考點一 位似圖形相關(guān)概念辨析 考點二 判斷位似中心及求解位似中心
考點三 求位似圖形的對應(yīng)坐標 考點四 求兩個位似圖形的相似比
考點五 在坐標系中畫位似圖形 考點六 在坐標系中求兩個位似圖形的相似比、周長比或面積比
典型例題

考點一 位似圖形相關(guān)概念辨析
例題：（2023·河北·九年級專題練習(xí)）和是位似圖形，位似中心是點O，下列說法不正確的是（ ）
A．B．
C．直線經(jīng)過點OD．直線、和相交于一點
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，圖形甲與圖形乙是位似圖形，O是位似中心，位似比為2：3，點A，B的對應(yīng)點分別為點A′，B′．若AB＝6，則A′B′的長為（ ）
A．8B．9C．10D．15
2．（2022·山東濱州·九年級期末）如圖，以點為位似中心，把放大2倍得到．下列說法錯誤的是( )
A．B．
C．D．直線經(jīng)過點
考點二 判斷位似中心及求解位似中心
例題：（2021·北京師大附中九年級階段練習(xí)）圖中的兩個三角形是位似圖形，它們的位似中心是（ ）
A．點PB．點OC．點MD．點N
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·四川德陽·二模）如圖，將△ABC的三邊分別擴大一倍得到△A1B1C1（頂點均在格點上），它們是以P點為位似中心的位似圖形，則P點的坐標是_____．
2．（2021·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，圖中的小方格是邊長為1的正方形，與是關(guān)于點O為位似中心的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的頂點上．
（1）畫出位似中心點O；
（2）求出與'的位似比；
（3）以點O為位似中心，在圖中畫一個，使它與的位似比等于3∶2．
考點三 求位似圖形的對應(yīng)坐標
例題：（2021·湖南·李達中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知△AOB和是以點O為位似中心的位似圖形 ，且△AOB和的周長之比為1:2，點B的坐標為，則點的坐標為（ ）
A．B．C．D．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·吉林吉林·九年級期末）如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原點O為位似中心，將△ABC縮小為原來的一半，則線段AC的中點P變換后在第一象限對應(yīng)點的坐標為________．
2．（2022·河北·泊頭市教師發(fā)展中心九年級期中）如圖所示，在平面直角坐標系中，已知點A（-4，2），B（-2，-2）．以坐標原點O為位似中心把△AOB縮小得到△A1OB1，△A1OB1與△AOB的位似比為，則點A的對應(yīng)點A1的坐標為_______．
考點四 求兩個位似圖形的相似比
例題：（2022·河北保定師范附屬學(xué)校九年級期末）如圖，四邊形ABCD和是以點O為位似中心的位似圖形，若OA：OA′＝2：3，則四邊形ABCD與四邊形的面積比為（ ）
A．4：9B．2：5C．2：3D．2：3
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·重慶南開中學(xué)三模）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△DEC位似，點C為位似中心，，若△ABC的面積是1，則△DEC的面積是（ ）
A．3B．4C．9D．16
2．（2022·重慶·中考真題）如圖，與位似，點為位似中心，相似比為．若的周長為4，則的周長是（ ）
A．4B．6C．9D．16
3．（2022·貴州黔西·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，與位似，位似中心是坐標原點O．若點，點，則與周長的比值是_____．
考點五 在坐標系中畫位似圖形
例題：（2022·四川·渠縣崇德實驗學(xué)校九年級期末）如圖，菱形ABCD與菱形A'BC'D'是位似圖形，若AD＝6，A'D'＝4，則菱形A'BC'D'與菱形ABCD的位似比為______．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點A，D在∠XOY的邊OX上，點B，E在OY邊上，射線OZ在∠XOY內(nèi)，且點C，F(xiàn)在OZ上，AC∥DF，BC∥EF．．
(1)試說明△ABC與△DEF是位似圖形；
(2)求△ABC與△DEF的位似比．
2．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，△ABC與△DOE是位似圖形，A（0，3），B（﹣2，0），C（1，0），E（6，0），△ABC與△DOE的位似中心為M．
(1)寫出D點的坐標；
(2)在圖中畫出M點，并求M點的坐標．
考點六 在坐標系中求兩個位似圖形的相似比、周長比或面積比
例題：（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，△ ABO三個頂點的坐標分別為A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0），以原點O為位似中心，畫出一個三角形，使它與△ ABO的位似比為．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·黑龍江·綏棱縣綏中鄉(xiāng)學(xué)校九年級期末）如圖所示的平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），請按如下要求畫圖：
