交于點F，連接AE、BF．
(1)求證：△ADE∽△BDF；
(2)當BE＝AB時，求證：直線AE是⊙O的切線．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）先利用SAS證明△ADE≌△CDE，推出∠DAE=∠DCE，再根據圓周角定理得到∠DBF=∠DCE，推出∠DAE=∠DBF，即可證明ΔADE∽ΔBDF；
（2）先證明BF是⊙O的直徑，再證明∠BAE+∠DAE=∠BEA+∠OEB=90°，即∠OEA=90°，即可證明直線AE是⊙O的切線．
(1)
證明：連接CE，
∵四邊形ABCD是正方形，且BD是對角線，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDE=45°，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE(SAS) ，
∴∠DAE=∠DCE，
∵B、E、F、C四點共圓，
∴∠FBE=∠FCE，即∠DBF=∠DCE，
∴∠DAE=∠DBF，
又∵∠ADE=∠BDF=45°，
∴ΔADE∽ΔBDF；
(2)
證明：連接OE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCF=∠BAD=90°，
∴BF是⊙O的直徑，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵∠DAE=∠DBF，
∴∠DAE=∠OEB，
∵BE=AB，
∴∠BAE=∠BEA，
∴∠BAE+∠DAE=∠BEA+∠OEB=90°，即∠OEA=90°，
又OE是⊙O的半徑，
∴直線AE是⊙O的切線．
【點睛】本題考查了切線的判定，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性質，圓周角定理，熟記各圖形的性質并準確識圖是解題的關鍵．
9．（2021·浙江省常山育才中學九年級期中）【問題提出】已知有兩個Rt△ABC和Rt△A'B′C'，其中∠C＝∠C′＝90°，∠A＝60°，∠A′＝45°．
（1）如圖1，作線段CD，C′D′，分別交AB于點D，交A'B′于點D′，使得∠BCD＝45°，∠B'C′D'＝30°，問△BCD與△B'C′D'，△ACD與△A′C′D′是否相似？并選擇其中相似的一對三角形，說明理由．
（2）如圖2，作線段AD，B'D′，分別交BC于點D，交A'C'于點D，若△ACD與△B′C′D′、△ABD與△A′B'D'均相似，求∠CAD，∠C'B'D′的度數．
【拓展思考】已知任意兩個不相似的直角三角形，能否分別作一條直線對其進行分割，使其中一個三角形所分割得到的兩個三角形與另一個三角形所分割得到的兩個三角形分別對應相似？如果可以，請直接畫出一種分割示意圖；如果不能，請說明理由．
【答案】（1）相似，見詳解；（2）∠CAD=∠C′B′D′=15°；【拓展思考】可以，理由見詳解.
【分析】（1）由題意可知如圖1中，△BCD與△B′C′D′、△ACD與△A′C′D′相似，理由同上；
（2）由題意可知如圖2中，當∠CAD=∠C′B′D′=15°時，△ACD與△B′C′D′、△ABD與△A′B′D′均相似；
【拓展思考】根據題意運用材料的方法結合相似三角形的判定進行分析即可.
