考點一 圓周角概念辨析 考點二 同弧或等弧所對的圓周角相等
考點三 直徑所對的圓周角是直角， 考點四 90°的圓周角所對的弦是直徑
考點五 圓內(nèi)接四邊形對角互補
典型例題

考點一 圓周角概念辨析
例題：（2022·山西實驗中學九年級階段練習）下列圖形中的角是圓周角的是（ ）
A．B．C．D．
【變式訓練】
1．（2022·廣東·九年級專題練習）下列說法正確的是（ ）
A．等弧所對的圓周角相等B．平分弦的直徑垂直于弦
C．相等的圓心角所對的弧相等D．過弦的中點的直線必過圓心
2．（2022·福建廈門·九年級期末）如圖，△ABC內(nèi)接于圓，弦BD交AC于點P，連接AD．下列角中，所對圓周角的是（ ）
A．∠APBB．∠ABDC．∠ACBD．∠BAC
3．（2021·全國·九年級專題練習）觀察下圖中角的頂點與兩邊有何特征？指出哪些角是圓周角？
考點二 同弧或等弧所對的圓周角相等
例題：（2022·廣西貴港·中考真題）如圖，⊙是的外接圓，是⊙的直徑，點P在⊙上，若，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【變式訓練】
1．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，是的兩條半徑，點C在上，若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·四川廣安·二模）如圖，四邊形ABCD的外接圓為⊙O，BC＝CD，∠DAC＝36°，∠ACD＝44°，則∠ADB的度數(shù)為（ ）
A．55°B．64°C．65°D．70°
3．（2022·廣東·乳源瑤族自治縣教師發(fā)展中心三模）如圖，是的直徑，點在上，且的長是長的2倍，的平分線交于點，則的度數(shù)為（ ）
A．90°B．95°C．100°D．105°
考點三 直徑所對的圓周角是直角
例題：（2022·廣西梧州·二模）如圖，AB、CD分別是⊙O的直徑，連接BC、BD，如果弦，且∠CDE＝62°，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．CB⊥BDB．∠CBA＝31°C．D．BD＝DE
【變式訓練】
1．（2022·湖北十堰·三模）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，D是AB另一側(cè)半圓的中點，若CD=，BC=4，則⊙O的半徑長為（ ）
A．B．2C．D．2
2．（2022·安徽蕪湖·二模）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，邊長BC=，P為弧AD上一點且AP=1，則PC=________________．
3．（2022·吉林長春·模擬預(yù)測）如圖，在中，弦與直徑相交于點E，連接．若，則的大小為_________度．
考點四 90°的圓周角所對的弦是直徑
例題：（2021·全國·九年級課時練習）如圖，的弦垂直于，，則的半徑等于（ ）
A．B．C．D．4
【變式訓練】
1．（2022·江西吉安·一模）如圖，在矩形中，，，為矩形內(nèi)一點，，連接，則的最小值為（ ）
A．8B．C．10D．
2．（2022·江蘇徐州·模擬預(yù)測）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=5，P是△ABC內(nèi)部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值為__________.
考點五 圓內(nèi)接四邊形對角互補
例題：（2022·湖南婁底·模擬預(yù)測）如圖，點B，C，D在⊙O上，若，則的度數(shù)是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．100°
【變式訓練】
1．（2022·新疆·烏魯木齊八一中學九年級期中）在中，四邊形OABC為菱形，點D在上，則的度數(shù)是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
2．（2022·福建廈門·模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，點E為邊CD上任意一點（不與點C，點D重合），連接BE，若∠A=60°，則∠BED的度數(shù)可以是（ ）．
A．110°B．115°C．120°D．125°
課后訓練
一、選擇題
1．（2022·山東威海·九年級期末）如圖，點A，B，C都在⊙O上，若＝36°，則∠OAB＝（ ）
A．18°B．54°C．36°D．72°
2．（2022·山西·中考真題）如圖，內(nèi)接于，AD是的直徑，若，則的度數(shù)是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
3．（2022·浙江麗水·三模）如圖，，，，四個點均在上，，，若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，是的兩條直徑，E是劣弧的中點，連接，．若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·遼寧·沈陽市第一二六中學模擬預(yù)測）如圖，BD是的直徑，弦AC交BD于點G．連接OC，若，，則的度數(shù)為（ ）
A．98°B．103°C．108°D．113°
二、填空題
6．（2022·湖南邵陽·三模）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上的兩點，若，則∠C的度數(shù)為___________．
7．（2022·浙江湖州·中考真題）如圖，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足為C，OC的延長線交⊙O于點D．若∠APD是所對的圓周角，則∠APD的度數(shù)是______．