(1)以坐標原點O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到，請畫出；
(2)以坐標原點O為位似中心，在x軸下方，畫出△ABC的位似圖形，使它與△ABC的位似比為2：1．
2．（2021·江蘇·儀征市古井中學(xué)九年級期末）如圖，在邊長為個單位長度的小正方形網(wǎng)格中，
(1)畫出向上平移個單位，再向右平移個單位后的；
(2)以點為位似中心，將放大為原來的倍，得到，請在網(wǎng)格中畫出；
(3)直接寫出的面積，及，的坐標．
課后訓(xùn)練
一、選擇題
1．（2021·陜西·渭南初級中學(xué)九年級期中）如圖，與是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為，若，則點C的坐標為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）下列三個關(guān)于位似圖形的表述：
①相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形；
②位似圖形一定有位似中心；
③如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應(yīng)點的連線所在的直線都經(jīng)過同一個點，那么，這兩個圖形是位似圖形；
其中正確命題的序號是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
3．（2022·山西太原·九年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'是位似圖形．位似中心是（ ）
A．（8，0）B．（8，1）C．（10，0）D．（10，1）
4．（2023·浙江·翠苑中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖四個圖中，均與相似，且對應(yīng)點交于一點，則與成位似圖形的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
二、填空題
5．（2020·海南省直轄縣級單位·九年級期末）如圖所示，與是位似圖形，點是位似中心，若，，則___________．
6．（2022·甘肅·平?jīng)鍪械谑袑W(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，以點為位似中心，將五邊形放大后得到五邊形，已知，，則五邊形的周長與五邊形的周長比是______．
7．（2022·福建·寧德市博雅培文學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，是反比例函數(shù)（）圖像上一點，點、在軸正半軸上，是關(guān)于點的位似圖形，且與的位似比是1：3，的面積為1，則該反比例函數(shù)的表達式為______．
8．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在正方形和正方形中，點和點的坐標分別為，，則兩個正方形的位似中心的坐標是___________.
三、解答題
9．（2022·廣東·江門市第二中學(xué)九年級開學(xué)考試）如圖所示，圖中的小方格都是邊長為1的正方形，△ABC與是以點O為位似中心的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的頂點上．
（1）畫出位似中心點O；
（2）直接寫出△ABC與的位似比；
（3）以位似中心O為坐標原點，以格線所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系
10．（2022·安徽亳州·九年級期末）如圖，在帶有網(wǎng)格的平面直角坐標系中，網(wǎng)格邊長為一個單位長度，給出了三角形ABC．
（1）作出關(guān)于x軸對稱的；
（2）以坐標原點為位似中心在圖中的網(wǎng)格中作出的位似圖形，使與的位似比為1：2；
（3）若的面積為3.5平方單位，求出的面積．
11．（2022·山東·濟南外國語學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖所示，小華在學(xué)習(xí)（圖形的位似）時，利用幾何畫板軟件，在平面直角坐標系中畫出了的位似圖形．
(1)在圖中標出與的位似中心M點的位置，并寫出M點的坐標；
(2)若以點O為位似中心，與是位似圖形，且與的位似比為，則滿足條件的點坐標為______．
(3)請你幫小華在圖中給定的網(wǎng)格內(nèi)畫出．
12．（2022·山西晉中·九年級期末）如圖所示，小華在學(xué)習(xí)《圖形的位似》時，利用幾何畫板軟件，在平面直角坐標系中畫出了的位似圖形．
（1）在圖中標出與的位似中心點的位置，并寫出點的坐標______；
（2）若以點為位似中心，請你幫小華在圖中給定的網(wǎng)格內(nèi)畫出的位似圖形，且與的位似比為2：1．
13．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C（0，3）．且點A的坐標為（﹣1，0），點B的坐標為（3，0），點P是拋物線上第一象限內(nèi)的一個點．
(1)求拋物線的函數(shù)表達式；
(2)連PO、PB，如果把△POB沿OB翻轉(zhuǎn)，所得四邊形POP′B恰為菱形，那么在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△QAB與△POB相似？若存在求出點Q的坐標；若不存在，說明理由；
(3)若（2）中點Q存在，指出△QAB與△POB是否位似？若位似，請直接寫出其位似中心的坐標．
專題12 圖形的位似壓軸題六種模型全攻略
