1．計(jì)算：
(1)
(2)
(3)
(4)．
2．計(jì)算題
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
3．用指定的方法解方程：
(1)（用配方法）
(2)（用公式法）
(3)（用因式分解法）
(4)（用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ?br>4．化簡(jiǎn)二次根式：．
5．已知，，求代數(shù)式的值；
(1)；
(2).
6．已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
(2)該方程的兩個(gè)根為和，，求的取值范圍．
7．已知關(guān)于x的方程．
(1)求證：此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
(2)若此方程的兩個(gè)根分別為，其中，若，求m的值．
8．如圖，用長(zhǎng)為22米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長(zhǎng)度為14米），圍成中間隔有一道籬笆的長(zhǎng)方形花圃，為了方便出入，在建造籬笆花圃時(shí)，在BC上用其他材料做了寬為1米的兩扇小門．
(1)設(shè)花圃的一邊AB長(zhǎng)為x米，請(qǐng)你用含x的代數(shù)式表示另一邊AD的長(zhǎng)為 米；
(2)若此時(shí)花圃的面積剛好為45m2，求此時(shí)花圃的長(zhǎng)與寬．
9．先閱讀方框中方程的求解過程，然后解答問題：
(1)解方程：．
(2)解方程：．
(3)方程的解為__________．
10．一天老師在黑板上出示：求代數(shù)式的值，其中．如圖是小明和小芳的解答過程：
(1) 的解法是錯(cuò)誤的；
(2)求代數(shù)式的值，其中．
11．去年10至12月份，某服飾公司經(jīng)營(yíng)甲、乙、丙三個(gè)品牌內(nèi)衣，10月份共賣出400套，12月份共賣出576套．
(1)求該公司11、12兩月賣出內(nèi)衣套數(shù)的月平均增長(zhǎng)率．
(2)若甲品牌內(nèi)衣價(jià)格100元/套，乙品牌內(nèi)衣價(jià)格80元/套，丙品牌內(nèi)衣價(jià)格160元/套．據(jù)預(yù)測(cè)，今年1月份可以賣出甲、乙、丙三個(gè)品牌內(nèi)衣分別有200套、300套和200套．并且當(dāng)甲、乙兩個(gè)品牌內(nèi)衣價(jià)格不變時(shí)，丙品牌內(nèi)衣單價(jià)每下降1元，甲品牌內(nèi)衣少賣出6套，乙品牌內(nèi)衣少賣出4套，丙品牌內(nèi)衣就可以多賣出去10套．
①若丙品牌內(nèi)衣以單價(jià)下降m元銷售，求該服飾公司1月份的總收入（用m表示）．
②問：將丙品牌內(nèi)衣價(jià)格下降多少元/套（降價(jià)不超過30元）時(shí)，1月份的總收入是79800元？
12．在數(shù)學(xué)課外學(xué)習(xí)活動(dòng)中，小華和他的同學(xué)遇到一道題：已知，求的值．小華是這樣解答的：
，
．請(qǐng)你根據(jù)小華的解題過程，解決下列問題．
(1)填空：______；______．
(2)化簡(jiǎn)：．
(3)若，求的值．
13．當(dāng)時(shí)，求的值．如圖是小亮和小芳的解答過程：
(1) 的解法是錯(cuò)誤的；
(2)錯(cuò)誤的原因在于未能正確地運(yùn)用二次根式的性質(zhì)： ；
(3)當(dāng)時(shí)，求的值．
14．閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方.如．善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)（其中a，b，m，n均為整數(shù)），則有.故，，這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法．請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問題：
(1)a，b都是正整數(shù)，若，則________，________；
(2)當(dāng)a，b，m，n均為正整數(shù)時(shí)，若，用含m，n的式子分別表示a，b，得________，________；
(3)若，且a，m，n均為正整數(shù)，求a的值．
15．閱讀下面的解題過程體會(huì)如何發(fā)現(xiàn)隱含條件并回答下面的問題
化簡(jiǎn)∶
解∶隱含條件，解得：
∴
∴原式
【啟發(fā)應(yīng)用】
（1）按照上面的解法，試化簡(jiǎn)
【類比遷移】
（2）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：．
（3）已知a，b，c為ABC的三邊長(zhǎng)．化簡(jiǎn)：
16．閱讀下列材料，然后回答問題．
在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如一樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：，以上這種化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化．
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，最重要的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，其中一種數(shù)學(xué)思想叫做換元的思想，它可以簡(jiǎn)化我們的計(jì)算，比如我們熟悉的下面這個(gè)題：已知，，求．我們可以把和看成是一個(gè)整體，令，，則．這樣，我們不用求出，，就可以得到最后的結(jié)果．
(1)計(jì)算：；
(2)已知是正整數(shù)，，且．求．
17．如果關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，其中一個(gè)實(shí)數(shù)根是另一個(gè)實(shí)數(shù)根的2倍，那么稱這樣的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的兩個(gè)根是，則方程是“倍根方程”．
(1)通過計(jì)算，判斷是否是“倍根方程”．
(2)若關(guān)于x的方程是“倍根方程”，求代數(shù)式的值；
(3)已知關(guān)于x的一元二次方程（是常數(shù)）是“倍根方程”，請(qǐng)直接寫出的值．
18．已知關(guān)于的方程.
(1)求證：無(wú)論取何實(shí)數(shù)，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根；
(2)若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根、滿足，求的值.
(3)當(dāng)?shù)妊切蔚囊贿呴L(zhǎng)，另兩邊長(zhǎng)、恰好是這個(gè)方程的兩根時(shí)，求的周長(zhǎng).
