TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc26211" 【題型1 兩點之間線段最短】 PAGEREF _Tc26211 \h 1
\l "_Tc27960" 【題型2 垂線段最短】 PAGEREF _Tc27960 \h 4
\l "_Tc30887" 【題型3 平行線之間的距離最短】 PAGEREF _Tc30887 \h 9
\l "_Tc5892" 【題型4 將軍飲馬（兩定一動）】 PAGEREF _Tc5892 \h 14
\l "_Tc22693" 【題型5 三點共線（兩定一動最大值）】 PAGEREF _Tc22693 \h 18
\l "_Tc24968" 【題型6 雙對稱周長最小】 PAGEREF _Tc24968 \h 22
\l "_Tc12728" 【題型7 兩定兩動】 PAGEREF _Tc12728 \h 29
\l "_Tc17418" 【題型8 兩定一定長】 PAGEREF _Tc17418 \h 36
\l "_Tc31265" 【題型9 兩動一定】 PAGEREF _Tc31265 \h 41
\l "_Tc28588" 【題型10 費馬點】 PAGEREF _Tc28588 \h 45
【題型1 兩點之間線段最短】
【例1】（2023春·福建寧德·八年級?？计谥校┤鐖D，平地上A，B兩點位分別位于一條排水溝的兩旁，其上用鋼梁覆蓋，位于A處的螞蟻從第 號鋼梁上通過到達B處，才能使得全程路程最短．

【答案】4
【分析】將點A向右移動兩個鋼梁之間的距離長度，得到點A′，再連接A′B，與哪個鋼梁相交，就從哪個鋼梁上通過．
【詳解】解：將點A向右移動兩個鋼梁之間的距離長度，得到點A′，再連接A′B，如下圖：

線段A′B與4號鋼梁相交，則從4號鋼梁上通過時，全程路程最短，
故答案為：4
【點睛】此題考查了兩點之間線段最短，解題的關鍵是熟練掌握相關基礎知識，先對A點進行平移．
【變式1-1】（2023春·遼寧沈陽·八年級沈陽市第七中學校考期末）在同一平面內，線段AB=5cm，C為任意一點，則AC+BC的最小值為 ．
【答案】5cm
【分析】分三種情況討論∶ 當點C在線段AB上時， 當點C在線段AB的延長線或反向延長線上時， 點C在線段AB外時，結合兩點之間，線段最短，即可求解．
【詳解】解：當點C在線段AB上時， AC+BC=AB=5cm，
當點C在線段AB的延長線或反向延長線上時，
∴AC+BC>AB=5cm，
點C在線段AB外時，
∵兩點之間，線段最短，
∴AC+BC>AB=5cm，
綜上所述，AC+BC的最小值為5cm．
故答案為：5cm．
【點睛】本題主要考查了線段之間的數(shù)量關系，熟練掌握兩點之間，線段最短是解題的關鍵．
【變式1-2】（2023春·山西運城·八年級統(tǒng)考期末）小王準備在紅旗街道旁建一個送奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，要使A，B兩小區(qū)到送奶站的距離之和最小，則送奶站C的位置應該在（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題利用軸對稱的性質，將折線最短問題轉化為兩點之間，線段最短問題，結合三角形的三邊關系解題即可．
【詳解】解：如圖：作點A關于街道的對稱點A′，連接A′B交街道所在直線于點C，
∴ A′C=AC，
∴ AC+BC=A′B，
在街道上任取除點C以外的一點C′，連接A′C′，BC′，AC′，
∴ AC′+BC′=A′C′+BC′，
在ΔA′C′B中，兩邊之和大于第三邊，
∴ A′C′+BC′>A′B，
∴ AC′+BC′>AC+BC，
∴點C到兩小區(qū)送奶站距離之和最?。?br>
故選：C．
【點睛】本題考查軸對稱-最短路線的問題，將折線最短問題轉化為兩點之間，線段最短問題．會作對稱點是解此類問題的基礎，要求學生能熟練掌握，并熟練應用．另外本題的解決還應用了三角形的三邊關系：三角形的兩邊之和大于第三邊．本題還會有變式：請你找出點C的位置．
【變式1-3】（2023春·全國·八年級課堂例題）[應用意識]如圖，P，Q兩村之間隔著兩條河，需要架設兩座橋，橋與河岸垂直．設兩條河的寬度相同且保持不變，則橋建在何處才能使兩村之間的路程最短？（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見解析
【分析】根據(jù)兩點之間線段最短，利用平移思想進行作圖即可．
【詳解】解：如圖所示：