8．（2022·安徽宿州·模擬預(yù)測）如圖，是的外接圓，，的平分線交于點D，的平分線交AD于點E，連接BD，若的直徑是，則DE的長為_______．
9．（2022·陜西咸陽·九年級期中）如圖，在菱形ABCD中，，，點E是射線CD上一點，連接BE，點P在BE上，連接AP，若，則面積的最大值為__________．
10．（2022·陜西·西安工業(yè)大學附中三模）如圖，在四邊形ABCD中，AB=8，BC=6，∠B=60°，∠C=120°，點O、E分別是AB、CD的中點，OH⊥BC于點H，點P是邊BC上的一點，連接OP，將△OHP沿著OP所在直線翻折，點H的對應(yīng)點為H′，當H′E取最小值時邊CD的長為_____．
三、解答題
11．（2022·廣東·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，．
(1)試判斷的形狀，并給出證明；
(2)若，，求的長度．
12．（2022·遼寧沈陽·二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，D是弧AC的中點，延長BC到點E，使，連接BD，ED．
(1)求證：；
(2)若，，⊙O的直徑長為 ．
13．（2021·江蘇·揚州市江都區(qū)雙溝中學一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=AC，BD交AC于點E，延長AD，BC交于點F，且CF=AC．
(1)求證∶CD=AD；
(2)若AD=，AB=，求FD的長．
14．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學校九年級學業(yè)考試）如圖，、為的弦，與相交于點，．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，點在上，連接、，若為直徑，，求證：；
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接、，，若，的面積為6，求的長．
15．（2022·黑龍江·哈爾濱市風華中學校模擬預(yù)測）如圖，內(nèi)接于圓O，高AD、CE相交于點H，延長AH交圓O于點G．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，連接CO，求證：；
(3)如圖3，在（2）的條件下，延長CO交圓O于點N，連接GN、DE，若，，求DH的長．
專題06 圓周角壓軸題五種模型全攻略
考點一 圓周角概念辨析 考點二 同弧或等弧所對的圓周角相等
考點三 直徑所對的圓周角是直角， 考點四 90°的圓周角所對的弦是直徑
考點五 圓內(nèi)接四邊形對角互補
典型例題

考點一 圓周角概念辨析
例題：（2022·山西實驗中學九年級階段練習）下列圖形中的角是圓周角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)圓周角的定義（角的頂點在圓上，并且角的兩邊與圓相交的角叫做圓周角）判斷即可．
【詳解】
解：根據(jù)圓周角的定義可知，選項中的角是圓周角．
故選：．
【點睛】
本題考查圓周角的定義，解題的關(guān)鍵是理解圓周角的定義，屬于中考基礎(chǔ)題．
1．（2022·廣東·九年級專題練習）下列說法正確的是（ ）
A．等弧所對的圓周角相等B．平分弦的直徑垂直于弦
C．相等的圓心角所對的弧相等D．過弦的中點的直線必過圓心
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)圓周角定理，垂徑定理的推論，圓心角、弧、弦的關(guān)系，對稱軸的定義逐項排查即可．
【詳解】
解：A. 同弧或等弧所對的圓周角相等，所以A選項正確；
B.平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧，所以B選項錯誤；
C、在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所以C選項錯誤；
D.圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，所以D選項錯誤.
故選A.
【點睛】
本題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系,軸對稱圖形，垂徑定理，圓周角定理等知識點．靈活運用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵．
2．（2022·福建廈門·九年級期末）如圖，△ABC內(nèi)接于圓，弦BD交AC于點P，連接AD．下列角中，所對圓周角的是（ ）
A．∠APBB．∠ABDC．∠ACBD．∠BAC
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)題意可直接進行求解．
【詳解】
解：由圖可知：所對圓周角的是∠ACB或∠ADB，
故選C．
【點睛】
本題主要考查圓周角的定義，熟練掌握圓周角是解題的關(guān)鍵．
3．（2021·全國·九年級專題練習）觀察下圖中角的頂點與兩邊有何特征？指出哪些角是圓周角？
【答案】特征見解析，(c)圖中∠3、∠4、∠BAD是圓周角
【解析】
【詳解】
解： (a)∠1頂點在⊙O內(nèi)，兩邊與圓相交，所以∠1不是圓周角；
(b)∠2頂點在圓外，兩邊與圓相交，所以∠2不是圓周角；
(c)圖中∠3、∠4、∠BAD的頂點在圓周上，兩邊均與圓相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圓周角．
(d)∠5頂點在圓上，一邊與圓相交，另一邊與圓不相交，所以∠5不是圓周角；
(e)∠6頂點在圓上，兩邊與圓均不相交，由圓周角的定義知∠6不是圓周角.