19．已知關(guān)于x的一元二次方程
(1)若方程的一個(gè)根為，求a的值和另一個(gè)根；
(2)當(dāng)時(shí)，
①若代數(shù)式，則___________；
②若代數(shù)式的值為正整數(shù)，且x為整數(shù)，求x的值；
(3)當(dāng)時(shí)，方程的一個(gè)正根為；當(dāng)時(shí)，方程的一個(gè)正根為；若，試比較與的大小．
20．一元二次方程中，根的判別式通常用來(lái)判斷方程實(shí)根個(gè)數(shù)，在實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中，我們亦可用來(lái)解決部分函數(shù)的最值問題，例如：已知函數(shù)，當(dāng)為何值時(shí)，取最小值，最小值是多少？
解答：已知函數(shù)，
，（把當(dāng)作參數(shù)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程）
，即，，
（當(dāng)為何值時(shí)，存在相應(yīng)的與之對(duì)應(yīng)，即方程有根）
因此的最小值為，此時(shí)，解得，符合題意，
所以當(dāng)時(shí)，．
應(yīng)用：
(1)已知函數(shù)，當(dāng)__________時(shí)，的最大值是___________．
(2)已知函數(shù)，當(dāng)為何值時(shí)，取最小值，最小值是多少？
21．先閱讀材料，再解決下列問題．
例如：用配方法求代數(shù)式的最小值．
原式．
∵，
∴當(dāng)時(shí)，有最小值是2．
根據(jù)上述所用方法，解決下列問題：
(1)求代數(shù)式的最小值；
(2)若，當(dāng)_______時(shí)，有最_______值（填“大”或“小”），這個(gè)值是_______；
(3)當(dāng)，，分別為的三邊時(shí)，且滿足時(shí)，判斷的形狀并說明理由．
22．某校開展讀書活動(dòng)以來(lái)，受到同學(xué)們的廣泛關(guān)注，學(xué)校為了解全校學(xué)生課外閱讀的情況，隨機(jī)調(diào)查了名學(xué)生在一周內(nèi)借閱圖書的次數(shù)，并制成如圖不完整的統(tǒng)計(jì)圖表．
學(xué)生借閱圖書的次數(shù)統(tǒng)計(jì)表
請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表中的信息，解答下列問題：
(1)________；________；________；
(2)該調(diào)查統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是________次；眾數(shù)是________次；
(3)若該校共有2000名學(xué)生，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，估計(jì)該校學(xué)生在一周內(nèi)借閱圖書“4次及以上”的人數(shù)．
23．近年來(lái)網(wǎng)約車給人們的出行帶來(lái)了便利．小明和數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)對(duì)網(wǎng)約車公司司機(jī)的月收入進(jìn)行了抽樣調(diào)查，在甲、乙兩家公司分別調(diào)查了10名司機(jī)的月收入（單位：千元），并將所得數(shù)據(jù)繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖：
根據(jù)以上信息，整理分析數(shù)據(jù)如下：
(1)填空：__________，__________，___________．
(2)王樂的叔叔計(jì)劃從甲、乙兩家公司中選擇一家去應(yīng)聘網(wǎng)約車司機(jī)．如果你是王樂，你建議他選哪家公司？請(qǐng)說明理由．
24．在常態(tài)化疫情防控工作形勢(shì)下，某校通過云講解、云參觀、云課堂等方式立體講解中國(guó)首批國(guó)家公園，并組織初中全體學(xué)生發(fā)起了“大美我家園敬畏大自然”的主題教育活動(dòng)，為了解學(xué)生對(duì)中國(guó)國(guó)家公園的了解程度，隨機(jī)抽取了七年級(jí)、八年級(jí)學(xué)生若干名（抽取的各年級(jí)學(xué)生人數(shù)相同）進(jìn)行網(wǎng)上問卷測(cè)試，并對(duì)得分情況進(jìn)行整理和分析（得分用整數(shù)表示，單位：分），且分為A，，三個(gè)等級(jí)，分別是：優(yōu)秀為A等級(jí)：，合格為等級(jí)：，不合格為等級(jí)：．分別繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖表，其中七年級(jí)學(xué)生測(cè)試成績(jī)數(shù)據(jù)的眾數(shù)出現(xiàn)在A組，A組測(cè)試成績(jī)情況分別為：85，85，87，92，95，95，95，95，97，98，99，100；八年級(jí)學(xué)生測(cè)試成績(jī)數(shù)據(jù)的A組共有個(gè)人．
七年級(jí)、八年級(jí)兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差如表所示：
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
(1)填空：________，________，________；
(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該學(xué)校哪個(gè)年級(jí)的測(cè)試成績(jī)更好，并說明理由；
(3)若該校七、八年級(jí)分別有1500人，請(qǐng)估計(jì)該校初中七、八年級(jí)學(xué)生中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生共有多少名？
25．2022年6月5日上午10點(diǎn)44分，神舟十四號(hào)載人飛船發(fā)射成功，中國(guó)載人航天與空間站建設(shè)迎來(lái)全新的發(fā)展階段．某中學(xué)為了解本校學(xué)生對(duì)我國(guó)航天科技及空間站的知曉情況，在全校開展了“航天夢(mèng)科普知識(shí)”競(jìng)賽活動(dòng)．該活動(dòng)主要負(fù)責(zé)人從八、九年級(jí)各隨機(jī)抽取了40名學(xué)生的成績(jī)整理分析（滿分為100分，得分均為整數(shù)，兩個(gè)年級(jí)成績(jī)分組相同）得到以下信息：
信息一：八年級(jí)學(xué)生成績(jī)的頻數(shù)分布表和九年級(jí)學(xué)生成績(jī)的扇形統(tǒng)計(jì)圖如下：
八年級(jí)學(xué)生成績(jī)的頻數(shù)分布表：
信息二：成績(jī)?cè)贐組的學(xué)生中，九年級(jí)比八年級(jí)少2人；
信息三：八年級(jí)C組10名學(xué)生的成績(jī)是：70，72，73，73，74，75，75，76，78，79．
根據(jù)以上信息，完成下列問題：
(1)八年級(jí)成績(jī)?cè)贐組的有 人；
(2)該校八年級(jí)學(xué)生有560人，九年級(jí)學(xué)生有600人．若成績(jī)?cè)?0分以上為優(yōu)秀，請(qǐng)你估計(jì)八、九年級(jí)競(jìng)賽成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生總?cè)藬?shù)；
(3)在此次調(diào)查中，小雪的成績(jī)是77分，被評(píng)為“中上水平”．請(qǐng)你判斷小雪屬于哪個(gè)年級(jí)，并說明理由．
26．如圖，，是的對(duì)角線上兩點(diǎn)，且，求證：．
27．由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，點(diǎn)、，都是格點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示畫圖結(jié)果用實(shí)線表示，并回答下列問題：
(1)直接寫出的長(zhǎng)是 ；
(2)在圖中，畫以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)且周長(zhǎng)最大的平行四邊形；
(3)在圖2中，畫的角平分線．
28．如圖，在中，是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若，求四邊形的面積．
29．如圖，在中，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，，連接．
(1)求證：平分；
(2)若點(diǎn)E為中點(diǎn)，，，求的面積．
30．在中，，、分別是、的中點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接、、、，與交于點(diǎn)O．
(1)試說明與互相平分；
(2)若，，求的長(zhǎng)．
31．如圖，在四邊形中，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)．
(1)若，求的長(zhǎng)．
(2)若，求證：．
32．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E是邊上的一點(diǎn)，且，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)F，交于G，連接，．
(1)若是的角平分線，求證：．
(2)在（1）的條件下，若，求的度數(shù)．
(3)若點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
33．如圖，六邊形是正六邊形，請(qǐng)用無(wú)刻度直尺畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示，按要求完成下列問題：
(1)如圖1，連接；
①求的度數(shù)；
②在圖1中畫出以為邊的等邊三角形，且另一個(gè)頂點(diǎn)在六邊形的邊上，并證明．
(2)已知，P為邊上一點(diǎn)，如圖2，在邊上找一點(diǎn)Q，使得為等腰三角形；按要求畫出圖形即可，不必證明．
34．中，點(diǎn)E、F分別在C、上，且．
(1)如圖1，求證：四邊形是平行四邊形；
(2)如圖2，若E為中點(diǎn)，連接、、，與相交于點(diǎn)G，與相交于點(diǎn)H，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中除和以外的所有平行四邊形．
35．中，點(diǎn)E在邊上，．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，點(diǎn)G在線段上，連接，若，求證：；
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，若，，，求的長(zhǎng)．
36．如圖，在中，，，垂足分別為點(diǎn)，點(diǎn)，連接、．
(1)試判斷與的關(guān)系，并說明理由；
(2)若，的面積是，則的面積為______．
