1．下列關(guān)于x的方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列二次根式是最簡二次根式的是( )
A．B．C．D．
3．下列各式計算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
4．張老師對甲、乙兩人最近三次數(shù)學(xué)成績進行統(tǒng)計，兩人平均成績均為90分，方差，，則甲乙二人的成績誰更穩(wěn)定？（ ）
A．甲同學(xué)的成績更穩(wěn)定B．乙同學(xué)的成績更穩(wěn)定C．甲、乙兩位同學(xué)的成績一樣穩(wěn)定D．不能確定
5．如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，則不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（ ）
A．∠ABD=∠BDC，OA=OCB．∠ABC=∠ADC，AD∥BC
C．∠ABC=∠ADC，AB=CDD．∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠DCB
6．“紅色小講解員”演講比賽中，7位評委分別給出某位選手的原始評分．評定該選手成績時，從7個原始評分中去掉一個最高分、一個最低分，得到5個有效評分．5個有效評分與7個原始評分相比，這兩組數(shù)據(jù)一定不變的是（ ）．
A．中位數(shù)B．眾數(shù)C．平均數(shù)D．方差
7．如圖，四邊形ABCD中，、、分別為、、的外角判斷下列大小關(guān)系何者正確？（ ）
A．B．
C．D．
8．某配件廠一月份生產(chǎn)配件60萬個，已知第一季度共生產(chǎn)配件218萬個，若設(shè)該廠平均每月生產(chǎn)配件的增長率為x，可以列出方程為（ ）
A．60（1+x）2＝218B．60（1+3x）＝218
C．60[1+（1+x）+（1+x）2]＝218D．218（1﹣x）2＝60
9．下列關(guān)于一元二次方程的命題中，真命題有（ ）
①若，則；②若方程兩根為1和2，則；③若方程有兩個不相等的實根，則方程必有實根．
A．①②③B．①②C．②③D．①③
10．如圖，在中，，．點C關(guān)于的對稱點為E，連接交于點F，點G為的中點，連接，，則＝（ ）
A．B．C．16D．32
二、填空題
11．若五個正整數(shù)的中位數(shù)是3，唯一的眾數(shù)是7，則這五個數(shù)的平均數(shù)是___．
12．在平行四邊形ABCD中，，則平行四邊形ABCD的面積等于_____．
13．已知，那么的值是_____．
14．已知為實數(shù)，那么______．
15．若是方程的兩個根，已知，則_________．
16．如圖，，點C，D在射線上，且，P是射線上的動點，Q是線段的中點，則線段長的最小值為________．
三、解答題
17．計算：
（1）；
（2）．
18．解方程：
（1）
（2）
19．已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)若方程有實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若方程兩實數(shù)根分別為和，且滿足，求實數(shù)的值．
20．如圖，的對角線，交于點，點，分別是，的中點．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若，，，求四邊形的周長．
21．某商店1～6周銷售甲、乙兩種品牌冰箱的數(shù)量如表（表Ⅰ）所示（單位：臺）：
現(xiàn)根據(jù)表Ⅰ數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計得到表Ⅱ：
（1）則表中_______，________，__________．
（2）老師計算了乙品牌冰箱銷量的方差：（臺）．請你計算甲品牌冰箱銷量的方差，根據(jù)計算結(jié)果，哪種品牌的冰箱在六周內(nèi)銷售更穩(wěn)定？
22．如圖，已知在中，對角線，相交于點O．
(1)如圖1，E是的中點，連接，若，，求的周長；（用含m，n的式子表示）
(2)如圖2，若，當時，求的長．
23．請閱讀下列材料：
我們可以通過以下方法求代數(shù)式的最小值．
，
∵≥0，
∴當時，有最小值．
請根據(jù)上述方法，解答下列問題：
（1），則的值是______；
（2）求證：無論x取何值，代數(shù)式的值都是正數(shù)；
（3）若代數(shù)式的最小值為2，求k的值．
24．如圖，平行四邊形中，為邊上的一個動點不與、重合，過點作直線的垂線，垂足為與的延長線相交于點．
(1)若為中點，求證：．
(2)若，當點在線段上運動時，的長度是否改變，若不變，求；若改變，請說明理由
(3)在(2)的條件下，為直線上的一點，設(shè)，若、、、四點構(gòu)成平行四邊形，請用含x的代數(shù)式表示．
第1周
第2周
第3周
第4周
第5周
第6周
甲
9
10
10
9
12
10
乙
13
12
7
11
10
7
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
甲
a
10
b
乙
10
c
7
2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期期中模擬卷02
一、單選題
1．下列關(guān)于x的方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用一元二次方程定義進行解答即可．
【解析】解：A、當時，方程不是一元二次方程，不符合題意；
B、時一元二次方程，符合題意；
C、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合題意；
D、，含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，不符合題意；
故選B．
【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的定義，一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程，一般形式為：．
2．下列二次根式是最簡二次根式的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)最簡二次根式的概念逐一進行判斷即可.