（1）過點P作PA⊥l1，垂足為A，過點Q作QB⊥l4，垂足為B；
（2）分別在PA和QB上截取PC=QD=河的寬度；
（3）連接CD，分別交l2和l3于點E和M；
（4）過點E和M分別作l1和l4的垂線段，垂足分別為F和N；
（5）連接PF和QN．則橋建在FE和MN處才能使兩村之間的路程最短．
【點睛】本題考查最短路徑問題．解題的關鍵是掌握兩點之間線段最短，利用平移思想進行轉化求解．
【題型2 垂線段最短】
【例2】（2023春·四川成都·八年級校考開學考試）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點D在線段BC上，CD=3.3，點E是AC邊上一動點，將線段DE繞點D順時針旋轉90°得到線段DF，連接BF，當BF有最小值時，寫出AE的值為 .

【答案】1.3
【分析】過D作BD垂線且使得B′ D=BD，連接B′ E，構造△ B′ DE≌△BDF得BF= B′ E，根據(jù)點到直線垂線段最短知B′ E⊥AC時，B′ E取最小值，求出此時AE即可．
【詳解】解：如圖，過D作BD垂線且使得B′ D=BD，連接B′ E，

∵∠EDF=∠ B′ DB=90°，
∴∠BDF+∠ B′ DF=∠ B′ DF+∠ B′ DE，
∴∠BDF=∠ B′ DE，
在△ B′ DE與△BDF中，
B′D=BD∠B′DE=∠BDFDE=DF，
∴△ B′ DE≌△BDFSAS，
∴BF= B′ E，
∵點到直線垂線段最短，
∴ B′ E⊥AC時，B′ E取最小值，
過點B′作B′ G⊥AC交AC于G，
∵∠C=∠CD B′ =∠CG B′ =90°，
∴ AC∥BD,B′G∥CD，
∴ B′ G=CD=3.3，CG= B′ D=BD=8?3.3=4.7，
∴BF取最小值時AE=AG=AC?CG=1.3，
故答案為：1.3．
【點睛】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，點到直線垂線段最短，平行線之間的距離相等，作出輔助線構造△ B′ DE≌△BDF是本題的關鍵．
【變式2-1】（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，邊長為4的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一個動點，連接MB，將線段BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接HN．則在點M運動過程中，線段HN長度的最小值是 ．

【答案】1
【分析】取CB的中點G，連接MG，根據(jù)等邊三角形的性質可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根據(jù)旋轉的性質可得MB=NB，然后利用“邊角邊”證明△MBG≌△NBH，再根據(jù)全等三角形對應邊相等可得HN=MG，然后根據(jù)垂線段最短可得MG⊥CH時最短，再根據(jù)∠BCH=30°求解即可．
【詳解】解：取BC的中點G，連接MG，如圖所示：

∵旋轉角為60°，
∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，
∴∠HBN=∠GBM，
∵CH是等邊△ABC的高線，
∴HB=12AB，
∴HB=BG，
又∵MB旋轉到BN，
∴BM=BN，
在△MBG和△NBH中，
BG=BH∠MBG=∠NBHMB=NB，
∴△MBG≌△NBH(SAS)，
∴MG=NH，
根據(jù)垂線段最短，當MG⊥CH時，MG最短，此時即HN最短，
∵∠BCH=12×60°=30°，CG=12AB=12×4=2，
在Rt△CGM中，∠MCG=30°，∠CMG=90°，MG=12CG=12×2=1，
∴HN=MG=1，
故答案為：1．
【點睛】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，垂線段最短的性質，含30°的直角三角形等，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．
【變式2-2】（2023春·全國·八年級課堂例題）如圖，OB平分∠MON,A為OB的中點，AE⊥ON，垂足為E,AE=3,D為OM上的一個動點，BC∥OM,C是DA的延長線與BC的交點，求線段CD的最小值．