37．已知：在中，，，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，連接．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，將沿翻折得到，延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，求證：；
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，在上取一點(diǎn)E，連接，使，若，求的長(zhǎng)．
38．如圖，在的同側(cè)以、為底邊向外作等腰、，其中，為的中點(diǎn)，連接、．
(1)如圖，當(dāng)時(shí)，直接寫出與的關(guān)系．
(2)如圖，當(dāng)時(shí)，（1）的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)你做出判斷并說明理由；
(3)如圖，當(dāng)，，連接，取其中點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)A從的位置運(yùn)動(dòng)到時(shí)停止，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為______．
解方程：．
解：方程左邊分解因式，得
，
解得，，．
借閱圖書的次數(shù)
0次
1次
2次
3次
4次及以上
人數(shù)
7
13
10
3
10名司機(jī)平均月收入（千元）
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
甲公司
6
6
1.2
乙公司
4
7.6
成績(jī)
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
七年級(jí)
85
99.5
八年級(jí)
85
91
96
95.1
組別
成績(jī)
人數(shù)
A
90≤x≤100
5
B
80≤x＜90
C
70≤x＜80
10
D
60≤x＜70
E
60分以下
5
特訓(xùn)08 期中解答題（題型歸納38道，第1-4章）
一、解答題
1．計(jì)算：
(1)
(2)
(3)
(4)．
【答案】(1)1
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先化簡(jiǎn)各二次根式，然后合并即可；
（2）先利用二次根式的乘法法則計(jì)算，然后化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式，再合并即可；
（3）先化簡(jiǎn)各二次根式，然后合并即可；
（3）利用完全平方公式、平方差公式計(jì)算即可．
【解析】（1）解：原式
；
（2）原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的計(jì)算，掌握二次根式的性質(zhì)，乘法法則以及合并同類二次根式法則是解題的關(guān)鍵．
2．計(jì)算題
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先化簡(jiǎn)二次根式，再統(tǒng)一為乘法運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）先化簡(jiǎn)各項(xiàng)，再進(jìn)行加減法運(yùn)算即可；
（3）各項(xiàng)先化成最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類二次根式即可；
（4）利用分母有理化和平方差公式計(jì)算，最后再進(jìn)行加減運(yùn)算即可．
【解析】（1）解：
（2）
（3）
（4）
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則和順序是解題的關(guān)鍵．
3．用指定的方法解方程：
(1)（用配方法）
(2)（用公式法）
(3)（用因式分解法）
(4)（用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ?br>【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可；
（3）利用因式分解法解方程即可；
（4）先將給出的方程進(jìn)行變形，然后利用因式分解法解方程即可．
【解析】（1）移項(xiàng)，得：，
系數(shù)化1，得：，
配方，得：，
，
，
∴，；
（2）原方程可變形為，
，，，
，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
，
∴，；
（3）原方程可變形為：，
整理得：，
解得，；
（4）原方程可變形為：，
整理得：，
，
∴，
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有關(guān)知識(shí)，掌握配方法的基本步驟，一元二次方程的求根公式是解題關(guān)鍵．
4．化簡(jiǎn)二次根式：．
【答案】
【分析】先將括號(hào)內(nèi)各式化為最簡(jiǎn)二次根式，再根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．
【解析】解：原式
當(dāng)時(shí)，
原式
，
當(dāng)時(shí)，
原式
．
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)以及二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的化簡(jiǎn)法則以及二次根式的混合運(yùn)算法則．
5．已知，，求代數(shù)式的值；
(1)；
(2).
【答案】(1)14
(2)15
【分析】（1）先求得，，再利用完全平方公式得到，然后代值求解；
（2）利用完全平方公式得到，然后代值求解即可．
【解析】（1）解：∵，，
∴，
，
∴
；
（2）解：
．
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，熟記完全平方公式和平方差公式并靈活運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．
6．已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
(2)該方程的兩個(gè)根為和，，求的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)或
【分析】（1）表示出，根據(jù)的數(shù)值判斷即可；
（2）表示出方程的兩個(gè)根，據(jù)兩根及其條件列出不等式，并解不等式即可．
【解析】（1）∵關(guān)于x的方程中，
∴該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（2）∵
∴方程的兩個(gè)根為m和3m
由可知，
當(dāng)時(shí)，，∴即，
當(dāng)時(shí)，，∴即，
綜上，或
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式、解一元二次方程等，解題的關(guān)鍵是表示出方程的兩個(gè)根．
7．已知關(guān)于x的方程．
(1)求證：此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
(2)若此方程的兩個(gè)根分別為，其中，若，求m的值．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，求出出，即可證明結(jié)論成立；
（2）利用分解因式法得出方程的根，結(jié)合、即可得出關(guān)于m的一元一次方程求解即可．
【解析】（1）證明：∵
，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2），即，
解得：．
∵，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，以及因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的兩個(gè)根．
8．如圖，用長(zhǎng)為22米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長(zhǎng)度為14米），圍成中間隔有一道籬笆的長(zhǎng)方形花圃，為了方便出入，在建造籬笆花圃時(shí)，在BC上用其他材料做了寬為1米的兩扇小門．
(1)設(shè)花圃的一邊AB長(zhǎng)為x米，請(qǐng)你用含x的代數(shù)式表示另一邊AD的長(zhǎng)為 米；
(2)若此時(shí)花圃的面積剛好為45m2，求此時(shí)花圃的長(zhǎng)與寬．
【答案】(1)
(2)長(zhǎng)為9m，寬為5m
【分析】（1）用繩子的總長(zhǎng)減去三個(gè)的長(zhǎng)，然后加上兩個(gè)門的長(zhǎng)即可表示出；
（2）根據(jù)長(zhǎng)方形面積公式列出關(guān)于x的一元二次方程求解即可得出答案．
【解析】（1）解：設(shè)花圃的寬AB長(zhǎng)為x米，則長(zhǎng)米，
故答案為:；
（2）解：由題意可得：，
解得：；，
∴當(dāng)時(shí)，，不符合題意舍去，
當(dāng)時(shí)，，滿足題意．
答：花圃的長(zhǎng)為9m，寬為5m．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，弄清題意、用x表示出是解答本題的關(guān)鍵．
9．先閱讀方框中方程的求解過程，然后解答問題：
(1)解方程：．
(2)解方程：．
(3)方程的解為__________．
【答案】(1)，，；
(2)，，，；
(3)，．
【分析】（1）先分解因式，即可得出一元一次方程和一元二次方程，求出方程的解即可；
（2）先分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可；
（3）整理后分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可．
【解析】（1）解：，
∴，
∴或，
解得，
解，即，
∴，，
∴方程的解為：，，；
（2）解：，
∴，
∴或
∴，，，；
（3）解：，
∴，
∴，即，
∴，，無(wú)實(shí)數(shù)解，
或，，
∴，．
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題考查了解高次方程，解一元二次方程，根的判別式等知識(shí)點(diǎn)，能把高次方向轉(zhuǎn)化成低次方程是解此題的關(guān)鍵．
10．一天老師在黑板上出示：求代數(shù)式的值，其中．如圖是小明和小芳的解答過程：
(1) 的解法是錯(cuò)誤的；
(2)求代數(shù)式的值，其中．
【答案】(1)小亮
(2)2028
【分析】（1）根據(jù)二次根式的非負(fù)性可判斷小亮的解法是錯(cuò)誤的；
（2）根據(jù)二次根式的非負(fù)性化簡(jiǎn)原式并代值求解即可．
【解析】（1）解：∵，
∴
，
，
∴小亮的解法是錯(cuò)誤的，
故答案為：小亮；
（2）解：∵，
∴
．
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)、代數(shù)式求值，熟記完全平方公式，掌握二次根式的非負(fù)性是解答的關(guān)鍵．
11．去年10至12月份，某服飾公司經(jīng)營(yíng)甲、乙、丙三個(gè)品牌內(nèi)衣，10月份共賣出400套，12月份共賣出576套．