【點睛】
本題主要考查了圓周角的定義，熟練掌握頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角是解題的關(guān)鍵．
考點二 同弧或等弧所對的圓周角相等
例題：（2022·廣西貴港·中考真題）如圖，⊙是的外接圓，是⊙的直徑，點P在⊙上，若，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)圓周角定理得到，，然后利用互余計算出∠A的度數(shù)，從而得到的度數(shù)．
【詳解】
解：∵AB是⊙O的直徑，
∴，
∴
∴，
故選：C．
【點睛】
本題考查了圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半；半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．
1．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，是的兩條半徑，點C在上，若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)圓周角定理即可求解．
【詳解】
∵是的兩條半徑，點C在上，
∴∠C= =40°
故選：B
【點睛】
本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或者在等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解答本題關(guān)鍵．
2．（2022·四川廣安·二模）如圖，四邊形ABCD的外接圓為⊙O，BC＝CD，∠DAC＝36°，∠ACD＝44°，則∠ADB的度數(shù)為（ ）
A．55°B．64°C．65°D．70°
【答案】B
【解析】
【分析】
利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得到，再利用圓周角定理得到∠BAC＝∠DAC＝36°，∠ABD＝∠ACD＝44°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和計算∠ADB的度數(shù)．
【詳解】
解：∵BC＝CD，
∴，
∵∠ABD和∠ACD所對的弧都是，
∴∠BAC＝∠DAC＝36°，
，
∵∠ABD＝∠ACD＝44°，
∴∠ADB＝180°?∠BAD?∠ABD＝180°?72°?44°＝64°，
故選：B．
【點睛】
本題考查了圓周角定理和圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握圓周角定理是解決問題的關(guān)鍵．
3．（2022·廣東·乳源瑤族自治縣教師發(fā)展中心三模）如圖，是的直徑，點在上，且的長是長的2倍，的平分線交于點，則的度數(shù)為（ ）
A．90°B．95°C．100°D．105°
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)AB是⊙O的直徑和的長是長的2倍，可以求得∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)CD平分∠ACB，可以得到∠ABD的度數(shù)，然后即可計算出∠CBD的度數(shù)．
【詳解】
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵的長是長的2倍，的度數(shù)＋的度數(shù)＝180°，
∴的度數(shù)為120°，的度數(shù)為60°
∴∠ABC＝60°，∠CDB＝30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝45°，
∴∠ABD＝∠ACD＝45°，
∴∠CBD＝∠ABC＋∠ABD＝60°＋45°＝105°，
故選：D．
【點睛】
本題考查圓周角定理，解答本題的關(guān)鍵是求出∠ABC和∠ABD的度數(shù)．
考點三 直徑所對的圓周角是直角
例題：（2022·廣西梧州·二模）如圖，AB、CD分別是⊙O的直徑，連接BC、BD，如果弦，且∠CDE＝62°，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．CB⊥BDB．∠CBA＝31°C．D．BD＝DE
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，即可判斷A，根據(jù)圓周角定理可判斷B選項，根據(jù)圓周角與弧的關(guān)系可判斷C，根據(jù)判斷D選項．
【詳解】
解：∵AB、CD分別是⊙O的直徑，
，
∴CB⊥BD，
故A選項正確，
如圖，連接，
，且∠CDE＝62°，
，
，
，
，
，
，
，
，
故B，C選項正確，
，
，
，
，
BDDE，故D選項不正確，
故選D．
【點睛】
本題考查了圓周角定理，直徑所對的圓周角是直角，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
【變式訓練】
1．（2022·湖北十堰·三模）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，D是AB另一側(cè)半圓的中點，若CD=，BC=4，則⊙O的半徑長為（ ）
A．B．2C．D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
連接AD，過點B作BE⊥CD于點E，證明△ADB和△ADB都是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理求解即可．
【詳解】
解：連接AD，過點B作BE⊥CD于點E，
∵AB是⊙O的直徑，D是的中點，
∴∠ADB=90°，AD=DB，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴∠A=∠ABD=45°，
∴∠C=∠A=45°，
∴△EBC是等腰直角三角形，
∵BC=4，