考點一 位似圖形相關(guān)概念辨析 考點二 判斷位似中心及求解位似中心
考點三 求位似圖形的對應(yīng)坐標 考點四 求兩個位似圖形的相似比
考點五 在坐標系中畫位似圖形 考點六 在坐標系中求兩個位似圖形的相似比、周長比或面積比
典型例題

考點一 位似圖形相關(guān)概念辨析
例題：（2023·河北·九年級專題練習(xí)）和是位似圖形，位似中心是點O，下列說法不正確的是（ ）
A．B．
C．直線經(jīng)過點OD．直線、和相交于一點
【答案】B
【分析】依據(jù)位似變換的性質(zhì)逐項判斷即可．
【詳解】∵和關(guān)于點O位似，
∴，且直線、和相交于一點O，即選項C、D正確；
如圖，作出直線、和，三者交于O點，
根據(jù)位似變換的性質(zhì)有：，故A答案合理；
根據(jù)位似變換的性質(zhì)有：和交于點O，故B答案不合理；
故選：B．
【點睛】本題考查了位似變換：位似的兩個圖形必須是相似形；對應(yīng)點的連線都經(jīng)過同一個點，也考查了平行線的判定和相似三角形的性質(zhì)．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，圖形甲與圖形乙是位似圖形，O是位似中心，位似比為2：3，點A，B的對應(yīng)點分別為點A′，B′．若AB＝6，則A′B′的長為（ ）
A．8B．9C．10D．15
【答案】B
【分析】根據(jù)位似比的概念解答即可．
【詳解】解：圖形甲與圖形乙是位似圖形，是位似中心，位似比為，
，
，
，
故選：B．
【點睛】本題考查的是位似圖形，解題的關(guān)鍵是掌握位似圖形的位似比是對應(yīng)邊的比．
2．（2022·山東濱州·九年級期末）如圖，以點為位似中心，把放大2倍得到．下列說法錯誤的是( )
A．B．
C．D．直線經(jīng)過點
【答案】B
【分析】根據(jù)位似變換的概念和性質(zhì)判斷即可．
【詳解】解：∵以點為位似中心，把放大2倍得到，
∴，，直線經(jīng)過點，，
∴，
∴A、C、D選項說法正確，不符合題意；B選項說法錯誤，符合題意．
故選：B．
【點睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)．掌握位似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
考點二 判斷位似中心及求解位似中心
例題：（2021·北京師大附中九年級階段練習(xí)）圖中的兩個三角形是位似圖形，它們的位似中心是（ ）
A．點PB．點OC．點MD．點N
【答案】A
【分析】根據(jù)位似變換的定義：對應(yīng)點的連線交于一點，交點就是位似中心．即位似中心一定在對應(yīng)點的連線上．
【詳解】點P在對應(yīng)點M和點N所在直線上，
∴兩個三角形的位似中心是：點P．
故選A．
【點睛】此題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·四川德陽·二模）如圖，將△ABC的三邊分別擴大一倍得到△A1B1C1（頂點均在格點上），它們是以P點為位似中心的位似圖形，則P點的坐標是_____．
【答案】（﹣4，﹣3）
【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，對應(yīng)點的連線交于一點則可得出答案．
【詳解】解：△ABC的三邊分別擴大一倍得到△A1B1C1（頂點均在格點上），它們是以P點為位似中心的位似圖形，
則連接和并延長相交，交點即為P點，
如圖所示，P點的坐標為：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，得出位似圖形對應(yīng)點的連線交于一點是解題的關(guān)鍵．
2．（2021·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，圖中的小方格是邊長為1的正方形，與是關(guān)于點O為位似中心的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的頂點上．
（1）畫出位似中心點O；
（2）求出與'的位似比；
（3）以點O為位似中心，在圖中畫一個，使它與的位似比等于3∶2．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析
【分析】（1）位似圖形對應(yīng)點連線所在的直線經(jīng)過位似中心，如圖，直線AA′、BB′的交點就是位似中心O；
（2）△ABC與△A′B′C′的位似比等于AB與A′B′的比，也等于AB與A′B′在水平線上的投影比，即位似比為3：6=1：2；
（3）要畫△A2B2C2，先確定點A2的位置，再過點A2畫A2B2∥AB交O B′于B2，過點A2畫A2C2∥AC交OC′于C2．
【詳解】解：（1）如圖所示，點O即為所求；
（2）與的位似比為：；
（3）如圖所示，即為所求．
【點睛】本題考查位似圖形的意義及作圖能力．畫位似圖形的一般步驟為：①確定位似中心，②分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點；③根據(jù)相似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點；順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形．
考點三 求位似圖形的對應(yīng)坐標
例題：（2021·湖南·李達中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知△AOB和是以點O為位似中心的位似圖形 ，且△AOB和的周長之比為1:2，點B的坐標為，則點的坐標為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】過B作BC⊥y軸于C，過B1作B1D⊥y軸于D，依據(jù)△AOB和△A1O相似，且周長之比為1：2，即可得到，再根據(jù)△BOC∽△OD，可得OD=2OC=4，D=2BC=2，進而得出點B1的坐標為（2，-4）或（-2，4）．