(1)求該公司11、12兩月賣出內(nèi)衣套數(shù)的月平均增長(zhǎng)率．
(2)若甲品牌內(nèi)衣價(jià)格100元/套，乙品牌內(nèi)衣價(jià)格80元/套，丙品牌內(nèi)衣價(jià)格160元/套．據(jù)預(yù)測(cè)，今年1月份可以賣出甲、乙、丙三個(gè)品牌內(nèi)衣分別有200套、300套和200套．并且當(dāng)甲、乙兩個(gè)品牌內(nèi)衣價(jià)格不變時(shí)，丙品牌內(nèi)衣單價(jià)每下降1元，甲品牌內(nèi)衣少賣出6套，乙品牌內(nèi)衣少賣出4套，丙品牌內(nèi)衣就可以多賣出去10套．
①若丙品牌內(nèi)衣以單價(jià)下降m元銷售，求該服飾公司1月份的總收入（用m表示）．
②問：將丙品牌內(nèi)衣價(jià)格下降多少元/套（降價(jià)不超過30元）時(shí)，1月份的總收入是79800元？
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根據(jù)增長(zhǎng)率問題的數(shù)量關(guān)系列一元二次方程求解即可；
（2）①用含有的代數(shù)式分別表示甲，乙，丙品牌的收入，再相加即可；②根據(jù)總收入為元列方程求解即可．
【解析】（1）解：設(shè)月平均增長(zhǎng)率為
解得：（舍去）
∵
答：該公司11、12兩月賣出內(nèi)衣套數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為．
（2）①解：甲品牌收入：元
乙品牌收入：元
丙品牌收入：元
∴該服飾公司1月份的總收入為：元
②解：由題意得：
解得：（舍去）
答：將丙品牌內(nèi)衣價(jià)格下降10元/套（降價(jià)不超過30元）時(shí)，1月份的總收入是79800元
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的增長(zhǎng)率問題以及收入問題，熟練掌握增長(zhǎng)率問題和收入問題的數(shù)量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
12．在數(shù)學(xué)課外學(xué)習(xí)活動(dòng)中，小華和他的同學(xué)遇到一道題：已知，求的值．小華是這樣解答的：
，
．請(qǐng)你根據(jù)小華的解題過程，解決下列問題．
(1)填空：______；______．
(2)化簡(jiǎn)：．
(3)若，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）利用分母有理化進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）先分母有理化再進(jìn)行加減計(jì)算即可；
（3）先分母有理化，得到，從而可得，利用整體代入的方法計(jì)算即可．
【解析】（1）解：，
，
故答案為：，；
（2）解：原式
（3）解：，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是先化簡(jiǎn)再求值，運(yùn)用整體代入的方法簡(jiǎn)化計(jì)算．
13．當(dāng)時(shí)，求的值．如圖是小亮和小芳的解答過程：
(1) 的解法是錯(cuò)誤的；
(2)錯(cuò)誤的原因在于未能正確地運(yùn)用二次根式的性質(zhì)： ；
(3)當(dāng)時(shí)，求的值．
【答案】(1)小亮
(2)
(3)-2
【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求出答案．
（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求出答案．
（3）根據(jù)的范圍判斷與的符號(hào)，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求出答案．
【解析】（1）原式，
，
∵，
∴，
∴原式，
故小亮的解法錯(cuò)誤，
故答案為：小亮．
（2），
故答案為：．
（3）∵，
，，
∴原式，



．
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．
14．閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方.如．善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)（其中a，b，m，n均為整數(shù)），則有.故，，這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法．請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問題：
(1)a，b都是正整數(shù)，若，則________，________；
(2)當(dāng)a，b，m，n均為正整數(shù)時(shí)，若，用含m，n的式子分別表示a，b，得________，________；
(3)若，且a，m，n均為正整數(shù)，求a的值．
【答案】(1)，
(2)，
(3)7或者13
【分析】（1）根據(jù)題干給的方法，將等式的右邊展開即可作答；
（2）根據(jù)題干給的方法，將等式的右邊展開即可作答；
（3）根據(jù)題干給的方法，將等式的右邊展開即可得到，，即，根據(jù)，為正整數(shù)，可得，或，，則問題得解．
【解析】（1）∵，
∴，
∴，
∵a，b都是正整數(shù)，
∴，，
故答案為：，；
（2）∵，
∴，
∵a，b，m，n均為正整數(shù)，
∴，，
故答案為：，；
（3）∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，為正整數(shù)，
∴，或，，
∴，或，
即a的值為7或者13．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的恒等變形，弄清材料中解題的方法，熟練掌握和靈活運(yùn)用二次根式的相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.
15．閱讀下面的解題過程體會(huì)如何發(fā)現(xiàn)隱含條件并回答下面的問題
化簡(jiǎn)∶
解∶隱含條件，解得：
∴
∴原式
【啟發(fā)應(yīng)用】
（1）按照上面的解法，試化簡(jiǎn)
【類比遷移】
（2）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：．
（3）已知a，b，c為ABC的三邊長(zhǎng)．化簡(jiǎn)：
【答案】（1）1；（2）；（3）．
【分析】（1）根據(jù)二次根式有意義的條件判斷出的范圍，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)可得；
（2）由a，b在數(shù)軸上的位置判斷出、，再利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可得；
（3）由三角形的三邊關(guān)系得出，，，再利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)可得．
【解析】解：（1）隱含條件 ，解得：
∴
∴原式；
（2）觀察數(shù)軸得隱含條件：，，
∴，
∴原式；
（3）由三角形的三邊關(guān)系可得隱含條件：
，，，
∴，，
∴原式
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì) 及三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)．
16．閱讀下列材料，然后回答問題．
在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如一樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：，以上這種化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化．
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，最重要的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，其中一種數(shù)學(xué)思想叫做換元的思想，它可以簡(jiǎn)化我們的計(jì)算，比如我們熟悉的下面這個(gè)題：已知，，求．我們可以把和看成是一個(gè)整體，令，，則．這樣，我們不用求出，，就可以得到最后的結(jié)果．
(1)計(jì)算：；
(2)已知是正整數(shù)，，且．求．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用分母有理化的方法對(duì)各式子進(jìn)行整理，從而可求解；
（2）對(duì)已知條件進(jìn)行整理，從而可求得，的值，再對(duì)所求的式子進(jìn)行整理，整體代入運(yùn)算即可．
【解析】（1）解：
；
（2）解：∵m是正整數(shù)，，，
∴，
，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，（不符合題意舍去）．
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是理解清楚分母有理化的方法并靈活運(yùn)用．
17．如果關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，其中一個(gè)實(shí)數(shù)根是另一個(gè)實(shí)數(shù)根的2倍，那么稱這樣的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的兩個(gè)根是，則方程是“倍根方程”．
(1)通過計(jì)算，判斷是否是“倍根方程”．
(2)若關(guān)于x的方程是“倍根方程”，求代數(shù)式的值；
(3)已知關(guān)于x的一元二次方程（是常數(shù)）是“倍根方程”，請(qǐng)直接寫出的值．
【答案】(1)是
(2)26或5
(3)13或
【分析】（1）利用因式分解法解方程得到，然后根據(jù)新定義進(jìn)行判斷；
（2）利用因式分解法解方程得到，再根據(jù)新定義，然后把代入所求的代數(shù)式中進(jìn)行分式的運(yùn)算即可；
（3）設(shè)方程的根的兩根分別為，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，然后求出α，再計(jì)算對(duì)應(yīng)的m的值．
【解析】（1），
，
，
所以，
則方程是“倍根方程”；
（2），
或，
解得，
∵是“倍根方程”，
∴，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
綜上所述，代數(shù)式的值為26或5；
（3）根據(jù)題意，設(shè)方程的根的兩根分別為，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得 ，
解得 或，
∴m的值為13或．
【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若是一元二次方程的兩根時(shí)，，．也考查了閱讀理解能力．
18．已知關(guān)于的方程.
