考點(diǎn)一 （雙）A字型相似 考點(diǎn)二 （雙）8字型相似
考點(diǎn)三 母子型相似 考點(diǎn)四 旋轉(zhuǎn)相似
考點(diǎn)五 K字型相似 考點(diǎn)六 三角形內(nèi)接矩形/正方形
典型例題

考點(diǎn)一 （雙）A字型相似
1．（2021·山東臨沂·三模）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，則△ADE與△ABC的面積之比為（ ）
A．4：25B．2：3C．4：9D．2：5
2．（2021·安徽·安慶市石化第一中學(xué)九年級期中）圖，，點(diǎn)H在BC上，AC與BD交于點(diǎn)G，AB＝2，CD＝3，求GH的長．
3．（2021·上海市金山初級中學(xué)九年級期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E、點(diǎn)F在邊AC上，且DEBC，．
（1）求證：DFBE；
（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．
4．（2022·湖南·寧遠(yuǎn)縣水市鎮(zhèn)中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)分別在上，且．
（1）求證：；
（2）若點(diǎn)在上，與交于點(diǎn)，求證：．
5．（2021·遼寧丹東·九年級期中）如圖，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一時刻，動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動；同時，動點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，運(yùn)動的時間為ts．
（1）求t為何值時，△AMN的面積是△ABD面積的；
（2）當(dāng)以點(diǎn)A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似時，求t值．
考點(diǎn)二 （雙）8字型相似
1．（2021·海南?？凇ぞ拍昙壠谀┤鐖D，在?ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，則：為（ ）
A．1：5B．4：25C．4：31D．4：35
2．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，，連接BE交AC于點(diǎn)G，延長BE交CD的延長線于點(diǎn)F，則的值為（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在中，，過點(diǎn)B作，垂足為B，且，連接CD，與AB相交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作，垂足為N．若，則MN的長為__________．
5．（2022·陜西渭南·八年級期末）如圖在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，CF交BE于點(diǎn)G，若，則___．
5．（2021·重慶·九年級期末）如圖與交于，且．
（1）求證：∽．
（2）若，，，求的長．
6．（2021·上海市奉賢區(qū)古華中學(xué)九年級期中）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長線上截取BE＝AB，點(diǎn)F在AE的延長線上，CE和DF交于點(diǎn)M，BC和DF交于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)BD．
（1）求證：△BND∽△CNM；
（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．
7．（2021·四川廣元·中考真題）如圖，在平行四邊形中，E為邊的中點(diǎn)，連接，若的延長線和的延長線相交于點(diǎn)F．
（1）求證：；
（2）連接和相交于點(diǎn)為G，若的面積為2，求平行四邊形的面積．
8．（2021·江西吉安·九年級期末）如圖，在正方形中，點(diǎn)E在對角線上，，過點(diǎn)E的直線分別交，于點(diǎn)M，N．
（1）當(dāng)時，的長為________，________；
（2）已知．
①若，求此時的長；
②當(dāng)E，F(xiàn)為的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P在正方形的邊上時，是否存在滿足的情況？如果存在，請通過分析指出這樣的點(diǎn)的個數(shù)；如果不存在，說明理由．
9．（2021·河南省淮濱縣第一中學(xué)九年級開學(xué)考試） 如圖，正方形的邊長為，點(diǎn)是射線上的一個動點(diǎn)，連接并延長，交射線于點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處．

（1）當(dāng)時，如圖，延長，交于點(diǎn)，
①的長為________；
②求證：．
（2）當(dāng)點(diǎn)恰好落在對角線上時，如圖，此時的長為________；________；
（3）當(dāng)時，求的正弦值．
考點(diǎn)三 母子型相似
1．（2021·北京市師達(dá)中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，中，點(diǎn)在邊上，且，若，，則的長為______．
2．（2021·山西·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，且，連接并取的中點(diǎn)，連接，若，且，則的長為__________．
3．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，AD＝BD．
(1)求證：△ABC∽△BDC．
(2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的長．
4．（2021·安徽滁州·九年級期中）如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，且，∠BAD＝∠ECA．
（1）求證：AC2＝BC?CD；
（2）若AD是△ABC的中線，求的值．
考點(diǎn)四 旋轉(zhuǎn)相似
1．（2022·吉林長春·九年級期末）在同一平面內(nèi)，如圖①，將兩個全等的等腰直角三角形擺放在一起，點(diǎn)A為公共頂點(diǎn)，．如圖②，若△ABC固定不動，把△ADE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，使AD、AE與邊BC的交點(diǎn)分別為M、N點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)N不與點(diǎn)C重合．
【探究】求證：．
【應(yīng)用】已知等腰直角三角形的斜邊長為4．
(1)的值為______．
(2)若，則MN的長為______．
2．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）在和中，，，且，點(diǎn)E在的內(nèi)部，連接EC，EB，EA和BD，并且．
【觀察猜想】
（1）如圖①，當(dāng)時，線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系為__________，線段EA，EB，EC的數(shù)量關(guān)系為__________．
【探究證明】
（2）如圖②，當(dāng)時，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；
【拓展應(yīng)用】
（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時，若，請直接寫出的面積．
3．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，和是有公共頂點(diǎn)直角三角形，，點(diǎn)P為射線，的交點(diǎn)．
（1）如圖1，若和是等腰直角三角形，求證：；
（2）如圖2，若，問：（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由．
（3）在（1）的條件下，，，若把繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時，請直接寫出的長度
4．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）一次小組合作探究課上，老師將兩個正方形按如圖所示的位置擺放（點(diǎn)E、A、D在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)且．
小組討論后，提出了下列三個問題，請你幫助解答：
（1）將正方形繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖1），還能得到嗎？若能，請給出證明，請說明理由；
（2）把背景中的正方形分別改成菱形和菱形，將菱形繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2），試問當(dāng)與的大小滿足怎樣的關(guān)系時，；
（3）把背景中的正方形分別改寫成矩形和矩形，且，，（如圖3），連接，．試求的值（用a，b表示）．
5．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖1，在中，，在斜邊上取一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E．現(xiàn)將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度到如圖2所示的位置（點(diǎn)D在的內(nèi)部），使得．
（1）①求證：；
②若，求的長；
（2）如圖3，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，設(shè)，若，，求k的值；
（3）如圖4，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，若，設(shè)，，試探究三者之間滿足的等量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程）
考點(diǎn)五 K字型相似
1．（2021·湖南長沙·九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的頂點(diǎn)E在邊CD或延長線上運(yùn)動，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，則BE＝_____．