【詳解】解：如圖，過B作BC⊥y軸于C，過作D⊥y軸于D，
∵點B的坐標為（-1，2），
∴BC=1，OC=2，
∵△AOB和△O相似，且周長之比為1：2，
∴，
∵∠BCO=∠DO=90°，∠BOC=∠OD，
∴△BOC∽△OD，
∴OD=2OC=4， D=2BC=2，
∴點的坐標為（2，-4），
同理點（-2，4）也符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，正確理解位似與相似的關(guān)系，記憶關(guān)于原點位似的兩個圖形對應(yīng)點坐標之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·吉林吉林·九年級期末）如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原點O為位似中心，將△ABC縮小為原來的一半，則線段AC的中點P變換后在第一象限對應(yīng)點的坐標為________．
【答案】
【分析】位似變換中對應(yīng)點的坐標的變化規(guī)律：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k,那么位似圖形對應(yīng)點的坐標的比等于k或-k,根據(jù)此題是線段AC的中點P變換后在第一象限對應(yīng)點的坐標進而得出答案．
【詳解】解：∵△ABC三個頂點的坐標分別為A（2，2），B（4，2），C（6，4），
∴AC的中點是（4，3），
∵將△ABC縮小為原來的一半，
∴線段AC的中點P變換后在第一象限對應(yīng)點的坐標為：．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查位似變換中對應(yīng)點的坐標的變化規(guī)律，利用圖形得出AC的中點坐標是解題關(guān)鍵．
2．（2022·河北·泊頭市教師發(fā)展中心九年級期中）如圖所示，在平面直角坐標系中，已知點A（-4，2），B（-2，-2）．以坐標原點O為位似中心把△AOB縮小得到△A1OB1，△A1OB1與△AOB的位似比為，則點A的對應(yīng)點A1的坐標為_______．
【答案】（-2，1）或（2，-1）
【分析】根據(jù)在平面直角坐標系中，以原點為位似中心的位似圖形，如果相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標的比等于k或-k計算，得到答案．
【詳解】解∶∵以坐標原點O為位似中心把△AOB縮小得到，與△AOB的位似比為，
∴點的對應(yīng)點的橫縱坐標與點A的橫縱坐標的比值為或，
∵A（-4，2），
∴的坐標為或， 即(-2，1)或(2，-1)，
故答案為∶(-2，1)或(2，-1)．
【點睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，掌握在平面直角坐標系中，以原點為位似中心的位似圖形，如果相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標的比等于k或-k是解題的關(guān)鍵．
考點四 求兩個位似圖形的相似比
例題：（2022·河北保定師范附屬學(xué)校九年級期末）如圖，四邊形ABCD和是以點O為位似中心的位似圖形，若OA：OA′＝2：3，則四邊形ABCD與四邊形的面積比為（ ）
A．4：9B．2：5C．2：3D．2：3
【答案】A
【分析】根據(jù)題意求出兩個相似多邊形的相似比，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)解答．
【詳解】解：四邊形和是以點為位似中心的位似圖形，，
，
四邊形與四邊形的面積比為：，
故選：A．
【點睛】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握位似圖形與相似圖形的關(guān)系、相似多邊形的性質(zhì)．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·重慶南開中學(xué)三模）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△DEC位似，點C為位似中心，，若△ABC的面積是1，則△DEC的面積是（ ）
A．3B．4C．9D．16
【答案】C
【分析】結(jié)合題意，根據(jù)位似的性質(zhì)計算，即可得到答案．
【詳解】∵△ABC與△DEC位似，點C為位似中心，，
∴
∵△ABC的面積是1，
∴△DEC的面積是9
故選：C．
【點睛】本題考查了位似的知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握位似的性質(zhì)，從而完成求解．
2．（2022·重慶·中考真題）如圖，與位似，點為位似中心，相似比為．若的周長為4，則的周長是（ ）
A．4B．6C．9D．16
【答案】B
【分析】根據(jù)周長之比等于位似比計算即可．
【詳解】設(shè)的周長是x，
∵ 與位似，相似比為，的周長為4，
∴4：x=2：3，
解得：x=6，
故選：B．
【點睛】本題考查了位似的性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的周長之比等于位似比是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·貴州黔西·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，與位似，位似中心是坐標原點O．若點，點，則與周長的比值是_____．