【解析】A. ，故A選項不符合題意；
B. ，故B選項不符合題意；
C. ，故C選項不符合題意；
D. 是最簡二次根式，符合題意，
故選D.
【點睛】本題考查了最簡二次根式的識別，熟練掌握二次根式的化簡以及最簡二次根式的概念是解題的關(guān)鍵.
3．下列各式計算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)二次根式的加減運算對A、B進行判斷；根據(jù)二次根式的乘除法法則對C、D進行判斷．
【解析】解：A、，故選項的計算錯誤；
B、不能合并，故選項的計算錯誤；
C、，故選項的計算正確；
D、，故選項的計算錯誤；
故選C．
【點睛】本題考查了二次根式的計算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式．在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．
4．張老師對甲、乙兩人最近三次數(shù)學(xué)成績進行統(tǒng)計，兩人平均成績均為90分，方差，，則甲乙二人的成績誰更穩(wěn)定？（ ）
A．甲同學(xué)的成績更穩(wěn)定B．乙同學(xué)的成績更穩(wěn)定C．甲、乙兩位同學(xué)的成績一樣穩(wěn)定D．不能確定
【答案】A
【分析】利用方差越小越穩(wěn)定的性質(zhì)判斷即可．
【解析】∵＜，
∴甲同學(xué)的成績更穩(wěn)定，
故選A．
【點睛】本題考查了方差，熟練掌握方差的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，則不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（ ）
A．∠ABD=∠BDC，OA=OCB．∠ABC=∠ADC，AD∥BC
C．∠ABC=∠ADC，AB=CDD．∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠DCB
【答案】C
【分析】利用所給條件結(jié)合平行四邊形的判定方法進行分析即可．
【解析】解：∵∠ABD=∠BDC，OA=OC，
又∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴DO=BO，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故A選項不合題意；
∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ADC+∠BAD=180°，
∴AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故B選項不合題意；
∵∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠DCB，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD∥CB，
∵∠ABD=∠BDC，
∴AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故D選項不合題意；
C、∠ABC=∠ADC，AB=CD不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項符合題意；
故選：C．
【點睛】此題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
6．“紅色小講解員”演講比賽中，7位評委分別給出某位選手的原始評分．評定該選手成績時，從7個原始評分中去掉一個最高分、一個最低分，得到5個有效評分．5個有效評分與7個原始評分相比，這兩組數(shù)據(jù)一定不變的是（ ）．
A．中位數(shù)B．眾數(shù)C．平均數(shù)D．方差
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，由數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的定義，分析可得答案．
【解析】根據(jù)題意，從7個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到5個有效評分，
7個有效評分與5個原始評分相比，最中間的一個數(shù)不變，即中位數(shù)不變．
故選:A
【點睛】此題考查中位數(shù)的定義，解題關(guān)鍵在于掌握其定義．
7．如圖，四邊形ABCD中，、、分別為、、的外角判斷下列大小關(guān)系何者正確？（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)多邊形的外角和是及三角形的外角定理求解判斷即可．
【解析】解：如圖，連結(jié)BD，延長AD到E，
，，
，
故選項A正確，符合題意；B不正確，不符合題意；
多邊形的外角和是，
∴
∴
故選項C不正確，不符合題意；選項D不正確，不符合題意．
故選：A．
【點睛】此題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，熟記多邊形的外角和是是解題的基礎(chǔ)．
8．某配件廠一月份生產(chǎn)配件60萬個，已知第一季度共生產(chǎn)配件218萬個，若設(shè)該廠平均每月生產(chǎn)配件的增長率為x，可以列出方程為（ ）
A．60（1+x）2＝218B．60（1+3x）＝218