2．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點(diǎn)，D為AC上一點(diǎn)，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．
（1）求證△ABP∽△PCD；
（2）求△ABC的邊長．
3．（2022·山東菏澤·三模）（1）問題
如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)時，求證：．
（2）探究
若將90°角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由．
（3）應(yīng)用
如圖3，在中，，，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰．點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，且，若，求CD的長．
4．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，正方形ABCD，對角線AC，BD相交于O，Q為線段DB上的一點(diǎn)，，點(diǎn)M、N分別在直線BC、DC上．
（1）如圖1，當(dāng)Q為線段OD的中點(diǎn)時，求證：；
（2）如圖2，當(dāng)Q為線段OB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在CD的延長線上時，則線段DN、BM、BC的數(shù)量關(guān)系為 ；
（3）在（2）的條件下，連接MN，交AD、BD于點(diǎn)E、F，若，，求EF的長．
5．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是直線AC上一動點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)D作FD⊥ED，交直線BC于點(diǎn)F．
（1）探究發(fā)現(xiàn)：
如圖1，若m＝n，點(diǎn)E在線段AC上，則＝ ；
（2）數(shù)學(xué)思考：
①如圖2，若點(diǎn)E在線段AC上，則＝ （用含m，n的代數(shù)式表示）；
②當(dāng)點(diǎn)E在直線AC上運(yùn)動時，①中的結(jié)論是否仍然成立？請僅就圖3的情形給出證明；
（3）拓展應(yīng)用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，請直接寫出CE的長．
考點(diǎn)六 三角形內(nèi)接矩形/正方形
1．（2022·山東東營·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)F、G在上，點(diǎn)E、H分別在、上，四邊形是矩形，是的高．，那么的長為____________．
2．（2022·黑龍江大慶·八年級期中）如圖，有一塊三角形土地，它的底邊m，高m，某單位要沿底邊BC建一座是矩形的大樓，且使矩形的兩個端點(diǎn)D、G分別在AB、AC上，當(dāng)這座大樓的地基面積為1875時，求這個矩形沿BC邊所占的EF的長．
3．（2021·全國·九年級課時練習(xí)）一塊直角三角形木板的面積為，一條直角邊為，怎樣才能把它加工成一個面積最大的正方形桌面？甲、乙兩位木匠的加工方法如圖所示，請你用學(xué)過的知識說明哪位木匠的方法符合要求（加工損耗忽略不計，計算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)可保留）．
4．（2021·天津·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，P，Q兩點(diǎn)同時從C出發(fā)，點(diǎn)P 以每秒2個單位長度的速度沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動；點(diǎn)Q 以每秒1個單位長度的速度沿CA向終點(diǎn)A運(yùn)動，以CP，CQ為鄰邊作矩形CPMQ．當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動時，點(diǎn)Q繼續(xù)向終點(diǎn)A運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動時間為t秒．
（1）在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，CQ＝________，BP＝________（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)點(diǎn)M落在AB邊上時，t ＝_________s；
（3）設(shè)矩形CPMQ與△ABC重合部分圖形的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
5．（2021·浙江·寧波市興寧中學(xué)九年級期中）課本中有一道作業(yè)題：有一塊三角形余料ABC，它的邊BC＝12m，高線AD＝8m．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點(diǎn)分別在AB，AC上．問加工成的正方形零件的邊長為多少米？小穎解得此題的答案為4.8m．
(1)你知道小穎是怎么做的嗎？請你寫出解答過程？
(2)善于反思，她又提出了如下的問題，如果原題中所要加工的零件只是一個矩形，如圖2，這樣，此矩形零件的兩條邊長就不能確定，但這個矩形面積有最大值，求達(dá)到這個最大值時矩形零件的兩條邊長．
(3)如圖3，小穎想如果這塊余料形狀改為Rt△ABC的斜板，已知∠A＝90°，AB＝8m，AC＝6m，要把它加工成一個形狀為平行四邊形PQMN的工件，使MQ在BC上，P、N兩點(diǎn)分別在AB，AC上，且PN＝8m，則平行四邊形PQMN的面積為 m2．
專題09 相似三角形的基本六大模型全攻略
考點(diǎn)一 （雙）A字型相似 考點(diǎn)二 （雙）8字型相似
考點(diǎn)三 母子型相似 考點(diǎn)四 旋轉(zhuǎn)相似
考點(diǎn)五 K字型相似 考點(diǎn)六 三角形內(nèi)接矩形/正方形
典型例題

考點(diǎn)一 （雙）A字型相似
1．（2021·山東臨沂·三模）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，則△ADE與△ABC的面積之比為（ ）
A．4：25B．2：3C．4：9D．2：5
【答案】A
【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計算，得到答案．
【詳解】解：∵AE=2，EC=3，
∴AC=AE+EC=5，
∵DEBC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
2．（2021·安徽·安慶市石化第一中學(xué)九年級期中）圖，，點(diǎn)H在BC上，AC與BD交于點(diǎn)G，AB＝2，CD＝3，求GH的長．
【答案】
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，由，可證△CGH∽△CAB，由性質(zhì)得出，由，可證△BGH∽△BDC，由性質(zhì)得出，將兩個式子相加，即可求出GH的長．
【詳解】解：∵，
∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC，
∴△CGH∽△CAB，
∴，
∵，
∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB，
△BGH∽△BDC，
∴，
∴，
∵AB=2，CD=3，
∴，
解得：GH=．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2021·上海市金山初級中學(xué)九年級期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E、點(diǎn)F在邊AC上，且DEBC，．
（1）求證：DFBE；
（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．
【答案】（1）見詳解；（2）見詳解
【分析】（1）由題意易得，則有，進(jìn)而問題可求證；
（2）由（1）及題意可知，然后可得，進(jìn)而可證，最后問題可求證．
【詳解】解：（1）∵DEBC，
∴，
∵，
∴，
∴DFBE；
（2）∵AF＝2，EF＝4，
∴由（1）可知，，AE=6，
∵AB＝6，
∴，
∴，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△AEB．
【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·湖南·寧遠(yuǎn)縣水市鎮(zhèn)中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)分別在上，且．
（1）求證：；
（2）若點(diǎn)在上，與交于點(diǎn)，求證：．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】（1）直接利用兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似即可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和平行線的判定方法可得EF∥BC，于是可得△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可推出結(jié)論．
【詳解】解：（1）在△AEF和△ABC中，
∵，，
∴△AEF∽△ABC；
（2）∵△AEF∽△ABC，
∴∠AEF=∠ABC，
∴EF∥BC，
∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，
∴,，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，屬于?？碱}型，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
5．（2021·遼寧丹東·九年級期中）如圖，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一時刻，動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動；同時，動點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，運(yùn)動的時間為ts．
（1）求t為何值時，△AMN的面積是△ABD面積的；
（2）當(dāng)以點(diǎn)A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似時，求t值．
【答案】（1），；（2）t＝3或