(1)求證：無(wú)論取何實(shí)數(shù)，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根；
(2)若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根、滿足，求的值.
(3)當(dāng)?shù)妊切蔚囊贿呴L(zhǎng)，另兩邊長(zhǎng)、恰好是這個(gè)方程的兩根時(shí)，求的周長(zhǎng).
【答案】(1)見解析
(2)或
(3)的周長(zhǎng)為10
【分析】（1）整理成一般形式，根據(jù)一元二次方程根的判別式，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以只需證明即可；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得出，，，即，建立k的方程求得答案即可；
（3）分，兩邊長(zhǎng)b、c有一邊是4，利用等腰三角形的性質(zhì)與三邊關(guān)系探討得出答案即可．
【解析】（1）證明：方程整理成一般形式為，
，
∴無(wú)論k取什么實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）解：∵、是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根，
∴，，
∵，
∴，
解得：或；
（3）解：當(dāng)時(shí)，，
即，
解得：，
此時(shí)，
∵，
∴此時(shí)不能構(gòu)成三角形；
當(dāng)兩邊長(zhǎng)b、c有一邊是4時(shí)，，
解得：，
關(guān)于x的方程即，
解得：或，
等腰的三邊長(zhǎng)為2、4、4，
∴的周長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式：當(dāng)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了三角形三邊的關(guān)系以及分類討論思想的運(yùn)用．
19．已知關(guān)于x的一元二次方程
(1)若方程的一個(gè)根為，求a的值和另一個(gè)根；
(2)當(dāng)時(shí)，
①若代數(shù)式，則___________；
②若代數(shù)式的值為正整數(shù)，且x為整數(shù)，求x的值；
(3)當(dāng)時(shí)，方程的一個(gè)正根為；當(dāng)時(shí)，方程的一個(gè)正根為；若，試比較與的大?。?br>【答案】(1)，另一根為；
(2)①；②0或1
(3)
【分析】（1）把代入方程求得a的值，再把a(bǔ)的值代入方程，解一元二次方程便可求得方程的另一根；
（2）①把代入方程，根據(jù)多項(xiàng)式恒等原理列出p、q的方程求得P、q，進(jìn)而求得代數(shù)式的值；
②求出原式，由原式的值為正整數(shù)，得代數(shù)式的值為1，2，算出和的解即可；
（3）根據(jù)已知條件用m、n分別表示，，再得出，根據(jù)差的正負(fù)判斷，的大?。?br>【解析】（1）解：把代入原方程，
得，
解得，
把代入原方程，
得，
，
解得，，，
∴方程的另一根為；
（2）①把代入，
得，
即，
∴，
解得：，
∴，
故答案為：；
②原式
，
∵不論x為何值，
∴原式
∵代數(shù)式的值為正整數(shù)，
∴代數(shù)式的值為1，2，
當(dāng)時(shí)，這時(shí)x的值不是整數(shù)，不符合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，或1，
故x的值是0或1；
（3）解：當(dāng)時(shí)，得，
∴，
當(dāng)時(shí)，得，
∴，
∴
∵，，，
∴，，，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程，一元二次方程的解的應(yīng)用，配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握解一元二次方程的方法，靈活應(yīng)用配方法和差值法解題．
20．一元二次方程中，根的判別式通常用來(lái)判斷方程實(shí)根個(gè)數(shù)，在實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中，我們亦可用來(lái)解決部分函數(shù)的最值問題，例如：已知函數(shù)，當(dāng)為何值時(shí)，取最小值，最小值是多少？
解答：已知函數(shù)，
，（把當(dāng)作參數(shù)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程）
，即，，
（當(dāng)為何值時(shí)，存在相應(yīng)的與之對(duì)應(yīng)，即方程有根）
因此的最小值為，此時(shí)，解得，符合題意，
所以當(dāng)時(shí)，．
應(yīng)用：
(1)已知函數(shù)，當(dāng)__________時(shí)，的最大值是___________．
(2)已知函數(shù)，當(dāng)為何值時(shí)，取最小值，最小值是多少？
【答案】(1)，；
(2)即x為-1時(shí)，y取最小值，最小值是.
【分析】（1）仿照題目所給的解題方法解答即可.
（2）先將轉(zhuǎn)化成一元二次方程的形式，其中y是參數(shù)，然后按照題目所給的方法解答即可.
【解析】（1）解：已知函數(shù)
因此，y的最大值為，此時(shí)-
解得，符合題意.
∴當(dāng)時(shí)，
故答案為：
（2）已知函數(shù)
得
整理得
因此y的最小值為 ，此時(shí)
得
得符合題意.
∴當(dāng)，
即x為-1時(shí)，y取最小值，最小值是
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，當(dāng)時(shí)，一元二次方程有實(shí)根，當(dāng)時(shí)，一元二次方程無(wú)實(shí)根.另外讀懂題目所給的方法是解題的關(guān)鍵.
