1．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得（點(diǎn)A與點(diǎn)C對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)D對(duì)應(yīng)）．
(1)求直線的解析式；
(2)點(diǎn)E為線段上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作軸交直線于點(diǎn)F，作軸交直線于點(diǎn)G，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
(3)如圖2，若點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N為直線上一點(diǎn)，點(diǎn)P為坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，且以O(shè)，M，N，P為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．
2．如圖，平面直角坐標(biāo)系中直線：分別與軸，軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)，．
(1)求直線的解析式；
(2)若為線段上一點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在（2）的結(jié)論下，將沿射線方向平移得，使落在直線上，若為直線上一點(diǎn)，為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．
3．如圖，直角三角形在平面直角坐標(biāo)系中，直角邊在y軸上，的長(zhǎng)分別是一元二次方程的兩個(gè)根，A，且，P為上一點(diǎn)，且．
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
(2)求過(guò)點(diǎn)P的反比例函數(shù)解析式；
(3)點(diǎn)M在第二象限內(nèi)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為正方形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
4．在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形，點(diǎn)，現(xiàn)將矩形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，點(diǎn)，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，，．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____(請(qǐng)直接寫(xiě)出答案)；
(2)如圖2，所在直線與、分別交于點(diǎn)、，且．求線段的長(zhǎng)度．
(3)如圖3，設(shè)點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接，，，在矩形旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，4），以O(shè)A為一邊在第一象限內(nèi)作矩形OABC，直線CD：交AB于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)D，．
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
(2)點(diǎn)P為線段CE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸，交AB于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，連接FD，設(shè)點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為m，△DFP的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．
(3)在（2）的條件下，連接BP并延長(zhǎng)與x軸交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)P作，與x軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在直線CD上是否存在一點(diǎn)R，過(guò)點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)Q，得，若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)的直線與直線交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)、都在線段上，且．以為邊在x軸下方作正方形，設(shè)，正方形的周長(zhǎng)為．
(1)求直線的函數(shù)關(guān)系式．
(2)當(dāng)點(diǎn)在正方形的邊上時(shí)，直接寫(xiě)出的值．
(3)求與之間的函數(shù)關(guān)系式．
(4)當(dāng)正方形只有一個(gè)頂點(diǎn)在外部時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍．
7．在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是矩形，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)．以點(diǎn)A為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形，得到矩形，點(diǎn)O，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，記旋轉(zhuǎn)角為．
(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(3)當(dāng)點(diǎn)D落在線段上時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別交軸，軸于點(diǎn)，A，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，且，作直線．
(1)求直線的解析式；
(2)點(diǎn)在線段上（不與點(diǎn)A重合），過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，線段的長(zhǎng)為d，求d與之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍）；
(3)在（2）的條件下，在直線的右側(cè)以線段為斜邊作等腰直角，連接，以線段為直角邊作等腰直角三角形，且，且點(diǎn)在直線的右側(cè)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．（用含有的代數(shù)式表示）
(4)在（2）、（3）的條件下，若，則______．
9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為的正方形的邊落在軸的正半軸上，邊落在軸的正半軸上，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著射線的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)．運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，連接，，，．
(1)如圖，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．
(2)如圖，當(dāng)時(shí)，求證：．
(3)如圖，過(guò)點(diǎn)作，且，連接，為的中點(diǎn)．連接，則當(dāng)____時(shí)，有最小值，的最小值為_(kāi)____．
10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)P和點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，則稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)P關(guān)于y軸，直線l的“二次對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”．
(1)已知點(diǎn)，直線l是經(jīng)過(guò)且平行于x軸的一條直線，則點(diǎn)A的“二次對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”的坐標(biāo)為_(kāi)_________；
(2)如圖1，正方形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，點(diǎn)K是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)K且垂直于x軸，若正方形ABCD上存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)是點(diǎn)M關(guān)于y軸，直線l的“二次對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”，且點(diǎn)在射線OE上，則點(diǎn)K的橫坐標(biāo)x的取值范圍是________________；
(3)如圖2，是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，線段RS經(jīng)過(guò)點(diǎn)T，且點(diǎn)R、點(diǎn)S的坐標(biāo)分別是，，直線l經(jīng)過(guò)且與x軸正半軸夾角為60°，在點(diǎn)T的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若線段RS上存在點(diǎn)N，使得點(diǎn)是點(diǎn)N關(guān)于y軸，直線l的“二次對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”，且點(diǎn)在y軸上，則點(diǎn)縱坐標(biāo)y的取值范圍是______________．
11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)（0，），直線DE為AB的中垂線，垂足為點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)C．
(1)如圖1，點(diǎn)E的坐標(biāo)為_(kāi)_____，直線DC的表達(dá)式為_(kāi)_____；
(2)如圖1，若點(diǎn)M為直線CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M在第一象限，過(guò)點(diǎn)M作軸，交直線AB于點(diǎn)N，當(dāng)四邊形AMND為菱形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
(3)如圖2，點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PD，將△ADP沿DP翻折得到，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_____．
12．在平面直角坐標(biāo)系中，已知△，點(diǎn)在y軸的正半軸上，點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)在x軸上．
(1)如圖1，已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，，若是的中點(diǎn)，連接，求證：△是等邊三角形
(2)如圖2，已知，△是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，，分別是邊，上一點(diǎn)，滿(mǎn)足，連接，，，若點(diǎn)的坐標(biāo)為（，1）．
①求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②求三角形的面積；
(3)如圖3，已知與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，，點(diǎn)是y軸的負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)作于，交線段于，連接．
①若線段，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②問(wèn)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的大小是否發(fā)生改變？若不變，求出其值；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．
13．已知：在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC為正方形．
(1)若正方形OABC邊長(zhǎng)為12，
①如圖1，E、F分別在邊OA、OC上，CE⊥BF于H，且OE＝9，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（______，_______）．
②如圖2，若D為x軸上一點(diǎn)，且OD＝8，Q為y軸正半軸上一點(diǎn)，且∠DBQ＝45°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
(2)若正方形OABC邊長(zhǎng)為4，如圖3，E、F分別在邊OA、OC上，當(dāng)F為OC的中點(diǎn)，CE⊥BF于H，在直線CE上E點(diǎn)的兩側(cè)有點(diǎn)D、G，能使線段AD＝OG，AD//OG，且CH＝DH，求BG．
14．問(wèn)題情境：如圖1，已知正方形ABCD與正方形CEFG，B、C、G在一條直線上，M是AF的中點(diǎn)，連接DM，EM．探究DM，EM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系．
小明的思路是：小明發(fā)現(xiàn)AD//EF，所以通過(guò)延長(zhǎng)ME交AD于點(diǎn)H，構(gòu)造△EFM和△HAM全等，進(jìn)而可得△DEH是等腰直角三角形，從而使問(wèn)題得到解決，請(qǐng)你參考小明同學(xué)的思路，探究并解決下列問(wèn)題：
（1）猜想圖1中DM、EM的數(shù)量關(guān)系 ，位置關(guān)系 ．
（2）如圖2，把圖1中的正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°，此時(shí)點(diǎn)E在線段DC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)G落在線段BC上，其他條件不變，（1）中結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）我們可以猜想，把圖1中的正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3，（1）中的結(jié)論 （“成立”或“不成立”）
拓展應(yīng)用：
將圖1中的正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使D，E，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上，若AB＝13，CE＝5，請(qǐng)畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出MF的長(zhǎng)．
15．操作與證明：
如圖1，把一個(gè)含45°角的直角三角板ECF和一個(gè)正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)C重合，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊CB、CD上，連接AF．取AF中點(diǎn)M，EF的中點(diǎn)N，連接MD、MN．
（1）連接AE，求證：△AEF是等腰三角形；
猜想與發(fā)現(xiàn)：
（2）在（1）的條件下，請(qǐng)判斷線段MD與MN的關(guān)系，得出結(jié)論；
結(jié)論：DM、MN的關(guān)系是： ；
拓展與探究：
（3）如圖2，將圖1中的直角三角板ECF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°，其他條件不變，則（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
16．△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF，連接CF，
（1）觀察猜想
如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，
①BC與CF的位置關(guān)系為： ．
②BC，CD，CF之間的數(shù)量關(guān)系為： ；（將結(jié)論直接寫(xiě)在橫線上）
（2）數(shù)學(xué)思考
如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)你寫(xiě)出正確結(jié)論再給予證明．
（3）拓展延伸
如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)BA交CF于點(diǎn)G，連接GE，若已知AB=2，CD=BC，請(qǐng)求出GE的長(zhǎng)．
17．【方法回顧】
（1）如圖1，過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A作一條直線l交邊BC于點(diǎn)P，BE⊥AP于點(diǎn)E，DF⊥AP于點(diǎn)F，若DF＝2.5，BE＝1，則EF＝ ．
【問(wèn)題解決】
（2）如圖2，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1.5，過(guò)點(diǎn)A作一條直線l交邊BC于點(diǎn)P，且∠DAP＝90°，點(diǎn)F是AP上一點(diǎn)，且∠BAD+∠AFD＝180°，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AB，與直線l交于點(diǎn)E，若EF＝1，求BE的長(zhǎng)．
【思維拓展】
（3）如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在AD所在直線上的上方，AP＝2，連接PB，PD，若△PAD的面積與△PAB的面積之差為m（m＞0），則PB2﹣PD2的值為 ．（用含m的式子表示）
18．已知，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是正方形ABCD所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），AB＝AE，過(guò)點(diǎn)B作DE的垂線交DE所在直線于F，連接CF．