【詳解】解：（1）如圖1中，△BCD與△B′C′D′、△ACD與△A′C′D′相似，理由如下．
∵∠A=∠A′C′D′=60°，∠ACD=∠A′=45°，
∴△ACD∽△C′A′D′，
∵∠B=∠B′C′D′，∠BCD=∠B′，
∴△BCD∽△C′B′D′．
（2）如圖2中，當∠CAD=∠C′B′D′=15°時，△ACD與△B′C′D′、△ABD與△A′B′D′均相似．
理由：∵∠C=∠C′=90°，∠CAD=∠C′B′D′=15°，
∴△ACD∽△B′C′D′，
∵∠B=∠A′B′D′=30°，∠DAB=∠A′=45°，
∴△BAD∽△B′A′D′．
拓展思考:可以，如下圖，
設,
作交AB于D，作交 A′B′于D′．則△ACD∽△C′A′D′，△BCD∽△C′B′D′．
理由：∵∠A=∠A′C′D′=，∠ACD=∠A′=，
∴△ACD∽△C′A′D′，
∵，，
∴△BCD∽△C′B′D′．
【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質、直角三角形的性質，解題的關鍵是靈活運用相似三角形的判定方法，學會取特殊角解決問題．
考點二 兩邊成比例且夾角相等，兩個三角形相似
1．（2022·全國·九年級課時練習）已知：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′．求證：△ABC∽△A′B′C′．
【答案】證明見解析
【分析】在△ABC的邊AB上截取AD=A′B′，過點D作BC的平行線，交AC于點E，可證△ADE∽△ABC；再證△ADE≌△A′B′C′即可．
【詳解】證明：在△ABC的邊AB上截取AD=A′B′，過點D作BC的平行線，交AC于點E，
則∠ADE=∠B，△ADE∽△ABC．
∵∠A=∠A′，∠ADE=∠B=∠B′，AD=A′B′，
∴△ADE≌△A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′
【點睛】本題考查了相似三角形的判定定理的證明，解題關鍵是通過作輔助線，構建全等三角形進行證明．
2．（2022·全國·九年級專題練習）已知，如圖，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D為BC邊上一點，BD＝2．求證：△ABD∽△CBA．
【答案】見解析；
【分析】由AB＝4，BC＝8，BD＝2可知，再由∠ABD＝∠CBA可得△ABD∽△CBA；
【詳解】證明：∵AB＝4，BC＝8，BD＝2，
∴，
又∵∠ABD＝∠CBA，
∴△ABD∽△CBA．
【點睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解決本題的關鍵．
3．（2021·湖南永州·九年級期中）如圖，在△ABC中，點D是AB上一點，且AD＝1，AB＝3，．
求證：△ACD∽△ABC．
【答案】見解析
【分析】首先利用已知得出，進而利用相似三角形的判定方法得出即可．
【詳解】證明：AD＝1，AB＝3，AC＝
，

又
∽
【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定，正確把握相似三角形的判定方法是解題關鍵．
4．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，是等邊三角形，D、E在BC所在的直線上，且．求證：．
【答案】見解析
【分析】先由等邊三角形的性質推出∠ABD=∠ECA，再由，得到，即可推出△ABD∽△ECA．
【詳解】解；∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴180°-∠ABC=180°-∠ACB，
∴∠ABD=∠ECA，
又∵，
∴，
∴△ABD∽△ECA．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，等邊三角形的性質，熟知相似三角形的判定條件是解題的關鍵．
5．（2022·廣東·深圳市福田區(qū)彩田學校九年級階段練習）如圖，在△ABC中，AC=BC，在邊AB上截取AD=AC，連接CD，若點D恰好是線段AB的一個黃金分割點，且有AD>BD．
(1)求證：△ABC與△BCD相似：
(2)求∠A的度數
【答案】(1)證明過程見解析
(2)
【分析】（1）根據點D恰好是線段AB的一個黃金分割點，且有AD>BD，可知AD：AB=BD：AD，根據題目給的條件可以推出BD：BC=BC：BA，結合∠B=∠B，即可證明出相似．
（2）根據第一問的相似得到∠BCD=∠A，通過推角，在中用內角和為，即可得到答案．
（1）
證明：∵AC= BC
∴∠A=∠B
∵AD=AC
∴AD=BC
∵點D恰好是線段AB的一個黃金分割點，且有AD>BD
∴AD：AB=BD：AD
∴BD：BC=BC：BA
∵∠B=∠B
∴△BDC△BCA
（2）
解：∵△BDC△BCA
∴∠BCD=∠A
∴∠BCD=∠B
∵∠ADC是△BDC的外角
∴∠ADC=∠B+∠BCD=2∠B=2∠A
∵AD=AC