【答案】6
【分析】根據(jù)BC∥OM，OA=AB，可以證明△OAD≌△BAC，得到AD=AC繼而得到CD=2AD，故線段CD的最小值轉化為線段DA得最小值，根據(jù)垂線段最短，結合角的平分線的性質定理計算即可．
【詳解】∵BC∥OM，
∴∠DOA=∠CBA，
∵點A為OB的中點
∴OA=AB，
∵∠DOA=∠CBAOA=BA∠DAO=∠CAB，
∴△OAD≌△BACASA，
∴AD=AC，
∴CD=2AD，
∴線段CD的最小值轉化為線段DA得最小值，
根據(jù)垂線段最短，
∴DA⊥OM，
∵AE⊥ON，OB平分∠MON，
∴AE=AD，
∵AE=3，
∴AD=3，
∴CD=2AD=6，
故答案為：6．
【點睛】本題考查了角的平分線性質定理，三角形全等的判定和性質，垂線段最短原理，熟練掌握角的平分線性質定理，三角形全等，垂線段最短是解題的關鍵．
【變式2-3】（2023春·江蘇無錫·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D為AC上一動點，連接BD，以AD，BD為鄰邊作?ADBE，連接DE，則DE長的最小值為 ．

【答案】9.6
【分析】過B作BF⊥AC于點F，利用勾股定理建立方程便可求得BF，由垂線段最短可知，當DE⊥AC時，DE有最小值，由于平行線間的距離處處相等，故這個最小值也就是BF的長度．
【詳解】解：過B作BF⊥AC于點F，

∵平行四邊形ADBE中，AD∥BE，即AC∥BE，
∵AB=AC=10，BC=12，
設CF=x，則AF=10?x，
∵BF2=CB2?CF2=AB2?AF2，
即122?x2=102?10?x2，
解得，x=7.2，
∴CF=3.6，
∴BF= BC2?CF2=122?7.22=9.6.，
由垂線段最短可知，當DE⊥AC時，DE有最小值，
由于平行線間的距離處處相等，AC∥BE，故這個最小值也就是BF的長度．
∴DE的最小值為9.6．
故答案為：9.6．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、勾股定理、垂線段最短等知識；構造直角形求出BF是解題的關鍵．
【題型3 平行線之間的距離最短】
【例3】如圖，直線，且a，b之間相距．點P是直線a上一定點，點Q在直線b上運動，則在Q點的運動過程中，線段的最小值是 ．

【答案】8
【分析】根據(jù)垂線段最短進行求解即可
【詳解】解：∵直線，點P是直線a上一定點，點Q在直線b上運動，
∴根據(jù)垂線段最短可知，在運動過程中，當時，線段有最小值，
∵a，b之間相距，
∴線段的最小值為，
故答案為：8．
【點睛】本題考查了平行線之間的距離的定義和垂線段最短，牢記平行線之間距離的定義和垂線段最短是本題的關鍵．
【變式3-1】如圖，，且相鄰兩條直線間的距離都是2，A，B，C分別為，，上的動點，連接AB、AC、BC，AC與交于點D，，則BD的最小值為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】求BD的最小值可以轉化為求點B到直線AC的距離，當BD⊥AC時，BD有最小值，根據(jù)題意求解即可．
【詳解】解：由題意可知當BD⊥AC時，BD有最小值，
此時，AD=CD，∠ABC=90°，
∴BD=AD=BD=AC=2，
∴BD的最小值為2．
故選：A．
【點睛】本題考查平行線的性質，需結合圖形，根據(jù)平行線的性質推出相關角的關系從而進行求解．
【變式3-2】（2023春·北京海淀·八年級首都師范大學附屬中學?？奸_學考試）直線，對平面內不在上，且不在上的任意一點，若到，的距離分別為，，則記．
(1)若，則線段與的公共點個數(shù)可能為______；
(2)若取最小值且，則的取值范圍是______．
【答案】(1)0或1
(2)
【分析】（1）分兩種情況進行討論：當點A和B均在直線上方且到的距離相等時；當點A和B在直線，之間時，作出相應圖形即可求解；
（2）根據(jù)題意得出，分兩種情況分析：當點P在上方或下方時，當點P在，之間時，結合圖形求解即可．
【詳解】（1）解：如圖所示，當點A和B均在直線上方且到的距離相等時，
此時線段與的公共點個數(shù)為0；