提出問(wèn)題：當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變？
探究問(wèn)題：
（1）首先考察點(diǎn)E的一個(gè)特殊位置：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合（如圖①）時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)B也重合．用等式表示線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系： ；
（2）然后考察點(diǎn)E的一般位置，分兩種情況：
情況1：當(dāng)點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)（如圖②）時(shí)；
情況2：當(dāng)點(diǎn)E是正方形ABCD外部一點(diǎn)（如圖③）時(shí)．
在情況1或情況2下，線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系與（1）中的結(jié)論是否相同？如果都相同，請(qǐng)選擇一種情況證明；如果只在一種情況下相同或在兩種情況下都不相同，請(qǐng)說(shuō)明理由；
拓展問(wèn)題：
（3）連接AF，用等式表示線段AF、CF、DF三者之間的數(shù)量關(guān)系： ．
19．如圖1，，、、為鉛直方向的邊，、、為水平方向的邊，點(diǎn)在、之間，且在、之間，我們稱(chēng)這樣的圖形為“圖形”，若一條直線將該圖形的面積分為面積相等的兩部分，則稱(chēng)此直線為該“圖形”的等積線．
(1)下列四副圖中，直線是該“圖形”等積線的是_________(填寫(xiě)序號(hào))
(2)如圖2，直線是該“圖形”的等積線，與邊、分別交于點(diǎn)、，過(guò)中點(diǎn)的直線分別交邊、于點(diǎn)、，則直線 (填“是”或“不是”)該圖形的等積線．
(3)在圖3所示的“圖形”中，，，．
①若，在下圖中畫(huà)出與平行的等積線l(在圖中標(biāo)明數(shù)據(jù))
②在①的條件下，該圖形的等積線與水平的兩條邊、分別交于、，求的最大值；
③如果存在與水平方向的兩條邊、相交的等積線，則的取值范圍為 ．
20．【定義】只有一組對(duì)角是直角的四邊形叫做損矩形，連接它的兩個(gè)非直角頂點(diǎn)的線段叫做這個(gè)損矩形的直徑．如圖1，，四邊形ABCD是損矩形，則該損矩形的直徑是線段AC．同時(shí)我們還發(fā)現(xiàn)損矩形中有公共邊的兩個(gè)三角形角的特點(diǎn)：在公共邊同側(cè)的兩個(gè)角是相等的．如圖1中：△ABC和△ABD有公共邊AB，在AB同側(cè)有?ADB和?ACB，此時(shí)；再比如△ABC和△BCD有公共邊BC，在BC同側(cè)有?BAC和?BDC，此時(shí)．
(1)【理解】
如圖1，______；
(2)下列圖形中一定是損矩形的是______（填序號(hào)）；
(3)【應(yīng)用】如圖2，四邊形ABCD是以AC為直徑的損矩形，以AC為一邊向外作菱形ACEF，點(diǎn)D為菱形ACEF對(duì)角線的交點(diǎn)，連接BD，當(dāng)BD平分?ABC時(shí)，判斷四邊形ACEF為何種特殊的四邊形？并說(shuō)明理由；
(4)如圖3，四邊形ABCD是以AC為直徑的損矩形，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，OG⊥BD于點(diǎn)G，若，則等于多少？
21．問(wèn)題初探
（1）如圖，點(diǎn)，分別在正方形的邊，上，，試判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系．
聰明的小明是這樣做的：把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，使得與重合，由，得，即點(diǎn)、、共線，易證≌______故EF、、之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____．
類(lèi)比探究
（2）如圖，點(diǎn)、分別在正方形的邊、的延長(zhǎng)線上，，連接，請(qǐng)根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)給你的啟示寫(xiě)出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
聯(lián)想拓展
（3）如圖，在中，，點(diǎn)、均在邊上，且，若，求的長(zhǎng)．
22．【概念理解】若一條直線把一個(gè)圖形分成面積相等的兩個(gè)圖形，則稱(chēng)這樣的直線叫做這個(gè)圖形的等積直線．如圖1，直線經(jīng)過(guò)三角形的頂點(diǎn)和邊的中點(diǎn)，易知直線將分成兩個(gè)面積相等的圖形，則稱(chēng)直線為的等積直線．
(1)如圖2，矩形對(duì)角線，相交于點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，分別交，于點(diǎn)，．
①求證：．
②請(qǐng)你判斷直線是否為該矩形的等積直線．______．（填“是”或“不是”）
(2)【問(wèn)題探究】如圖3是一個(gè)缺角矩形，其中，小華同學(xué)給出了該圖形等積直線的一個(gè)作圖方案：將這個(gè)圖形分成矩形、矩形，這兩個(gè)矩形的對(duì)稱(chēng)中心，所在直線是該缺角矩形的等積直線．
如圖4，直線是該圖形的一條等積直線，它與邊，分別交于點(diǎn)，，過(guò)的中點(diǎn)的直線分別交邊，于點(diǎn)，，直線______（填“是”或“不是”）缺角矩形的等積直線．
(3)【實(shí)際應(yīng)用】若缺角矩形是老張家的一塊田地如圖5．為水井，現(xiàn)要把這塊田地平均分給兩個(gè)兒子，為了灌溉方便，便想使每個(gè)兒子分得的土地都有一邊和水井相鄰，試問(wèn)該如何分割這塊土地？畫(huà)出圖形，并說(shuō)明理由．
23．小波在復(fù)習(xí)時(shí)，遇到一個(gè)課本上的問(wèn)題，溫故后進(jìn)行了操作、推理與拓展．
(1)溫故：如圖1，在中，于點(diǎn)D，正方形PQMN的邊QM在BC上，頂點(diǎn)P，N分別在AB，AC上，且．若，，則正方形PQMN的邊長(zhǎng)等于______．
(2)操作：能畫(huà)出這類(lèi)正方形嗎？小波按數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中的方法進(jìn)行操作：如圖2，任意畫(huà)，在AB上任取一點(diǎn)，畫(huà)正方形，使，在BC邊上，在內(nèi)，連結(jié)并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)N，畫(huà)于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)P，于點(diǎn)Q，得到四邊形PQMN．
(3)推理：如圖3，若點(diǎn)E是BN的中點(diǎn)，求證：．
(4)拓展：在（2）的條件下，射線BN上截取，連結(jié)EQ，EM（如圖4）．當(dāng)時(shí)，猜想的度數(shù)，并嘗試證明．
請(qǐng)幫助小波解決“溫故”、“推理”、“拓展”中的問(wèn)題．
24．問(wèn)題探究
將幾何圖形按照某種法則或規(guī)則變換成另一種幾何圖形的過(guò)程叫做幾何變換．旋轉(zhuǎn)變換是幾何變換的一種基本模型．經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)，往往能使圖形的幾何性質(zhì)清晰顯現(xiàn)．題設(shè)和結(jié)論中的元素由分散變?yōu)榧校嗷ブg的關(guān)系清楚明了，從而將求解問(wèn)題靈活轉(zhuǎn)化．
【問(wèn)題提出】如圖1，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA=5，PB=12，PC=13．你能求出∠APB的度數(shù)嗎？
【問(wèn)題解決】如圖2，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BP′A，連接PP′，可得△BPP′是等邊三角形，根據(jù)勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形，從而使問(wèn)題得到解決．
(1)結(jié)合上述思路完成填空：PP′=________，∠APP′=________，∠APB=________；
(2)【類(lèi)比探究】如圖3，若點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PC=1，PB=2，PA=3，則∠CPB=________；
(3)如圖4，若點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，且PA=13，，PC=3，則∠CPB=_____；
(4)【深入探究】如圖5，若在正六邊形ABCDEF內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=5，，PC=3，則∠CPB=________；
(5)如圖6，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=12，AC=5，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，則PA+PB+PC的最小值是_______．
25．【探究與應(yīng)用】
我們把平行四邊形沿著它的一條對(duì)角線翻折，會(huì)發(fā)現(xiàn)有很多結(jié)論．例如：在平行四邊形中，，將沿直線翻折至，連接，則．
(1)如圖1，若與相交于點(diǎn)O，證明以上這個(gè)結(jié)論；
小明同學(xué)提出如下解題思路，請(qǐng)補(bǔ)全：
【思路分析】
由折疊的性質(zhì)得，；由平行四邊形的性質(zhì)得______，．由上面的分析可證得，______，這樣就可以得到，則______，再由等腰三角形的性質(zhì)得，證出，即可得出結(jié)論；
(2)如圖2，與相交于點(diǎn)O，若，，，則的面積為_(kāi)_____；
(3)如果，，
①當(dāng)是直角三角形時(shí)，請(qǐng)畫(huà)圖并直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．
②設(shè)的長(zhǎng)度為x，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出x的取值范圍．
26．實(shí)踐操作：在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，現(xiàn)將紙片折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)P，折痕為EF（點(diǎn)E、F是折痕與矩形的邊的交點(diǎn)），再將紙片還原．
(1)初步思考：若點(diǎn)P落在矩形ABCD的邊AB上（如圖①）
①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，∠DEF＝____°；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，∠DEF＝____°；
②當(dāng)點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在DC上時(shí)（如圖②），求證：四邊形DEPF為菱形，并直接寫(xiě)出當(dāng)AP＝7時(shí)的菱形EPFD的邊長(zhǎng)．
(2)深入探究：若點(diǎn)P落在矩形ABCD的內(nèi)部（如圖③），且點(diǎn)E、F分別在AD、DC邊上，請(qǐng)直接寫(xiě)出AP的最小值____．
(3)拓展延伸：如圖④ ，若點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，點(diǎn)E在AD上，線段BA與線段FP交于點(diǎn)M，AM=DE，則線段AE的長(zhǎng)度為_(kāi)________．
特訓(xùn)10 坐標(biāo)系與特殊平行四邊形、情景探究壓軸題
一、解答題
1．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得（點(diǎn)A與點(diǎn)C對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)D對(duì)應(yīng)）．
(1)求直線的解析式；
(2)點(diǎn)E為線段上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作軸交直線于點(diǎn)F，作軸交直線于點(diǎn)G，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
(3)如圖2，若點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N為直線上一點(diǎn)，點(diǎn)P為坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，且以O(shè)，M，N，P為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)點(diǎn)N的坐標(biāo)為或或
【分析】（1）先求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，得出和的長(zhǎng)度，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法即可求出直線的解析式；
（2）設(shè)，則可將點(diǎn)F和點(diǎn)G的坐標(biāo)表示出來(lái)，進(jìn)而得出的表達(dá)式，最后根據(jù)列出方程求出a的值，即可進(jìn)行解答；
（3）根據(jù)題意進(jìn)行分類(lèi)討論：①為矩形的邊時(shí)；②為矩形的對(duì)角線時(shí)．
【解析】（1）解：把代入得：，
把代入得：，解得：，
∴，
∴，
∵繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，
∴，
∴，
設(shè)直線的函數(shù)解析式為，
把代入得：
，解得：，
∴直線的函數(shù)解析式為．
（2）∵，
∴，
∵點(diǎn)E在線段上，
∴設(shè)，
∵軸，軸，
∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為a，點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為，
把代入得：；
把代入得：，解得：，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得：．
∴．
（3）①當(dāng)為矩形的邊時(shí)，
過(guò)點(diǎn)M作，交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作，交直線于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，
根據(jù)作圖可得：四邊形和四邊形都是矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，，
∴，，即點(diǎn)N為中點(diǎn)，
∵，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
把點(diǎn)代入得：，
∴直線的解析式為，
∵，
∴設(shè)直線的解析式為，
把代入得：，解得：，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立直線和直線的解析式為：
，解得：，
∴，
②當(dāng)為矩形的對(duì)角線時(shí)，
過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N，
∵，，
∴軸，
過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，
∴點(diǎn)C和點(diǎn)N重合，
∴，
綜上：點(diǎn)N的坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的方法，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)．
2．如圖，平面直角坐標(biāo)系中直線：分別與軸，軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)，．
(1)求直線的解析式；
(2)若為線段上一點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在（2）的結(jié)論下，將沿射線方向平移得，使落在直線上，若為直線上一點(diǎn)，為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)，
(3)，，，
【分析】（1）根據(jù)直線的解析式可以求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可以求出直線的解析式；
（2）根據(jù)可以求出的面積，設(shè)點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，過(guò)點(diǎn)作直線的平行線，與直線的交點(diǎn)就是點(diǎn)，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求的最小值，關(guān)鍵是對(duì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用垂線段最短可求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）先根據(jù)題意，找到點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)菱形的性質(zhì)，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解析】（1）解：在中，令，得，
，
令，得，
，
，
，
設(shè)直線的解析式為，將，代入得，
，解得，
直線的解析式為；
（2）解：由可得，
，
，
設(shè)點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，
，
，
過(guò)點(diǎn)作直線的平行線，與直線的交點(diǎn)就是點(diǎn)，
記直線的解析式為，將代入可得，
直線的解析式為，
聯(lián)立，解得，
則，顯然點(diǎn)為的中點(diǎn)，
如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則，作直線，則直線的解析式為：，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求，
易得直線的解析式為：，則；
（3）Ⅰ.如圖，當(dāng)為菱形的一條邊時(shí)，
時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
根據(jù)題意可得，，則，
則，
易得，則，
由，可得，
在Rt中，，，
，
，
同理可得，；
時(shí)，如圖所示，
根據(jù)題意可得，，軸，
；
Ⅱ.如圖，當(dāng)為菱形的一條對(duì)角線時(shí)，