∴∠ACD=∠ADC=2∠A
∵∠A+∠ADC+∠ACD=
∴∠A+2∠A+2∠A=
∴∠A=
∴∠A的度數為
【點睛】本題考查了三角形相似的性質與判定，黃金分割點的定義．使用黃金分割點推出三角形兩邊成比例是解題關鍵．
6．（2021·山東·章丘雙語學校九年級階段練習）如圖，已知AB∥DC，點E、F在線段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF．
（1）求證：△ABE∽△CDF．
（2）若BD＝8，DF＝2，求EF的長．
【答案】（1）見解析；（2）EF＝2．
【分析】（1）根據AB∥DC，可得∠B＝∠D，再由AB＝2DC，BE＝2DF，可得AB：DC＝BE：DF＝2，即可證得；
（2）根據BE＝2DF，可得 ，即可求解．
【詳解】（1）證明：∵AB∥DC，
∴∠B＝∠D，
∵AB＝2DC，BE＝2DF，
∴AB：DC＝BE：DF＝2，
∴△ABE∽△CDF；
（2）解：∵BE＝2DF，DF＝2，
∴ ,
∵BD＝8，
∴EF＝BD﹣DF﹣BE＝2．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似是解題的關鍵．
7．（2021·全國·九年級專題練習）如圖所示，△ABC中，BD⊥AC于點D，CE⊥AB于點E，BD與CE相交于點F．
（1）求證：△BEF∽△CDF；
（2）求證：DE·BF＝EF·BC．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】（1）由垂直的定義可得，且，即可證；
（2）可證點，點，點，點四點共圓，可得，，可證，可得，即可得結論．
【詳解】證明：證明：（1），，
，且，
；
（2）如圖，連接，
，
點，點，點，點四點共圓，
，，
，
，
【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，熟練運用相似三角形的判定是本題的關鍵．
8．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上．
（1）填空：∠ABC＝ °，BC＝ ；
（2）判斷△ABC和△DEF是否相似，并證明你的結論．
【答案】（1），；（2），證明見解析
【分析】（1）先在Rt△BCG中根據等腰直角三角形的性質求出∠GBC的度數，再根據∠ABC=∠GBC+∠ABG即可得出∠ABC的度數；在Rt△BGC中利用勾股定理即可求出BC的長．
（2）利用格點三角形的知識求出AB，BC及DE，EF的長度，繼而可作出判斷．
【詳解】解：（1）∵△BCG是等腰直角三角形，
∴∠GBC=45°，
∵∠ABG=90°，
∴∠ABC=∠GBC+∠ABG=90°+45°=135°；
∵在Rt△BGC中，BG=2，CG=2，
∴；
故答案為：，；
（2）解：相似．理由如下：
∵，，
∴，
∴
又∵
∴．
【點睛】此題主要考查學生對勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此題的關鍵是認真觀察圖形，得出兩個三角形角和角，邊和邊的關系．
9．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖，在矩形ABCD中，點E是邊CD上任意一點（點E與點C、D不重合），過點A作AF⊥AE，交邊CB的延長線于點F，聯結EF交邊AB于點G，連接AC．
(1)求證：△AEF∽△DAC；
(2)如果FE平分∠AFB，聯結CG，求證：四邊形AGCE為菱形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據矩形的性質可得ABCD，AB＝DC，∠BCD＝∠DAB＝∠ABC＝∠D＝90°，根據垂直定義可得∠FAE＝90°，從而可得∠BAF＝∠DAE，進而可得△ABF∽△ADE，然后利用相似三角形的性質可得＝，再利用兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似證明，即可解答；
（2）根據角平分線的定義可得∠AFE＝∠CFE，從而證明△AFE≌△CFE，進而可得AF＝CF，AE＝EC，然后再證△AFG≌△CFG，從而可得∠FAG＝∠FCG，再結合（1）的結論可得∠DAE＝∠FCG，最后利用等角的余角相等可得∠DCG＝∠AED，從而可得AE∥CG，進而利用菱形的判定方法即可解答．
（1）
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝DC，∠BCD＝∠DAB＝∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABF＝180°﹣∠ABC＝90°，
∵AE⊥AF，
∴∠FAE＝90°，
∴∠FAE﹣∠BAE＝∠DAB﹣∠BAE，
∴∠BAF＝∠DAE，
∵∠D＝∠ABF＝90°，
∴△ABF∽△ADE，
∴＝，
∴＝，
∵∠D＝∠FAE＝90°，
∴△AEF∽△DAC；
（2）
如圖：
∵FE平分∠AFB，