21．先閱讀材料，再解決下列問題．
例如：用配方法求代數(shù)式的最小值．
原式．
∵，
∴當(dāng)時(shí)，有最小值是2．
根據(jù)上述所用方法，解決下列問題：
(1)求代數(shù)式的最小值；
(2)若，當(dāng)_______時(shí)，有最_______值（填“大”或“小”），這個(gè)值是_______；
(3)當(dāng)，，分別為的三邊時(shí)，且滿足時(shí)，判斷的形狀并說明理由．
【答案】(1)3
(2)1，大，-2
(3)直角三角形，見解析
【分析】（1）湊成完全平方加一個(gè)數(shù)值的形式．
（2）和（1）類似，湊成完全平方加以一個(gè)數(shù)值的形式．
（3）先因式分解，判斷字母，，三邊的關(guān)系，再判定三角形的形狀．
【解析】（1）解：；
∴的最小值是3．
（2），
，
，
∴當(dāng)?shù)臅r(shí)，有最大值．
故答案為：1，大，．
（3），
，
，
三個(gè)完全平方式子的和為0，所以三個(gè)完全平方式子分別等于0．
，，，
解得，，．
∵，
∴是直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用：利用因式分解的方法把所給的代數(shù)式和等式進(jìn)行變形，然后得到更為簡(jiǎn)單得數(shù)量關(guān)系，再根據(jù)此關(guān)系解決問題．
22．某校開展讀書活動(dòng)以來(lái)，受到同學(xué)們的廣泛關(guān)注，學(xué)校為了解全校學(xué)生課外閱讀的情況，隨機(jī)調(diào)查了名學(xué)生在一周內(nèi)借閱圖書的次數(shù)，并制成如圖不完整的統(tǒng)計(jì)圖表．
學(xué)生借閱圖書的次數(shù)統(tǒng)計(jì)表
請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表中的信息，解答下列問題：
(1)________；________；________；
(2)該調(diào)查統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是________次；眾數(shù)是________次；
(3)若該校共有2000名學(xué)生，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，估計(jì)該校學(xué)生在一周內(nèi)借閱圖書“4次及以上”的人數(shù)．
【答案】(1)50；17；20
(2)2；2
(3)120人
【分析】（1）先由1次的人數(shù)及其所占百分比求得總?cè)藬?shù)，總?cè)藬?shù)減去其他次數(shù)的人數(shù)求得的值，用3次的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)求得的值；
（2）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解；
（3）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中“4次及以上”的人數(shù)所占比例即可得．
【解析】（1）解：被調(diào)查的總?cè)藬?shù)（人，
，
，即．
（2）解：由于共有50個(gè)數(shù)據(jù)，其中位數(shù)為第25、26個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
而第25、26個(gè)數(shù)據(jù)均為2次，
所以中位數(shù)為2次，
出現(xiàn)次數(shù)最多的是2次，
所以眾數(shù)為2次．
（3）解：（人，
答：估計(jì)該校學(xué)生在一周內(nèi)借閱圖書“4次及以上”的人數(shù)為120人．
【點(diǎn)睛】本題考查的是扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用，讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．扇形統(tǒng)計(jì)圖直接反映部分占總體的百分比大?。?br>23．近年來(lái)網(wǎng)約車給人們的出行帶來(lái)了便利．小明和數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)對(duì)網(wǎng)約車公司司機(jī)的月收入進(jìn)行了抽樣調(diào)查，在甲、乙兩家公司分別調(diào)查了10名司機(jī)的月收入（單位：千元），并將所得數(shù)據(jù)繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖：
根據(jù)以上信息，整理分析數(shù)據(jù)如下：
(1)填空：__________，__________，___________．
(2)王樂的叔叔計(jì)劃從甲、乙兩家公司中選擇一家去應(yīng)聘網(wǎng)約車司機(jī)．如果你是王樂，你建議他選哪家公司？請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)6；4.5；6
(2)甲公司，理由見解析
【分析】（1）利用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的定義分別計(jì)算后即可確定正確的答案；
（2）根據(jù)平均數(shù)一樣，中位數(shù)及眾數(shù)的大小和方差的大小進(jìn)行選擇即可．
【解析】（1）解：∵“6千元”對(duì)應(yīng)的百分比為，
∴乙公司10名司機(jī)平均月收入（千元）；
乙公司的中位數(shù)為：，
由扇形統(tǒng)計(jì)圖知甲公司“6千元”所占的百分比最大，即眾數(shù)．
故答案為：6、4.5、6；
（2）解：選甲公司．
理由：因?yàn)榧?、乙兩家司機(jī)的月收入平均數(shù)相同，中位數(shù)、眾數(shù)甲公司均大于乙公司，且甲公司司機(jī)月收入的方差小，更穩(wěn)定，所以選擇甲公司．
【點(diǎn)睛】本題考查了統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠了解有關(guān)的計(jì)算公式．
24．在常態(tài)化疫情防控工作形勢(shì)下，某校通過云講解、云參觀、云課堂等方式立體講解中國(guó)首批國(guó)家公園，并組織初中全體學(xué)生發(fā)起了“大美我家園敬畏大自然”的主題教育活動(dòng)，為了解學(xué)生對(duì)中國(guó)國(guó)家公園的了解程度，隨機(jī)抽取了七年級(jí)、八年級(jí)學(xué)生若干名（抽取的各年級(jí)學(xué)生人數(shù)相同）進(jìn)行網(wǎng)上問卷測(cè)試，并對(duì)得分情況進(jìn)行整理和分析（得分用整數(shù)表示，單位：分），且分為A，，三個(gè)等級(jí)，分別是：優(yōu)秀為A等級(jí)：，合格為等級(jí)：，不合格為等級(jí)：．分別繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖表，其中七年級(jí)學(xué)生測(cè)試成績(jī)數(shù)據(jù)的眾數(shù)出現(xiàn)在A組，A組測(cè)試成績(jī)情況分別為：85，85，87，92，95，95，95，95，97，98，99，100；八年級(jí)學(xué)生測(cè)試成績(jī)數(shù)據(jù)的A組共有個(gè)人．
七年級(jí)、八年級(jí)兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差如表所示：
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
(1)填空：________，________，________；
(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該學(xué)校哪個(gè)年級(jí)的測(cè)試成績(jī)更好，并說明理由；
(3)若該校七、八年級(jí)分別有1500人，請(qǐng)估計(jì)該校初中七、八年級(jí)學(xué)生中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生共有多少名？
【答案】(1)13；86；95；
(2)八年級(jí)的成績(jī)比較好，理由見解析；
(3)該校初中七、八年級(jí)學(xué)生中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生共有名．
【分析】（1）先根據(jù)頻數(shù)分布直方圖求出七年級(jí)抽取的人數(shù)，再根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求出a、b；再根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖求出八年級(jí)A組的占比即可求出c；
（2）從中位數(shù)和方差兩個(gè)方面進(jìn)行描述即可；
（3）用1500乘以樣本中兩個(gè)年級(jí)的優(yōu)秀占比從而分別求出兩個(gè)年級(jí)成績(jī)?yōu)锳等級(jí)的人數(shù)，由此即可得到答案．
【解析】（1）解；由頻數(shù)分布表可知，抽取的七年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為人，
∴七年級(jí)測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)為將分?jǐn)?shù)從高到低排列后的第10名和第11名成績(jī)的平均成績(jī)，
∵將組測(cè)試成績(jī)從高到低排列后的第10名和第11名成績(jī)分別為85，87，
∴，
∵七年級(jí)的眾數(shù)在A組，且七年級(jí)A組中成績(jī)?yōu)?5分出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，
∴；
由扇形統(tǒng)計(jì)圖可知，八年級(jí)成績(jī)?cè)贏組的占比為，
∴，
故答案為；13；86；95；
（2）解：八年級(jí)的成績(jī)比較好，理由如下：
兩個(gè)年級(jí)的平均成績(jī)相同，但是八年級(jí)的中位數(shù)比七年級(jí)的大，并且八年級(jí)的方差比七年級(jí)的方差小，即八年級(jí)的成績(jī)更加穩(wěn)定，
∴八年級(jí)的成績(jī)比較好；
（3）解：名，
∴該校初中七、八年級(jí)學(xué)生中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生共有名．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了中位數(shù)，眾數(shù)和方差，頻數(shù)分布直方圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖，用樣本估計(jì)總體等等，正確讀懂統(tǒng)計(jì)圖是解題的關(guān)鍵．
25．2022年6月5日上午10點(diǎn)44分，神舟十四號(hào)載人飛船發(fā)射成功，中國(guó)載人航天與空間站建設(shè)迎來(lái)全新的發(fā)展階段．某中學(xué)為了解本校學(xué)生對(duì)我國(guó)航天科技及空間站的知曉情況，在全校開展了“航天夢(mèng)科普知識(shí)”競(jìng)賽活動(dòng)．該活動(dòng)主要負(fù)責(zé)人從八、九年級(jí)各隨機(jī)抽取了40名學(xué)生的成績(jī)整理分析（滿分為100分，得分均為整數(shù)，兩個(gè)年級(jí)成績(jī)分組相同）得到以下信息：