C．60[1+（1+x）+（1+x）2]＝218D．218（1﹣x）2＝60
【答案】C
【分析】等量關(guān)系為：一月份生產(chǎn)的零件個數(shù)二月份生產(chǎn)的零件個數(shù)三月份生產(chǎn)的零件個數(shù)萬個．
【解析】解：易得二月份生產(chǎn)的零件個數(shù)是在一月份的基礎(chǔ)上增加的，所以為，
同理可得三月份生產(chǎn)的零件個數(shù)為，
那么．
即：，
故選：C．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程的知識，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，注意3月份生產(chǎn)的零件個數(shù)是在2月份的基礎(chǔ)上增加的．
9．下列關(guān)于一元二次方程的命題中，真命題有（ ）
①若，則；②若方程兩根為1和2，則；③若方程有兩個不相等的實根，則方程必有實根．
A．①②③B．①②C．②③D．①③
【答案】A
【分析】把b=a+c代入判別式中得到△=（a-c）2≥0，則可對①進行判斷；利用根與系數(shù)的關(guān)系得到1×2=，則c=2a，于是可對②進行判斷；利用方程ax2+c=0有兩個不相等的實根得到ac＜0，則△b2-4ac＞0，于是可對③進行判斷．
【解析】解：a-b+c=0，則b=a+c，△=（a+c）2-4ac=（a-c）2≥0，所以①正確；
∵方程ax2+bx+c=0兩根為1和2，
∴1×2=，則c=2a，
∴2a-c=2a-2a=0，所以②正確；
∵方程ax2+c=0有兩個不相等的實根，
∴ac＜0，
∴△=b2-4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c=0必有兩個實根，所以③正確．
故選：A．
【點睛】本題考查了命題：命題寫成“如果…，那么…”的形式，這時，“如果”后面接的部分是題設(shè)，“那么”后面解的部分是結(jié)論．命題的“真”“假”是就命題的內(nèi)容而言．任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．
10．如圖，在中，，．點C關(guān)于的對稱點為E，連接交于點F，點G為的中點，連接，，則＝（ ）
A．B．C．16D．32
【答案】B
【分析】如圖，取中點，連接，連接交于，作交的延長線于．構(gòu)建計算即可
【解析】解：如圖，取中點，連接，連接交于，作交的延長線于．
，，，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，，
．
故選B．
【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、軸對稱圖形、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線沒工作直角三角形解決問題，屬于中考常考題型．
二、填空題
11．若五個正整數(shù)的中位數(shù)是3，唯一的眾數(shù)是7，則這五個數(shù)的平均數(shù)是___．
【答案】4
【分析】首先根據(jù)眾數(shù)與中位數(shù)的定義，得出這五個數(shù)據(jù)中的三個數(shù)，再根據(jù)一組數(shù)據(jù)由五個正整數(shù)組成，得出其它兩個數(shù)，最后由平均數(shù)的意義得出結(jié)果．
【解析】∵五個正整數(shù)的中位數(shù)是3，唯一的眾數(shù)是7，
∴知道的三個數(shù)是3，7，7；
∵一組數(shù)據(jù)由五個正整數(shù)組成，
∴另兩個為1，2；
∴這五個正整數(shù)的平均數(shù)是（1+2+3+7+7）÷5=4；
故答案為：4．
【點睛】本題考查了平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)的意義，掌握平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)的計算公式是解題的關(guān)鍵．
12．在平行四邊形ABCD中，，則平行四邊形ABCD的面積等于_____．
【答案】或
【分析】分情況討論作出圖形，通過解直角三角形得到平行四邊形的底和高的長度，根據(jù)平行四邊形的面積公式即可得到結(jié)論．
【解析】解：過作于，
在中，，，
，，
在中，，
，
如圖1，
，
平行四邊形的面積，
如圖2，
，
平行四邊形的面積，
如圖3，過作于，
在中，設(shè)，則，
，，
在中，，
，
，（不合題意舍去），
，
平行四邊形的面積，
如圖4，
當時，平行四邊形的面積，
故答案為：或．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行四邊形的面積公式的運用、30度角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出圖形是解題的關(guān)鍵．
13．已知，那么的值是_____．
【答案】4
【分析】將所給等式變形為，然后兩邊分別平方，利用完全平方公式即可求出答案．
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為4
【點睛】本題考查了二次根式的運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的運算以及完全平方公式.注意正確的變形可以使得運算簡便.