【分析】（1）由題意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，根據(jù)三角形的面積公式列出方程可求出答案；
（2）分兩種情況，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值．
【詳解】解：（1）由題意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，
∴△AMN的面積＝AN?AM＝×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2，
∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm
∴△ABD的面積為AB?AD＝×6×12＝36，
∵△AMN的面積是△ABD面積的，
∴6t﹣t2＝，
∴t2﹣6t+8＝0，
解得t1＝4，t2＝2，
答：經(jīng)過4秒或2秒，△AMN的面積是△ABD面積的；
（2）由題意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，
若△AMN∽△ABD，
則有，即，
解得t＝3，
若△AMN∽△ADB，
則有，即，
解得t＝，
答：當(dāng)t＝3或時，以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)和一元二次方程的應(yīng)用，正確進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)二 （雙）8字型相似
1．（2021·海南?？凇ぞ拍昙壠谀┤鐖D，在?ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，則：為（ ）
A．1：5B．4：25C．4：31D．4：35
【答案】A
【分析】根據(jù)平行四邊形對邊互相平行可得，然后求出和相似，再根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求出兩三角形的面積的比為1：4，設(shè)，，再根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比求出，然后表示出的面積，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，然后相比計算即可得解．
【詳解】解：四邊形ABCD是平行四邊形，
，AB=CD
∵E為CD的中點(diǎn)，
∴DE：CD=1：2
∵AB//DE
∽，
：：：4，EF:AF=1:2
設(shè)，則，
：：2，
：：：2，
，
，
是平行四邊形ABCD的對角線，
，
，
：：：5．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定以及相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵，不容易考慮到的是等高的三角形的面積的比等于底邊的比的應(yīng)用．
2．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，，連接BE交AC于點(diǎn)G，延長BE交CD的延長線于點(diǎn)F，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD，則可判斷△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和AE＝2ED即可得結(jié)果．
【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴△ABG∽△CFG，
∴＝
∵△ABE∽△DFE，
∴＝，
∵AE＝2ED，
∴AB＝2DF，
∴＝，
∴＝．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行解題．
3．（2021·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在中，，過點(diǎn)B作，垂足為B，且，連接CD，與AB相交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作，垂足為N．若，則MN的長為__________．
【答案】
【分析】根據(jù)MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC，得,可得,因為,列出關(guān)于MN的方程，即可求出MN的長．
【詳解】∵M(jìn)N⊥BC，DB⊥BC,
∴AC∥MN∥DB，
∴，
∴
即,
又∵，
∴，
解得,
故填：．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意得出兩組相似三角形以及它們對應(yīng)邊之比的等量關(guān)系．
5．（2022·陜西渭南·八年級期末）如圖在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，CF交BE于點(diǎn)G，若，則___．
【答案】2
【分析】延長CF、BA交于M，根據(jù)已知條件得出EF＝AF，CE＝DC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出DC∥AB，DC＝AB，根據(jù)全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根據(jù)相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，再求出答案即可．
【詳解】解：延長CF、BA交于M，
∵E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，
∴EF＝AF，CE＝DC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∴CE＝AB，∠ECF＝∠M，
在△CEF和△MAF中
，
∴△CEF≌△MAF（AAS），
∴CE＝AM，
∵CE＝AB，
∴BM＝3CE，
∵DC∥AB，
∴△CEG∽△MBG，
∴ ，
∵BE＝8，
∴ ，
解得：GE＝2，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識點(diǎn)進(jìn)行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．
5．（2021·重慶·九年級期末）如圖與交于，且．
（1）求證：∽．
（2）若，，，求的長．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定解答即可；
（2）因為∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知，代入數(shù)據(jù)解答即可．
【詳解】證明：（1），，
∽；
（2）∽，
，
，，，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（2021·上海市奉賢區(qū)古華中學(xué)九年級期中）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長線上截取BE＝AB，點(diǎn)F在AE的延長線上，CE和DF交于點(diǎn)M，BC和DF交于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)BD．
（1）求證：△BND∽△CNM；
（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD，AB∥CD，再證明四邊形BECD為平行四邊形得到BD∥CE，根據(jù)相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判斷△BND∽△CNM；
（2）先利用AD2=AB?AF可證明△ADB∽△AFD，則∠1=∠F，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判斷△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
而BE=AB，
∴BE=CD，
而BE∥CD，
∴四邊形BECD為平行四邊形，
∴BD∥CE，
∵CM∥DB，
∴△BND∽△CNM；
（2）∵AD2=AB?AF，
∴AD：AB=AF：AD，
而∠DAB=∠FAD，
∴△ADB∽△AFD，
∴∠1=∠F，
∵CD∥AF，BD∥CE，
∴∠F=∠4，∠2=∠3，
∴∠3=∠4，
而∠NMC=∠CMD，
∴△MNC∽△MCD，
∴MC：MD=CN：CD，
∴MC?CD=MD?CN，
而CD=AB，
∴CM?AB=DM?CN．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．在運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)時主要利用相似比計算線段的長．也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．
7．（2021·四川廣元·中考真題）如圖，在平行四邊形中，E為邊的中點(diǎn)，連接，若的延長線和的延長線相交于點(diǎn)F．
（1）求證：；
（2）連接和相交于點(diǎn)為G，若的面積為2，求平行四邊形的面積．
【答案】（1）證明見解析；（2）24．
【分析】（1）根據(jù)E是邊DC的中點(diǎn)，可以得到，再根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，可以得到，再根據(jù)，即可得到，則答案可證；
（2）先證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而得出，由得，則答案可解．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，
∴，
在和中

∴，
∴，
∴；
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，
∴，，
∴，，
∴，
∵的面積為2，
∴，即，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
8．（2021·江西吉安·九年級期末）如圖，在正方形中，點(diǎn)E在對角線上，，過點(diǎn)E的直線分別交，于點(diǎn)M，N．
（1）當(dāng)時，的長為________，________；
（2）已知．
①若，求此時的長；
②當(dāng)E，F(xiàn)為的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P在正方形的邊上時，是否存在滿足的情況？如果存在，請通過分析指出這樣的點(diǎn)的個數(shù)；如果不存在，說明理由．
【答案】（1）；；（2）①；②存在，有8個．
【分析】解：（1）由四邊形ABCD為正方形，得到△ACD為等腰直角三角形，在Rt△ACD中由勾股定理求得CD的長，由MN=CD，可以求出MN的長，由AD∥BC得到△AEM∽△CEN.
