考點(diǎn)一 比例的性質(zhì) 考點(diǎn)二 線段的比
考點(diǎn)三 成比例線段 考點(diǎn)四 黃金分割
考點(diǎn)五 由平行判斷成比例的線段 考點(diǎn)六 由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值
典型例題

考點(diǎn)一 比例的性質(zhì)
例題：（2021·江蘇·南通市八一中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·四川·渠縣崇德實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期末）已知，則下面結(jié)論成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·河南·鶴壁市淇濱中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知，那么______．
考點(diǎn)二 線段的比
例題：（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）地圖上樂(lè)山到峨眉的圖上距離為3.8厘米，比例尺是1：1000000，那么樂(lè)山到峨眉的實(shí)際距離是（ ）
A．3800米B．38000米C．380000米D．3800000米
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·河南南陽(yáng)·九年級(jí)期中）在比例尺為1：5000000的地圖上，若測(cè)得甲、乙兩地間的圖上距離為5厘米，則甲、乙兩地間的實(shí)際距離為 _____千米．
2．（2022·云南文山·九年級(jí)期末）如圖，在中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，則______．
考點(diǎn)三 成比例線段
例題：（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知a、b、c、d是成比例線段，其中a＝3，b＝0.6，c＝2，則線段d的長(zhǎng)為（ ）
A．0.4B．0.6C．0.8D．4
【變式訓(xùn)練】
1．（2020·遼寧·寬甸滿族自治縣第一初中九年級(jí)階段練習(xí)）下列四組線段中，是成比例線段的是（ ）
A．5cm，6cm，7cm，8cmB．3cm，6cm，2cm，5cm
C．2cm，4cm，6cm，8cmD．2cm，3cm，4cm，6cm
2．（2022·陜西渭南·九年級(jí)期末）若長(zhǎng)度為，，，的四條線段是成比例線段，則的值為（ ）
A．B．C．D．
考點(diǎn)四 黃金分割
例題：（2021·廣西·梧州市第十中學(xué)九年級(jí)期中）已知C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC>BC，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．AC2=BC·ABB．BC2=AC·ABC．D．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·黑龍江大慶·八年級(jí)期末）大自然是美的設(shè)計(jì)師，即使是一片小小的樹(shù)葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割”，如圖，為的黃金分割點(diǎn)（），如果的長(zhǎng)度為，那么的長(zhǎng)度為_(kāi)______．（結(jié)果保留根號(hào)）
2．（2022·山東淄博·八年級(jí)期末）我們把寬與長(zhǎng)的比是的矩形叫做黃金矩形，已知四邊形是黃金矩形，邊的長(zhǎng)度為，則該矩形的周長(zhǎng)為 __．
考點(diǎn)五 由平行判斷成比例的線段
例題：（2021·廣西·梧州市第十中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在AB，AC，BC邊上，DE∥BC，EF∥AB，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
【變式訓(xùn)練】
1．（2021·安徽·合肥市五十中學(xué)新校九年級(jí)期中）如圖，直線AC與DF交于點(diǎn)O，且與，，分別交于點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，則下列比例式不正確的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·山東煙臺(tái)·八年級(jí)期末）如圖，已知，那么下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
考點(diǎn)六 由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值
例題：（2022·黑龍江·大慶市慶新中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)，分別在，上，，，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______________
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·山東濟(jì)南·八年級(jí)期中）如圖，已知在中，點(diǎn)D、E、F分別是邊上的點(diǎn)，，且，那么等于___________．
2．（2022·山東煙臺(tái)·八年級(jí)期中）圖，，直線、與、、分別相交于點(diǎn)A、、和點(diǎn)、、．若，，，則______．
課后訓(xùn)練
一、選擇題
1．（2021·浙江衢州·九年級(jí)階段練習(xí)）若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）下列各組線段的長(zhǎng)度成比例的是（ ）
A．6cm、2cm、1cm、4cmB．4cm、5cm、6cm、7cm
C．3cm、4cm、5cm、6cmD．6cm、3cm、8cm、4cm
3．（2021·江蘇·東?？h駝峰中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）在一幅比例尺是1：5000000的地圖上，量得上海到杭州的距離是3.4cm．那么上海到杭州的實(shí)際距離是（ ）