根據(jù)題意可得，，軸，
又，
可得；
綜上，當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時(shí)，的坐標(biāo)分別為：，，，．
【點(diǎn)睛】本題屬于一次函數(shù)綜合題，考查平移變換，菱形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)最短問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，學(xué)會(huì)構(gòu)建一次函數(shù)解決直線的交點(diǎn)問(wèn)題．
3．如圖，直角三角形在平面直角坐標(biāo)系中，直角邊在y軸上，的長(zhǎng)分別是一元二次方程的兩個(gè)根，A，且，P為上一點(diǎn)，且．
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
(2)求過(guò)點(diǎn)P的反比例函數(shù)解析式；
(3)點(diǎn)M在第二象限內(nèi)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為正方形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在．，，
【分析】（1）用因式分解法求出方程的兩個(gè)根即可求解；
（2）根據(jù)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求解即可；
（3）分3種情況，畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形特點(diǎn)求解即可．
【解析】（1），
，
，．
∵，
∴．
∴．
（2）∵，
∴．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
設(shè)過(guò)點(diǎn)P的反比例函數(shù)解析式為．將點(diǎn)代入，得．
∴過(guò)點(diǎn)P的反比例函數(shù)解析式為．
（3）存在．
如圖1，當(dāng)為正方形的對(duì)角線時(shí)，
過(guò)點(diǎn)M作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作交直線于點(diǎn)F．
∵四邊形是正方形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
，
∴．
設(shè)，則，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，（舍去），
∴，
∴．
∵把先向右平移7個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得，
∴把先向右平移7個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得；
如圖2，當(dāng)為正方形的邊時(shí)，
過(guò)點(diǎn)N作于點(diǎn)H，
∵四邊形是正方形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如圖3，當(dāng)為正方形的邊時(shí)，
由圖2可知，，
∵把先向右平移6個(gè)單位，再向上平移8個(gè)單位得，
∴把先向右平移6個(gè)單位，再向上平移8個(gè)單位得；
綜上可知，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：，，．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，解一元二次方程，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及平移的性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解（3）的關(guān)鍵．
4．在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形，點(diǎn)，現(xiàn)將矩形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，點(diǎn)，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，，．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____(請(qǐng)直接寫(xiě)出答案)；
(2)如圖2，所在直線與、分別交于點(diǎn)、，且．求線段的長(zhǎng)度．
(3)如圖3，設(shè)點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接，，，在矩形旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，的面積的最大值為
【分析】（1）在中，利用勾股定理即可解決問(wèn)題；
（2）由可證()可得，由可證，可得，，可得點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線，在中，勾股定理，可求的長(zhǎng)，由三角形中位線定理可求解；
（3）根據(jù)三角形的底邊的長(zhǎng)度固定，當(dāng)邊上的高最大時(shí)即可求解，連接，當(dāng)軸于點(diǎn)時(shí)，則，此時(shí)面積最大，利用，求得，再根據(jù)三角形面積公式即可求解．
【解析】（1）解：∵四邊形．點(diǎn)，)，
，，，
矩形是由矩形旋轉(zhuǎn)得到，
，
在中，，
;
故答案為：．
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，連接，
，，
四邊形是矩形，
，
，，，
()，
，
又，
()，
，，
又，
點(diǎn)與點(diǎn)重合，
，，
，
點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線，
，
，
，
設(shè)
在中，，
，
，
，
，
，，
；
（3）解：依題意，，
，，
，
當(dāng)邊上的高最大時(shí)，面積最大，
如圖，當(dāng)軸于點(diǎn)時(shí)，則，此時(shí)面積最大，
連接，
，
的面積的最大值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．
5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，4），以O(shè)A為一邊在第一象限內(nèi)作矩形OABC，直線CD：交AB于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)D，．
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
(2)點(diǎn)P為線段CE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸，交AB于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，連接FD，設(shè)點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為m，△DFP的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．
(3)在（2）的條件下，連接BP并延長(zhǎng)與x軸交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)P作，與x軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在直線CD上是否存在一點(diǎn)R，過(guò)點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)Q，得，若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在；或
【分析】（1）先求出直線CD的解析式即可解決問(wèn)題；
（2）用M表示PF的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式計(jì)算即可；
（3）由題意可知：，整理得：，解得或（舍去），則，根據(jù)，，，可證，則，，則，根據(jù)直線解析式為：，結(jié)合，可知直線的解析式為：，則，當(dāng)點(diǎn)再點(diǎn)上方時(shí)，設(shè)，則，根據(jù)，則，進(jìn)而可知，故，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，也滿(mǎn)足條件，由此可得到結(jié)果．
【解析】（1）解：由題意知，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直線，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴．
（2）解：如圖所示，
∵，F(xiàn)（m，4），
∴，
∴；
（3）解：如圖2所示：
由題意可知：，
整理得：，
解得或（舍去），
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵直線解析式為：，
∵，
∴直線的解析式為：，
∴，
當(dāng)點(diǎn)再點(diǎn)上方時(shí)，設(shè)，
則，
∵，
∴，
∴，
∴，
根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，也滿(mǎn)足條件，
∴或．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)綜合題，矩形的性質(zhì)，平行線分段成比例定理，一元二次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解決本題的關(guān)鍵．
6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)的直線與直線交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)、都在線段上，且．以為邊在x軸下方作正方形，設(shè)，正方形的周長(zhǎng)為．
(1)求直線的函數(shù)關(guān)系式．
(2)當(dāng)點(diǎn)在正方形的邊上時(shí)，直接寫(xiě)出的值．
(3)求與之間的函數(shù)關(guān)系式．
(4)當(dāng)正方形只有一個(gè)頂點(diǎn)在外部時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)或3；
(3)；
(4)或．
【分析】（1）由可知點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為，將點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)代入求解即可；
（2）分三種情況：當(dāng)點(diǎn)在、、的邊上分別討論求解即可；
（3）分點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論，表示出的長(zhǎng)度，然后求解即可；
（4）分點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論，并考慮點(diǎn)、點(diǎn)在兩條直線上是的值，即可求得的取值范圍．
【解析】（1）解：∵，
∴，
設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為，將，代入中，
得：，解得：
∴直線的函數(shù)關(guān)系式為；
（2）①當(dāng)點(diǎn)在正方形的邊上時(shí)，則，
∴
∴，即：
此時(shí)，即點(diǎn)的坐標(biāo)為與點(diǎn)重合，
②當(dāng)點(diǎn)在正方形的邊上時(shí)，
∵點(diǎn)為，
∴
∴，即，
③當(dāng)點(diǎn)在正方形的邊上時(shí)，則，（此時(shí)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）
亦即
∴
∴，
此時(shí)，即點(diǎn)的坐標(biāo)為與點(diǎn)重合，
綜上，當(dāng)點(diǎn)在正方形的邊上時(shí)，或3；
（3）∵，
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，
則，
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，
則，
綜上，與之間的函數(shù)關(guān)系式為：
（4）①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，，
則，，，
若點(diǎn)在直線上，即：，得：
若點(diǎn)在直線上，即：，得：，
易知當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，正方形的另外個(gè)頂點(diǎn)均在的內(nèi)部，
點(diǎn)在直線上時(shí)，點(diǎn)在的外部，
∴當(dāng)時(shí)，正方形只有一個(gè)頂點(diǎn)在外部；
②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，，
則，，，
若點(diǎn)在直線上，即：，得：
若點(diǎn)在直線上，即：，得：，
易知當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，正方形的另外個(gè)頂點(diǎn)均在的內(nèi)部，
點(diǎn)在直線上時(shí)，點(diǎn)在的外部，
∴當(dāng)時(shí)，正方形只有一個(gè)頂點(diǎn)在外部；
綜上，當(dāng)正方形只有一個(gè)頂點(diǎn)在外部時(shí)，或
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的綜合及正方形的性質(zhì)，熟練的求解函數(shù)解析式，利用正方形的性質(zhì)表示線段的長(zhǎng)度是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
7．在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是矩形，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)．以點(diǎn)A為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形，得到矩形，點(diǎn)O，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，記旋轉(zhuǎn)角為．
(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(3)當(dāng)點(diǎn)D落在線段上時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作軸于，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，，由直角三角形的性質(zhì)得出，，得出，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）過(guò)點(diǎn)作軸于，，于，則則，，由勾股定理得出AE=10，由面積法求出DH=，得出，由勾股定理得出，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）連接，作軸于，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，
由等腰三角形的性質(zhì)得出，得出，證出，由平行線的性質(zhì)的，證出，證明，得出，，得出，即可得出答案．
【解析】（1）解：過(guò)點(diǎn)作軸于，如圖所示：
∵點(diǎn)，點(diǎn)，
∴，，
∵以點(diǎn)為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形，得到矩形，
∴，，，
在Rt中，，，
∴，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）過(guò)點(diǎn)作軸于，，于，如圖所示：
則，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）連接，作軸于，如圖所示：
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，，
∴，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作出輔助線，屬于中考?jí)狠S題．
8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別交軸，軸于點(diǎn)，A，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，且，作直線．
(1)求直線的解析式；
(2)點(diǎn)在線段上（不與點(diǎn)A重合），過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，線段的長(zhǎng)為d，求d與之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍）；
(3)在（2）的條件下，在直線的右側(cè)以線段為斜邊作等腰直角，連接，以線段為直角邊作等腰直角三角形，且，且點(diǎn)在直線的右側(cè)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．（用含有的代數(shù)式表示）
(4)在（2）、（3）的條件下，若，則______．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先由直線的解析式求出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)，求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)P作軸于M，過(guò)點(diǎn)Q作軸于N，令與y軸的交點(diǎn)為R，由點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，得出．根據(jù)軸，Q在直線上，得到，進(jìn)而得出線段的長(zhǎng)d與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）連接交y軸于N點(diǎn)，令交y軸于F點(diǎn)，證明可得，，根據(jù)（2）即可得到解答；
（4）由（2）得，，進(jìn)而計(jì)算即可得到解答．
【解析】（1）解：∵，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
解得，
∴，
∴，
∴．
設(shè)直線的解析式為，
則，
解得．
∴直線的解析式為．
（2）解：過(guò)點(diǎn)P作軸于M，過(guò)點(diǎn)Q作軸于N，令PQ與y軸的交點(diǎn)為R，．
∵點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，
∴．
∵軸，
∴，
∴軸，
∴，
∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為．