信息一：八年級(jí)學(xué)生成績(jī)的頻數(shù)分布表和九年級(jí)學(xué)生成績(jī)的扇形統(tǒng)計(jì)圖如下：
八年級(jí)學(xué)生成績(jī)的頻數(shù)分布表：
信息二：成績(jī)?cè)贐組的學(xué)生中，九年級(jí)比八年級(jí)少2人；
信息三：八年級(jí)C組10名學(xué)生的成績(jī)是：70，72，73，73，74，75，75，76，78，79．
根據(jù)以上信息，完成下列問題：
(1)八年級(jí)成績(jī)?cè)贐組的有 人；
(2)該校八年級(jí)學(xué)生有560人，九年級(jí)學(xué)生有600人．若成績(jī)?cè)?0分以上為優(yōu)秀，請(qǐng)你估計(jì)八、九年級(jí)競(jìng)賽成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生總?cè)藬?shù)；
(3)在此次調(diào)查中，小雪的成績(jī)是77分，被評(píng)為“中上水平”．請(qǐng)你判斷小雪屬于哪個(gè)年級(jí)，并說明理由．
【答案】(1)14
(2)506人
(3)小雪屬于八年級(jí)，理由見解析
【分析】（1）先求出九年級(jí)成績(jī)?cè)贐組的人數(shù)，根據(jù)九年級(jí)比八年級(jí)少2人，即可求出答案；
（2）分別計(jì)算八年級(jí)和九年級(jí)成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)，相加即可；
（3）分別求出中位數(shù)即可判斷．
【解析】（1）解：∵九年級(jí)成績(jī)?cè)贐組的人數(shù)為（人），
∴八年級(jí)成績(jī)?cè)贐組的有（人）；
故答案為：14；
（2）（人），
答：估計(jì)八、九年級(jí)競(jìng)賽成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生總?cè)藬?shù)為506人；
（3）小雪屬于八年級(jí)，理由：
∵八年級(jí)的中位數(shù)為（分），小雪的成績(jī)是77分，被評(píng)為“中上水平”，
∴判斷小雪屬于八年級(jí)．
【點(diǎn)睛】本題考查扇形統(tǒng)計(jì)圖、頻數(shù)分布表、中位數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
26．如圖，，是的對(duì)角線上兩點(diǎn)，且，求證：．
【答案】證明見解析
【分析】借助平行四邊形的性質(zhì)，利用“”證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”即可證明．
【解析】證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明是解題關(guān)鍵．
27．由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，點(diǎn)、，都是格點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示畫圖結(jié)果用實(shí)線表示，并回答下列問題：
(1)直接寫出的長(zhǎng)是 ；
(2)在圖中，畫以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)且周長(zhǎng)最大的平行四邊形；
(3)在圖2中，畫的角平分線．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)見解析
【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可求解；
（2）根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，以為對(duì)角線畫出平行四邊形；
（3）根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使得，則是等腰三角形，再找到的中點(diǎn)，連接，即可求解．
【解析】（1）解：，
故答案為：；
（2）如圖1中，四邊形即為所求作；
（3）如圖2中，延長(zhǎng)至，使得，則是等腰三角形，再找到的中點(diǎn)，連接，線段即為所求作．
【點(diǎn)睛】本題考查了畫平行四邊形，勾股定理與網(wǎng)格問題，等腰三角形的性質(zhì)，三線合一，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
28．如圖，在中，是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若，求四邊形的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)四邊形是平行四邊形，得，，根據(jù)是的中點(diǎn)，，即可判定四邊形是平行四邊形；
（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)四邊形是平行四邊形，得，，又根據(jù)四邊形是平行四邊形，，；根據(jù)直角三角形中，所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理，求出，的長(zhǎng)度，即可求解．
【解析】（1）∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
又∵F是AD的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形，
（2）∵四邊形是平行四邊形
∴，
又∵四邊形是平行四邊形
∴，
∴
過點(diǎn)作于點(diǎn)
∴
∵
∴
∴
∴
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理，直角三角形中，所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．
29．如圖，在中，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，，連接．
(1)求證：平分；
(2)若點(diǎn)E為中點(diǎn)，，，求的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）由四邊形是平行四邊形得到，則，由得到，則，即可得證；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)和點(diǎn)E為中點(diǎn)證得是等邊三角形，則，，則是等邊三角形，即可證明，則，得到，由勾股定理得到，由的面積等于的面積即可得到答案．
【解析】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即平分；
（2）∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，，
∵點(diǎn)E為中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面積．
∴的面積
即的面積是．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
30．在中，，、分別是、的中點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接、、、，與交于點(diǎn)O．
(1)試說明與互相平分；
(2)若，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）結(jié)合已知條件推知四邊形是平行四邊形，則該平行四邊形的兩條對(duì)角線互相平分；
（2）根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)度，然后由平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理來(lái)求的長(zhǎng)度．
【解析】（1）∵、分別是、的中點(diǎn)，
∴是的中位線，
∴且．
又，即，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴與互相平分；
（2）∵在中，，，，
∴由勾股定理得，
又由（1）知，，且，
∴．
∴在中，，，，
∴由勾股定理得 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理．理解三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解決問題的關(guān)鍵．
31．如圖，在四邊形中，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)．
(1)若，求的長(zhǎng)．
(2)若，求證：．
【答案】(1)13
(2)見解析
【分析】（1）取的中點(diǎn)P，連接，由三角形中位線定理得，且，且＝12，再證，然后由勾股定理即可得出結(jié)論；
（2）由三角形中位線定理得，且，，且，再證，然后由勾股定理即可得出結(jié)論．
【解析】（1）如圖，取的中點(diǎn)P，連接，
∵E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，，
∴，且，且．
又∵，
∴，
∴．
在中，．
（2）證明：如圖，取的中點(diǎn)P，連接．
∵E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，
∴，且，，且．
∴．
∵，
∴，
∴
，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形中位線定理、勾股定理以及平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握三角形中位線定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．
32．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E是邊上的一點(diǎn)，且，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)F，交于G，連接，．
(1)若是的角平分線，求證：．
(2)在（1）的條件下，若，求的度數(shù)．
(3)若點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)，理由見解析
【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)，得到為等腰三角形，進(jìn)而得到，從而得到，證明，即可得證；
（2）根據(jù)全等得到，利用對(duì)頂角得到：，再根據(jù)，得到，利用互余關(guān)系，求出的度數(shù)即可；
（3）延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明，得到，根據(jù)直角三角形的中線，推出，根據(jù)外角的性質(zhì)，即可得到．
【解析】（1）∵四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
∵平分，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
（3）延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，．
∵點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，
∴．
在和中，
，
∴