【答案】2
【分析】根據(jù)位似的定義，即可得出位似比=OA：OC，而與周長的比值等于位似比，即可得出答案．
【詳解】∵與位似，位似中心是坐標原點O，點，點
∴OA=4，OC=2
∴與的位似比為：4：2=2：1
∴與周長的比值為：2：1
故答案為：2．
【點睛】本題考查了求位似圖形的周長之比，求出位似比是本題的關(guān)鍵．
考點五 在坐標系中畫位似圖形
例題：（2022·四川·渠縣崇德實驗學(xué)校九年級期末）如圖，菱形ABCD與菱形A'BC'D'是位似圖形，若AD＝6，A'D'＝4，則菱形A'BC'D'與菱形ABCD的位似比為______．
【答案】23##
【分析】根據(jù)位似圖形的位似比等于對應(yīng)邊的比，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：菱形ABCD與菱形A'BC'D'是位似圖形
菱形A'BC'D'與菱形ABCD的位似比=
故答案為：23．
【點睛】本題考查了位似比的定義，掌握位似圖形的相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點A，D在∠XOY的邊OX上，點B，E在OY邊上，射線OZ在∠XOY內(nèi)，且點C，F(xiàn)在OZ上，AC∥DF，BC∥EF．．
(1)試說明△ABC與△DEF是位似圖形；
(2)求△ABC與△DEF的位似比．
【答案】(1)證明見詳解
(2)
【分析】（1）根據(jù)兩直線平行同位角相等得到∠DFO＝∠ACO，∠OFE＝∠OCB，再根據(jù)兩條直線被一組平行線（不少于3條）所截，截得的對應(yīng)線段的長度成比例，最終得到△ACB∽△DFE；
（2）根據(jù)三角形的相似比等于相應(yīng)邊長的比即可得到答案．
（1）
∵AC∥DF，BC∥EF，
∴∠DFO＝∠ACO，∠OFE＝∠OCB， ，，
∴∠DFE＝∠ACB，，
∴△ACB∽△DFE，
因為兩個相似三角形的對應(yīng)點所在直線交于點O，且對應(yīng)邊平行，
∴△ABC與△DEF是位似圖形；
（2）
∵△ABC與△DEF是位似圖形，，
∴△ABC與△DEF的位似比為：．
【點睛】本題考查平行線和相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判斷方法及性質(zhì)．
2．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，△ABC與△DOE是位似圖形，A（0，3），B（﹣2，0），C（1，0），E（6，0），△ABC與△DOE的位似中心為M．
(1)寫出D點的坐標；
(2)在圖中畫出M點，并求M點的坐標．
【答案】(1)
(2)畫圖見解析，
【分析】（1）首先過點作于點，由與是位似圖形，，，，，可得，，，即可求得位似比，繼而求得答案；
（2）首先連接并延長，交軸于點，則點即為與的位似中心；然后根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，可得，繼而求得答案．
（1）
解：過點作于點，
與是位似圖形，，，，，
，，，
位似比為：，
，，
點的坐標為：；
（2）
連接并延長，交軸于點，則點即為與的位似中心；
則，
設(shè)，則，
，
解得：，
點的坐標為．
【點睛】此題考查了位似圖形的定義與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意位似圖形是特殊的相似圖形．
考點六 在坐標系中求兩個位似圖形的相似比、周長比或面積比
例題：（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，△ ABO三個頂點的坐標分別為A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0），以原點O為位似中心，畫出一個三角形，使它與△ ABO的位似比為．
【答案】見詳解
【分析】由位似比求出對應(yīng)點坐標有兩種情況，分別求出兩組對應(yīng)點坐標，然后在平面直角坐標系描點連接即可
【詳解】解：由位似比為求得：對應(yīng)點坐標分別為，
或者，，
O點是位似中心，所以位置不變，
所以，下圖或都為滿足題意的位似圖形．
【點睛】本題考查了位似的概念．位似比為對應(yīng)點到位似中心的距離比．解題關(guān)鍵是根據(jù)位似比找到對應(yīng)點的坐標．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·黑龍江·綏棱縣綏中鄉(xiāng)學(xué)校九年級期末）如圖所示的平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），請按如下要求畫圖：
(1)以坐標原點O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到，請畫出；
(2)以坐標原點O為位似中心，在x軸下方，畫出△ABC的位似圖形，使它與△ABC的位似比為2：1．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應(yīng)點的位置，畫出圖形即可；
（2）直接利用位似圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點的位置，畫出圖形即可．
（1）
解：如圖，即為所求．
；
（2）
解：如圖，即為所求．
【點睛】本題考查了位似變換與旋轉(zhuǎn)變換，正確得出對應(yīng)點的位置是解題的關(guān)鍵．
2．（2021·江蘇·儀征市古井中學(xué)九年級期末）如圖，在邊長為個單位長度的小正方形網(wǎng)格中，
(1)畫出向上平移個單位，再向右平移個單位后的；