∵直線的解析式為，
∴當(dāng)時(shí)，
，
解得，
∴．
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
即d與t之間的函數(shù)關(guān)系式為．
（3）如圖2，連接交y軸于N點(diǎn)，令交y軸于F點(diǎn)，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴軸，
由（2）得，
∴E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，
∴；
（4）如下圖，由（2）得，，
∴
，
∵，
∴，
解得．
【點(diǎn)睛】本題是綜合題，其中涉及利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，全等三角形、矩形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造三角形全等，利用數(shù)形結(jié)合與方程思想是解題的關(guān)鍵．
9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為的正方形的邊落在軸的正半軸上，邊落在軸的正半軸上，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著射線的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)．運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，連接，，，．
(1)如圖，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．
(2)如圖，當(dāng)時(shí)，求證：．
(3)如圖，過(guò)點(diǎn)作，且，連接，為的中點(diǎn)．連接，則當(dāng)____時(shí)，有最小值，的最小值為_(kāi)____．
【答案】(1)；
(2)見(jiàn)解析；
(3)；；
【分析】（1）連接，證明是等邊三角形，推出，求出即可解決問(wèn)題；
（2）如圖，作于，交于，設(shè)，，在和中，利用勾股定理構(gòu)建方程，求出x，y的值，再利用勾股定理的逆定理得出結(jié)論；
（3）如圖3，在的延長(zhǎng)線上截取，連接，，，，通過(guò)證明求解的長(zhǎng)，進(jìn)而可得的長(zhǎng)，當(dāng)點(diǎn)M落在線段上時(shí)，最小，最小值為（如圖4中，連接），證明，可得，求出，可得，進(jìn)而可得答案．
【解析】（1）解：如圖，連接，
由翻折的性質(zhì)可知：，，
，
是等邊三角形，
，，
四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，
∴；
（2）證明：如圖，作于，交于，
由翻折的性質(zhì)可知：，，
設(shè)，．
，
四邊形是矩形，
，，，
在中，由勾股定理得，即，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
，
，，
，
，即；
（3）解：如圖3，在的延長(zhǎng)線上截取，連接，，，，
∵，，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴當(dāng)點(diǎn)M落在線段上時(shí)，最小，最小值為（如圖4中，連接），
此時(shí)，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，等腰三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題．
10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)P和點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，則稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)P關(guān)于y軸，直線l的“二次對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”．
(1)已知點(diǎn)，直線l是經(jīng)過(guò)且平行于x軸的一條直線，則點(diǎn)A的“二次對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”的坐標(biāo)為_(kāi)_________；
(2)如圖1，正方形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，點(diǎn)K是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)K且垂直于x軸，若正方形ABCD上存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)是點(diǎn)M關(guān)于y軸，直線l的“二次對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”，且點(diǎn)在射線OE上，則點(diǎn)K的橫坐標(biāo)x的取值范圍是________________；
(3)如圖2，是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，線段RS經(jīng)過(guò)點(diǎn)T，且點(diǎn)R、點(diǎn)S的坐標(biāo)分別是，，直線l經(jīng)過(guò)且與x軸正半軸夾角為60°，在點(diǎn)T的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若線段RS上存在點(diǎn)N，使得點(diǎn)是點(diǎn)N關(guān)于y軸，直線l的“二次對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”，且點(diǎn)在y軸上，則點(diǎn)縱坐標(biāo)y的取值范圍是______________．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)“二次對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”的定義求解即可；
（2）由題意，直線的解析式為，當(dāng)點(diǎn)K關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在x軸的正半軸上時(shí)，關(guān)于直線y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在y軸上，觀察圖象可知，當(dāng)K點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，正好落在線段上，由此可得結(jié)論；
（3）如圖2中，當(dāng)點(diǎn)N與S重合，且在y軸上時(shí)，連接交直線于點(diǎn)K，交y軸于點(diǎn)J，連接，設(shè)直線l交x軸于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)C，如圖3中，當(dāng)點(diǎn)T與原點(diǎn)重合，N與重合時(shí)，和都與重合，此時(shí)．求出這兩種特殊位置的坐標(biāo)，可得結(jié)論．
【解析】（1）解∶ 點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，
∵直線l是經(jīng)過(guò)且平行于x軸的一條直線，
∴點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為；
故答案為：
（2）解∶如圖，
設(shè)直線的解析式為，
∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為，
∴，
∴直線的解析式為，
當(dāng)點(diǎn)K關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在x軸的正半軸上時(shí)，關(guān)于直線y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在y軸上，
觀察圖象可知，當(dāng)K點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，正好落在線段上，
觀察圖象可知當(dāng)時(shí)，在正方形內(nèi)部，
故答案為：；
（3）解∶如圖2，當(dāng)點(diǎn)N與S重合，且在y軸上時(shí)，連接交直線于點(diǎn)K，交y軸于點(diǎn)J，連接，設(shè)直線l交x軸于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)C，
∵，
∴，
∵和關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴此時(shí)點(diǎn)，
如圖3，當(dāng)點(diǎn)T與原點(diǎn)重合，N與重合時(shí)，和都與重合，此時(shí)．
根據(jù)題意得：，
觀察圖象得：滿(mǎn)足條件的的縱坐標(biāo)為．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)變換，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)尋找特殊位置，解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．
11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)（0，），直線DE為AB的中垂線，垂足為點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)C．
(1)如圖1，點(diǎn)E的坐標(biāo)為_(kāi)_____，直線DC的表達(dá)式為_(kāi)_____；
(2)如圖1，若點(diǎn)M為直線CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M在第一象限，過(guò)點(diǎn)M作軸，交直線AB于點(diǎn)N，當(dāng)四邊形AMND為菱形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
(3)如圖2，點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PD，將△ADP沿DP翻折得到，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_____．
【答案】(1)，
(2)（，6）
(3)（，0）或（，0）
【分析】（1）求出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出的坐標(biāo)，設(shè)直線的解析式，把點(diǎn)，的坐標(biāo)代入，可得出結(jié)論．
（2）判斷出點(diǎn)與點(diǎn)重合，可得出結(jié)論．
（3）分兩種情形：平分，平分的鄰補(bǔ)角，分別求解即可．
【解析】（1）∵直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，
∴，，
∵垂直平分線段，
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
把，代入得到 ，
∴ ，
∴直線的解析式為，
故答案為：，．
（2）∵四邊形是菱形，
∴ ，
∴ 點(diǎn) 與重合，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為
∵M(jìn)在直線DC上
∴；
（3）如圖（3）中，
∵當(dāng)時(shí)，點(diǎn)落在直線上，
此時(shí)平分，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，設(shè)，
則，
由（1）可知，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)平分的鄰補(bǔ)角時(shí)，也滿(mǎn)足條件，
同理可得，
綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或，
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，三角形的面積，角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握這些性質(zhì)和學(xué)會(huì)分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．
12．在平面直角坐標(biāo)系中，已知△，點(diǎn)在y軸的正半軸上，點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)在x軸上．
(1)如圖1，已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，，若是的中點(diǎn)，連接，求證：△是等邊三角形
(2)如圖2，已知，△是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，，分別是邊，上一點(diǎn)，滿(mǎn)足，連接，，，若點(diǎn)的坐標(biāo)為（，1）．
①求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②求三角形的面積；
(3)如圖3，已知與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，，點(diǎn)是y軸的負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)作于，交線段于，連接．
①若線段，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②問(wèn)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的大小是否發(fā)生改變？若不變，求出其值；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)①（1，3）；②5；
(3)①點(diǎn)（，0）；②不變；
【分析】（1）由軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)得AB=AC，OB=OC=BC，再由∠B=∠BAC，根據(jù)等腰三角形的判定得出BC=AC，從而得AB=BC=AC，即可證得△ABC為等邊三角形，再由等邊三角形的性質(zhì)得出∠B=60°，然后根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得BD=OB，即可由等邊三角形的判定寒來(lái)暑往是出結(jié)論；
（2）①過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸于G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥y軸于H，先證△OBE△OAF(ASA)，得OE=OF，再證△OGE△OHF(AAS)，得OG=OH，EG=FH，由E(-3，1)，即可得OH=OG=3，F(xiàn)H=EG=1，即可得出點(diǎn)F坐標(biāo)；
②在Rt△OGE中，由勾股定理，得OE=，從而得OF=OE=，然后由即可求解；
（3）①證明△AOM△BOD（AAS），得OM=OD=2022，再根據(jù)點(diǎn)M在x軸負(fù)半軸上，即可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②過(guò)點(diǎn)O作OP⊥BD于P，OQ⊥AH于Q，則四邊形OQHP為矩形，再證明△AOM△BOD(SAS)，得∠AMO=∠BDO，然后證△OQM△OPD(AAS)，得OP=OQ，從而證得矩形OQHP為正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)好戲可得出結(jié)果．
【解析】（1）解：∵B、C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)A在y軸上
∴AB=AC，OB=OC=BC，
又∵∠B=∠BAC，
∴BC=AC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠B=60°，
又點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴BD=AB，
∴BD=OB，
∴△是等邊三角形；
（2）解：①過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸于G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥y軸于H，如圖，
∵△是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，
∴OB=OC，∠B=∠C，∠BAO=∠CAO，
∵，
∴OA=OB，∠BAO=∠CAO=45°，∠B=∠C=45°，
∴∠B=∠OAF，
∵OE⊥OF，
∴∠AOF+∠AOE=90°，
∵∠BOE+∠AOE=∠AOB=90°，
∴∠AOF=∠BOE，
在△OBE和△OAF中，
，
∴ △OBE△OAF(ASA)，
∴OE=OF，
∵EG⊥x軸于G， FH⊥y軸于H，
∴∠OGE=∠OHF=90°，
在△OGE和△OHF中，
，
∴△OGE△OHF(AAS)，
∴OG=OH，EG=FH，
∵E(-3，1)，
∴OG=3，EG=1，
∴OH=3，F(xiàn)H=1，
∴F(1，3)；
②在Rt△OGE中，由勾股定理，得
OE=，
∴OF=OE=，
∴；
（3）解：①∵∠AOM=90°，
∴∠OAM+∠AMO=90°，
同理：∠OAM+∠ADH=90°，
∴∠ADH=∠AMO，
∴∠AOB=90°，∠OBA=45°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴OA=OB，
在△AOM和△BOD中，
，
∴△AOM△BOD（AAS），
∴OM=OD=2022，
∵點(diǎn)M在x軸負(fù)半軸上，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2022，0)；
②的大小不會(huì)發(fā)生改變，
如圖3，過(guò)點(diǎn)O作OP⊥BD于P，OQ⊥AH于Q，
則四邊形OQHP為矩形，
在△OQM和△OPD中，
，
∴△OQM△OPD(AAS)，
∴OP=OQ，
∴矩形OQHP為正方形，
∴∠AHO=45°．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)、圖形與坐標(biāo)，矩形的判定，正方形的判定與性質(zhì)，本題綜合性質(zhì)較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
13．已知：在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC為正方形．
(1)若正方形OABC邊長(zhǎng)為12，
①如圖1，E、F分別在邊OA、OC上，CE⊥BF于H，且OE＝9，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（______，_______）．