A．17kmB．34kmC．170kmD．340km
4．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AB，DE分別交l1，l2，l3于點(diǎn)A，B，C和D，E，F(xiàn)，若AB：AC＝2：5，EF＝15，則DF的長(zhǎng)等于（ ）
A．18B．20C．25D．30
5．（2022·湖北省直轄縣級(jí)單位·九年級(jí)階段練習(xí)）已知線段，且點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，，點(diǎn)P叫做線段的黃金分割點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
6．（2023·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如果，那么的值為 __．
7．（2022·山東省濟(jì)南燕山中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知線段，C為線段AB的黃金分割點(diǎn)，則___________．
8．（2020·浙江杭州·九年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)G是的重心，，交于點(diǎn)F，則______，等于______．
9．（2022·上?！y(cè)試·編輯教研五八年級(jí)期末）我們把邊長(zhǎng)是兩條對(duì)角線長(zhǎng)度的比例中項(xiàng)的菱形叫做“鉆石菱形”，如果一個(gè)“鉆石菱形”的邊長(zhǎng)是，那么這個(gè)菱形的面積是______．
10．（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在等腰中，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，點(diǎn)在邊上，，則的值是_____．
三、解答題
11．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知線段MN = 1，在MN上有一點(diǎn)A，如果AN =，求證：點(diǎn)A是MN的黃金分割點(diǎn)
12．（2022·上海市淞誼中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知點(diǎn)C在線段AB上，且滿足．
(1)若AB=1，求AC的長(zhǎng)；
(2)若AC比BC大2，求AB的長(zhǎng)．
13．（2022·福建泉州·九年級(jí)階段練習(xí)）已知線段滿足，且．
(1)求的值；
(2)請(qǐng)?jiān)賹懗鲆粭l線段長(zhǎng)，使這條線段以及線段這三條線段中的一條線段是另外兩條線段的比例中項(xiàng)．
14．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知ADBECF，它們依次交直線、于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F，且AB=6，BC=8．
（1）求的值；
（2）當(dāng)AD=5，CF=19時(shí)，求BE的長(zhǎng)．
15．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀理解：二次根式的除法，要化去分母中的根號(hào)，需將分子、分母同乘以一個(gè)恰當(dāng)?shù)亩胃剑?br>例如：化簡(jiǎn)．
解：將分子、分母同乘以得：
．
拓展延伸：
寬與長(zhǎng)的比是的矩形叫黃金矩形．如圖1，已知黃金矩形的寬．
(1)求黃金矩形中邊的長(zhǎng)；
(2)如圖2，將圖1中的黃金矩形裁剪掉一個(gè)以為邊的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否為黃金矩形，并證明你的結(jié)論．
16．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（如圖1），點(diǎn)P將線段AB分成一條較小線段AP和一條較大線段BP，如果，那么稱點(diǎn)P為線段AB的黃金分割點(diǎn)，設(shè)=k，則k就是黃金比，并且k≈0.618．

（1）以圖1中的AP為底，BP為腰得到等腰APB（如圖2），等腰△APB即為黃金三角形，黃金三角形的定義為：滿足≈0.618的等腰三角形是黃金三角形；類似地，請(qǐng)你給出黃金矩形的定義：__；
（2）如圖1，設(shè)AB=1，請(qǐng)你說(shuō)明為什么k約為0.618；
（3）由線段的黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到圖形的“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個(gè)面積為S的圖形分成面積為S1和面積為S2的兩部分（設(shè)S1＜S2），如果，那么稱直線l為該矩形的黃金分割線．（如圖3），點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，那么直線CP是△ABC的黃金分割線嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）圖3中的△ABC的黃金分割線有幾條？
專題07 成比例線段、黃金分割壓軸題六種模型全攻略
考點(diǎn)一 比例的性質(zhì) 考點(diǎn)二 線段的比
考點(diǎn)三 成比例線段 考點(diǎn)四 黃金分割
考點(diǎn)五 由平行判斷成比例的線段 考點(diǎn)六 由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值
典型例題

考點(diǎn)一 比例的性質(zhì)
例題：（2021·江蘇·南通市八一中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用設(shè)k法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解：∵，
∴設(shè)a=3k，b=5k，