(2)以點為位似中心，將放大為原來的倍，得到，請在網(wǎng)格中畫出；
(3)直接寫出的面積，及，的坐標．
【答案】(1)畫圖見解析
(2)畫圖見解析
(3)9，
【分析】（1）利用點平移的坐標變換規(guī)律寫出的坐標，然后描點即可；
（2）延長BA到使，延長BC到使，從而得到；
（3）利用三角形面積公式的面積，然后利用（1）、（2）中所畫圖形寫出 的坐標．
（1）
解：如圖所示，即為所求；
（2）
解：如圖所示，即為所求；
（3）
解：由題意得：，
【點睛】本題考查了作圖?位似變換：畫位似圖形的一般步驟為：先確定位似中心；再分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點；接著根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點；然后順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形．也考查了平移變換．
課后訓(xùn)練
一、選擇題
1．（2021·陜西·渭南初級中學(xué)九年級期中）如圖，與是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為，若，則點C的坐標為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，若以原點為位似中心，且都在同一側(cè)的兩個位似圖形，其坐標比等于相似比，相似比為，則對應(yīng)的坐標比也為，即可解得點C的坐標．
【詳解】解：∵與是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為，點的坐標為，
∴點C的坐標為，即，
故選：D．
【點睛】本題主要考查位似圖形的性質(zhì)，注意位似比與坐標比的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）下列三個關(guān)于位似圖形的表述：
①相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形；
②位似圖形一定有位似中心；
③如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應(yīng)點的連線所在的直線都經(jīng)過同一個點，那么，這兩個圖形是位似圖形；
其中正確命題的序號是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【答案】B
【分析】根據(jù)位似圖形與相似圖形之間的聯(lián)系和區(qū)別去判斷即可．
【詳解】相似圖形不一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形，故①錯誤；
位似圖形一定有位似中心，是對應(yīng)點連線的交點，故②正確；
如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應(yīng)點的連線所在的直線都經(jīng)過同一個點，且對應(yīng)邊平行或共線，那么，這兩個圖形是位似圖形，故③正確；
位似圖形上對應(yīng)點與位似中心的距離之比等于位似比，故④錯誤；
正確答案為：②③
故選：B．
【點睛】本題考查了位似圖形與相似圖形之間的聯(lián)系和區(qū)別，如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應(yīng)點的連線所在的直線都經(jīng)過同一個點，對應(yīng)邊互相平行，那么，這兩個圖形是位似圖形，這個點是位似中心，但不是所有的相似圖形都是位似圖形，并且位似圖形上對應(yīng)點與位似中心的距離之比等于位似比．
3．（2022·山西太原·九年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'是位似圖形．位似中心是（ ）
A．（8，0）B．（8，1）C．（10，0）D．（10，1）
【答案】C
【分析】連接兩組對應(yīng)點，對應(yīng)點的連線的交點即為位似中心．
【詳解】解：如圖，點E即為位似中心，E（10，0），
故選：C．
【點睛】此題考查了位似中心的定義：位似圖形的對應(yīng)點的連線的交點即為位似中心，熟記定義是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·浙江·翠苑中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖四個圖中，均與相似，且對應(yīng)點交于一點，則與成位似圖形的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)分析判斷得出答案．
【詳解】解：圖1中，與成位似圖形；
圖2中，∵與不平行，與不平行，∴與不成位似圖形；
圖3中，與成位似圖形；
圖4中，與成位似圖形；
綜上，與成位似圖形的有圖1、圖3、圖4，共有3個．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了位似變換，位似圖形的定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形，且對應(yīng)點連線相交于一點，對應(yīng)線段相互平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，位似圖形對應(yīng)點所在直線的交點是位似中心．
二、填空題
5．（2020·海南省直轄縣級單位·九年級期末）如圖所示，與是位似圖形，點是位似中心，若，，則___________．
【答案】18
【分析】由位似圖形的性質(zhì)可得從而可得答案．
【詳解】解：∵與是位似圖形，
∴，
∵點是位似中心，
∴ 而，
∴
故答案為：18.