（2）①過點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)G．由AM∥CN，得到△AEM∽△CEN．得到對應(yīng)邊成比例，由勾股定理求出GM的長，再由AM=AG+GM可求出．
②畫出圖形，過點(diǎn)F作點(diǎn)F關(guān)于BC的對稱點(diǎn)M，連接FM交BC于點(diǎn)N，連接EM，根據(jù)點(diǎn)M與點(diǎn)F關(guān)于BC對稱，計算出PE+PF的最小值，與PE+PF=9比較．得出BC上存在兩個點(diǎn)，同理在線段AB，AD，CD上都存在兩個點(diǎn)使PE+PF=9．
【詳解】解：（1），
∵四邊形ABCD為正方形
∴△ACD為等腰直角三角形，
則，在Rt△ACD中有AD=AC，
AD2+DC2=AC2，
∵AC=12，
解得：AD=CD=6，
又∵M(jìn)N⊥BC，CD⊥BC
∴MN∥CD，且MN=CD，
即MN=DC=6，
又∵AD∥BC
∴△AEM∽△CEN.
（2）①如圖，過點(diǎn)E作于點(diǎn)G．
∵，
∴．
∴．
∵，，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
②存在，這樣的點(diǎn)有8個．
如圖，過點(diǎn)F作點(diǎn)F關(guān)于的對稱點(diǎn)M，連接交于點(diǎn)N，連接，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)將對角線三等分，且，
∴，．
∵點(diǎn)M與點(diǎn)F關(guān)于對稱，
∴，．
∴．
∴．
則在線段上存在點(diǎn)N到點(diǎn)E和點(diǎn)F的距離之和最小為．
∴在線段上，點(diǎn)N的左右兩邊各有一個點(diǎn)P使．
同理在線段，，上都存在兩個點(diǎn)使．
即共有8個點(diǎn)P滿足．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)、線段和的最值問題等，體現(xiàn)了邏輯推理、直觀想象核心素養(yǎng).
9．（2021·河南省淮濱縣第一中學(xué)九年級開學(xué)考試） 如圖，正方形的邊長為，點(diǎn)是射線上的一個動點(diǎn)，連接并延長，交射線于點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處．

（1）當(dāng)時，如圖，延長，交于點(diǎn)，
①的長為________；
②求證：．
（2）當(dāng)點(diǎn)恰好落在對角線上時，如圖，此時的長為________；________；
（3）當(dāng)時，求的正弦值．
【答案】（1）①12；②見解析；（2），；（3）或．
【分析】（1）①根據(jù)△ABE∽△FCE，可得，即＝1，進(jìn)而得到CF的長；②根據(jù)四邊形ABCD為正方形，可得∠F＝∠BAF，由折疊可知：∠BAF＝∠MAF，即可得出∠F＝∠MAF，進(jìn)而得到AM＝FM．
（2）根據(jù)∠CAE＝∠CFE，可得FC＝AC，再根據(jù)等腰Rt△ABC中，AC＝AB＝12，即可得到CF的長為12；由折疊可得，BE＝B'E，再根據(jù)等腰Rt△CEB'中，CE＝B'E＝BE，即可得出；
（3）分兩種情況討論：①點(diǎn)E在線段BC上，②點(diǎn)E在BC的延長線上，分別設(shè)DM＝x，根據(jù)Rt△ADM中，AM2＝AD2＋DM2，得到關(guān)于x的方程，求得x的值，最后根據(jù)進(jìn)行計算即可．
【詳解】解：①如圖，由可得：，
∴，即，
∴的長為．
故答案為：．
②證明：∵四邊形為正方形，
∴，
∴，
由折疊可知：，
∴，
∴．
（2）如圖2，由折疊可得，∠BAE＝∠CAE，
由ABCD可得，∠BAE＝∠CFE，
∴∠CAE＝∠CFE，
∴FC＝AC，
又∵等腰Rt△ABC中，AC＝AB＝12，
∴CF＝12，
即CF的長為12，
由折疊可得，BE＝B'E，
∴等腰Rt△CEB'中，CE＝B'E＝BE，
∴；
故答案為：；；
①當(dāng)點(diǎn)在線段上時，如圖3，的延長線交于點(diǎn)，
由可得：，
∴，即，
∴，
由②可知．
設(shè)，則，
則，
在中，，
即，
解得：，
則，
∴．
②當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時，如圖4
由可得：，
∴，即，
∴，
則，
設(shè)，則，
在中，，
即，
解得：，
則，
∴．
綜上所述：當(dāng)時，的正弦值為或．
【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理以及解直角三角形的綜合應(yīng)用，解決問題（3）的關(guān)鍵是運(yùn)用分類討論思想，依據(jù)勾股定理列方程進(jìn)行計算求解，解題時注意分類思想與方程思想的運(yùn)用．
考點(diǎn)三 母子型相似
1．（2021·北京市師達(dá)中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，中，點(diǎn)在邊上，且，若，，則的長為______．
【答案】2
【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出，代入AC、AD的值可求出AB的長，再根據(jù)BD=AB-AD即可求出結(jié)論．
【詳解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴．
∵AC=，AD=1，
∴，
∴AB=3，
∴BD=AB-AD=3-1=2．
故答案為2
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，牢記相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
2．（2021·山西·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，且，連接并取的中點(diǎn)，連接，若，且，則的長為__________．
【答案】．
【分析】延長BE交AC于點(diǎn)F，過D點(diǎn)作，由可得此時為等腰直角三角形，E為CD的中點(diǎn)且，則，在等腰中，根據(jù)勾股定理求得，長度，由可得,即，由，可得，即， ,求得，．
【詳解】如下圖，延長BE交AC于點(diǎn)F，過D點(diǎn)作，
∵，，
∴，，為等腰．
由題意可得E為CD的中點(diǎn)，且，
∴，
在等腰中，，
，
又∵，
在，

∴（AAS）
∴，
∵，，
∴，
∴
，
∴，，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考察了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求對應(yīng)邊的長度，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，構(gòu)造合適的相似三角形，綜合運(yùn)用以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，AD＝BD．
(1)求證：△ABC∽△BDC．
(2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的長．
【答案】(1)見解析；
(2)4．
【分析】（1）先證明∠A＝∠DBA，進(jìn)而得到∠A＝∠CBD，再根據(jù)∠C＝∠C，即可證明△ABC∽△BDC；
（2）根據(jù)∠C＝90°得到∠A＋∠ABC＝90°，根據(jù)（1）得到∠A =∠ABD＝∠CBD，即可求出∠A＝30°，即可求出AB＝4．
（1）
證明：如圖，∵AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∵BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，
∴∠CBD＝∠DBA，
∴∠A＝∠CBD，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC；
（2）
解：如圖，∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠ABC＝90°，
由（1）得
∴∠A =∠ABD＝∠CBD，
∴∠A＋∠ABD＋∠CBD＝3∠A＝90°，
∴∠A＝30°，
∵BC＝2，
∴AB＝4．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的證明和直角三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵，第（2）步中求出∠A＝30°是解題關(guān)鍵．
4．（2021·安徽滁州·九年級期中）如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，且，∠BAD＝∠ECA．