當點A和B在直線，之間時，如圖所示：
此時線段與的公共點個數(shù)為1；

故答案為：0或1；
（2）當取最小值且時，如圖所示：
此時點A恰好在，的中間直線上，
∴，之間的距離為2，即，

當點P在上方或下方時，如圖所示：

此時即為，之間的距離為2；
當點P在，之間時，如圖所示：

∵，
∴當點P在，的中間直線上時，，
當點P不在，的中間直線上時，；
綜上可得：，
故答案為：．
【點睛】題目主要考查垂線的定義及點到直線的距離，理解題意，作出相應圖形求解是解題關鍵．
【變式3-3】（2023春·八年級課時練習）如圖，直線，點A，D在直線b上，射線AB交直線a于點B，于點C，交射線AB于點E，，，P為射線AB上一動點，P從A點出發(fā)沿射線AB方向運動，速度為1cm/s，設點P運動時間為t，M為直線a上一定點，連接PC，PD．
（1）當時，有最小值，求m的值；
（2）當（m為（1）中的取值）時，探究、與的關系，并說明理由；
（3）當（m為（1）中的取值）時，直接寫出、與的關系．
【答案】（1）10；（2），見解析；（3）或
【分析】（1）根據(jù)P、C、D三點共線時，即點P與點E重合時PC+PD的值最小，解答即可；
（2）當t＜m時，過P在AE上，過點P作PH∥a∥b，根據(jù)平行線的性質可得結論；
（3）分兩種情況討論，當點P在線段BE上時，當點P在線段AB的延長線上時，然后仿照第（2）問的證明方法，作出輔助線，根據(jù)平行線的性質可得結論．
【詳解】解：（1）當點P與E不重合時，在中，，
當點P與E重合時，此時最小，
∴．
∵，，
∴．
∴．
故時，值最?。?br>（2），理由如下：
如圖，當即時，點P在AE上，過點P作，
∵，
∴．
∴，，
∴．
∵，
∴；
（3）當m＜t≤15即10＜t≤15時，點P在線段BE上，過點P作PHa，如圖：
又∵ab，
∴PHab，
∴∠PCM+∠CPH＝180°，∠PDA+∠DPH＝180°，
∴∠PCM+∠CPH+∠PDA+∠DPH＝360°，
又∵∠CPD＝∠CPH+∠DPH，
∴∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°，
即當10＜t≤15時，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°；
當t＞15時，點P在線段AB的延長線上，過點P作PGa，如圖：
又∵ab，
∴PGab，
∴∠PCM+∠CPG＝180°，∠PDA+∠DPG＝180°，
∴∠CPG＝180°－∠PCM， ∠DPG＝180°－∠PDA，
又∵∠CPD＝∠DPG－∠CPG，
∴∠CPD＝（180°－∠PDA）－（180°－∠PCM）
＝180°－∠PDA－180°＋∠PCM
＝∠PCM－∠PDA，
∴∠PCM＝∠CPD+∠PDA．
綜上所述，當t＞10時，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°或∠PCM＝∠CPD+∠PDA．
【點睛】本題主要考查平行線的性質及平行公理的推論，熟練掌握平行線的性質及正確作出輔助線是解題的關鍵．
【題型4 將軍飲馬（兩定一動）】
【例4】（2023春·廣東揭陽·八年級統(tǒng)考期末）△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2， P為線段AB上一動點，D為BC邊的中點，則PC+PD的最小值為 ．
【答案】5
【分析】作C點關于AB的對稱點C′，連接C′D交AB于P點，連接C′B，根據(jù)勾股定理即可求出C′D的長，即 PC+PD的值最小值.
【詳解】
解：如圖，作C點關于AB的對稱點C′，連接C′D交AB于P點，則PC+PD=PC′+PD=C′D，根據(jù)“兩點之間線段最短”可知此時PC+PD的值最小，
連接C′B，
∵∠ACB=90°,AC=BC=2,
∴∠ABC=45°，
∵C點與C′關于AB對稱，
∴C′B=CB=2,∠C′BA=∠CBA=45°,
∴∠C′BC=90°,
∵BC=2, D為BC邊的中點，
∴BD=1,
∴C′D=C′B2+BD2=22+12=5,
∴PC+PD的最小值為5．
故答案為：5．
【點睛】本題主要考查了軸對稱以及求最短路徑問題，熟練掌握將軍飲馬模型是解題的關鍵.
【變式4-1】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·八年級?？茧A段練習）如圖，一個牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家．他要完成這件事情所走的最短路程是多少？