②如圖2，若D為x軸上一點(diǎn)，且OD＝8，Q為y軸正半軸上一點(diǎn)，且∠DBQ＝45°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
(2)若正方形OABC邊長(zhǎng)為4，如圖3，E、F分別在邊OA、OC上，當(dāng)F為OC的中點(diǎn)，CE⊥BF于H，在直線CE上E點(diǎn)的兩側(cè)有點(diǎn)D、G，能使線段AD＝OG，AD//OG，且CH＝DH，求BG．
【答案】(1)①3，0；②Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，15）或（0，6）
(2)BG＝
【分析】（1）①通過(guò)證明△OEC≌△CFB（AAS），求出OF，即可求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②分兩種情況討論：當(dāng)D（8，0）時(shí)，過(guò)B點(diǎn)作BM⊥BD交y軸于點(diǎn)M，可證明△ABM≌△CBD（AAS），連接BQ，可證明△MBQ≌△DBQ（SAS），設(shè)AQ＝x，則OQ＝12﹣x，DQ＝4+x，在Rt△ODQ中由勾股定理求出x＝6，即可求Q（0，6）；當(dāng)D（﹣8，0）時(shí)，過(guò)BN⊥BQ交x軸于點(diǎn)N，同理可得△ABQ≌△CBN（AAS），連接DQ，可得△QBD≌△NBD（SAS），設(shè)AQ＝CN＝y(tǒng)，則DN＝20﹣y，QO＝12+y，在Rt△DOQ中，由勾股定理求出y＝3，即可求Q（0，15）；
（2）在Rt△BCF中，求出BF＝2，CH＝，再由CH＝DH，可得DC＝，連接OD，OH，證明△OCD≌△CBH（ASA），分別得到CD＝BH＝，OD＝CH＝，則OH＝，再證明△AOD≌△OCH（SAS），可求OH＝AD＝OG＝，∠OAD＝∠HOC，推導(dǎo)出∠GOH＝90°，在Rt△GHO中，由勾股定理求出GH＝，在Rt△BHG中，由勾股定理求出BG＝．
（1）
①∵CE⊥BF，
∴∠BHC＝90°，
∴∠ECO+∠HFC＝90°，
∵∠OEC+∠OCE＝90°，
∴∠HFC＝∠OEC，
∵BC＝OC，
∴△OEC≌△CFB（AAS），
∴OE＝CF＝9，
∴OF＝3，
∴F（3，0），
故答案為：3，0；
②∵D為x軸上一點(diǎn)，且OD＝8，
∴D（8，0）或（﹣8，0），
當(dāng)D（8，0）時(shí)，如圖2，過(guò)B點(diǎn)作BM⊥BD交y軸于點(diǎn)M，
∴∠DBM＝90°，
∴∠MBA+∠ABD＝90°，
∵∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠MBA＝∠CBD，
∵AB＝BC，
∴△ABM≌△CBD（AAS），
∴BM＝BD，CD＝AM，
連接BQ，
∵∠DBQ＝45°，
∴∠MBQ＝45°，
又∵BM＝BD，
∴△MBQ≌△DBQ（SAS），
∴DQ＝MA，
∵OD＝8，OC＝12，
∴CD＝MA＝4，
設(shè)AQ＝x，則OQ＝12﹣x，DQ＝4+x，
在Rt△ODQ中，（4+x）2＝64+（12﹣x）2，
解得x＝6，
∴Q（0，6）；
如圖3，當(dāng)D（﹣8，0）時(shí)，過(guò)BN⊥BQ交x軸于點(diǎn)N
，
同理可得△ABQ≌△CBN（AAS），
∴AQ＝CN，BQ＝BN，
連接DQ，同理可得△QBD≌△NBD（SAS），
∴DN＝DQ，
設(shè)AQ＝CN＝y(tǒng)，則DN＝20﹣y，QO＝12+y，
在Rt△DOQ中，（20﹣y）2＝（12+y）2+64，
解得y＝3，
∴Q（0，15）；
綜上所述：Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，15）或（0，6）；
（2）
∵F為OC的中點(diǎn)，CO＝4，
∴CF＝OF＝2，
在Rt△BCF中，BC＝4，CF＝2，
∴BF＝2，
∵BF⊥CH，
∴CH＝＝，
∵CH＝DH，
∴DC＝，
如圖4，連接OD，OH，
∵H是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是OC的中點(diǎn)，
∴FH∥OD，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC＝∠GHC＝90°，
∵BC＝CO，∠FBC＝∠DCO，
∴△OCD≌△CBH（ASA），
∴CD＝BH＝，OD＝CH＝，
∴OH＝，
∵∠AOD+∠DOC＝∠DOC+∠DCO＝90°，
∴∠AOD＝∠DCO，
∵AO＝CO，OH＝OD，
∴△AOD≌△OCH（SAS），
∴OH＝AD＝OG＝，∠OAD＝∠HOC，
∵AD∥GO，
∴∠OAD＝∠GOA，
∴∠GOH＝90°，
在Rt△GHO中，GH＝＝，
在Rt△BHG中，BG＝＝．
【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，熟練掌握正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
14．問(wèn)題情境：如圖1，已知正方形ABCD與正方形CEFG，B、C、G在一條直線上，M是AF的中點(diǎn)，連接DM，EM．探究DM，EM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系．
小明的思路是：小明發(fā)現(xiàn)AD//EF，所以通過(guò)延長(zhǎng)ME交AD于點(diǎn)H，構(gòu)造△EFM和△HAM全等，進(jìn)而可得△DEH是等腰直角三角形，從而使問(wèn)題得到解決，請(qǐng)你參考小明同學(xué)的思路，探究并解決下列問(wèn)題：
（1）猜想圖1中DM、EM的數(shù)量關(guān)系 ，位置關(guān)系 ．
（2）如圖2，把圖1中的正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°，此時(shí)點(diǎn)E在線段DC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)G落在線段BC上，其他條件不變，（1）中結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）我們可以猜想，把圖1中的正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3，（1）中的結(jié)論 （“成立”或“不成立”）
拓展應(yīng)用：
將圖1中的正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使D，E，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上，若AB＝13，CE＝5，請(qǐng)畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出MF的長(zhǎng)．
【答案】（1）DM⊥EM，DM＝ME，理由見(jiàn)詳解；（2）結(jié)論成立，理由見(jiàn)詳解；（3）成立；拓展應(yīng)用：MF=或
【分析】（1）結(jié)論：DM⊥EM，DM＝EM．只要證明△AMH≌△FME，推出MH＝ME，AH＝EF＝EC，推出DH＝DE，因?yàn)椤螮DH＝90°，可得DM⊥EM，DM＝ME；
（2）延長(zhǎng)EM交DA的延長(zhǎng)線于H，證法同第（1）小題；
（3）如圖3中，延長(zhǎng)EM到點(diǎn) H，使EM=HM，連接AH，DE，DH，先證明△AMH≌△FME，延長(zhǎng)AH交CE于點(diǎn)K，交CD于點(diǎn)O，再證明?DCE??DAH，可得?HDE是等腰直角三角形，M是HE的中點(diǎn)，即可得到結(jié)論；
拓展應(yīng)用：分兩種情形畫(huà)出圖形，理由勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．
【解析】解：（1）結(jié)論：DM⊥EM，DM＝EM．
理由：如圖1中，延長(zhǎng)EM交AD于H．
∵四邊形ABCD是正方形，四邊形EFGC是正方形，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，
∴AD∥EF，
∴∠MAH＝∠MFE，
∵M(jìn)是AF的中點(diǎn)，
∴AM＝MF，
又∵∠AMH＝∠FME，
∴△AMH≌△FME，
∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，
∴AD-AH=CD-CE，
∴DH＝DE，
∵∠EDH＝90°，
∴DM⊥EM，DM＝ME．
故答案是：DM⊥EM，DM＝ME；
（2）如圖2中，結(jié)論不變．DM⊥EM，DM＝EM．
理由：如圖2中，延長(zhǎng)EM交DA的延長(zhǎng)線于H．
∵四邊形ABCD是正方形，四邊形EFGC是正方形，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，
∴AD∥EF，
∴∠MAH＝∠MFE，
∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，
∴△AMH≌△FME，
∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，
∴AD+AH=CD+CE，
∴DH＝DE，
∵∠EDH＝90°，
∴DM⊥EM，DM＝ME；
（3）如圖3中，延長(zhǎng)EM到點(diǎn) H，使EM=HM，連接AH，DE，DH，
∵四邊形ABCD是正方形，四邊形EFGC是正方形，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，
∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，
∴△AMH≌△FME，
∴AH＝EF＝EC，∠MAH=∠MFE，
∴AH∥EF，
延長(zhǎng)AH交CE于點(diǎn)K，交CD于點(diǎn)O，
∴∠AKE=∠CEF=90°，
∴∠DCE+∠COK=∠DAH+∠AOD，
∵∠COK=∠AOD，
∴∠DCE=∠DAH，
在? DCE和?DAH中，
∵，
∴?DCE??DAH，
∴DH=DE，∠CDE=∠ADH，
∴∠ADH+∠CDH=∠CDE+∠CDH=90°，即：∠HDE=∠ADC=90°，
∴?HDE是等腰直角三角形，M是HE的中點(diǎn)，
∴DM⊥EM，DM＝ME，
故答案是：成立；
拓展應(yīng)用：如圖4中，連接DE．延長(zhǎng)EM到H，使得MH＝ME，連接AH，延長(zhǎng)FE交AD的延長(zhǎng)線于K．作MR⊥DE于R．
易證△AMH≌△FME（SAS），
∴AH＝EF＝EC，∠MAH＝∠MFE，
∴AH∥DF，
∴∠DAH＋∠ADE＝180°，
∴∠DAH＋∠CDE＝90°，
∵∠DCE＋∠EDC＝90°
∴∠DAH＝∠DCE，
∵DA＝DC，
∴△DAH≌△DCE（SAS），
∴DH＝DE，∠ADH＝∠CDE，
∴∠HDE＝∠ADC＝90°，
∵M(jìn)E＝MH，
∴DM⊥EH，DM＝MH＝EM，
在Rt△CDE中，DE＝，
∵DM＝ME，DM⊥ME，MR⊥DE，
∴MR＝DE＝6，DR＝RE＝6，
在Rt△FMR中，F(xiàn)M＝，
如圖5中，作MR⊥DE于R．同法可得DE＝12，MR＝6，可得FR＝6?5＝1，
在Rt△MRF中，F(xiàn)M＝
綜上所述：MF=或．
【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理以及直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)的定理、正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
15．操作與證明：
如圖1，把一個(gè)含45°角的直角三角板ECF和一個(gè)正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)C重合，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊CB、CD上，連接AF．取AF中點(diǎn)M，EF的中點(diǎn)N，連接MD、MN．
（1）連接AE，求證：△AEF是等腰三角形；
猜想與發(fā)現(xiàn)：
（2）在（1）的條件下，請(qǐng)判斷線段MD與MN的關(guān)系，得出結(jié)論；
結(jié)論：DM、MN的關(guān)系是： ；
拓展與探究：
（3）如圖2，將圖1中的直角三角板ECF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°，其他條件不變，則（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）DM＝MN，DM⊥MN；（3）成立，理由見(jiàn)解析.
【分析】（1）先證明△ABE≌△ADF，再利用全等三角形的性質(zhì)即可證明△AEF是等腰三角形；
（2）利用三角形中位線定理，直角三角形斜邊中線定理可證明DM=MN，再證明∠DMN=∠DAB=90°，即可解決問(wèn)題；
（3）連接AE，交DM于O，交CD于G，同（2）證明方法類(lèi)似，可證明DM=MN，再證明∠DOG＝∠ECG＝90°，即可得出結(jié)論.
【解析】（1）證明：如圖，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠ADF＝90°，
∵△EFC是等腰直角三角形，
∴CE＝CF，
∴BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE＝AF，
∴△AEF是等腰三角形；
（2）解：結(jié)論：DM＝MN，DM⊥MN，
證明：∵在Rt△ADF中， M是AF的中點(diǎn)，
∴DM=AF，
∵M(jìn)是AF的中點(diǎn)，N是EF的中點(diǎn)，
∴MN=AE，MN∥AE，
∵AE＝AF，
∴MN＝DM，
∵∠ADF＝90°，AM＝MF，
∴MD＝MA＝MF，
∴∠MAD＝∠ADM，
∴∠DMF＝∠MAD+∠ADM＝2∠DAM，
∵△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF，
∴∠DAB=∠EAF+2∠DAM＝90°，
∵M(jìn)N∥AE，
∴∠NMF＝∠EAF，
∴∠DMN=∠NMF+∠DMF＝∠EAF+2∠DAM＝∠DAB=90°，
∴DM⊥MN，
∴MN＝DM，MN⊥DM，
故答案為MN＝DM，MN⊥DM；
（3）解：結(jié)論仍然成立．
理由：如圖，連接AE，設(shè)AE交DM于O，交CD于G，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠ADF＝90°，
又∵BC+CE=CD+CF,即BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AF＝AE，∠AFD＝∠AEB，
∵在Rt△ADF中，M是AF的中點(diǎn)，
∴DM=AF，
∵M(jìn)是AF的中點(diǎn)，N是EF的中點(diǎn)，
∴MN=AE，MN∥AE，
∴MN＝DM，
∵∠ADF＝90°，AM＝MF，
∴MD＝MA＝MF，
∴∠MDF＝∠MFD＝∠AEB，
∵∠DGO＝∠CGE，∠ODG＝∠CEG，
∴∠DOG＝∠ECG＝90°，
∵NM∥AE，
∴∠DOG＝∠DMN＝90°，
∴MN⊥DM，MN＝DM．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握各性質(zhì)定理，找準(zhǔn)角與角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
16．△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF，連接CF，
（1）觀察猜想
如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，
①BC與CF的位置關(guān)系為： ．
②BC，CD，CF之間的數(shù)量關(guān)系為： ；（將結(jié)論直接寫(xiě)在橫線上）
（2）數(shù)學(xué)思考
如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)你寫(xiě)出正確結(jié)論再給予證明．
（3）拓展延伸
如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)BA交CF于點(diǎn)G，連接GE，若已知AB=2，CD=BC，請(qǐng)求出GE的長(zhǎng)．
【答案】（1）CF⊥BD，BC=CF+CD；（2）成立，證明詳見(jiàn)解析；（3）.
【解析】試題分析：（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BC=AB=4，AH=BC=2，求得DH=3，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD=DE，∠ADE=90°，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到NE=CM，EM=CN，由角的性質(zhì)得到∠ADH=∠DEM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EM=DH=3，DM=AH=2，等量代換得到CN=EM=3，EN=CM=3，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CG=BC=4，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
試題解析：解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB與△FAC中，，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠B=∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；
②△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∵BC=BD+CD，
∴BC=CF+CD；
（2）成立，
∵正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB與△FAC中，，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠B=∠ACF，CF=BD
∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；
∵BC=BD+CD，
∴BC=CF+CD；
（3）解：過(guò)A作AH⊥BC于H，過(guò)E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴BC=AB=4，AH=BC=2，
∴CD=BC=1，CH=BC=2，
∴DH=3，
由（2）證得BC⊥CF，CF=BD=5，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=DE，∠ADE=90°，
∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴四邊形CMEN是矩形，
∴NE=CM，EM=CN，
∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，
∴∠ADH=∠DEM，
在△ADH與△DEM中，，
∴△ADH≌△DEM，
∴EM=DH=3，DM=AH=2，
∴CN=EM=3，EN=CM=3，
∵∠ABC=45°，
∴∠BGC=45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG=BC=4，
∴GN=1，
∴EG==．
考點(diǎn)：四邊形綜合題.