∴=4，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握設(shè)k法進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·四川·渠縣崇德實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期末）已知，則下面結(jié)論成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2021·河南·鶴壁市淇濱中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知，那么______．
【答案】
【分析】由題意可設(shè)，然后代入求解即可．
【詳解】解：，
設(shè)
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)二 線段的比
例題：（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）地圖上樂(lè)山到峨眉的圖上距離為3.8厘米，比例尺是1：1000000，那么樂(lè)山到峨眉的實(shí)際距離是（ ）
A．3800米B．38000米C．380000米D．3800000米
【答案】B
【分析】設(shè)樂(lè)山到峨眉的實(shí)際距離為x cm，利用比例尺的定義得到3.8：x=1：1000000，然后利用比例的性質(zhì)求出x，再化單位化為米即可．
【詳解】解：設(shè)樂(lè)山到峨眉的實(shí)際距離為x厘米，
根據(jù)題意得3.8：x=1：1000000，
解得x=3800000，
所以樂(lè)山到峨眉的實(shí)際距離是3800000厘米，即38000米．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段，正確理解比例尺的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·河南南陽(yáng)·九年級(jí)期中）在比例尺為1：5000000的地圖上，若測(cè)得甲、乙兩地間的圖上距離為5厘米，則甲、乙兩地間的實(shí)際距離為 _____千米．
【答案】250
【分析】要求兩地的實(shí)際距離是多少千米，根據(jù)“圖上距離÷比例尺=實(shí)際距離”，代入數(shù)值計(jì)算即可．
【詳解】解：（厘米）
厘米=千米
答：兩地間的實(shí)際距離是km．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此類型的題目都可根據(jù)圖上距離、比例尺和實(shí)際距離三者的關(guān)系，進(jìn)行分析解答即可得出結(jié)論．
2．（2022·云南文山·九年級(jí)期末）如圖，在中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，則______．
【答案】##0.5
【分析】根據(jù)點(diǎn)D是AB中點(diǎn)直接得出的值即可
【詳解】解：∵點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，
∴AB=2AD，
∴
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了線段的中點(diǎn)及線段的比，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握線段中點(diǎn)的定義．
考點(diǎn)三 成比例線段
例題：（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知a、b、c、d是成比例線段，其中a＝3，b＝0.6，c＝2，則線段d的長(zhǎng)為（ ）
A．0.4B．0.6C．0.8D．4
【答案】A
【分析】如果四條線段a、b、c、d滿足、則四條線段a、b、c、d稱為比例線段．（有先后順序，不可顛倒），將a，b及c的值代入即可求得d．
【詳解】已知a，b，c，d是成比例線段，
根據(jù)比例線段的定義得：，
代入a＝3，b＝0.6，c＝2，得：，
解得：d＝0.4．
故線段d的長(zhǎng)為0.4．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查線段成比例的問(wèn)題．根據(jù)線段成比例的定義求解即可．
【變式訓(xùn)練】
1．（2020·遼寧·寬甸滿族自治縣第一初中九年級(jí)階段練習(xí)）下列四組線段中，是成比例線段的是（ ）
A．5cm，6cm，7cm，8cmB．3cm，6cm，2cm，5cm
C．2cm，4cm，6cm，8cmD．2cm，3cm，4cm，6cm
【答案】D
【分析】如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段.對(duì)選項(xiàng)一一分析，排除錯(cuò)誤答案．
【詳解】A．，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C．，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D．，故選項(xiàng)正確，
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查了比例線段，根據(jù)成比例線段的概念，注意在相乘的時(shí)候，最小的和最大的相乘，另外兩個(gè)相乘，看它們的積是否相等．同時(shí)注意單位要統(tǒng)一．
2．（2022·陜西渭南·九年級(jí)期末）若長(zhǎng)度為，，，的四條線段是成比例線段，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)四條線段成比例的概念，得比例式，再根據(jù)比例的基本性質(zhì)，即可求得的值．
【詳解】解：∵長(zhǎng)度為，，，的四條線段是成比例線段，
∴，
∴．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查成比例線段的概念，比例的基本性質(zhì)．掌握成比例線段的概念是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)四 黃金分割
例題：（2021·廣西·梧州市第十中學(xué)九年級(jí)期中）已知C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC>BC，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．AC2=BC·ABB．BC2=AC·ABC．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)黃金分割的定義得出，從而判斷各選項(xiàng)．