【答案】17km
【分析】如圖（見詳解），將小河看成直線MN，由題意先作A關于MN的對稱點A′，連接A′B，構建直角三角形，則A′B就是最短路線；在Rt△A′DB中，∠A′DB=90°，BD=8km，A′D=AD+A′A，利用勾股定理即可求出A′B．
【詳解】如圖，做出點A關于小河MN的對稱點A′，連接A′B交MN于點P，則A′B就是牧童要完成這件事情所走的最短路程長度．

由題意知：A′D=4+4+7=15km，BD=8km，∠D=90°，
在Rt△A′DB中，由勾股定理求得A′B=A′D2+BD2=17km，
則他要完成這件事情所走的最短路程是17km．
【點睛】本題考查了軸對稱—最短路線問題，掌握軸對稱的性質和勾股定理是解題的關鍵．
【變式4-2】（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，正△ABC的邊長為2，過點B的直線l⊥AB，且△ABC與△A′BC′關于直線l對稱，D為線段BC′上一動點，則AD+CD的最小值是 ．
【答案】4
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質及軸對稱的性質得到∠ABC=∠A′BC′=60°，A′B=AB=BC=2，證明△CBD≌△A′BD，得到CD=A′D，推出當A、D、A′三點共線時，AD+CD最小，此時AD+CD=A′B+AB=4．
【詳解】解：如圖，連接A′D，
∵正△ABC的邊長為2，△ABC與△A′BC′關于直線l對稱，
∴∠ABC=∠A′BC′=60°，A′B=AB=BC=2，
∴∠CBC′=60°，
∴∠CBC′=∠A′BC′，
∵BD=BD，
∴△CBD≌△A′BD，
∴CD=A′D，
∴AD+CD=A′D+CD，
∴當A、D、A′三點共線時，AD+CD最小，此時AD+CD=A′B+AB=4，
故答案為：4．
．
【點睛】此題考查了等邊三角形的性質，軸對稱的性質，全等三角形的判定及性質，最短路徑問題，正確掌握全等三角形的判定是解題的關鍵．
【變式4-3】（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB邊的垂直平分線DE交AB于點D，若AE=3，
(1)求BC的長；
(2)若點P是直線DE上的動點，直接寫出PA+PC的最小值為_________．
【答案】(1)9
(2)9
【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質可證△ABE為等腰三角形，由角度可證△ACE為30°直角三角形，再由線段之間的關系即可求出BC的長；
（2）根據(jù)將軍飲馬原理即可得出PA+PC的最小值為BC的長度．
【詳解】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠B=∠C=12(180°?∠BAC)=30°
∵AB邊的垂直平分線交AB于點D，
∴BE=AE=3，
∴∠BAE=∠B=30°
∴∠CAE=∠BAC?∠BAE=120°?30°=90°
在Rt△CAE中，∠C=30°
∴CE=2AE=6
∴BC=BE+CE=3+6=9
（2）解：如圖，
取點A關于直線DE的對稱點，即點B；連接B,C兩點，與直線DE交于點P(E)，
∵ PA=PB
∴ PA+PC=PB+PC
根據(jù)兩點之間線段最短
則BC即為PA+PC的最小值，最小值為9
【點睛】本題考查了圖形的軸對稱，相關知識點有：垂直平分線的性質、將軍飲馬等，軸對稱性質的充分利用是解題關鍵．
【題型5 三點共線（兩定一動最大值）】
【例5】（2023春·廣東廣州·八年級?？茧A段練習）如圖，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分線交AC于點N，交AB于點M，AB=12cm，△BMC的周長是20cm，若點P在直線MN上，則PA?PB的最大值為 .
【答案】8cm
【分析】根據(jù)垂直平分線的性質得到MA=MC，再利用三角形兩邊之差小于第三邊解答即可．
【詳解】解：∵MN垂直平分AC，
∴MA=MC，
又∵C△BMC=BM+MC+BC=20cm，BM+MA=AB=12cm，
∴BC=20?12=8cm，
在MN上取點P，連接PA、PB、PC，
∵MN垂直平分AC，
∴PA=PC，
∴PA?PB=PC?PB，
在△PBC中PC?PB

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