17．【方法回顧】
（1）如圖1，過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A作一條直線l交邊BC于點(diǎn)P，BE⊥AP于點(diǎn)E，DF⊥AP于點(diǎn)F，若DF＝2.5，BE＝1，則EF＝ ．
【問(wèn)題解決】
（2）如圖2，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1.5，過(guò)點(diǎn)A作一條直線l交邊BC于點(diǎn)P，且∠DAP＝90°，點(diǎn)F是AP上一點(diǎn)，且∠BAD+∠AFD＝180°，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AB，與直線l交于點(diǎn)E，若EF＝1，求BE的長(zhǎng)．
【思維拓展】
（3）如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在AD所在直線上的上方，AP＝2，連接PB，PD，若△PAD的面積與△PAB的面積之差為m（m＞0），則PB2﹣PD2的值為 ．（用含m的式子表示）
【答案】（1）1.5；（2）；（3）．
【分析】（1）【方法回顧】如圖1，利用“”證明，則，，然后利用得到．
（2）【問(wèn)題解決】證明，推出，，再利用勾股定理構(gòu)建方程解決問(wèn)題即可．
（3）【思維拓展】如圖3中，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，交的延長(zhǎng)線于，設(shè)，．設(shè)，由，推出，可得，利用勾股定理即可解決問(wèn)題．
【解析】解：（1）【方法回顧】如圖1中，
四邊形為正方形，
，，
，，
，
又∵，
，
，，
，，
．
故答案為1.5．
（2）【問(wèn)題解決】如圖2中，
四邊形是菱形，
，
，
，
，即，，
，
，
，，
，
，
．
，
．
（3）【思維拓展】如圖3中，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，交的延長(zhǎng)線于，設(shè)，．
，
四邊形是矩形，
，，
四邊形是正方形，
，設(shè)，
，
，
，
，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題．
18．已知，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是正方形ABCD所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），AB＝AE，過(guò)點(diǎn)B作DE的垂線交DE所在直線于F，連接CF．
提出問(wèn)題：當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變？
探究問(wèn)題：
（1）首先考察點(diǎn)E的一個(gè)特殊位置：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合（如圖①）時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)B也重合．用等式表示線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系： ；
（2）然后考察點(diǎn)E的一般位置，分兩種情況：
情況1：當(dāng)點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)（如圖②）時(shí)；
情況2：當(dāng)點(diǎn)E是正方形ABCD外部一點(diǎn)（如圖③）時(shí)．
在情況1或情況2下，線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系與（1）中的結(jié)論是否相同？如果都相同，請(qǐng)選擇一種情況證明；如果只在一種情況下相同或在兩種情況下都不相同，請(qǐng)說(shuō)明理由；
拓展問(wèn)題：
（3）連接AF，用等式表示線段AF、CF、DF三者之間的數(shù)量關(guān)系： ．
【答案】（1）DE＝CF；（2）在情況1與情況2下都相同，詳見(jiàn)解析；（3）AF＋CF＝DF或|AF－CF|＝DF
【分析】（1）易證△BCD是等腰直角三角形，得出DB=CB，即可得出結(jié)果；
（2）情況1：過(guò)點(diǎn)C作CG⊥CF，交DF于G，設(shè)BC交DF于P，由ASA證得△CDG≌△CBF，得出DG=FB，CG=CF，則△GCF是等腰直角三角形，F(xiàn)G=CF，連接BE，設(shè)∠CDG=α，則∠CBF=α，∠DEA=∠ADE=90°-α，求出∠DAE=2α，則∠EAB=90°-2α，∠BEA=∠ABE=（180°-∠EAB）=45°+α，∠CBE=45°-α，推出∠FBE=45°，得出△BEF是等腰直角三角形，則EF=BF，推出EF=DG，DE=FG，得出DE=CF；
情況2：過(guò)點(diǎn)C作CG⊥CF交DF延長(zhǎng)線于G，連接BE，設(shè)CD交BF于P，由ASA證得△CDG≌△CBF，得出DG=FB，CG=CF，則△GCF是等腰直角三角形，得FG=CF，設(shè)∠CDG=α，則∠CBF=α，證明△BEF是等腰直角三角形，得出EF=BF，推出DE=FG，得出DE=CF；
（3）①當(dāng)F在BC的右側(cè)時(shí)，作HD⊥DF交FA延長(zhǎng)線于H，由（2）得△BEF是等腰直角三角形，EF=BF，由SSS證得△ABF≌△AEF，得出∠EFA=∠BFA=∠BFE=45°，則△HDF是等腰直角三角形，得HF=DF，DH=DF，∵∠HDF=∠ADC=90°，由SAS證得△HDA≌△FDC，得CF=HA，即可得出AF+CF=DF；
②當(dāng)F在AB的下方時(shí)，作DH⊥DE，交FC延長(zhǎng)線于H，在DF上取點(diǎn)N，使CN=CD，連接BN，證明△BFN是等腰直角三角形，得BF=NF，由SSS證得△CNF≌△CBF，得∠NFC=∠BFC=∠BFD=45°，則△DFH是等腰直角三角形，得FH=DF，DF=DH，由SAS證得△ADF≌△CDH，得出CH=AF，即可得出AF+CF=DF；
③當(dāng)F在DC的上方時(shí)，連接BE，作HD⊥DF，交AF于H，由（2）得△BEF是等腰直角三角形，EF=BF，由SSS證得△ABF≌△AEF，得∠EFA=∠BFA=∠BFE=45°，則△HDF是等腰直角三角形，得出HF=DF，DH=DF，由SAS證得△ADC≌△HDF，得出AH=CF，即可得出AF-CF=DF；
④當(dāng)F在AD左側(cè)時(shí)，作HD⊥DF交AF的延長(zhǎng)線于H，連接BE，設(shè)AD交BF于P，證明△BFE是等腰直角三角形，得EF=BF，由SSS證得△ABF≌△AEF，得∠EFA=∠BFA=∠BFE=45°，則∠DFH=∠EFA=45°，△HDF是等腰直角三角形，得DH=DF，HF=DF，由SAS證得△HDA≌△FDC，得出AF=CF，即可得出CF-AF=DF．
【解析】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠BCD=90°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴DB=CB，
當(dāng)點(diǎn)E、F與點(diǎn)B重合時(shí)，則DE=CF，
故答案為：DE=CF；
（2）在情況1或情況2下，線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系與（1）中結(jié)論相同；理由如下：
情況1：∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD=CB=AD=AB=AE，∠BCD=∠DAB=∠ABC=90°，
過(guò)點(diǎn)C作CG⊥CF，交DF于G，如圖②所示：
則∠BCD=∠GCF=90°，
∴∠DCG=∠BCF，
設(shè)BC交DF于P，
∵BF⊥DE，
∴∠BFD=∠BCD=90°，
∵∠DPC=∠FPB，
∴∠CDP=∠FBP，
在△CDG和△CBF中，
，
∴△CDG≌△CBF（ASA），
∴DG=FB，CG=CF，
∴△GCF是等腰直角三角形，
∴FG=CF，
連接BE，
設(shè)∠CDG=α，則∠CBF=α，∠ADE=90°-α，
∵AD=AE，
∴∠DEA=∠ADE=90°-α，
∴∠DAE=180°-2（90°-α）=2α，
∴∠EAB=90°-2α，
∵AB=AE，
∴∠BEA=∠ABE=（180°-∠EAB）=（180°-90°+2α）=45°+α，
∴∠CBE=90°-（45°+α）=45°-α，
∴∠FBE=∠CBE+∠CBF=45°-α+α=45°，
∵BF⊥DE，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF=BF，
∴EF=DG，
∴EF+EG=DG+EG，即DE=FG，
∴DE=CF；
情況2：過(guò)點(diǎn)C作CG⊥CF交DF延長(zhǎng)線于G，連接BE，設(shè)CD交BF于P，如圖③所示：
∵∠GCF=∠BCD=90°，
∴∠DCG=∠BCF，
∵∠FPD=∠BPC，
∴∠FDP=∠PBC，
在△CDG和△CBF中，
，
∴△CDG≌△CBF（ASA），
∴DG=FB，CG=CF，
∴△GCF是等腰直角三角形，
∴FG=CF，
設(shè)∠CDG=α，則∠CBF=α，
同理可知：∠DEA=∠ADE=90°-α，∠DAE=2α，
∴∠EAB=90°+2α，
∵AB=AE，
∴∠BEA=∠ABE=45°-α，
∴∠FEB=∠DEA-∠AEB=90°-α-（45°-α）=45°，
∵BF⊥DE，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF=BF，
∴EF=DG，
∴DE=FG，
∴DE=CF；
（3）①當(dāng)F在BC的右側(cè)時(shí)，作HD⊥DF交FA延長(zhǎng)線于H，如圖④所示：
由（2）得：△BEF是等腰直角三角形，EF=BF，
在△ABF和△AEF中，
，
∴△ABF≌△AEF（SSS），
∴∠EFA=∠BFA=∠BFE=45°，
∴△HDF是等腰直角三角形，
∴HF=DF，DH=DF，
∵∠HDF=∠ADC=90°，
∴∠HDA=∠FDC，
在△HDA和△FDC中，
，
∴△HDA≌△FDC（SAS），
∴CF=HA，
∴DF=HF=HA+AF=CF+AF，即AF+CF=DF；
②當(dāng)F在AB的下方時(shí)，作DH⊥DE，交FC延長(zhǎng)線于H，在DF上取點(diǎn)N，使CN=CD，連接BN，如圖⑤所示：
設(shè)∠DAE=α，則∠CDN=∠CND=90°-α，
∴∠DCN=2α，
∴∠NCB=90°-2α，
∵CN=CD=CB，
∴∠CNB=∠CBN=（180°-∠NCB）=（180°-90°+2α）=45°+α，
∵∠CNE=180°-∠CND=180°-（90°-α）=90°+α，
∴∠FNB=90°+α-（45°+α）=45°，
∴△BFN是等腰直角三角形，
∴BF=NF，
在△CNF和△CBF中，
，
∴△CNF≌△CBF（SSS），
∴∠NFC=∠BFC=∠BFD=45°，
∴△DFH是等腰直角三角形，
∴FH=DF，DF=DH，
∵∠ADC=∠HDE=90°，
∴∠ADF=∠CDH，
在△ADF和△CDH中，
，
∴△ADF≌△CDH（SAS），
∴CH=AF，
∴FH=CH+CF=AF+CF，
∴AF+CF=DF；
③當(dāng)F在DC的上方時(shí)，連接BE，作HD⊥DF，交AF于H，如圖⑥所示：
由（2）得：△BEF是等腰直角三角形，EF=BF，
在△ABF和△AEF中，
，
∴△ABF≌△AEF（SSS），
∴∠EFA=∠BFA=∠BFE=45°，
∴△HDF是等腰直角三角形，
∴HF=DF，DH=DF，
∵∠ADC=∠HDF=90°，
∴∠ADH=∠CDF，
在△ADC和△HDF中，
，
∴△ADC≌△HDF（SAS），
∴AH=CF，
∴HF=AF-AH=AF-CF，
∴AF-CF=DF；
④當(dāng)F在AD左側(cè)時(shí)，作HD⊥DF交AF的延長(zhǎng)線于H，連接BE，設(shè)AD交BF于P，如圖⑦所示：
∵AB=AE=AD，
∴∠AED=∠ADE，
∵∠PFD=∠PAB=90°，∠FPD=∠BPA，
∴∠ABP=∠FDP，
∴∠FEA=∠FBA，
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴∠FEB=∠FBE，
∴△BFE是等腰直角三角形，
∴EF=BF，
在△ABF和△AEF中，
，
∴△ABF≌△AEF（SSS），
∴∠EFA=∠BFA=∠BFE=45°，
∴∠DFH=∠EFA=45°，
∴△HDF是等腰直角三角形，
∴DH=DF，HF=DF，
∵∠HDF=∠CDA=90°，
∴∠HDA=∠FDC，
在△HDA和△FDC中，
，
∴△HDA≌△FDC（SAS），
∴AF=CF，
∴AH-AF=CF-AF=HF，
∴CF-AF=DF，
綜上所述，線段AF、CF、DF三者之間的數(shù)量關(guān)系：AF+CF=DF或|AF-CF|=DF，
故答案為：AF+CF=DF或|AF-CF|=DF．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
19．如圖1，，、、為鉛直方向的邊，、、為水平方向的邊，點(diǎn)在、之間，且在、之間，我們稱(chēng)這樣的圖形為“圖形”，若一條直線將該圖形的面積分為面積相等的兩部分，則稱(chēng)此直線為該“圖形”的等積線．
(1)下列四副圖中，直線是該“圖形”等積線的是_________(填寫(xiě)序號(hào))
(2)如圖2，直線是該“圖形”的等積線，與邊、分別交于點(diǎn)、，過(guò)中點(diǎn)的直線分別交邊、于點(diǎn)、，則直線 (填“是”或“不是”)該圖形的等積線．
(3)在圖3所示的“圖形”中，，，．
①若，在下圖中畫(huà)出與平行的等積線l(在圖中標(biāo)明數(shù)據(jù))
②在①的條件下，該圖形的等積線與水平的兩條邊、分別交于、，求的最大值；
③如果存在與水平方向的兩條邊、相交的等積線，則的取值范圍為 ．
【答案】(1)①②③
(2)是
(3)①1；②；③
【分析】（1）如圖，根據(jù)題意把原本圖形分成左右兩個(gè)矩形，這兩個(gè)矩形的對(duì)稱(chēng)中心所在直線是該圖形的面積平分線，由此可直接進(jìn)行判斷；
（2）如圖2，證明，根據(jù)割補(bǔ)法可得直線是圖形的面積平分線；
（3）①如圖4，先計(jì)算圖形的面積，可得出矩形的面積，由此可得出的長(zhǎng)；
②如圖5，根據(jù)面積平分線可知梯形的面積為，根據(jù)面積公式列式可得的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可得的最大值；
③如圖6，直線將圖形分成上下兩個(gè)矩形，當(dāng)上矩形面積小于下矩形面積時(shí)，列不等式可得的取值．
【解析】（1）解：根據(jù)題意把原本圖形分成左右兩個(gè)矩形，這兩個(gè)矩形的對(duì)稱(chēng)中心所在直線是該圖形的面積平分線，
∴直線是該“圖形”等積線的是①②③；
故答案為：①②③；
（2）如圖2，
，
，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
在和中，
，
，
，
，
，
即，
，
即，
直線是圖形的等積線．
故答案為：是；
（3）①圖形的面積，
延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
，
若是圖形的面積平分線，且，點(diǎn)必然在線段上，如圖所示，
矩形的面積，
，
②如圖，當(dāng)與重合時(shí)，最大，過(guò)點(diǎn)作于，
是圖形的面積平分線，
梯形的面積，
即，
，
，
，
由勾股定理得：；
即的最大值是；
③在與水平方向的兩條邊、相交的等積線，
如圖，直線將圖形分成上下兩個(gè)矩形，當(dāng)上矩形面積小于下矩形面積時(shí)，延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于，
則，
即，
，
，