【詳解】解：∵點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)且AC＞BC，
∴，即AC2=BC?AB，故A、C選項(xiàng)正確，不符合題意；
∴，故選項(xiàng)D正確，不符合題意；
由得不到，所以，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，符合題意，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查黃金分割：把一條線段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（）叫做黃金比．，掌握黃金分割的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·黑龍江大慶·八年級(jí)期末）大自然是美的設(shè)計(jì)師，即使是一片小小的樹(shù)葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割”，如圖，為的黃金分割點(diǎn)（），如果的長(zhǎng)度為，那么的長(zhǎng)度為_(kāi)______．（結(jié)果保留根號(hào)）
【答案】5-5
【分析】先利用黃金分割的定義計(jì)算出AP，然后計(jì)算AB-AP即得到PB的長(zhǎng)．
【詳解】解：∵P為AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞PB），
∴AP＝AB＝×10＝5﹣5（cm），
故答案為：5﹣5．
【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC ( AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)(即AB : AC=AC : BC )，叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，熟記黃金分割比值是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·山東淄博·八年級(jí)期末）我們把寬與長(zhǎng)的比是的矩形叫做黃金矩形，已知四邊形是黃金矩形，邊的長(zhǎng)度為，則該矩形的周長(zhǎng)為 __．
【答案】4或
【分析】根據(jù)黃金矩形的定義進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別計(jì)算即可．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，即，
此時(shí)矩形的周長(zhǎng)為；
當(dāng)時(shí)，即，
解得，
此時(shí)矩形的周長(zhǎng)為，
綜上所述，該矩形的周長(zhǎng)為4或．
故答案為：4或．
【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，解題的關(guān)鍵是掌握要注意分類討論.
考點(diǎn)五 由平行判斷成比例的線段
例題：（2021·廣西·梧州市第十中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在AB，AC，BC邊上，DE∥BC，EF∥AB，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，在兩組平行線里面，通過(guò)，，逐項(xiàng)判斷，得出結(jié)論．
【詳解】∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理及其應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段，準(zhǔn)確列出比例式，推理論證．
【變式訓(xùn)練】
1．（2021·安徽·合肥市五十中學(xué)新校九年級(jí)期中）如圖，直線AC與DF交于點(diǎn)O，且與，，分別交于點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，則下列比例式不正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】平行線分線段成比例定理的內(nèi)容是：一組平行線截兩條直線，所截的線段對(duì)應(yīng)成比例，根據(jù)以上內(nèi)容判斷即可．
【詳解】解：A、∵，
∴，結(jié)果正確，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、∵，
∴，結(jié)果正確，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、∵，
∴，結(jié)果正確，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、∵，
∴，結(jié)果錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是：一組平行線截兩條直線，所截的線段對(duì)應(yīng)成比例．
2．（2022·山東煙臺(tái)·八年級(jí)期末）如圖，已知，那么下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)“兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例”進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，
∵BC和AD對(duì)應(yīng)，CE和DF對(duì)應(yīng)，BE和AF對(duì)應(yīng)，
∴，，
故D正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，確定出對(duì)應(yīng)線段是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)六 由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值
例題：（2022·黑龍江·大慶市慶新中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)，分別在，上，，，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______________