∴EC=EB=2，
∵CD=，
∴DE=，
∴BD=，
在等腰直角△BDA中，AB=，
∴⊙O的半徑長為，
故選：A．
【點睛】
本題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題．
2．（2022·安徽蕪湖·二模）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，邊長BC=，P為弧AD上一點且AP=1，則PC=________________．
【答案】3
【解析】
【分析】
連接，易得為直徑，在中利用勾股定理算出，再在中利用勾股定理算出．
【詳解】
解：連接，四邊形是正方形，
，，
是直徑．
．
在中，，
在中，．
故答案為：．
【點睛】
本題考查了圓的內(nèi)接正多邊形，直徑所對的圓周角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟記并靈活運用“直徑所對的圓周角是直角”．
3．（2022·吉林長春·模擬預(yù)測）如圖，在中，弦與直徑相交于點E，連接．若，則的大小為_________度．
【答案】
【解析】
【分析】
由直徑所對的圓周角是直角求出的度數(shù)，由等腰三角形的性質(zhì)可求得，從而得到的度數(shù)，再由同弧所對的圓心角是圓周角的兩倍求出的度數(shù)．
【詳解】
解：是直徑，
，
，
，
，
，
．
故答案為：．
【點睛】
本題考查了直徑所對的圓周角是直角，同弧所對的圓周角與圓心角的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握圓相關(guān)性質(zhì)．
考點四 90°的圓周角所對的弦是直徑
例題：（2021·全國·九年級課時練習）如圖，的弦垂直于，，則的半徑等于（ ）
A．B．C．D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
首先連接，由的弦垂直于，即可得是直徑，又由，，根據(jù)勾股定理即可求得的長，則可求得的半徑．
【詳解】
解：連接，
，
，
是的直徑，
，，
，
的半徑為：．
故選：A．
【點睛】
此題考查了圓周角定理與勾股定理．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是掌握的圓周角所對的弦是直徑定理的應(yīng)用．
【變式訓練】
1．（2022·江西吉安·一模）如圖，在矩形中，，，為矩形內(nèi)一點，，連接，則的最小值為（ ）
A．8B．C．10D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先由題意可知：點P在以AB為直徑的圓上，設(shè)圓心為點E，在圓E上任取一點F，連接EF、DF、EP、PD，可知當點E、P、D在一條直線上時，PD最小，再根據(jù)三角形三邊的關(guān)系即可證得，最后根據(jù)勾股定理即可求ED，據(jù)此即可求得．
【詳解】
解：
點P在以AB為直徑的圓上，設(shè)圓心為點E
如圖：在圓E上任取一點F，連接EF、DF、EP、PD
當點E、P、D在一條直線上時，PD最小
理由如下：
，EP=EF
(當且僅當點F與點P重合時取等號)
此時PD最小
，點E是AB的中點，EP是圓的半徑

在中，

故PD的最小值為8
故選：A
【點睛】
本題考查了三角形三邊的關(guān)系，最短距離問題，勾股定理，確定點P的位置是解決本題的關(guān)鍵．
2．（2022·江蘇徐州·模擬預(yù)測）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=5，P是△ABC內(nèi)部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值為__________.
【答案】##
【解析】
【分析】
利用已知條件，可知∠BPA=90°，P點在以AB為直徑的圓上，如圖，O為圓心，連接OC，OC與圓O的交點P，CP即為最小值，進行計算求值即可．
【詳解】
解：∵∠ABC=90°，∠PAB=∠PBC，
∴∠PBA+∠PBC=90°，∠PBA+∠PAB=90°，
∴∠BPA=90°，
∴P點在以AB為直徑的圓上，如圖，O為圓心，連接OC，OC與圓O的交點P，CP即為最小值
∵AB=6，
∴OB=OP=3，
∵BC=5，
∴OC=,
∴CP=，
故答案為：
【點睛】
本題考查的圓中幾何問題的綜合運用，掌握圓的基礎(chǔ)性質(zhì)，進行計算求值是解題的關(guān)鍵．
考點五 圓內(nèi)接四邊形對角互補
例題：（2022·湖南婁底·模擬預(yù)測）如圖，點B，C，D在⊙O上，若，則的度數(shù)是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．100°
【答案】D
【解析】
【分析】
首先圓上取一點A，連接AB，AD，根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度數(shù)，再根據(jù)圓周角的性質(zhì)，即可求得答案．
【詳解】
解：圓上取一點A，連接AB，AD，
∵點A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BOD=2∠BAD=100°．
故選：D．
【點睛】
此題考查了圓周角的性質(zhì)與圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．
【變式訓練】
1．（2022·新疆·烏魯木齊八一中學九年級期中）在中，四邊形OABC為菱形，點D在上，則的度數(shù)是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】C
【解析】
【分析】
設(shè)，則，利用菱形性質(zhì)可得，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知：，即可求出．
【詳解】
解：設(shè)，則
∵四邊形OABC為菱形，