故答案為： ．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，四邊形面積的平分，三角形全等的性質(zhì)和判定等知識(shí)，并明確面積平分線的畫(huà)法，并熟練掌握矩形面積平分線是過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20．【定義】只有一組對(duì)角是直角的四邊形叫做損矩形，連接它的兩個(gè)非直角頂點(diǎn)的線段叫做這個(gè)損矩形的直徑．如圖1，，四邊形ABCD是損矩形，則該損矩形的直徑是線段AC．同時(shí)我們還發(fā)現(xiàn)損矩形中有公共邊的兩個(gè)三角形角的特點(diǎn)：在公共邊同側(cè)的兩個(gè)角是相等的．如圖1中：△ABC和△ABD有公共邊AB，在AB同側(cè)有?ADB和?ACB，此時(shí)；再比如△ABC和△BCD有公共邊BC，在BC同側(cè)有?BAC和?BDC，此時(shí)．
(1)【理解】
如圖1，______；
(2)下列圖形中一定是損矩形的是______（填序號(hào)）；
(3)【應(yīng)用】如圖2，四邊形ABCD是以AC為直徑的損矩形，以AC為一邊向外作菱形ACEF，點(diǎn)D為菱形ACEF對(duì)角線的交點(diǎn)，連接BD，當(dāng)BD平分?ABC時(shí)，判斷四邊形ACEF為何種特殊的四邊形？并說(shuō)明理由；
(4)如圖3，四邊形ABCD是以AC為直徑的損矩形，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，OG⊥BD于點(diǎn)G，若，則等于多少？
【答案】(1)∠ACD
(2)③
(3)正方形，理由見(jiàn)解析
(4)16
【分析】（1）在AD的同側(cè)的∠ABD=∠ACD；
（2）只有③是只有一組對(duì)角是直角的四邊形；
（3）可得∠ADC=∠ABD=45°，進(jìn)而求得∠ACE=90°，從而推得結(jié)果；
（4）可推出OB=OD，進(jìn)而推出△BOG是直角三角形，進(jìn)一步求得結(jié)果．
【解析】（1）在AD的同側(cè)的∠ABD=∠ACD，
故答案為：∠ACD；
（2）只有③是只有一組對(duì)角是直角的四邊形，
故答案為：③；
（3）四邊形ACEF是正方形，理由如下：
∵四邊形ABCD是以AC為直徑的損矩形，
∴∠ABC=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC＝45°，
∴∠ADC=∠ABD=45°，
∵四邊形ACEF是菱形，
∴∠ECF=∠ACD=45°，
∴∠ACE=90°，
∴四邊形ACEF是正方形；
（4）∵四邊形ABCD是以AC為直徑的損矩形，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，
∴OB=AC，
∵中是的中點(diǎn)，
∴OD=AC，
∴OB=OD=BD，
∵點(diǎn)G是BD的中點(diǎn)，
∴OG⊥BD，
∴∠BOG=90°，
在中，
∴，
即，
∴，
故答案是為：16．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形性質(zhì)，等腰三角形，勾股定理，菱形的性質(zhì)，正方形判定等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是充分利用定義給出的結(jié)論．
21．問(wèn)題初探
（1）如圖，點(diǎn)，分別在正方形的邊，上，，試判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系．
聰明的小明是這樣做的：把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，使得與重合，由，得，即點(diǎn)、、共線，易證≌______故EF、、之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____．
類(lèi)比探究
（2）如圖，點(diǎn)、分別在正方形的邊、的延長(zhǎng)線上，，連接，請(qǐng)根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)給你的啟示寫(xiě)出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
聯(lián)想拓展
（3）如圖，在中，，點(diǎn)、均在邊上，且，若，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）；；（2），理由見(jiàn)解析；（3）
【分析】把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，使得與重合，證明≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，得到答案；
在上截取，連接，證明≌，得到，，再證明≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；
把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，根據(jù)的結(jié)論得出，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解析】（1）解：把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，使得與重合，
則，，，
，即點(diǎn)、、在同一條直線上，
，，
，
，
在和中，
，
≌，

，
故答案為：；；
，
理由如下：在上截取，連接，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
（3）如圖，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，
，，，，
，，
，，
，，
由可知，≌，
，
設(shè)，則，
在中，，即，
解得：，即．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，正方形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
22．【概念理解】若一條直線把一個(gè)圖形分成面積相等的兩個(gè)圖形，則稱(chēng)這樣的直線叫做這個(gè)圖形的等積直線．如圖1，直線經(jīng)過(guò)三角形的頂點(diǎn)和邊的中點(diǎn)，易知直線將分成兩個(gè)面積相等的圖形，則稱(chēng)直線為的等積直線．
(1)如圖2，矩形對(duì)角線，相交于點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，分別交，于點(diǎn)，．
①求證：．
②請(qǐng)你判斷直線是否為該矩形的等積直線．______．（填“是”或“不是”）
(2)【問(wèn)題探究】如圖3是一個(gè)缺角矩形，其中，小華同學(xué)給出了該圖形等積直線的一個(gè)作圖方案：將這個(gè)圖形分成矩形、矩形，這兩個(gè)矩形的對(duì)稱(chēng)中心，所在直線是該缺角矩形的等積直線．
如圖4，直線是該圖形的一條等積直線，它與邊，分別交于點(diǎn)，，過(guò)的中點(diǎn)的直線分別交邊，于點(diǎn)，，直線______（填“是”或“不是”）缺角矩形的等積直線．
(3)【實(shí)際應(yīng)用】若缺角矩形是老張家的一塊田地如圖5．為水井，現(xiàn)要把這塊田地平均分給兩個(gè)兒子，為了灌溉方便，便想使每個(gè)兒子分得的土地都有一邊和水井相鄰，試問(wèn)該如何分割這塊土地？畫(huà)出圖形，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)①證明見(jiàn)解析；②是
(2)是
(3)沿直線分割這塊土地即可滿(mǎn)足題意，作圖見(jiàn)解析
【分析】（1）①根據(jù)矩形性質(zhì)，得到，利用平行線性質(zhì)和對(duì)頂角相等得到，，判定，得到；②根據(jù)，，，結(jié)合梯形面積公式即可得到將矩形分成兩個(gè)面積相等的梯形，得到結(jié)論；
（2）根據(jù)題意，MO＝NO，結(jié)合平行線性質(zhì)得到∠PMO＝∠QNO，判定△POM≌△QON（ASA），得到，再根據(jù)MN是等積直線，分缺角矩形的兩部分面積相等，進(jìn)而得到直線PQ是等積直線；
（3）由（1）（2）的方法可知，如圖所示，找到缺角矩形的等積直線，取的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與相交的直線均為缺角矩形的等積直線，過(guò)的直線即可將土地分成滿(mǎn)足題意的情況．
【解析】（1）①證明：矩形對(duì)角線，相交于點(diǎn)，
，
，
在和中，
，
，
；
②由①知，
在矩形中，，
，，
，即直線為矩形的等積直線，
故答案為：是；
（2）解：是MN的中點(diǎn)，
∴MO＝NO，
在缺角矩形ABCDEF中，AFBC，
∴∠PMO＝∠QNO，
在△POM和△QON中，

∴△POM≌△QON（ASA），
∴，
又∵M(jìn)N是等積直線，分缺角矩形的兩部分面積相等，
∴PQ也分缺角矩形的兩部分面積相等，即直線PQ是等積直線，
故答案為：是；
（3）解：由（1）（2）的方法可知，找到缺角矩形的等積直線，取的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與相交的直線均為缺角矩形的等積直線，如圖所示：
連接并延長(zhǎng)，直線過(guò)點(diǎn)且與相交，為缺角矩形等積直線，
如上圖所示，沿直線分割這塊土地即可滿(mǎn)足題意．
【點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，讀懂題意，明確等積直線的畫(huà)法，熟練掌握三角形的中線，矩形的性質(zhì)，梯形的面積的求解是解題的關(guān)鍵．
23．小波在復(fù)習(xí)時(shí)，遇到一個(gè)課本上的問(wèn)題，溫故后進(jìn)行了操作、推理與拓展．
(1)溫故：如圖1，在中，于點(diǎn)D，正方形PQMN的邊QM在BC上，頂點(diǎn)P，N分別在AB，AC上，且．若，，則正方形PQMN的邊長(zhǎng)等于______．
(2)操作：能畫(huà)出這類(lèi)正方形嗎？小波按數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中的方法進(jìn)行操作：如圖2，任意畫(huà)，在AB上任取一點(diǎn)，畫(huà)正方形，使，在BC邊上，在內(nèi)，連結(jié)并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)N，畫(huà)于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)P，于點(diǎn)Q，得到四邊形PQMN．
(3)推理：如圖3，若點(diǎn)E是BN的中點(diǎn)，求證：．
(4)拓展：在（2）的條件下，射線BN上截取，連結(jié)EQ，EM（如圖4）．當(dāng)時(shí)，猜想的度數(shù)，并嘗試證明．
請(qǐng)幫助小波解決“溫故”、“推理”、“拓展”中的問(wèn)題．
【答案】(1)
(2)能畫(huà)出這樣的正方形，理由見(jiàn)解析
(3)見(jiàn)解析
(4)∠QEM=75°，證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得PN=MN，將，代入求解即可；
（2）先證明四邊形PQMN是矩形，再證明PN=MN即可；
（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，結(jié)合ASA證明△PNE和△EMQ全等，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證的結(jié)論；
（4）先證明△EMN為等邊三角形，得到∠EMN=90°，則∠EMQ=30°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出答案．
【解析】（1）解：∵四邊形PQMN是正方形，
∴PN=MN，
∵，，，
∴，
解得：，
故答案為：；
（2）解：能畫(huà)出這樣的正方形，理由為：
∵于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)P，于點(diǎn)Q，
∴∠NMQ=∠PNM=∠PQM=90°，
∴四邊形PQMN是矩形，
∵四邊形是正方形，
∴
∴△BN′M′∽△BNM，△BN′P′∽△BNP，
∴，，
∴，
∵P′N(xiāo)′= M′N(xiāo)′，
∴PN=MN，
∴四邊形PQMN為正方形；
（3）解：連接ME，
∵點(diǎn)E為BN的中點(diǎn)，∠NMB=90°，
∴ME=BE=NE，
∴∠EBM=∠EMQ，
∵，
∴∠EBM=∠PNE，
∴∠PNE=∠EMQ，
在△PNE和△EMQ中，
，
∴△PNE≌△EMQ（SAS），
∴EP=EQ；
（4）解：∠QEM=75°，證明如下：
由（2）知，四邊形PQMN是正方形，則∠NMB=90°，NM=MQ，
∵∠NMB=90°，∠NBM=30°，
∴∠MNB=90°－30°=60°，
∵NE=NM，
∴△EMN為等邊三角形，
∴ME=NM，∠EMN=60°，
∴ME=MQ，∠EMQ=30°，
∴∠QEM=（180°－30°）=75°．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定與性質(zhì)、矩形的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，有一定的難度，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．
24．問(wèn)題探究
將幾何圖形按照某種法則或規(guī)則變換成另一種幾何圖形的過(guò)程叫做幾何變換．旋轉(zhuǎn)變換是幾何變換的一種基本模型．經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)，往往能使圖形的幾何性質(zhì)清晰顯現(xiàn)．題設(shè)和結(jié)論中的元素由分散變?yōu)榧校嗷ブg的關(guān)系清楚明了，從而將求解問(wèn)題靈活轉(zhuǎn)化．
【問(wèn)題提出】如圖1，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA=5，PB=12，PC=13．你能求出∠APB的度數(shù)嗎？
【問(wèn)題解決】如圖2，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BP′A，連接PP′，可得△BPP′是等邊三角形，根據(jù)勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形，從而使問(wèn)題得到解決．
(1)結(jié)合上述思路完成填空：PP′=________，∠APP′=________，∠APB=________；
(2)【類(lèi)比探究】如圖3，若點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PC=1，PB=2，PA=3，則∠CPB=________；
(3)如圖4，若點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，且PA=13，，PC=3，則∠CPB=_____；
(4)【深入探究】如圖5，若在正六邊形ABCDEF內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=5，，PC=3，則∠CPB=________；
(5)如圖6，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=12，AC=5，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，則PA+PB+PC的最小值是_______．
【答案】(1)12，90，150
(2)135
(3)45
(4)120
(5)13