【答案】16
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例，可得，從而得到，即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
故答案為：16
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·山東濟(jì)南·八年級(jí)期中）如圖，已知在中，點(diǎn)D、E、F分別是邊上的點(diǎn)，，且，那么等于___________．
【答案】##
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，由DEBC得到AE：EC=AD：DB=3：5，則利用比例性質(zhì)得到CE：CA=5：8，然后利用EFAB可得到CF：CB=5：8．
【詳解】解：∵DEBC，
∴AE：EC=AD：DB=3：5，
∴CE：CA=5：8，
∵EFAB，
∴CF：CB=CE：CA=5：8．
即．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．
2．（2022·山東煙臺(tái)·八年級(jí)期中）圖，，直線、與、、分別相交于點(diǎn)A、、和點(diǎn)、、．若，，，則______．
【答案】4
【分析】由題意易得BC=10，然后根據(jù)平行線所截線段成比例可進(jìn)行求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案為4．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線所截線段成比例，熟練掌握平行線所截線段成比例是解題的關(guān)鍵．
課后訓(xùn)練
一、選擇題
1．（2021·浙江衢州·九年級(jí)階段練習(xí)）若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，設(shè) 則再代入求值即可得到答案．
【詳解】解： ，
設(shè) 則

故選：
【點(diǎn)睛】本題考查的是比例的基本性質(zhì)，掌握設(shè)參數(shù)的方法解決有關(guān)比例的問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）下列各組線段的長(zhǎng)度成比例的是（ ）
A．6cm、2cm、1cm、4cmB．4cm、5cm、6cm、7cm
C．3cm、4cm、5cm、6cmD．6cm、3cm、8cm、4cm
【答案】D
【詳解】試題解析：A.6×1≠2×4，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B.4×7≠5×6，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C.3×6≠4×5，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D.6×4=3×8，故本選項(xiàng)正確；
故選D．
點(diǎn)睛：判斷成比例線段，注意在線段兩兩相乘的時(shí)候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進(jìn)行判斷．
3．（2021·江蘇·東?？h駝峰中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）在一幅比例尺是1：5000000的地圖上，量得上海到杭州的距離是3.4cm．那么上海到杭州的實(shí)際距離是（ ）
A．17kmB．34kmC．170kmD．340km
【答案】C
【分析】要求3.4厘米表示的實(shí)際距離是多少千米，根據(jù)“圖上距離÷比例尺＝實(shí)際距離”，代入數(shù)值計(jì)算即可求解．
【詳解】解：（厘米），
17000000厘米＝170千米，
答：上海到杭州的實(shí)際距離是170千米，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查比例尺—比例線段，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
4．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AB，DE分別交l1，l2，l3于點(diǎn)A，B，C和D，E，F(xiàn)，若AB：AC＝2：5，EF＝15，則DF的長(zhǎng)等于（ ）
A．18B．20C．25D．30
【答案】C
【分析】由 可得 即再列方程，解方程可得答案．
【詳解】解：

AB：AC＝2：5，EF＝15，



經(jīng)檢驗(yàn)：符合題意，

故選：
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·湖北省直轄縣級(jí)單位·九年級(jí)階段練習(xí)）已知線段，且點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，，點(diǎn)P叫做線段的黃金分割點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)，可得，從而得到，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去）
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查的是黃金分割的概念，熟記點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，，點(diǎn)P叫做線段的黃金分割點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
6．（2023·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如果，那么的值為 __．
【答案】
【分析】利用合比的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：，
，
，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查比例的基本的性質(zhì)，根據(jù)性質(zhì)內(nèi)容準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵.