（1）求證：AC2＝BC?CD；
（2）若AD是△ABC的中線，求的值．
【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，進(jìn)而求出，再利用相似三角形的性質(zhì)得出答案即可；
（2）由可證，進(jìn)而得出，再由（1）可證，由此即可得出線段之間關(guān)系．
【詳解】（1）證明：，，
，
，
，
，
，
．
（2）解：，
，
，
，
AD是△ABC的中線，
，
，即：，
∴．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及重心的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出是解題關(guān)鍵．
考點(diǎn)四 旋轉(zhuǎn)相似
1．（2022·吉林長春·九年級期末）在同一平面內(nèi)，如圖①，將兩個全等的等腰直角三角形擺放在一起，點(diǎn)A為公共頂點(diǎn)，．如圖②，若△ABC固定不動，把△ADE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，使AD、AE與邊BC的交點(diǎn)分別為M、N點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)N不與點(diǎn)C重合．
【探究】求證：．
【應(yīng)用】已知等腰直角三角形的斜邊長為4．
(1)的值為______．
(2)若，則MN的長為______．
【答案】(1)8
(2)
【探究】利用三角形外角的性質(zhì)可證，又由，可證明結(jié)論；
【應(yīng)用】（1）首先求出等腰直角三角形的直角邊長，再由，得，則；
（2）由，得，由（1）知，得，從而得出答案．
(1)
∵△ABC為等腰直角三角形，，
∴，同理，，
∵，
，
∴，∴；
(2)
（1）∵等腰直角三角形的斜邊長為4，
∴，∵，
∴，∴，∴，
故答案為：8；
（2）∵，∴，∵，
∴，∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用前面探索的結(jié)論解決新的問題是解題的關(guān)鍵．
2．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）在和中，，，且，點(diǎn)E在的內(nèi)部，連接EC，EB，EA和BD，并且．
【觀察猜想】
（1）如圖①，當(dāng)時，線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系為__________，線段EA，EB，EC的數(shù)量關(guān)系為__________．
【探究證明】
（2）如圖②，當(dāng)時，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；
【拓展應(yīng)用】
（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時，若，請直接寫出的面積．
【答案】（1），；（2）不成立，理由見解析；（3）2
【分析】（1）由△DAB≌△EAC（SAS），可得BD=EC，∠ABD=∠ACE，由∠ACE+∠ABE=90°，推出∠ABD+∠ABE=90°，可得∠DBE=90°，由此即可解決問題；
（2）結(jié)論：EA2=EC2+2BE2．由題意△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，想辦法證明△DAB∽△EAC，推出=，∠ACE=∠ABD，可得∠DBE=90°，推出DE2=BD2+BE2，即可解決問題；
（3）首先證明AD=DE=EC，設(shè)AD=DE=EC=x，在Rt△ADC中，利用勾股定理即可解決問題；
【詳解】（1）如圖①中，
∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=60°，
∴△ABC，△ADE都是等邊三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠DAB=∠EAC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD=EC，∠ABD=∠ACE，
∵∠ACE+∠ABE=90°，
∴∠ABD+∠ABE=90°，
∴∠DBE=90°，
∴DE2=BD2+BE2，
∵EA=DE，BD=EC，
∴EA2=BE2+EC2．
故答案為：BD=EC，EA2=EB2+EC2．
（2）結(jié)論：EA2=EC2+2BE2．
理由：如圖②中，
∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=90°，
∴△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠DAE=∠BAC=45°，
∴∠DAB=∠EAC，
∵=， =，
∴，
∴△DAB∽△EAC，
∴=，∠ACE=∠ABD，
∵∠ACE+∠ABE=90°，
∴∠ABD+∠ABE=90°，
∴∠DBE=90°，
∴DE2=BD2+BE2，
∵EA=DE，BD=EC，
∴EA2=EC2+BE2，
∴EA2=EC2+2BE2．
（3）如圖③中，
∵∠AED=45°，D，E，C共線，
∴∠AEC=135°，
∵△ADB∽△AEC，
∴∠ADB=∠AEC=135°，
∵∠ADE=∠DBE=90°，
∴∠BDE=∠BED=45°，
∴BD=BE，
∴DE=BD，
∵EC=BD，
∴AD=DE=EC，設(shè)AD=DE=EC=x，
在Rt△ABC中，∵AB=BC=2，
∴AC=2，
在Rt△ADC中，
∵AD2+DC2=AC2，
∴x2+4x2=40，
∴x=2（負(fù)根已經(jīng)舍棄），
∴AD=DE=2，
∴BD=BE=2，
∴S△BDE=×2×2=2．
【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
3．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，和是有公共頂點(diǎn)直角三角形，，點(diǎn)P為射線，的交點(diǎn)．
（1）如圖1，若和是等腰直角三角形，求證：；
（2）如圖2，若，問：（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由．
（3）在（1）的條件下，，，若把繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時，請直接寫出的長度
【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）PB的長為或．
【分析】（1）由條件證明△ABD≌△ACE，即可得∠ABD=∠ACE，可得出∠BPC=90°，進(jìn)而得出BD⊥CP；
（2）先判斷出△ADB∽△AEC，即可得出結(jié)論；
(3) 分為點(diǎn)E在AB上和點(diǎn)E在AB的延長線上兩種情況畫出圖形，然后再證明△PEB∽△AEC，最后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可．
【詳解】解：（1）證明：如圖，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAE+∠CAE=∠BAD+∠BAE，
即∠BAD=∠CAE．
∵和是等腰直角三角形，
∴，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE．
∵∠CAB=90°，
∴∠ACF+∠AFC=90°，
∴∠ABP+∠BFP=90°．
∴∠BPF=90°，
∴BD⊥CP；
（2）（1）中結(jié)論成立，理由：
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，
∴AB=AC，
在Rt△ADE中，∠ADE=30°，
∴AD=AE，
∴
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ADB∽△AEC．
∴∠ABD=∠ACE
同（1）得；
（3）解：∵和是等腰直角三角形，
∴，
①當(dāng)點(diǎn)E在AB上時，BE=AC-AE=1．
∵∠EAC=90°，
∴CE=．
同（1）可證△ADB≌△AEC．
∴∠DBA=∠ECA．
∵∠PEB=∠AEC，
∴△PEB∽△AEC．
∴
∴．
∴PB=．
②當(dāng)點(diǎn)E在BA延長線上時，BE=5．
∵∠EAC=90°，
∴CE=5．
同（1）可證△ADB≌△AEC．
∴∠DBA=∠ECA．
∵∠BEP=∠CEA，
∴△PEB∽△AEC．
∴．
∴．
∴PB=．
綜上所述，PB的長為或．
【點(diǎn)睛】此題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定，證明得△PEB∽△AEC是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）一次小組合作探究課上，老師將兩個正方形按如圖所示的位置擺放（點(diǎn)E、A、D在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)且．