14．已知為實數(shù)，那么______．
【答案】0
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得到，再根據(jù)平方的非負性，得到，即可得到答案．
【解析】解：有意義，
，
，
，
，
，
故答案為：0．
【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，平方的非負性，解題關(guān)鍵是掌握二次根式有意義的條件：要使二次根式有意義，被開方數(shù)要大于等于0．
15．若是方程的兩個根，已知，則_________．
【答案】12
【分析】由一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系求得兩根之積與兩根之和，將變形為，再代入數(shù)值計算即可求解．
【解析】解：∵x1、x2是方程的兩個根，
∴x1+x2=b，x1x2=4，
∴==，
∴b=12，
故答案為：12．
【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系為：x1+x2=，x1?x2=．
16．如圖，，點C，D在射線上，且，P是射線上的動點，Q是線段的中點，則線段長的最小值為________．
【答案】
【分析】取OD的中點E，連接EQ，依據(jù)三角形中位線定理即可得到EQ∥OP，進而得出∠CEQ=∠AOB=60°，即點Q在過點E且平行于OB的直線上運動；再根據(jù)當∠CQE=90°時，CQ⊥EQ，可得CQ最短；最后根據(jù)CE的長即可得到CQ的長．
【解析】解：如圖所示，取OD的中點E，連接EQ，
又∵Q是DP的中點，
∴EQ是△DOP的中位線，
∴EQ∥OP，
∴∠CEQ=∠AOB=60°，即點Q在過點E且平行于OB的直線上運動，
如圖，當∠CQE=90°時，CQ⊥EQ，依據(jù)垂線段最短可知，此時CQ最短，
∵OC=4，CD=2，E是OD的中點，
∴CE=OC-OE=4-OD=4-3=1，
∴Rt△CEQ中，CQ==，
故答案為：．
【點睛】本題考查的是三角形中位線定理以及垂線段最短的運用，解題時注意：三角形的中位線平行于第三邊．取OD的中點E，構(gòu)造中位線EQ，得到點Q在過點E且平行于OB的直線上運動是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
17．計算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先把括號內(nèi)的數(shù)化簡成最簡二次根式，再根據(jù)二次根式加減法法則計算即可；
（2）先利用完全平方公式展開，再根據(jù)二次根式混合運算法則計算即可得答案．
【解析】（1）原式
．
（2）原式
．
【點睛】本題考查二次根式的運算，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．
18．解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）x1=-1，x2=-3；（2）x1=，x2=-4
【分析】（1）利用因式分解法求解即可．
（2）利用公式法求解即可．
【解析】解：（1），
∴，
解得：x1=-1，x2=-3．
（2），
∴a=2，b=7，c=-4，
∴，
∴x=，
解得：x1=，x2=-4．
【點睛】此題考查了解一元二次方程-因式分解法和公式法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．
19．已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)若方程有實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若方程兩實數(shù)根分別為和，且滿足，求實數(shù)的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式求解即可；
（2）根據(jù)考查韋達定理，完全平方公式的變形求解即可．
【解析】（1）解：∵有實數(shù)根，
∴，
即：，
∴．
（2）解：，，
當，則，
即，
，
解得：，，
∵，
∴不符合題意，舍去，
∴．
【點睛】本題考查一元二次方程的性質(zhì)，一元二次方程的根的判別式，韋達定理，能夠熟練運用根的判別式和韋達定理是解決本題的關(guān)鍵．
20．如圖，的對角線，交于點，點，分別是，的中點．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若，，，求四邊形的周長．
【答案】(1)見解析
(2)10
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，，，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到，根據(jù)平行四邊形的判定可證得結(jié)論；
（2）由勾股定理求得，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得到，進而可求得結(jié)論．
【解析】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，，，，
點，分別是，的中點，
，分別是和的中位線，
，
四邊形是平行四邊形；
（2）解： ，四邊形是平行四邊形,
是菱形，,
，，
，，
，
，
，,
四邊形的周長為．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定、菱形的性質(zhì)與判定、三角形中位線的性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)，勾股定理等知識，靈活運用相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵．