∴，
∵四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，
∴，即，
∴，即．
故選：C
【點睛】
本題考查菱形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是找出．
2．（2022·福建廈門·模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，點E為邊CD上任意一點（不與點C，點D重合），連接BE，若∠A=60°，則∠BED的度數(shù)可以是（ ）．
A．110°B．115°C．120°D．125°
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補，可求出∠C的度數(shù)，然后利用三角形的外角可得∠DEB＞∠C，即可解答．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠A=60°，
∴∠C=180°-∠A=120°，
∵∠DEB是△DCE的一個外角，
∴∠DEB＞∠C，
∴∠DEB的度數(shù)可能是：125°，
故選：D．
【點睛】
本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形對角互補是解題的關(guān)鍵．
課后訓練
一、選擇題
1．（2022·山東威?！ぞ拍昙壠谀┤鐖D，點A，B，C都在⊙O上，若＝36°，則∠OAB＝（ ）
A．18°B．54°C．36°D．72°
【答案】B
【解析】
【分析】
利用一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半得到∠AOB，再用等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：∵∠ACB＝∠AOB，∠ACB＝36°，
∴∠AOB＝2×∠ACB＝72°．
∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∵∠AOB＋∠OAB＋∠OBA＝180°，
∴∠OAB＝（180°－∠AOB）＝54°，
故選：B．
【點睛】
本題主要考查了圓周角定理，利用一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半解答是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·山西·中考真題）如圖，內(nèi)接于，AD是的直徑，若，則的度數(shù)是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【答案】C
【解析】
【分析】
首先連接CD，由AD是的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可求得，又由圓周角定理，可得，再用三角形內(nèi)角和定理求得答案．
【詳解】
解：連接CD，
∵AD是的直徑，
∴．
∵，
∴．
故選：C．
【點睛】
本題考查了圓周角定理、三角形的內(nèi)角和定理．熟練掌握圓周角定理是解此題的關(guān)鍵．
3．（2022·浙江麗水·三模）如圖，，，，四個點均在上，，，若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
連接AB，由△AOB是等腰三角形，∠AOB＝70°，求得∠OBA的度數(shù)，由得到∠DAO的度數(shù)，由得到∠ADC的度數(shù)，四邊形ABCD是的內(nèi)接四邊形，由圓內(nèi)接四邊形對角互補即可得到答案．
【詳解】
解：連接AB，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰三角形，
∵∠OAB＋∠OBA＋∠AOB＝180°，∠AOB＝70°，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°－∠AOB）＝55°，
∵，
∴∠DAO＝∠AOB＝70°，
∵，
∴ ∠ADC＝180°－∠DAO＝180°－70°＝110°，
∵，，，四個點均在上，
∴四邊形ABCD是的內(nèi)接四邊形，
∴∠ADC＋∠ABC＝∠ADC＋∠ABO＋∠OBC＝180°，
∴∠OBC＝180°－∠ADC－∠ABO＝15°．
故選：B．
【點睛】
此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，是的兩條直徑，E是劣弧的中點，連接，．若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
連接OE，由題意易得，則有，然后可得，進而根據(jù)圓周角定理可求解．
【詳解】
解：連接OE，如圖所示：
∵OB=OC，，
∴，
∴，
∵E是劣弧的中點，
∴，
∴；
故選C．
【點睛】
本題主要考查圓周角定理及垂徑定理，熟練掌握圓周角定理及垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·遼寧·沈陽市第一二六中學模擬預(yù)測）如圖，BD是的直徑，弦AC交BD于點G．連接OC，若，，則的度數(shù)為（ ）
A．98°B．103°C．108°D．113°
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出∠COB的度數(shù)，由圓周角定理求出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)弧、弦之間的關(guān)系求出∠ABD=45°，即可得到答案．
【詳解】
解：∵∠COD=126°，
∴∠COB=54°，
∴，
∵BD是圓O的直徑，
∴∠BAD=90°，
∵，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠AGB=180°-∠BAG-∠ABG=108°，
故選C．
【點睛】
