一.線段垂直平分線的性質(zhì)
線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等。
∵PC⊥AB，AC=BC（已知）
∴PA=PB（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等。）
∵M(jìn)N垂直平分AB（已知）
∴PA=PB（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。）
例1已知：如圖，在ΔABC中，邊AB，BC的垂直平分線交于P。求證：PA=PB=PC
證明：∵M(jìn)N垂直平分AB∴PA=PB同理PB=PC∴PA=PB=PC
到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。
三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)。
到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。
∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上
二.線段垂直平分線的判定
任意畫(huà)一個(gè)三角形，用圓規(guī)和直尺作出它的三條邊的垂直平分線，你有什么發(fā)現(xiàn)？
用尺規(guī)作線段的垂直平分線
過(guò)直線上一點(diǎn)作已知直線a的垂線
例2：過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線a的垂線
角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。
∵AD是∠BAC的角平分線，PM⊥AB，PN⊥AC（已知）
已知：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P。 求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等。
證明：過(guò)點(diǎn)P作PD、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA，垂足為D、E、F∵BM是△ABC的角平分線，PD⊥AB，PE⊥BC（已知）∴PD=PE（角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點(diǎn)P到邊AB、BC、CA的距離相等
到三角形三條邊的距離相等。
三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)。
角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。
一、角平分線的性質(zhì)的逆用
∵PD=PE，PD⊥OA，PE⊥OB
∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上。
例1：三角形三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)
已知：∠A和∠B的角平分線交于點(diǎn)P
求證：點(diǎn)P在∠C的平分線上。
過(guò)點(diǎn)P作PD、PE、PF分別垂直于BC、AC、AB，垂足為D、E、F
∵BP是∠ABC的角平分線，
PD⊥BC，PF⊥AB（已知）
（角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等）
PD⊥BC，PE⊥AC（已知）
∴點(diǎn)P在∠C的平分線上
綜上：三角形三個(gè)內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)。
（角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上）
如圖，A、B、C三村欲合修一加油站，使它到道路AB、BC、AC的距離相等，如何找到這個(gè)位置？共有幾處？
觀察領(lǐng)悟作法，探索思考證明方法：
　　１．以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交OA于M，交OBN于。
　?。玻謩e以M，N為圓心．大于1/2MN的長(zhǎng)為半徑作?。畠苫≡凇螦OB的內(nèi)部交于C。
為什么OC是角平分線呢？
已知：OM=ON，MC=NC。求證：OC平分∠AOB。
證明：在△OMC和△ONC中， OM=ON， MC=NC， OC=OC，∴△OMC≌△ONC（SSS）∴∠MOC=∠NOC即：OC平分∠AOB
在V型公路（∠AOB）內(nèi)部，有兩個(gè)村莊C、D。你能選擇一個(gè)紡織廠的廠址P，使P到V型公路的距離相等，且使C、D兩村的工人上下班的路程一樣嗎？
3、等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱(chēng)“等邊對(duì)等角”）
2、等腰三角形的底邊上的高、底邊上的中線及頂角平分線重合。
1、等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形。等腰三角形的對(duì)稱(chēng)軸是底邊的垂直平分線
（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠____=∠____，___=___
（2）∵AB=AC，AD是中線，∴___⊥___，∠____=∠____
（3）∵AB=AC，AD是角平分線，∴___⊥___，___=___
BAD CAD
BAD CAD
等腰三角形三線合一性質(zhì)應(yīng)用的幾何語(yǔ)言，如圖所示，在△ABC中
等腰三角形的判定定理：1.有兩邊相等的三角形是等腰三角形2.有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等角對(duì)等邊”）
∵AB=AC（已知）∴△ABC是等腰三角形
∵∠B=∠C（已知）∴AB=AC（等角對(duì)等邊）