7．（2022·山東省濟(jì)南燕山中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知線段，C為線段AB的黃金分割點(diǎn)，則___________．
【答案】cm
【分析】利用黃金分割的定義計(jì)算即可．
【詳解】解：∵點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞BC，
∴
∴cm，
故答案為：cm．
【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割點(diǎn)的定義，若C為線段AB的黃金分割點(diǎn)，則，熟練應(yīng)用黃金分割的性質(zhì)列出方程是解題的關(guān)鍵．
8．（2020·浙江杭州·九年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)G是的重心，，交于點(diǎn)F，則______，等于______．
【答案】 2：1 3：1：2
【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)得到E是AC的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，再根據(jù)平行線分線段成比例得到，再根據(jù)重心的性質(zhì)得到AF=3FG，從而可得結(jié)論．
【詳解】解：∵點(diǎn)G為△ABC的重心，
∴E是AC的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，
又∵EF∥BC，
∴，
∴，
∴DG=2FG，
∵G為重心，
∴AG=2DG=4FG，
∴AF=3FG，
∴AF：FG：GD=3：1：2，
故答案為：2：1，3：1：2．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理、三角形的重心定理；熟練掌握三角形的重心定理，由平行線分線段成比例定理得出BG：EG=2：1是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
9．（2022·上海·測(cè)試·編輯教研五八年級(jí)期末）我們把邊長(zhǎng)是兩條對(duì)角線長(zhǎng)度的比例中項(xiàng)的菱形叫做“鉆石菱形”，如果一個(gè)“鉆石菱形”的邊長(zhǎng)是，那么這個(gè)菱形的面積是______．
【答案】18
【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的定義可求對(duì)角線的乘積．再根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半求解．
【詳解】解：對(duì)角線的乘積，
菱形的面積．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查比例線段、菱形的性質(zhì)、菱形的面積公式，熟練掌握菱形性質(zhì)和菱形的面積公式是解題關(guān)鍵．
10．（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在等腰中，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，點(diǎn)在邊上，，則的值是_____．
【答案】
【分析】過(guò)點(diǎn)P作交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，根據(jù)等腰三角形判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)可證，再證，可得，再利用平行線分線段成比例得，結(jié)合線段的等量關(guān)系及比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】如圖：過(guò)點(diǎn)P作交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，
在和中
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，以及全等三角形的判定，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線，列出比例式．
三、解答題
11．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知線段MN = 1，在MN上有一點(diǎn)A，如果AN =，求證：點(diǎn)A是MN的黃金分割點(diǎn)
【答案】見(jiàn)解析
【分析】首先得出的長(zhǎng)，進(jìn)而得出求出即可．
【詳解】證明：作下圖：
線段，在上有一點(diǎn)，，
，
，
，
點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了黃金分割，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知得出．
12．（2022·上海市淞誼中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知點(diǎn)C在線段AB上，且滿足．
(1)若AB=1，求AC的長(zhǎng)；
(2)若AC比BC大2，求AB的長(zhǎng)．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知可得點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，從而可得AC=AB，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答；
（2）根據(jù)已知可設(shè)AC=x,則BC=x-2，從而可得AB=2x-2，然后根據(jù)，可得，從而進(jìn)行計(jì)算即可解答．
（1）
∵點(diǎn)C在線段AB上，且滿足，
∴點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，
∴AC=AB=，
∴AC的長(zhǎng)為；
（2）
∵AC比BC大2，
∴設(shè)AC=x,則BC=x-2，
∴AB=AC+BC=2x-2，
∵，
∴，
解得：（舍去），
∴AB=2x-2=，
∴AB的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．
13．（2022·福建泉州·九年級(jí)階段練習(xí)）已知線段滿足，且．
(1)求的值；
(2)請(qǐng)?jiān)賹懗鲆粭l線段長(zhǎng)，使這條線段以及線段這三條線段中的一條線段是另外兩條線段的比例中項(xiàng)．