本題主要考查了圓周角定理，直徑所對的圓周角是直角，等弧所對的弦相等，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理等等，熟知圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
6．（2022·湖南邵陽·三模）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上的兩點，若，則∠C的度數(shù)為___________．
【答案】36°##36度
【解析】
【分析】
連接AD，由直徑所對的圓周角是直角得∠ADB=90° ，即可求得∠DAB的度數(shù)，由同圓中相等的弧所對的圓周角相等即可得∠C的度數(shù)．
【詳解】
如圖，連接AD．
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°．
∴．
∴∠C=∠DAB=36°．
故答案為：36°．
【點睛】
本題考查了直徑所對的圓周角是直角、同圓中相等的弧所對的圓周角相等，掌握這兩個知識點是解題的關(guān)鍵．
7．（2022·浙江湖州·中考真題）如圖，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足為C，OC的延長線交⊙O于點D．若∠APD是所對的圓周角，則∠APD的度數(shù)是______．
【答案】30°##30度
【解析】
【分析】
根據(jù)垂徑定理得出∠AOB=∠BOD，進而求出∠AOD=60°，再根據(jù)圓周角定理可得∠APD=∠AOD=30°．
【詳解】
∵OC⊥AB，OD為直徑，
∴，
∴∠AOB=∠BOD，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOD=60°，
∴∠APD=∠AOD=30°，
故答案為：30°．
【點睛】
本題考查了圓周角定理、垂徑定理等知識，掌握垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵．
8．（2022·安徽宿州·模擬預(yù)測）如圖，是的外接圓，，的平分線交于點D，的平分線交AD于點E，連接BD，若的直徑是，則DE的長為_______．
【答案】1
【解析】
【分析】
連接CD，根據(jù)AD、BE分別平分∠BAC和∠ABC，結(jié)合圓周角定理和三角形外角性質(zhì)，得出，根據(jù)直徑所對的圓周角為90°，結(jié)合BD=CD，，利用勾股定理，求出，即可求出．
【詳解】
解：連接CD，如圖所示：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴，
∴，，
∵為直徑，且，
∴∠BDC=90°，
∴，
∴，
∴，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵，，
∴，
∴．
故答案為：1．
【點睛】
本題主要考查了角平分線的定義，圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，作出輔助線，根據(jù)題意證明，是解題的關(guān)鍵．
9．（2022·陜西咸陽·九年級期中）如圖，在菱形ABCD中，，，點E是射線CD上一點，連接BE，點P在BE上，連接AP，若，則面積的最大值為__________．
【答案】
【解析】
【分析】
若要使的面積最大，底AB固定，故只要AB邊上的高最大時，即三角形面積最大；可證，故可知點P在△APB的外接圓的劣弧上，當點P在劣弧的中點處，△APB的面積最大，求出AB邊上的高即可求解．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=6，AB//CD，
∴
∵，
∴ 即，
∵，
∴，
∵，
∴點P在在△APB的外接圓上，
若要使的面積最大，底AB固定，，故只要AB邊上的高最大時，即三角形面積最大；此時點P在劣弧的中點處，如圖，
設(shè)點O為△APB的外接圓的圓心，OP⊥AB于點F，
∴，,
∴
∴
由勾股定理得，
∴
∴PF=
∴
即面積的最大值為．
故答案為：．
【點睛】
本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形的面積公式，解直角三角形，垂徑定理等知識，正確作出輔助圓，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
10．（2022·陜西·西安工業(yè)大學附中三模）如圖，在四邊形ABCD中，AB=8，BC=6，∠B=60°，∠C=120°，點O、E分別是AB、CD的中點，OH⊥BC于點H，點P是邊BC上的一點，連接OP，將△OHP沿著OP所在直線翻折，點H的對應(yīng)點為H′，當H′E取最小值時邊CD的長為_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，CD∥AB，當OE⊥AB時，OE長最短；當O、H′、E三點共線時，H′E取得最小值，過點C作CF⊥AB于點F，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】
解：∵∠B=60°，∠C=120°，∴CD∥AB，
∴當OE⊥AB時，OE長最短；
根據(jù)折疊的性質(zhì)，OH=OH′，
∴點H′在以O(shè)為圓心，OH為半徑的一段弧上，
當O、H′、E三點共線時，H′E取得最小值，如圖，
過點C作CF⊥AB于點F，
∴四邊形OECF為矩形，
∴OF=CE，
∵∠B=60°，BC=6，
∴BF=BC=3，
∵點O是AB的中點，且AB=8，
∴OB=4，
∴CE=OF=1，
∵點E是CD的中點，
∴CD=2，
故答案為：2．
【點睛】
本題考查了折疊的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，圓的相關(guān)概念，矩形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
三、解答題