小組討論后，提出了下列三個問題，請你幫助解答：
（1）將正方形繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖1），還能得到嗎？若能，請給出證明，請說明理由；
（2）把背景中的正方形分別改成菱形和菱形，將菱形繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2），試問當(dāng)與的大小滿足怎樣的關(guān)系時，；
（3）把背景中的正方形分別改寫成矩形和矩形，且，，（如圖3），連接，．試求的值（用a，b表示）．
【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)時，，理由見解析；（3）．
【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出，，，，得出，則可證明，從而可得出結(jié)論；
（2）由菱形的性質(zhì)得出，，則可證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；
（3）設(shè)與交于Q，與交于點(diǎn)P，證明，得出，得出，連接，，由勾股定理可求出答案．
【詳解】（1）∵四邊形為正方形，
∴，，
又∵四邊形為正方形，
∴，，
∴
∴，
在△AEB和△AGD中，
，
∴，
∴；
（2）當(dāng)時，，
理由如下：
∵，
∴
∴，
又∵四邊形和四邊形均為菱形，
∴，，
在△AEB和△AGD中，
，
∴，
∴；
（3）設(shè)與交于Q，與交于點(diǎn)P，
由題意知，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
連接，，
∴
，
∵，，，
∴，，
在Rt△EAG中，由勾股定理得：，同理，
∴
．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形、菱形、正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握特殊平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由(3)可得結(jié)論：當(dāng)四邊形的對角線相互垂直時，四邊形兩組對邊的平方和相等．
5．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖1，在中，，在斜邊上取一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E．現(xiàn)將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度到如圖2所示的位置（點(diǎn)D在的內(nèi)部），使得．
（1）①求證：；
②若，求的長；
（2）如圖3，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，設(shè)，若，，求k的值；
（3）如圖4，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，若，設(shè)，，試探究三者之間滿足的等量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程）
【答案】（1）①見解析；②；（2）；（3）4p2=9m2+4n2．
【分析】（1）①先利用平行線分線段成比例定理得，進(jìn)而得出結(jié)論；
②利用①得出的比例式求出CE，再判斷出∠DCE=90°，利用勾股定理即可得出結(jié)論；
（2）同（1）的方法判斷出△ABD∽△ACE，即可得出AE=4k，CE=3k，同（1）的方法得出∠DCE=90°，利用勾股定理得出DE的平方，用DE的平方建立方程求解即可；
（3）同（2）的方法得出，即可得出結(jié)論；
【詳解】解：（1）①∵DE∥BC，
∴，
由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，
∴△ABD∽△ACE，
②在Rt△ABC中，AC=BC，
∴，
由①知，△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°，
∵△ABD∽△ACE，
，
∴，
∵
∴
在Rt△CDE中，
根據(jù)勾股定理得，DE=2，
在Rt△ADE中，AE=DE，
∴
（2）由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，
，
∴△ABD∽△ACE，
∵AD=4，BD=3，
∴AE=kAD=4k，CE=kBD=3k，
∵△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=1+9k2，
在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=16-16k2，
∴1+9k2=16-16k2，
∴或（舍），
（3）由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，
∴△ABD∽△ACE，
∵AD=p，BD=n，
∴，
∵△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△CDE中，，
∵，
，
∴4p2=9m2+4n2．
【點(diǎn)睛】此題是相似三角形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的判定，解本題的關(guān)鍵是得出∠DCE=90°和利用兩邊對應(yīng)成比例夾角相等來判斷兩三角形相似的方法應(yīng)用．
考點(diǎn)五 K字型相似
1．（2021·湖南長沙·九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的頂點(diǎn)E在邊CD或延長線上運(yùn)動，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，則BE＝_____．
【答案】3．
【分析】過F作FG⊥CD，交CD的延長線于G，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可得到FG＝EC，GE＝2＝CD；設(shè)EC＝x，則DG＝x，F(xiàn)G＝x，再根據(jù)勾股定理，即可得到CE2＝9，最后依據(jù)勾股定理進(jìn)行計算，即可得出BE的長．
【詳解】如圖所示，過F作FG⊥CD，交CD的延長線于G，則∠G＝90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，
又∵∠BEF＝90°，
∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，
∴∠FEG＝∠EBC，
又∵∠C＝∠G＝90°，
∴△BCE∽△EGF，
∴＝＝，即＝＝，
∴FG＝EC，GE＝2＝CD，
∴DG＝EC，
設(shè)EC＝x，則DG＝x，F(xiàn)G＝x，
∵Rt△FDG中，F(xiàn)G2+DG2＝DF2，
∴（x）2+x2＝（）2，
解得x2＝9，
即CE2＝9，
∴Rt△BCE中，BE＝＝＝3，
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進(jìn)行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形．
2．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點(diǎn)，D為AC上一點(diǎn)，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．
（1）求證△ABP∽△PCD；
（2）求△ABC的邊長．
【答案】（1）證明見解析；（2）3．
【分析】（1）由△ABC是等邊三角形，證明∠B＝∠C＝60°，再利用平角的定義與三角形的內(nèi)角和定理證明：∠BPA＝∠PDC，從而可得結(jié)論；
（2）由，先求解，設(shè)，再利用相似三角形的性質(zhì)可得：，列方程，解方程即可得到答案．
【詳解】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°，
∴∠BPA＋∠DPC＝120°
∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°，
∴∠DPC＋∠PDC＝120°，
∴∠BPA＝∠PDC，
∴△ABP∽△PCD ；
（2）∵2BP＝3CD，且BP＝1，
∴，
∵△ABP∽△PCD
，
設(shè)，則，

∴

經(jīng)檢驗：是原方程的解，