【答案】(1)
(2)或或12
【分析】（1）根據(jù)比例的性質(zhì)，設(shè)，由，求得，進(jìn)而即可求解；
（2）設(shè)另外一條線段長(zhǎng)為．分類討論，根據(jù)比例的性質(zhì)列出方程，即可求解．
（1）
解：設(shè)，則，
∵
∴，
解得，
故．
（2）
設(shè)另外一條線段長(zhǎng)為．
若為的比例中項(xiàng)，則，
解得x=（負(fù)值已舍去）；
若為的比例中項(xiàng)，則，
解得；
若為的比例中項(xiàng)，則，
解得．
綜上所述，寫出的線段長(zhǎng)可為或或12．
【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，成比例線段，掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知ADBECF，它們依次交直線、于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F，且AB=6，BC=8．
（1）求的值；
（2）當(dāng)AD=5，CF=19時(shí)，求BE的長(zhǎng)．
【答案】（1）；（2）11
【分析】（1）根據(jù)ADBECF可得，由此計(jì)算即可；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AGDF交BE于點(diǎn)H，交CF于點(diǎn)G，得出AD=HE=GF=5，由平行線分線段成比例定理得出比例式求出BH=6，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：（1）∵ADBECF，
∴，
∵AB=6，BC=8，
∴，
故的值為；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AGDF交BE于點(diǎn)H，交CF于點(diǎn)G，
∵AGDF，ADBECF，
∴AD=HE=GF=5，
∵CF=19，
∴CG=CF-GF=14，
∵BECF，
∴，
∴，
解得BH=6，
∴BE=BH+HE=11．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例；熟練掌握平行線分線段成比例，通過(guò)作輔助線運(yùn)用平行線分線段成比例求出BH是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
15．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀理解：二次根式的除法，要化去分母中的根號(hào)，需將分子、分母同乘以一個(gè)恰當(dāng)?shù)亩胃剑?br>例如：化簡(jiǎn)．
解：將分子、分母同乘以得：
．
拓展延伸：
寬與長(zhǎng)的比是的矩形叫黃金矩形．如圖1，已知黃金矩形的寬．
(1)求黃金矩形中邊的長(zhǎng)；
(2)如圖2，將圖1中的黃金矩形裁剪掉一個(gè)以為邊的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否為黃金矩形，并證明你的結(jié)論．
【答案】(1)
(2)是黃金矩形，見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)黃金矩形的定義，列出比例式計(jì)算即可．
（2）求得CD，EC=BC-AB=，計(jì)算即可．
(1)
∵ 寬與長(zhǎng)的比是的矩形叫黃金矩形，黃金矩形的寬，
∴，
∴=．
(2)
矩形是黃金矩形．理由如下：
∵ 黃金矩形裁剪掉一個(gè)以為邊的正方形，得到新的矩形，
∴CD=，EC=BC-AB==，
∴=，
故矩形是黃金矩形．
【點(diǎn)睛】本題考查了黃金矩形，二次根式的分母有理化，熟練掌握有理化的方法，理解定義是解題的關(guān)鍵．
16．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（如圖1），點(diǎn)P將線段AB分成一條較小線段AP和一條較大線段BP，如果，那么稱點(diǎn)P為線段AB的黃金分割點(diǎn)，設(shè)=k，則k就是黃金比，并且k≈0.618．

（1）以圖1中的AP為底，BP為腰得到等腰APB（如圖2），等腰△APB即為黃金三角形，黃金三角形的定義為：滿足≈0.618的等腰三角形是黃金三角形；類似地，請(qǐng)你給出黃金矩形的定義：__；
（2）如圖1，設(shè)AB=1，請(qǐng)你說(shuō)明為什么k約為0.618；
（3）由線段的黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到圖形的“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個(gè)面積為S的圖形分成面積為S1和面積為S2的兩部分（設(shè)S1＜S2），如果，那么稱直線l為該矩形的黃金分割線．（如圖3），點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，那么直線CP是△ABC的黃金分割線嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）圖3中的△ABC的黃金分割線有幾條？
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析；（4）無(wú)數(shù)條
【分析】(1)類比黃金三角形的定義進(jìn)行定義；
(2)根據(jù)線段黃金分割點(diǎn)的概念進(jìn)行分析；
(3)根據(jù)線段黃金分割點(diǎn)的概念和三角形的面積公式進(jìn)行分析；
(4)根據(jù)(2)中的結(jié)論，得到這樣的直線有無(wú)數(shù)條．
【詳解】解：（1）滿足≈0.618的矩形是黃金矩形；
（2）由=k得，BP=1×k=k，從而AP=1﹣k，
由得，BP2=AP×AB，
即k2=（1﹣k）×1，
解得k=，
∵k＞0，
∴k=≈0.618；
（3）因?yàn)辄c(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，所以，
設(shè)△ABC的AB上的高為h，則
∴直線CP是△ABC的黃金分割線．
（4）由（2）知，在BC邊上也存在這樣的黃金分割點(diǎn)Q，則AQ也是黃金分割線，設(shè)AQ與CP交于點(diǎn)W，則過(guò)點(diǎn)W的直線均是△ABC的黃金分割線，故黃金分割線有無(wú)數(shù)條．
【點(diǎn)睛】注意線段的黃金分割點(diǎn)的概念的延伸，能夠根據(jù)黃金分割的定義結(jié)合三角形的面積進(jìn)行分析證明．

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