∴∠AFE＝∠CFE，
∵∠FAE＝∠BCD＝90°，EF＝EF，
∴△AFE≌△CFE（AAS），
∴AF＝CF，AE＝EC，
∵FG＝FG，
∴△AFG≌△CFG（SAS），
∴∠FAG＝∠FCG，
∵∠BAF＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠FCG，
∵∠DAE＋∠AED＝90°，∠BCG＋∠DCG＝90°，
∴∠DCG＝∠AED，
∴AECG，
∵ABCD，
∴四邊形AGCE是平行四邊形，
∵AE＝EC，
∴四邊形AGCE為菱形．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，菱形的判定與性質，矩形的性質，相似三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質，以及相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．
考點三 三邊對應成比例，兩個三角形相似
1．（2021·江蘇·九年級專題練習）如圖，與相似嗎？為什么？
【答案】相似，理由見解析
【分析】根據網格求出三角形的邊長，根據三組對應邊的比相等的兩個三角形相似即可得出結論．
【詳解】解：△ABC與△EFG相似，理由是：
設小正方形的邊長為1，則AC＝5，AB＝，BC＝，EF＝2，GF＝，EG＝，
∵，，
∴，
∴△ABC∽△EFG．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定定理的應用，注意：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似．
2．（2022·全國·九年級專題練習）根據下列條件，判斷與是否相似，并說明理由：
(1)，，，，，；
(2)，，，，，．
【答案】(1)相似，理由見解析
(2)相似，理由見解析
【分析】（1）計算對應邊的比，根據三邊對應，兩三角形相似，進而判斷即可；
（2）根據兩邊對應成比例且夾角相等的三角形相似，進而判斷即可．
（1）
解：∵，，，
∴．
∴．
（2）
∵，，
∴．
又∵，
∴．
【點睛】題主要考查了相似三角形的判定，正確把握判定方法是解題關鍵．
3．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在和中，、分別是、上一點，，當時，求證：．
【答案】見解析
【分析】根據比例的性質可得，，即可求證．
【詳解】證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點睛】此題考查了相似三角形的判定方法，涉及了比例的性質，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定方法．
4．（2021·河南南陽·九年級期中）如圖，設網格中每個小正方形的邊長均為1．點、、和、、都在正方形的頂點上．求證：．
【答案】證明見解析
【分析】先利用勾股定理分別求解再分別計算：可得兩個三角形的三邊對應成比例，從而可得結論.
【詳解】解：由勾股定理可得：




【點睛】本題考查的是二次根式的運算，勾股定理的應用，相似三角形的判定，熟悉三邊對應成比例的兩個三角形相似是解題的關鍵.
5．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，△ABC與△DEF在5×7的長方形網格中，它們的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點位置，試判斷△ABC與△DEF是否相似，并說明理由．
【答案】△ABC△DEF，理由見詳解
【分析】先根據勾股定理求出三角形各邊長，從而得到兩個三角形的對應邊成比例，進而即可得到結論．
【詳解】解：△ABC△DEF，理由如下：
∵AB=，AC=，BC=5，DE=1，DF=，EF=，
∴，
∴△ABC△DEF．
【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和勾股定理，掌握對應邊成比例的兩個三角形相似，是解題的關鍵．
考點四 補充條件使兩個三角形相似
1．（2021·云南楚雄·九年級期中）如圖，E、D是△ABC的邊AB、AC上一點，請?zhí)砑右粋€條件__________使得△ABC與△ADE相似．
【答案】∠ADE=∠B或∠AED=∠C或
【分析】根據相似三角形的判定方法：兩角相等，或者兩組對應邊對應成比例，夾角相等進行解題即可．
【詳解】解：如圖∵，
∴當∠ADE=∠B或∠AED=∠C或時：△ABC∽△ADE；
故答案為：∠ADE=∠B或∠AED=∠C或．
【點睛】本題考查相似三角形的判定方法．熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵．
2．（2022·黑龍江·肇源縣第四中學八年級期中）在△ABC和△DEF中，AB=6，BC=8，DE=4，∠B=∠E，當EF=_________時，△ABC與△DEF相似.