11．（2022·廣東·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，．
(1)試判斷的形狀，并給出證明；
(2)若，，求的長度．
【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形；證明見解析；
(2)；
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)圓周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根據(jù)等弧對等角可得∠ACB=∠CAB，即可證明；
（2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可；
(1)
證明：∵AC是圓的直徑，則∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，
∴∠ACB=∠CAB，
∴△ABC是等腰直角三角形；
(2)
解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AB=，
∴AC=，
Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，則CD=，
∴CD=．
【點睛】
本題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識；掌握等弧對等角是解題關(guān)鍵．
12．（2022·遼寧沈陽·二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，D是弧AC的中點，延長BC到點E，使，連接BD，ED．
(1)求證：；
(2)若，，⊙O的直徑長為 ．
【答案】(1)見解析
(2)10
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)同弧所對的弦相等可得AD=CD，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠A=∠DCE，證明△ABD≌△CED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可證明結(jié)論；
（2）連接OA，OD，根據(jù)圓周角定理，可得∠AOD=60°，根據(jù)等邊三角形的判定定理可得△AOD是等邊三角形，故半徑為5，即可求得直徑．
(1)
證明：∵D是弧AC的中點，
∴，
∴AD=CD，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠A=∠DCE，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴BD=ED．
(2)
解：連接OA，OD，如圖，
∵D是弧AC的中點，
∴，
∴∠ABD=∠CBD=，
∴∠AOD=2∠ABD=2×30°=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等邊三角形，
∴半徑OA= AD=5，
∴直徑長=10．
故答案為：10．
【點睛】
本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、同弧所對的弦相等、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)．
13．（2021·江蘇·揚州市江都區(qū)雙溝中學一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=AC，BD交AC于點E，延長AD，BC交于點F，且CF=AC．
(1)求證∶CD=AD；
(2)若AD=，AB=，求FD的長．
【答案】(1)見解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠CAF=∠F，再由圓周角定理即可證明；
（2）過點C作CG⊥AF于點G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AG=FG，然后根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．
(1)
證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵CF=AC，
∴∠CAF=∠F，
∴∠ACB=∠CAF+∠F=2∠CAD，
∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ACD+∠CAD，
∴2∠CAD=∠ACD+∠CAD，
∴∠CAD=∠ACD，
∴CD=AD；
(2)
如圖，過點C作CG⊥AF于點G，
∵AC=CF=AB=2，
∴AG=FG，
在Rt?ACG中，根據(jù)勾股定理可得：
，
在Rt?DCG中，根據(jù)勾股定理可得：
，
∴，
由（1）知：CD=AD=，
∴AG=AD+DG=+DG，
∴8-3=，
解得：，
∴AG=，
∴FD=，
∴FD的長為．
【點睛】
題目主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理等知識點，熟練運用這些知識點是解題關(guān)鍵．
14．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學校九年級學業(yè)考試）如圖，、為的弦，與相交于點，．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，點在上，連接、，若為直徑，，求證：；
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接、，，若，的面積為6，求的長．
【答案】(1)證明過程見解析
(2)證明過程見解析
(3)10
【解析】
【分析】
(1)連接BD，由得到∠B=∠D即可證明BE=DE；