【點睛】本題考查的是位似圖形的性質(zhì)，掌握“相似三角形的面積之比是相似比的平方”是解本題的關(guān)鍵．
6．（2022·甘肅·平?jīng)鍪械谑袑W(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，以點為位似中心，將五邊形放大后得到五邊形，已知，，則五邊形的周長與五邊形的周長比是______．
【答案】1：2
【分析】根據(jù)已知可得五邊形ABCDE的周長與五邊形的位似比，然后由相似多邊形的性質(zhì)可證得：五邊形ABCDE的周長與五邊形的周長比．
【詳解】以點為位似中心，將五邊形放大后得到五邊形，，，
五邊形的周長與五邊形的位似比為：：：，
五邊形的周長與五邊形的周長比是：：．
故答案為1:2．
【點睛】此題考查了位似圖形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的周長比等于相似比是解題關(guān)鍵．
7．（2022·福建·寧德市博雅培文學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，是反比例函數(shù)（）圖像上一點，點、在軸正半軸上，是關(guān)于點的位似圖形，且與的位似比是1：3，的面積為1，則該反比例函數(shù)的表達式為______．
【答案】
【分析】設(shè)點A的坐標為（a，），根據(jù)位似比即可得出BD的長度，根據(jù)的面積為1，即可求出k的值．
【詳解】解：設(shè)點A的橫坐標為a，
∵點A在反比例函數(shù)圖像上，
∴點A的縱坐標為反比例函數(shù)，即A（a，），
∴B（0，），則OB=，AB=a，
∵與的位似比是1：3，
∴，
∴BD==，
∵的面積為1，
∴，則：，解得：k=8．
∴該反比例函數(shù)的表達式為：，
故答案為：
【點睛】本題主要考查了三角形的位似以及反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容，通過位似比和三角形的面積求出k的值是解題的關(guān)鍵．
8．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在正方形和正方形中，點和點的坐標分別為，，則兩個正方形的位似中心的坐標是___________.
【答案】或
【分析】根據(jù)位似變換中對應(yīng)點的坐標的變化規(guī)律，分兩種情況：一種是當(dāng)點E和C是對應(yīng)頂點，G和A是對應(yīng)頂點；另一種是A和E是對應(yīng)頂點，C和G是對應(yīng)頂點.
【詳解】∵正方形和正方形中，點和點的坐標分別為，
∴
（1）當(dāng)點E和C是對應(yīng)頂點，G和A是對應(yīng)頂點，位似中心就是EC與AG的交點.
設(shè)AG所在的直線的解析式為
解得
∴AG所在的直線的解析式為
當(dāng)時，，所以EC與AG的交點為
（2）A和E是對應(yīng)頂點，C和G是對應(yīng)頂點.，則位似中心就是AE與CG的交點
設(shè)AE所在的直線的解析式為
解得
∴AE所在的直線的解析式為
設(shè)CG所在的直線的解析式為
解得
∴AG所在的直線的解析式為
聯(lián)立解得
∴AE與CG的交點為
綜上所述，兩個正方形的位似中心的坐標是或
故答案為或
【點睛】本題主要考查位似圖形，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析，求位似中心，正確分情況討論是解題的關(guān)鍵.
三、解答題
9．（2022·廣東·江門市第二中學(xué)九年級開學(xué)考試）如圖所示，圖中的小方格都是邊長為1的正方形，△ABC與是以點O為位似中心的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的頂點上．
（1）畫出位似中心點O；
（2）直接寫出△ABC與的位似比；
（3）以位似中心O為坐標原點，以格線所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系
【答案】（1）見解析；（2）2:1；（3）見解析
【分析】（1）各對應(yīng)點連線所在直線的交點即為位似中心；
（2）任意一對對應(yīng)邊的比即為兩三角形的位似比；
（3）以位似中心為坐標原點，以格線所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系即可．
【詳解】（1）如圖，各對應(yīng)點連線所在直線的交點即為位似中心O；
（2）
△ABC與的位似比為；
（3）如圖，以位似中線為坐標原點，以格線所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系．
【點睛】本題考查了位似圖形位似比與位似中心的確定，注意位似比為所給兩三角形對應(yīng)邊的比，位置不能顛倒，掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．（2022·安徽亳州·九年級期末）如圖，在帶有網(wǎng)格的平面直角坐標系中，網(wǎng)格邊長為一個單位長度，給出了三角形ABC．
（1）作出關(guān)于x軸對稱的；
（2）以坐標原點為位似中心在圖中的網(wǎng)格中作出的位似圖形，使與的位似比為1：2；
（3）若的面積為3.5平方單位，求出的面積．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）14平方單位．
【分析】（1）根據(jù)軸對稱性質(zhì)即可畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的；
（2）根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可畫出以點O為位似中心的位似圖形，與的位似比為1：2;（3）利用相似三角形的性質(zhì)計算即可．
【詳解】解：（1）如圖，，即為所求作；
（2）如圖，，即為所求作；
（3）∵與的位似比為1：2，
∴∽，，
∴，
∵的面積為3.5平方單位，即的面積為3.5平方單位，
∴的面積為：2=4×3.5=14平方單位．