∴△ABC是等腰三角形
1、等腰三角形一個(gè)底角為70°，它的頂角為_(kāi)_____。
2、等腰三角形一個(gè)角為70°，它的另外兩個(gè)角為_(kāi)______________________。
3、等腰三角形一個(gè)角為110°，它的另外兩個(gè)角為_(kāi)__________。
①頂角度數(shù)+2×底角度數(shù)=180°
②0°＜頂角度數(shù)＜180°
③0°＜底角度數(shù)＜90°
結(jié)論：在等腰三角形中，
70°，40°或55°，55°
2、已知一個(gè)等腰三角形腰上的高與另一腰的夾角為45°，頂角的度數(shù)為多少度？
等腰三角形中一腰上的中線把三角形的周長(zhǎng)分為21cm和12cm兩部分，則腰長(zhǎng)為多少？
如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度數(shù)。
已知等邊三角形ABC和點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到△ABC三邊AB，AC，BC的距離分別是h1，h2，h3，△ABC的高為h，請(qǐng)你探索以下問(wèn)題：（1）若點(diǎn)P在一邊BC上（如圖①），此時(shí)h3=0，問(wèn)h1，h2與h之間有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由。（2）若點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部（如圖②），此時(shí)h1，h2，h3與h之間有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由。（3）若點(diǎn)P在△ABC外部（如圖③），此是h1，h2，h3與h之間有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由。
2.等邊三角形的內(nèi)角都相等，且等于60°
3.等邊三角形各邊上中線，高和所對(duì)角的平分線都三線合一。
4.等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有三條對(duì)稱(chēng)軸。
等邊三角形三種判定方法
三邊都相等的三角形是等邊三角形。
三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。
∵AB=BC=AC∴△ABC是等邊三角形
∵∠A=∠B=∠C∴△ABC是等邊三角形
∵∠A=600，AB=BC∴△ABC是等邊三角形
有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。
1、如果一個(gè)圖形沿某一條直線對(duì)折后，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)折后圖形上能夠重合的點(diǎn)叫對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。
2、如果把一個(gè)圖形沿某一條直線折疊后，能夠與另一個(gè)圖形完全重合，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱(chēng)。這條直線叫做它們的對(duì)稱(chēng)軸。折疊后兩個(gè)圖形上互相重合的點(diǎn)叫對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。
你能說(shuō)說(shuō)它們的區(qū)別與聯(lián)系嗎？
區(qū)別：軸對(duì)稱(chēng)圖形是指一個(gè)具有特殊形狀的圖形；兩個(gè)圖形關(guān)于某一條直線成軸對(duì)稱(chēng)是指兩個(gè)圖形的特殊形狀和位置關(guān)系。
聯(lián)系：①都有一條直線，都沿直線折疊重合；②若把軸對(duì)稱(chēng)圖形沿對(duì)稱(chēng)軸分成兩部分，則這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱(chēng)；若把兩個(gè)關(guān)于某直線成軸對(duì)稱(chēng)的圖形看作一個(gè)整體，則它就是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形。
圖中兩個(gè)三角形關(guān)于直線l成軸對(duì)稱(chēng)。如果三角形的部分邊長(zhǎng)（單位：厘米）和角的度數(shù)如圖所示，求未知的邊長(zhǎng)和角的度數(shù)。
∴∠D=∠A=75°，∠C=∠F=43°
已知對(duì)稱(chēng)軸l和一個(gè)點(diǎn)A如何畫(huà)出點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′？
3、點(diǎn)A′就是點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).
1、過(guò)點(diǎn)A作對(duì)稱(chēng)軸l的垂線，垂足為B；
2、延長(zhǎng)AB至A′ ，使得BA′ =AB.
如何畫(huà)線段AB關(guān)于直線 的對(duì)稱(chēng)線段A′ B′ ？
找關(guān)鍵點(diǎn)作出其對(duì)稱(chēng)點(diǎn)！然后連結(jié)線段.
如何畫(huà)△ABC關(guān)于直線 的對(duì)稱(chēng)△A′B′C′？
還是找關(guān)鍵點(diǎn)作出其對(duì)稱(chēng)點(diǎn)！然后順次連結(jié)線段構(gòu)成三角形。

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2.1 圖形的軸對(duì)稱(chēng)

版本： 青島版（2024）

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