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BP=BP'=12，PC=P'A=13，∠PBP'=60°，可證△BPP'是等邊三角形，可得BP=PP'=12，∠BPP'=60°，由勾股定理逆定理可得∠APP'=90°，進(jìn)而可求∠APB=150°；
（2）將△ABP繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，使AB與BC重合；則∠PBP′=90°，BP′=BP=2，P′C=PA=3，根據(jù)勾股定理得PP′2=22+22=8，再由P′C2=32=9，PC2=12=1可知P′C2=PP′2+PC2，可求∠P'PC=90°，即可求∠CPB=135°；
（3）將△BPA繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BP′C，連接PP′，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠PBP'=90°，BP'=BP，AP=CP′=13，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BPP'=45°，PP'2=BP2+BP′2=+=25，由勾股定理的逆定理可求∠CPP'=90°，即可得∠CPB=∠CPP'-∠BPP'=90°-45°=45°；
（4）把△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到了△BP′A，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠P′BP=120°，BP′=BP=，P′A=PC=3，∠BP′A=∠BPC，則∠BP′P=∠BPP′=30°，得到P′H=PH，利用含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到BH=BP′=，P′H=BH=2，得到P′P=2P′H=4，再利用勾股定理的逆定理可得到△APP′為直角三角形，且∠AP′P=90°，于是有∠BPC=∠BP′A=30°+90°=120°，問(wèn)題得解；
（5）將△ACP繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADE，連接EP，BD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠CAP=∠DAE，AD=AC=5，∠CAD=∠PAE=60°，AE=PA，CP=DE，可證△APE是等邊三角形，可得EP=AP，則AP+BP+PC=PB+EP+DE，當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)E，點(diǎn)P，點(diǎn)B共線時(shí)，PA+PB+PC有最小值BD，由勾股定理可求解．
（1）
解：如圖2，
∵將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BP′A，
∴BP=BP'=12，PC=P'A=13，∠PBP'=60°，
∴△BPP'是等邊三角形，
∴BP=PP'=12，∠BPP'=60°，
∵P'A2=169，AP2+P'P2=25+144=169，
∴P'A2=AP2+P'P2，
∴∠APP'=90°，
∴∠APB=150°，
故答案為：12，90，150；
（2）
解：將△ABP繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，使AB與BC重合，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BP于H，連接PP′，
則∠PBP′=90°，BP′=BP=2，P′C=PA=3；
由勾股定理得：PP′2=22+22=8；
∵PC2=12=1，P′C2=32=9，
∴P′C2=PP′2+PC2，
∴∠P′PC=90°，
又∵∠BPP′=45°，
∴∠BP′C=135°，
∴∠CPB=∠BPP′+∠P′PC=135°，
故答案為：135；
（3）
解：將△BPA繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BP′C，連接PP′，
∴△ABP≌△CBP′，
∴∠PBP'=90°，BP'=BP，AP=CP′=13，
在Rt△PBP'中，BP=BP'，
∴∠BPP'=45°，
根據(jù)勾股定理得，PP'2=BP2+BP′2=+=25，
∵CP=12，
∴CP2+PP'2=144+25=169，
∵CP'2=132=169，
∴CP2+PP'2=CP'2，
∴△CPP'是直角三角形，且∠CPP'=90°，
∴∠CPB=∠CPP'-∠BPP'=90°-45°=45°，
故答案為：45；
（4）
解：如圖5．
∵六邊形ABCDEF為正六邊形，
∴∠ABC=120°，
把△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到了△BP′A，
∴∠P′BP=120°，BP′=BP=，P′A=PC=3，∠BP′A=∠BPC，
∴∠BP′P=∠BPP′=30°，
過(guò)B作BH⊥PP′于H，
∵BP′=BP，
∴P′H=PH，
在Rt△BP′H中，∠BP′H=30°，BP′=，
∴BH=BP′=，P′H=BH=2，
∴P′P=2P′H=4，
在△APP′中，AP=5，PP′=4，AP′=3，
∵52=42+32，
∴AP2=PP′2+AP′2，
∴△APP′為直角三角形，且∠AP′P=90°，
∴∠BP′A=30°+90°=120°，
∴∠CPB=120°．
故答案為：120；
（5）
解：將△ACP繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADE，連接EP，BD，
∴△ACP≌△ADE，
∴∠CAP=∠DAE，AD=AC=5，∠CAD=∠PAE=60°，AE=PA，CP=DE，
∴△APE是等邊三角形，
∴EP=AP，
∴AP+BP+PC=PB+EP+DE，
∴當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)E，點(diǎn)P，點(diǎn)B共線時(shí)，PA+PB+PC有最小值BD，
∵∠BAC=30°，
∴∠DBC=∠BAC+∠DAC=90°，
∴BD= =13，
故答案為：13．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理與逆定理以及含30°的直角三角形三邊的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
25．【探究與應(yīng)用】
我們把平行四邊形沿著它的一條對(duì)角線翻折，會(huì)發(fā)現(xiàn)有很多結(jié)論．例如：在平行四邊形中，，將沿直線翻折至，連接，則．
(1)如圖1，若與相交于點(diǎn)O，證明以上這個(gè)結(jié)論；
小明同學(xué)提出如下解題思路，請(qǐng)補(bǔ)全：
【思路分析】
由折疊的性質(zhì)得，；由平行四邊形的性質(zhì)得______，．由上面的分析可證得，______，這樣就可以得到，則______，再由等腰三角形的性質(zhì)得，證出，即可得出結(jié)論；
(2)如圖2，與相交于點(diǎn)O，若，，，則的面積為_(kāi)_____；
(3)如果，，
①當(dāng)是直角三角形時(shí)，請(qǐng)畫(huà)圖并直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．
②設(shè)的長(zhǎng)度為x，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出x的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)①圖見(jiàn)解析，或或或；②或
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，補(bǔ)全分析即可．
（2）易得四邊形為矩形，設(shè)，在中，利用勾股定理，求出的值，根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行求解即可；
（3）①分（兩種情況），，，四種情況討論求解即可；②分，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．
【解析】（1）解：∵折疊，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，．
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案為：；
（2）∵平行四邊形中，，
∴四邊形是矩形，
∴，，，
由（1）得：，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得：
解得：，
∴，
；
（3）①如圖，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴是的中點(diǎn)，
∴；
如圖，當(dāng)時(shí)，
∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴四邊形為矩形，
∴，
∵，
∴在同一直線上，
∴，
∵中，，
∴，
∴；
當(dāng)時(shí)，如圖：
在平行四邊形中，，
∴，
由(1)知，
∴，
∵，
設(shè)則：，
∴，
∴；
∴；
當(dāng)時(shí)，如圖：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
綜上所述，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為或或或；
②當(dāng)時(shí)，由①可知，當(dāng)時(shí)，，
由圖可知：時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，由①可知：當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為，，
由圖可知：當(dāng)時(shí)，；
綜上：當(dāng)或時(shí)，．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形中的折疊問(wèn)題．同時(shí)考查了矩形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形，勾股定理．熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論的思想，進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．
26．實(shí)踐操作：在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，現(xiàn)將紙片折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)P，折痕為EF（點(diǎn)E、F是折痕與矩形的邊的交點(diǎn)），再將紙片還原．
(1)初步思考：若點(diǎn)P落在矩形ABCD的邊AB上（如圖①）
①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，∠DEF＝____°；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，∠DEF＝____°；
②當(dāng)點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在DC上時(shí)（如圖②），求證：四邊形DEPF為菱形，并直接寫(xiě)出當(dāng)AP＝7時(shí)的菱形EPFD的邊長(zhǎng)．
(2)深入探究：若點(diǎn)P落在矩形ABCD的內(nèi)部（如圖③），且點(diǎn)E、F分別在AD、DC邊上，請(qǐng)直接寫(xiě)出AP的最小值____．
(3)拓展延伸：如圖④ ，若點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，點(diǎn)E在AD上，線段BA與線段FP交于點(diǎn)M，AM=DE，則線段AE的長(zhǎng)度為_(kāi)________．
【答案】(1)①90，45②證明見(jiàn)解析，
(2)2
(3)
【分析】（1）①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，作出圖形即可得出答案；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，由折疊的性質(zhì)可知EF平分，易得∠DEF的度數(shù)；②設(shè)DP、EF交于點(diǎn)O，證明，可得，根據(jù)“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形”即可證明四邊形DEPF為平行四邊形，然后根據(jù)“對(duì)角線相互垂直”可得DEPF為菱形；當(dāng)時(shí)，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x，在中，由勾股定理可知，即有，求出x的值即可確定菱形的邊長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，點(diǎn)P在對(duì)角線AC上時(shí)，AP有最小值，根據(jù)折疊可知，由勾股定理可求得，所以，即AP的最小值為2；
（3）連接EM，先證明，可知，然后設(shè)，則，，，在中，由勾股定理可知，即，求出x的值即可獲得答案．
（1）
解：①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，如下圖，
則，，即EF是矩形ABCD的對(duì)稱(chēng)軸，
故；
當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)P在邊AB上，
則．
故答案為：90，45；
②當(dāng)點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在DC上時(shí)，由折疊性質(zhì)可知，EF垂直平分DP，
設(shè)DP、EF交于點(diǎn)O，如下圖，
∴，，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形DEPF為平行四邊形，
∵，
∴DEPF為菱形；
當(dāng)時(shí)，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x，則
，，
在中，
由勾股定理可知，
即有，
解得，
∴當(dāng)時(shí)，菱形的邊長(zhǎng)為；
（2）
若點(diǎn)P落在矩形ABCD的內(nèi)部，且點(diǎn)E、F分別在AD、DC邊上，如下圖，
當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，點(diǎn)P在對(duì)角線AC上時(shí)，AP有最小值，
由折疊可知，，
由勾股定理可知，，
∴，
即AP的最小值為2；
（3）
如下圖，連接EM，
∵，
又∵，
∴，
∴，
設(shè)，
則，，
∵，，
∴，
在中，
，
即，
解得，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)以及運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想分析問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．

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浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)期中期末挑戰(zhàn)滿(mǎn)分沖刺卷特訓(xùn)02第4章平行四邊形壓軸題(浙江精選歸納)(原卷版+解析)：

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