【答案】或3
【分析】利用三角形相似的判定可以得到解答．
【詳解】解：由題意可得：
當或時，△ABC與△DEF相似，
∴或，
∴EF=或3，
故答案為或3．
【點睛】本題考查三角形相似的應用，熟練掌握對應線段成比例且夾角相等的兩個三角形相似是解題關鍵．
3．（2020·北京延慶·九年級期中）如圖，在△ABC中，D是邊AC上的一點，連接BD，請你再添加一個條件_____，使得△ABD∽△ACB．
【答案】∠ABD=∠C（答案不唯一）
【分析】兩角分別相等的兩個三角形相似，已知一個角相等，再添加一個角相等即可
【詳解】∵在△ACB和△ABD中，∠BAD=∠CAB，
∴若∠ABD=∠C即可證明△ABD∽△ACB，
故答案為：∠ABD=∠C（答案不唯一）．
【點睛】本題考查相似三角形的判斷，解題的關鍵是熟練掌握兩角分別相等的兩個三角形相似．
4．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，已知＝，若使△ABC∽△ADE成立_____（只添一種即可）．
【答案】∠DAE=∠BAC（不唯一）
【分析】根據相似三角形的判定定理解答即可．
【詳解】解：根據“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”可得：∠DAE=∠BAC．
故答案是∠DAE=∠BAC（不唯一）．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，掌握“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”和“三邊成比例的兩個三角形相似”是解答本題的關鍵．
5．（2022·黑龍江齊齊哈爾·九年級期末）如圖，在中，是線段上的一點（不與點，重合），連接．請?zhí)砑右粋€條件使與相似，這個條件可以是___________（寫出一個即可）．
【答案】∠ACB=∠CDB（答案不唯一）
【分析】根據相似三角形的判定條件解答即可．
【詳解】解：∵∠B=∠B
∴添加∠ACB=∠CDB或∠A=∠DCB或 ．
故答案是：∠ACB=∠CDB（答案不唯一）．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定.兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似；兩角對應相等，兩個三角形相似.
6．（2022·湖南·新化縣東方文武學校九年級期末）如圖，AB、CD相交于點O，添加一個條件 ___，可以使△AOD與△BOC相似．
【答案】
【分析】根據相似三角形的判定定理即可得出答案．
【詳解】添加一個條件：，
，，
．
【點睛】本題考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵．
7．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，∠1＝∠2，請補充一個條件：________________，使△ABC∽△ADE．
【答案】∠C＝∠E或∠B＝∠ADE(答案不唯一）
【分析】再添加一組角可以利用有兩組角對應相等的兩個三角形相似來進行判定．
【詳解】∵∠1＝∠2
∴∠1+∠DAC=∠DAC+∠2
∴∠BAC＝∠DAE
又∵∠C＝∠E（或∠B＝∠ADE）
∴△ABC∽△ADE．
故答案為：∠C＝∠E或∠B＝∠ADE（答案不唯一）．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的幾個判定定理是關鍵．
8．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，在與中，，點在上，若只添加一個條件便能判定，則添加的條件是____．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】根據相似三角形的判定定理求解即可．
【詳解】解：依據兩角相等，兩三角形相似，可添加條件
故答案為：（答案不唯一）．
【點睛】本題考查了三角形相似的判定，解題的關鍵是熟練掌握三角形相似的判定定理．
9．（2021·江蘇·蘇州市平江中學校八年級階段練習）如圖，在中，，點P是邊的中點，點Q是邊上一個動點，當_______時，與相似．
【答案】2或8
【分析】可根據相似三角形的判定：夾角相等對應邊成比例的兩個三角形形似，則（1）當時，有；（2）當時，有，進而可求出BQ的長．
【詳解】當時，
則，
，點P時AB邊的中點，
,
,
,
當時，
則，
，點P時AB邊的中點，
,
，
，
故答案為：2或8．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定，正確分類討論是解題關鍵．
10．（2021·江蘇·九年級專題練習）如圖，、是以為直徑的半圓上任意兩點，連接、、，與相交于點，要使與相似，可以添加的一個條件是___________（填正確結論的序號）．
①；②；③；④．
【答案】①②③
【分析】由兩角法可得①正確；由等弦對等弧、等弧所對圓周角相等及兩角法可知②正確；由兩邊夾一角法可以判斷③正確，④錯誤．
【詳解】解：如圖，∠ADC=∠ADB，
①、∵∠ACD=∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故①選項正確；
②、∵AD=DE，
∴，
∴∠DAE=∠B，
∴△ADC∽△BDA，故②選項正確；
③、∵=BD?CD，
∴AD：BD=CD：AD，
∴△ADC∽△BDA，故③選項正確；
④、∵CD?AB=AC?BD，
∴CD：BD=AC：AB，
但∠ADC=∠ADB不是對應夾角，故④選項錯誤．
故答案為①②③．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定以及圓周角定理．熟練掌握三角形相似的判定方法及圓周角定理是解題關鍵．

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