(2)連接AF，由AB⊥CD得到∠BED=90°，由(1)中結(jié)論得到∠EBD=∠EDB=45°，由同弧所對的圓周角相等得到∠EBD=∠AFD=45°，最后根據(jù)DF是直徑得到∠DAF=90°即可證明；
(3)連接EF，過F點作FH⊥AB于H點，證明CF∥BE，設(shè)CF=a，CE=b，得到，進而得到；再證明四邊形CEHF為矩形得到a+b=8，進而求出a、b的值，最后在在Rt△CDF中由勾股定理求出，在等腰Rt△ADF中，．
(1)
證明：連接DB，如下圖所示：
∵，
∴∠B=∠D，
∴△EDB為等腰三角形，
∴ED=EB．
(2)
證明：連接AF，如下圖所示：
∵AB⊥CD，
∴∠BED=90°，
由(1)中結(jié)論得到∠EBD=∠EDB=45°，
∵同弧所對的圓周角相等，
∴∠EBD=∠AFD=45°，
∵DF是直徑，
∴∠DAF=90°，
在Rt△ADF中，∠ADF=90°-∠AFD=90°-45°=45°．
(3)
解：連接EF，過F點作FH⊥AB于H點，如下圖所示：
∵DF為直徑，
∴∠DCF=90°=∠DEB，
∴CF∥BE，
設(shè)CF=a，CE=b，
∴，
∴，
∵∠DCF=∠CEH=∠EHF=90°，
∴四邊形CEHF為矩形，
∴EH=CF=a，HF=CE=b，
由(2)知，∠ABF=∠ADF=45°，
∴△BFH為等腰直角三角形，
∴HB=HF=b，
又ED=EB=8，
∴EB=EH+HB=a+b=8，
聯(lián)立：，
解得：或，
又已知，即，
∴舍去，
∴CF=2，CE=6，
∴在Rt△CDF中，由勾股定理可知：,
在等腰Rt△ADF中，．
【點睛】
本題是圓的綜合題，主要考查了圓周角定理、勾股定理運用、等腰三角形的性質(zhì)等，綜合性強，難度較大．
15．（2022·黑龍江·哈爾濱市風華中學校模擬預(yù)測）如圖，內(nèi)接于圓O，高AD、CE相交于點H，延長AH交圓O于點G．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，連接CO，求證：；
(3)如圖3，在（2）的條件下，延長CO交圓O于點N，連接GN、DE，若，，求DH的長．
【答案】(1)見祥解
(2)見祥解
(3)DH=
【解析】
【分析】
（1）連結(jié)GC，根據(jù)同弧所對圓周角性質(zhì)得出∠BAG=∠BCG,然后證明△HCD≌△GCD（ASA）即可；
（2）延長CO交圓與N，連結(jié)BN，根據(jù)直徑所對圓周角性質(zhì)得出，∠NBC=90°=∠AEC，∠N=∠BAC，利用等角余角性質(zhì)即可得解；
（3）延長CE交圓于K，連結(jié)GK，BK，AK，OB，OA，OK，OG，BG，AN，過G作GM⊥AC交延長線于M，先證A、E、D、C四點共圓，得出∠EAH=∠DCH，再證△AEH≌△AEK（ASA）得出EH=EK，再證△ANG≌△GBA（SAS），再證△AOB≌△GOK（SSS）根據(jù)四邊形AKBG為圓內(nèi)接四邊形，得出∠GAK+∠GBK=180°，然后證明BG=AG，可證△GDC≌△GMC（AAS），Rt△BGD≌Rt△AGM（HL）然后利用勾股定理設(shè)AC=x，BD=AM=1+x，AB2-BD2=AD2=AC2-CD2，求出AC=4，BD=5，AD=即可．
(1)
證明：連結(jié)GC，
∵∠BAG，∠BCG是所對圓周角，
∴∠BAG=∠BCG，
∵CE⊥AB，AD⊥BC，
∴∠AEC=∠ADC=90°，
∵∠AHE=∠CHD，
∴∠HCD=∠BAD=∠DCG，
在△HCD和△GCD中，
，
∴△HCD≌△GCD（ASA），
∴DH=DG；
(2)
證明：延長CO交圓與N，連結(jié)BN，
∵CN為直徑，
∴∠NBC=90°=∠AEC，
∵∠N與∠BAC是所對的圓周角，
∴∠N=∠BAC，
∴∠NCB=90°-∠N=90°-∠EAC=∠HCA；
(3)
解：延長CE交圓于K，連結(jié)GK，BK，AK，OB，OA，OK，OG，BG，AN，過G作GM⊥AC交延長線于M，
∵∠AEC =∠ADC=90°，
∴A、E、D、C四點共圓，
∴∠EAH=∠DCH，
∵，
∴∠BCK=∠BAK，
∴∠EAH=∠EAK，
∵AE=AE，
∴△AEH≌△AEK（ASA），
∴EH=EK，
∵DH=DG，
∴GK=2ED=，
∴GK=GN，
∵CN為直徑，
∴∠NBC=90°=∠ADC，
∴BN∥AG，
∴，
∴AN=BG，∠NGA=∠BAG，AG=GA，
∴△ANG≌△GBA（SAS），
∴AB=GN=GK，
∵OA=OK=OB=OG，
∴△AOB≌△GOK（SSS），
∴∠AOB=∠GOK，
，
∴，
∴AG=KB，
∵四邊形AKBG為圓內(nèi)接四邊形，
∴∠GAK+∠GBK=180°，
∵∠KAE=∠HAE，
∴∠HAE=90°-=90°-，
在△AGB中，∠BAG+∠ABG+∠AGB=180°，
∵∠GAB=90°-，
∴∠ABG=180°-∠AGB-（90°-）=90°-=∠CAB，
∴BG=AG，
∵四邊形ABGC為圓內(nèi)接四邊形，
∴∠GCM=∠ABG=∠BAG=∠BCG，
∵∠CDG=∠CMG=90°，CG=CG，
∴△GDC≌△GMC（AAS），
∴GM=GD，CM=CD=1，
∵∠BDG=∠AMG=90°，
在Rt△BGD和Rt△AGM中，
∵GB=GA，GD=GM，
∴Rt△BGD≌Rt△AGM（HL），
∴BD=AM，
設(shè)AC=x，BD=AM=1+x，
∵AB2-BD2=AD2=AC2-CD2，
∴，
整理得，
解得（舍去），
∴AC=4，BD=5，
∴AD=，
設(shè)DG=y=DH，
∴BG=AG=，
在Rt△BGD中，即，
解得，
∵DH=DG，
∴DH=．
【點睛】
本題考查同弧所對圓周角性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)；直徑所對圓周角性質(zhì)，四點共圓，勾股定理，一元二次方程解法，三角形中位線性質(zhì)，利用輔助線畫出準確圖形是解題關(guān)鍵．

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