【點睛】本題考查了作圖-軸對稱變換，位似變換等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
11．（2022·山東·濟南外國語學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖所示，小華在學(xué)習(xí)（圖形的位似）時，利用幾何畫板軟件，在平面直角坐標系中畫出了的位似圖形．
(1)在圖中標出與的位似中心M點的位置，并寫出M點的坐標；
(2)若以點O為位似中心，與是位似圖形，且與的位似比為，則滿足條件的點坐標為______．
(3)請你幫小華在圖中給定的網(wǎng)格內(nèi)畫出．
【答案】(1)見解析
(2)或
(3)見解析
【分析】（1）對應(yīng)點連接的交點即為位似中心；
（2）利用方格特點，在直線上找出點使得，寫出點坐標即可；
（3）利用位似性質(zhì)作圖即可．
（1）
解：如圖，連接，，，交點即為M點，M點的坐標為；
（2）
解：在直線上找出點使得，
當(dāng)點在第三象限時，坐標為，
當(dāng)點在第一象限時，坐標為，
即滿足條件的點坐標為或；
（3）
解：當(dāng)點在第三象限時，如下圖所示：
當(dāng)點在第一象限時，如下圖所示：
【點睛】本題考查作圖——位似變換，解題的關(guān)鍵是熟練掌握位似的性質(zhì)．如果兩個圖形位似，那么任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比都等于位似比，任意一組對應(yīng)邊都互相平行（或在一條直線上）．
12．（2022·山西晉中·九年級期末）如圖所示，小華在學(xué)習(xí)《圖形的位似》時，利用幾何畫板軟件，在平面直角坐標系中畫出了的位似圖形．
（1）在圖中標出與的位似中心點的位置，并寫出點的坐標______；
（2）若以點為位似中心，請你幫小華在圖中給定的網(wǎng)格內(nèi)畫出的位似圖形，且與的位似比為2：1．
【答案】（1）見解析，；（2）見解析
【分析】（1）連接 交于點M，則點M即為所求，然后分別求出直線 和的解析式，即可求解；
（2）根據(jù)題意可得：分兩種情況：當(dāng)點 在線段 上，且 ，點 在線段 上，且時；當(dāng)點 在線段 延長線上，且 ，點 在線段 延長線上，且時，討論即可求解．
【詳解】解：（1）如圖，連接 交于點M，則點M即為所求，
根據(jù)題意得：點 ，
設(shè)直線 的解析式為 ，
把點代入得：
，
解得： ，
∴直線 的解析式為 ，
同理直線 的解析式為 ，
聯(lián)立，得：，解得： ，
∴點的坐標為 ；
（2）∵以點為位似中心，且與的位似比為2：1，
當(dāng)點 在線段 上，且 ，點 在線段 上，且時，
∵，
∴點，點，
當(dāng)點 在線段 延長線上，且 ，點 在線段 延長線上，且時，
∵，
∴， ．
畫出圖形，如圖所示：
【點睛】本題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，畫位似圖形，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C（0，3）．且點A的坐標為（﹣1，0），點B的坐標為（3，0），點P是拋物線上第一象限內(nèi)的一個點．
(1)求拋物線的函數(shù)表達式；
(2)連PO、PB，如果把△POB沿OB翻轉(zhuǎn)，所得四邊形POP′B恰為菱形，那么在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△QAB與△POB相似？若存在求出點Q的坐標；若不存在，說明理由；
(3)若（2）中點Q存在，指出△QAB與△POB是否位似？若位似，請直接寫出其位似中心的坐標．
【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3
(2)存在，（1，5）或（1，﹣5）
(3)（3，0）或
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）根據(jù)拋物線的對稱性以及菱形的對稱性求得點的坐標；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論找到位似中心，分類討論，根據(jù)相似的性質(zhì)即可求解．
（1）
∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）在拋物線y＝ax2+bx+c上，
∴，
解得．
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）
根據(jù)題意為對稱軸上的點，為的垂直平分線上的點，
B（3，0）
則
當(dāng)時，y＝﹣2+3+3=；
設(shè)直線PB的解析式為y＝mx+n，
則有，
解得．
∴直線PB的解析式為y＝x+．
∵拋物線的對稱軸為x＝﹣＝1，
∴xQ＝1，yQ＝×1+＝5，
∴點Q的坐標為（1，5）
根據(jù)對稱性點Q坐標還可以為（1，﹣5）．
（3）
①如圖，由（2）可得△QAB△POB，△QAB與△POB位似，則，
又交于點,則位似中心為點B，點B的坐標為（3，0）．
②如圖，若當(dāng)Q點坐標（1，﹣5）時,設(shè)與軸的交點為，則位似中心為，
由（2）可得△QAB△POB，則，
又
，，
解得
則當(dāng)Q點坐標（1，﹣5）時，位似中心坐標為（，0）；
綜上所述，位似中心坐標為（3，0）或（，0）
【點睛】本題考查了二次函數(shù)與相似三角形的性質(zhì)與判定，翻折的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，位似圖形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．

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專題12 圖形的位似壓軸題六種模型全攻略-【?？級狠S題】2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊壓軸題攻略（蘇科版）

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