所以三角形的邊長為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，分式方程的解法，掌握三角形的判定及利用相似三角形的性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·山東菏澤·三模）（1）問題
如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)時，求證：．
（2）探究
若將90°角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由．
（3）應(yīng)用
如圖3，在中，，，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰．點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，且，若，求CD的長．
【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）
【分析】（1）由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可證到△ADP△BPC，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；
（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP△BPC，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；
（3）先證△ABD△DFE，求出DF=4，再證△EFC△DEC，可求FC＝1，進(jìn)而解答即可．
【詳解】（1）證明：如題圖1，
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD = 90°，
∴∠ADP = ∠BPC，
∴△ADP△BPC，
，
∴ADBC = APBP，
（2）結(jié)論仍然成立，理由如下，
，
又，
，
，
設(shè)，
，
，
，
∴ADBC = APBP，
（3），
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
,，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的綜合題，三角形的相似；能夠通過構(gòu)造45°角將問題轉(zhuǎn)化為一線三角是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，正方形ABCD，對角線AC，BD相交于O，Q為線段DB上的一點(diǎn)，，點(diǎn)M、N分別在直線BC、DC上．
（1）如圖1，當(dāng)Q為線段OD的中點(diǎn)時，求證：；
（2）如圖2，當(dāng)Q為線段OB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在CD的延長線上時，則線段DN、BM、BC的數(shù)量關(guān)系為 ；
（3）在（2）的條件下，連接MN，交AD、BD于點(diǎn)E、F，若，，求EF的長．
【答案】（1）見解析；（2）BM?DN=BC；（3）EF的長為．
【分析】（1）如圖1，過Q點(diǎn)作QP⊥BD交DC于P，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△QPN∽△QBM，就可以得出結(jié)論；
（2）如圖2，過Q點(diǎn)作QH⊥BD交BC于H，通過證明△QHM∽△QDN，由相似三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論；
（3）由條件設(shè)CM=x，MB=3x，就用CB=4x，得出BH=2x，由（2）相似的性質(zhì)可以求出MQ的值，再根據(jù)勾股定理就可以求出MN的值，可以表示出ND，由△NDE∽△NCM就可以求出NE，也可以表示出DE，最后由△DEF∽△BMF而求出結(jié)論．
【詳解】解：（1）如圖，過Q點(diǎn)作QP⊥BD交DC于P，
∴∠PQB=90°．
∵∠MQN=90°，
∴∠NQP=∠MQB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠BDC=∠DBC=45°．DO=BO，
∴∠DPQ=45°，DQ=PQ，
∴∠DPQ=∠DBC=45°，
∴△QPN∽△QBM，
∴，
∵Q是OD的中點(diǎn)，且PQ⊥BD，
∴DO=2DQ，DP=DC，
∴BQ=3DQ，DN+NP=DC=BC，
∴BQ=3PQ，
∴，
∴NP=BM，
∴DN+BM=BC；
（2）如圖，過Q點(diǎn)作QH⊥BD交BC于H，
∴∠BQH=∠DQH=90°，
∴∠BHQ=45°，
∵∠COB=90°，
∴QH∥OC，
∵Q是OB的中點(diǎn)，
∴BH=CH=BC，
∵∠NQM=90°，
∴∠NQD=∠MQH，
∵∠QND+∠NQD=45°，∠MQH+∠QMH=45°，
∴∠QND=∠QMH，
∴△QHM∽△QDN，
∴，
∴HM=ND，
∵BM-HM=HB，
∴BM?DN=BC．
故答案為：BM?DN=BC；
（3）∵M(jìn)B：MC=3：1，設(shè)CM=x，
∴MB=3x，
∴CB=CD=4x，
∴HB=2x，
∴HM=x．
∵HM=ND，
∴ND=3x，
∴CN=7x，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴ED∥BC，
∴△NDE∽△NCM，△DEF∽△BMF，
∴，
∴，
∴DE=x，
∴，
∵NQ=9，
∴QM=3，
在Rt△MNQ中，由勾股定理得：
，
∴，
∴，
∴，
設(shè)EF=a，則FM=7a，
∴，
∴．
∴EF的長為．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定和性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用及平行線等分線段定理的運(yùn)用，在解答時利用三角形相似的性質(zhì)求出線段的比是解答本題的關(guān)鍵．
5．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是直線AC上一動點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)D作FD⊥ED，交直線BC于點(diǎn)F．
（1）探究發(fā)現(xiàn)：
如圖1，若m＝n，點(diǎn)E在線段AC上，則＝ ；
（2）數(shù)學(xué)思考：
①如圖2，若點(diǎn)E在線段AC上，則＝ （用含m，n的代數(shù)式表示）；
②當(dāng)點(diǎn)E在直線AC上運(yùn)動時，①中的結(jié)論是否仍然成立？請僅就圖3的情形給出證明；
（3）拓展應(yīng)用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，請直接寫出CE的長．
【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或
【分析】（1）先用等量代換判斷出，，得到∽，再判斷出∽即可；
（2）方法和一樣，先用等量代換判斷出，，得到∽，再判斷出∽即可；
（3）由的結(jié)論得出∽，判斷出，求出DE，再利用勾股定理，計算出即可．
【詳解】解：當(dāng)時，即：，
，
，
，
，
，
，
，
即，
∽，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
∽，
，
，，
∽，
，
成立如圖3，
，
，
又，
，
，
，
，
即，
∽，
，
，，
∽，
，
．
由有，∽，
，
，
，
如圖4圖5圖6，連接EF．
在中，，，
，
如圖4，當(dāng)E在線段AC上時，
在中，，，
根據(jù)勾股定理得，，
，或舍
如圖5，當(dāng)E在AC延長線上時，
在中，，，
根據(jù)勾股定理得，，
，
，或舍，
③如圖6，當(dāng)E在CA延長線上時，
在中，，，
根據(jù)勾股定理得，，
，
，或（舍），
綜上：或．
【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了三角形相似的性質(zhì)和判定，勾股定理，判斷相似是解決本題的關(guān)鍵，求CE是本題的難點(diǎn)．
考點(diǎn)六 三角形內(nèi)接矩形/正方形
1．（2022·山東東營·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)F、G在上，點(diǎn)E、H分別在、上，四邊形是矩形，是的高．，那么的長為____________．
【答案】##4.8
【分析】通過四邊形EFGH為矩形推出，因此△AEH與△ABC兩個三角形相似，將AM視為△AEH的高，可得出，再將數(shù)據(jù)代入即可得出答案．
【詳解】∵四邊形EFGH是矩形，
∴，
∴，
∵AM和AD分別是△AEH和△ABC的高，
∴，
∴，
∵，
代入可得：，