21．某商店1～6周銷售甲、乙兩種品牌冰箱的數(shù)量如表（表Ⅰ）所示（單位：臺）：
現(xiàn)根據(jù)表Ⅰ數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計得到表Ⅱ：
（1）則表中_______，________，__________．
（2）老師計算了乙品牌冰箱銷量的方差：（臺）．請你計算甲品牌冰箱銷量的方差，根據(jù)計算結(jié)果，哪種品牌的冰箱在六周內(nèi)銷售更穩(wěn)定？
【答案】（1）10，10，10.5；（2）甲品牌
【分析】（1）將兩種品牌冰箱銷售量重新排列，再根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的概念求解即可；
（2）先計算出甲品牌冰箱銷售數(shù)量的方差，再根據(jù)方差的意義求解即可．
【解析】解：（1）甲品牌銷售數(shù)量從小到大排列為：9、9、10、10、10、12，
所以甲品牌銷售數(shù)量的平均數(shù)為=10（臺），眾數(shù)為10臺，
乙品牌銷售數(shù)量從小到大排列為7、7、10、11、12、13，
所以乙品牌銷售數(shù)量的中位數(shù)為=10.5（臺），
∴a=10，b=10，c=10.5；
（2）∵甲品牌冰箱銷量的方差S2甲=，
S2乙=，
∴S2甲＜S2乙，
∴甲品牌冰箱的銷售量比較穩(wěn)定．
【點睛】此題主要考查了方差的含義和求法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越?。环粗?，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好，也考查平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的定義．
22．如圖，已知在中，對角線，相交于點O．
(1)如圖1，E是的中點，連接，若，，求的周長；（用含m，n的式子表示）
(2)如圖2，若，當時，求的長．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)四邊形是平行四邊形，可得，，從而得到，再由三角形中位線定理可得，即可求解；
（2）過點O作于點E，作點B關(guān)于的對稱點F，可得是等腰直角三角形，即， 根據(jù)勾股定理可得，再由點B關(guān)于的對稱點為點F，可得，，，從而得到∠OFB=2∠BAC，進而得到，可得到，即可求解．
（1）
解：∵ 四邊形是平行四邊形
∴，
∵
∴，
又∵ E是的中點
∴
∵
∴
∴的周長為
（2）
解：如圖，過點O作于點E，作點B關(guān)于的對稱點F
∵，點O為的中點
∴
∵，
∴是等腰直角三角形，即
設(shè)，由勾股定理得：
，解得，
∴，
∵點B關(guān)于的對稱點為點F
∴，，
∵，
∴∠OFB=2∠BAC，
∵∠OFB=∠BAC+∠AOF，
∴
∴
∴
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
23．請閱讀下列材料：
我們可以通過以下方法求代數(shù)式的最小值．
，
∵≥0，
∴當時，有最小值．
請根據(jù)上述方法，解答下列問題：
（1），則的值是______；
（2）求證：無論x取何值，代數(shù)式的值都是正數(shù)；
（3）若代數(shù)式的最小值為2，求k的值．
【答案】（1）-10；（2）見解析；（3）k=±2
【分析】（1）根據(jù)所作的變形確定出a、b的值即可得；
（2）根據(jù)材料中的方法進行變形后，利用平方數(shù)的特性即可得證；
（3）根據(jù)材料中的方法進行變形后即可進行確定．
【解析】（1），
所以a=2，b=-5，所以的值是-10，
故答案為-10；
（2）x2+2x+7=x2+2x+()2-()2+7=（x+）2+1，
∵（x+）2≥0，∴x2+2x+7最小值為1，
∴無論x取何值，x2+2x+7的值都是正數(shù)；
（3）2x2+kx+7=（x）2+2×x×k+（k）2-（k）2+7=（x+k）2-k2+7，
∵（x+k）2≥0，
∴（x+k）2-k2+7的最小值是-k2+7，
∴-k2+7=2，
∴k=±2．
24．如圖，平行四邊形中，為邊上的一個動點不與、重合，過點作直線的垂線，垂足為與的延長線相交于點．
(1)若為中點，求證：．
(2)若，當點在線段上運動時，的長度是否改變，若不變，求；若改變，請說明理由
(3)在(2)的條件下，為直線上的一點，設(shè)，若、、、四點構(gòu)成平行四邊形，請用含x的代數(shù)式表示．
【答案】(1)見解析
(2)F的長度不變，
(3)或
【分析】（1）證明即可解決問題．
（2）結(jié)論：的長度不變．．證明，再證明四邊形是平行四邊形，推出即可解決問題．
（3）分兩種情形：如圖中，當點在線段上時，作于．當點在的延長線上時，分別求解即可．
【解析】（1）證明：如圖1中，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，，
，
．
（2）解：結(jié)論：的長度不變．．
理由：如圖中，取的中點，連接，．
，，
是等邊三角形，
，
，，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
∴
∴．
（3）解：如圖中，當點在線段上時，作于．
在中，，，
，
，
當點在DA的延長線上時，同法可得
綜上所述，的長為或．
【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題．
第1周
第2周
第3周
第4周
第5周
第6周
甲
9
10
10
9
12
10
乙
13
12
7
11
10
7
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
甲
a
10
b
乙
10
c
7

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