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線．熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．
33．如圖，六邊形是正六邊形，請(qǐng)用無(wú)刻度直尺畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示，按要求完成下列問題：
(1)如圖1，連接；
①求的度數(shù)；
②在圖1中畫出以為邊的等邊三角形，且另一個(gè)頂點(diǎn)在六邊形的邊上，并證明．
(2)已知，P為邊上一點(diǎn)，如圖2，在邊上找一點(diǎn)Q，使得為等腰三角形；按要求畫出圖形即可，不必證明．
【答案】(1)①； ②圖見解析；證明見解析
(2)見解析
【分析】（1）①根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，即可求解；②根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，可證得 ，即可求解；
（2）連接；由正六邊形的對(duì)稱性可知，將沿翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)即為；根據(jù)此原理作圖即可；
【解析】（1）解：①∵六邊形是正六邊形
∴，
∴
②如圖，連接、，即為所求；
證明：∵六邊形是正六邊形
∴，
∴
∴
∴為等邊三角形
（2）解：如圖，連接交于點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求；
【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)；熟練掌握正六邊形的邊、角的特征以及對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵．
34．中，點(diǎn)E、F分別在C、上，且．
(1)如圖1，求證：四邊形是平行四邊形；
(2)如圖2，若E為中點(diǎn)，連接、、，與相交于點(diǎn)G，與相交于點(diǎn)H，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中除和以外的所有平行四邊形．
【答案】(1)見解析，
(2)，
【分析】（1）由得出，，從而證得，，即可得出結(jié)論；
（2）利用的性質(zhì)得出，又因?yàn)?，可得出；利用得出，利用得出，可得出?br>【解析】（1）證明：∵，
∴，，
即，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；
（2）解：除和以外的所有平行四邊形有：，．
理由：∵，
∴，即，
∵，
；
∴，即，
∵，
∴，即，
．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
35．中，點(diǎn)E在邊上，．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，點(diǎn)G在線段上，連接，若，求證：；
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，若，，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，再由等角的補(bǔ)角相等得出，利用等角對(duì)等邊即可證明；
（2）根據(jù)各角之間的關(guān)系得出，，再由平行線的性質(zhì)得出，利用全等三角形的判定證明即可；
（3）設(shè)，則，根據(jù)各角之間的關(guān)系得出,過F作于M，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求解即可．
【解析】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2），
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴(AAS)；
（3）設(shè)，則，
∴，
由（2）知：，
中，，即，
中，，
∴，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
過F作于M，
∵，
∴，
中，，
，
∴．
【點(diǎn)睛】題目主要考查平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，含30角的直角三角形的性質(zhì)與勾股定理解三角形，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
36．如圖，在中，，，垂足分別為點(diǎn)，點(diǎn)，連接、．
(1)試判斷與的關(guān)系，并說明理由；
(2)若，的面積是，則的面積為______．
【答案】(1)，，理由見解析；
(2)．
【分析】（1）求出，由，可得，，證明，即可得到；
（2）證明四邊形為平行四邊形，和是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，求出和的面積是，進(jìn)而可得答案．
【解析】（1）解：，，
理由：∵在中，，，
∴，
∵，，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
（2）解：∵，，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
∵，，
∴，
∴和是等腰三角形，
∵，，
∴，，
∵的面積是，
∴和的面積是，
∴的面積是，
∴的面積為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用各性質(zhì)進(jìn)行推理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
37．已知：在中，，，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，連接．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，將沿翻折得到，延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，求證：；
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，在上取一點(diǎn)E，連接，使，若，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)1
【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角先求出，再由，得到，則，即；
（2）由折疊的性質(zhì)可知，利用三角形外角的性質(zhì)證明，則，即可推出，由此可證明；
（3）如圖所示，分別取的中點(diǎn)，G、H連接，則是的中位線，可以得到，則根據(jù)（2）的結(jié)論求出，則，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)推出，再導(dǎo)角證明，即可證明，得到．
【解析】（1）證明：如圖1所示，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
（2）證明：由折疊的性質(zhì)可知，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如圖所示，分別取的中點(diǎn)，G、H連接，則是的中位線，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
由折疊的性質(zhì)可知，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
38．如圖，在的同側(cè)以、為底邊向外作等腰、，其中，為的中點(diǎn)，連接、．
(1)如圖，當(dāng)時(shí)，直接寫出與的關(guān)系．
(2)如圖，當(dāng)時(shí)，（1）的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)你做出判斷并說明理由；
(3)如圖，當(dāng)，，連接，取其中點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)A從的位置運(yùn)動(dòng)到時(shí)停止，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為______．
【答案】(1)
(2)結(jié)論仍然成立，理由見解析
(3)
【分析】（1）先證點(diǎn)，點(diǎn)A，點(diǎn)三點(diǎn)共線，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求解；
（2）由“”SAS””可證≌，可得，，由三角形內(nèi)角和定理可求解；
（3）先證點(diǎn)A,點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共圓，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求，可得，由弧長(zhǎng)公式可求解．
【解析】（1）解：，，理由如下：
如圖，連接，
等腰和等腰，
，，，
，為邊的中點(diǎn)，
，，
點(diǎn)，點(diǎn)A，點(diǎn)三點(diǎn)共線，
垂直平分，
，
同理可得：，
，
，，
；
（2）結(jié)論仍然成立，理由如下：
如圖，分別取、中點(diǎn)、，連接、，再連接、，
，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，，，，
為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
,，，，，，
，，
四邊形為平行四邊形，
，
，
，
在與中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如圖，連接，并延長(zhǎng)至,使，連接，，，
，，
，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
又，
四邊形是平行四邊形，
∥，，
，
又，
是的中垂線，
，
同理可得：，
，
點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)都在以為圓心，為半徑的圓上，
，
，
，
，
，
動(dòng)點(diǎn)從的位置運(yùn)動(dòng)到，
點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的角度為，
點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
解方程：．
解：方程左邊分解因式，得
，
解得，，．
借閱圖書的次數(shù)
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4次及以上
人數(shù)
7
13
10
3
10名司機(jī)平均月收入（千元）
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
甲公司
6
6
1.2
乙公司
4
7.6
成績(jī)
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
七年級(jí)
85
99.5
八年級(jí)
85
91
96
95.1
組別
成績(jī)
人數(shù)
A
90≤x≤100
5
B
80≤x＜90
C
70≤x＜80
10
D
60≤x＜70
E
60分以下
5

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