解得，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
2．（2022·黑龍江大慶·八年級期中）如圖，有一塊三角形土地，它的底邊m，高m，某單位要沿底邊BC建一座是矩形的大樓，且使矩形的兩個端點(diǎn)D、G分別在AB、AC上，當(dāng)這座大樓的地基面積為1875時，求這個矩形沿BC邊所占的EF的長．
【答案】當(dāng)EF的長為62.5或37.5米時，最大面積為1875平方米
【分析】設(shè)DE的長為x，先證△ADG∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)高的比等于相似比得，得，再根據(jù)面積列出，求出x即可．
【詳解】解：設(shè)DE的長為x，
∵矩形DEFG的邊EF在△ABC的邊BC上，
∴DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∵AH⊥BC，
∴AM⊥DG
∴，
∴，
∴，
∴矩形DEFG面積為：，
解得：x＝30或50，
EF＝DG＝62.5或37.5．
∴當(dāng)EF的長為62.5或37.5米時，最大面積為1875平方米．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理清題意正確地找到相似三角形．
3．（2021·全國·九年級課時練習(xí)）一塊直角三角形木板的面積為，一條直角邊為，怎樣才能把它加工成一個面積最大的正方形桌面？甲、乙兩位木匠的加工方法如圖所示，請你用學(xué)過的知識說明哪位木匠的方法符合要求（加工損耗忽略不計，計算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)可保留）．
【答案】乙木匠的加工方法符合要求．說明見解析．
【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求，需要先求出兩種加工方式中正方形的邊長，邊長最大就符合要求；由已知三角形的面積和一條直角邊的邊長可求出其余兩邊的邊長，根據(jù)乙加工方案中的平行關(guān)系得到相似三角形，根據(jù)相似三角形對應(yīng)變成比例，可求出正方形的邊長；根據(jù)甲加工方案中，根據(jù)相似三角形的高的比等于邊長比，可求出正方形的邊長，對比兩方案的邊長即可知誰符合要求．
【詳解】解：作BH⊥AC于H，交DE于M，如圖
∵
∴
∵
∴
∴
又∵DE∥AC
∴
∴，解得
設(shè)正方形的邊長為x米，如圖乙
∵DE∥AB
∴
∴，解得
∵
∴乙木匠的加工方法符合要求．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的實際應(yīng)用及分析、解決問題的能力，正確理解題意，建立數(shù)學(xué)模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解決本題的關(guān)鍵．
4．（2021·天津·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，P，Q兩點(diǎn)同時從C出發(fā)，點(diǎn)P 以每秒2個單位長度的速度沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動；點(diǎn)Q 以每秒1個單位長度的速度沿CA向終點(diǎn)A運(yùn)動，以CP，CQ為鄰邊作矩形CPMQ．當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動時，點(diǎn)Q繼續(xù)向終點(diǎn)A運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動時間為t秒．
（1）在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，CQ＝________，BP＝________（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)點(diǎn)M落在AB邊上時，t ＝_________s；
（3）設(shè)矩形CPMQ與△ABC重合部分圖形的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
【答案】（1）t，4—2t；（2）；（3）
【分析】（1）根據(jù)路程、速度、時間的關(guān)系即可求解；
（2）先由運(yùn)動知，，，，再判斷出得出比例式，建立方程即可得出結(jié)論；
（3）分三種情況，當(dāng)時，直接是矩形的面積，當(dāng)時，利用面積的差即可得出結(jié)論，當(dāng)時，利用面積的差即可得出結(jié)論.
【詳解】解：（1）點(diǎn)以每秒2個單位長度的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)以每秒1個單位長度的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動，
，，
，
，
故答案為：，；
（2），，
，，
四邊形是矩形，
，
當(dāng)點(diǎn)在邊上時，
，
，
，
，
，
故答案為：；
（3）當(dāng)時，如圖①，
．，．
；
當(dāng)時，如圖②，
設(shè)與相交于點(diǎn)，設(shè)與相交于點(diǎn)．
則，
．
；
當(dāng)時，如圖③，
設(shè)與相交于點(diǎn)．
則．
．
綜上所述：．
【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題．
5．（2021·浙江·寧波市興寧中學(xué)九年級期中）課本中有一道作業(yè)題：有一塊三角形余料ABC，它的邊BC＝12m，高線AD＝8m．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點(diǎn)分別在AB，AC上．問加工成的正方形零件的邊長為多少米？小穎解得此題的答案為4.8m．
(1)你知道小穎是怎么做的嗎？請你寫出解答過程？
(2)善于反思，她又提出了如下的問題，如果原題中所要加工的零件只是一個矩形，如圖2，這樣，此矩形零件的兩條邊長就不能確定，但這個矩形面積有最大值，求達(dá)到這個最大值時矩形零件的兩條邊長．
(3)如圖3，小穎想如果這塊余料形狀改為Rt△ABC的斜板，已知∠A＝90°，AB＝8m，AC＝6m，要把它加工成一個形狀為平行四邊形PQMN的工件，使MQ在BC上，P、N兩點(diǎn)分別在AB，AC上，且PN＝8m，則平行四邊形PQMN的面積為 m2．
【答案】(1)見解析
(2)達(dá)到這個最大值時矩形零件的兩條邊長
(3)7.68
【分析】（1）設(shè)正方形PQMN的邊長為xm，則PN=PQ=ED=xm，AE=AD-ED=（8-x）m，再證明△APN∽△ABC，得到，即，由此求解即可；
（2）設(shè)PN=xm，矩形PQMN的面積為，同理可證△APN∽△ABC，求出，則，由此利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）如圖所示，過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，交PN于E，同理可證△APN∽△ABC，AE⊥PN，得到，利用勾股定理和面積法求出，，從而求出，則．
（1）
解：由題意得四邊形PQDE是矩形，設(shè)正方形PQMN的邊長為xm，則PN=PQ=ED=xm，
∴AE=AD-ED=（8-x）m，
∵四邊形PQMN是正方形，
∴，
∴△APN∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴AE⊥PN，
∴，即，
解得，
∴正方形PQMN的邊長為4.8m；
（2）
解：設(shè)PN=xm，矩形PQMN的面積為，
同理可證△APN∽△ABC，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴當(dāng)時，有最大值，最大值為，
∴，
∴達(dá)到這個最大值時矩形零件的兩條邊長
（3）
解：如圖所示，過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，交PN于E，
同理可證△APN∽△ABC，AE⊥PN，
∴，
在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8m，AC＝6m，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：7.68．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，二次函數(shù)的應(yīng)用等等，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．

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