初中14.1 全等三角形課后復(fù)習(xí)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc19498" 【題型1 由全等三角形的判定與性質(zhì)求最值】 PAGEREF _Tc19498 \h 1
\l "_Tc14609" 【題型2 由全等三角形的判定與性質(zhì)探究線段的和差關(guān)系】 PAGEREF _Tc14609 \h 2
\l "_Tc25197" 【題型3 由全等三角形的判定與性質(zhì)求面積】 PAGEREF _Tc25197 \h 4
\l "_Tc25426" 【題型4 尺規(guī)作圖與全等三角形的綜合】 PAGEREF _Tc25426 \h 5
\l "_Tc16930" 【題型5 三角形的三邊關(guān)系與全等三角形的綜合】 PAGEREF _Tc16930 \h 8
\l "_Tc14312" 【題型6 全等三角形的動(dòng)態(tài)問題】 PAGEREF _Tc14312 \h 10
\l "_Tc15333" 【題型7 全等三角形與坐標(biāo)系的綜合運(yùn)用】 PAGEREF _Tc15333 \h 12
\l "_Tc27702" 【題型8 全等三角形中的多結(jié)論問題】 PAGEREF _Tc27702 \h 14
【題型1 由全等三角形的判定與性質(zhì)求最值】
【例1】（2023春·北京朝陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D，E為AB邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AD=BE，連接CD，CE，若AC=2，則CD+CE的最小值為．
【變式1-1】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，M為BC的中點(diǎn)，H為AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CG∥AB，交HM的延長線于點(diǎn)G，若AC=8，AB=6，則四邊形ACGH周長的最小值是．
【變式1-2】（2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=3，連接BD，BD⊥CD，BD平分∠ABC．若P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則DP長的最小值為．
【變式1-3】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，AD平分∠BAC，N是AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與A,C重合），M是AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與A,D重合），則CM+MN的最小值為．
【題型2 由全等三角形的判定與性質(zhì)探究線段的和差關(guān)系】
【例2】（2023春·河南鄭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）回答問題
（1）【初步探索】如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系，小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論是；
（2）【靈活運(yùn)用】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；
（3）【拓展延伸】已知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD，若點(diǎn)E在CB的延長線上，點(diǎn)F在CD的延長線上，如圖3，仍然滿足EF=BE+FD，請(qǐng)直接寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系．
【變式2-1】（2023春·上?！て吣昙?jí)期末）已知：等邊△ABC邊長為3，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別在射線AB、射線BC上，且BD＝CE＝a（0＜a＜3），將直線DE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到直線EF交直線AC于點(diǎn)F．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上，點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，說明BD+CF＝3的理由．
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上，點(diǎn)E在線段BC的延長線上時(shí)，請(qǐng)判斷線段BD，CF之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．
(3)當(dāng)點(diǎn)D在線段AB延長線上時(shí)，線段BD，CF之間的數(shù)量關(guān)系又如何？請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫圖探究，并直接寫出線段BD，CF之間的數(shù)量關(guān)系．
【變式2-2】（2023春·陜西西安·八年級(jí)西安益新中學(xué)校考階段練習(xí)）（1）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線l，CE⊥直線l，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：DE=BD+CE．
（2）組員小劉想，如果三個(gè)角不是直角，那結(jié)論是否會(huì)成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線l上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．
（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來解決問題：如圖3，過△ABC的邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高，延長HA交EG于點(diǎn)I，求證：I是EG的中點(diǎn)．
【變式2-3】（2023春·上海靜安·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠BAC=10.5°，AD是∠BAC的平分線，過點(diǎn)A作DA的垂線交BC延長線于點(diǎn)M，若BM=BA+AC，則∠ABC的度數(shù)是

【題型3 由全等三角形的判定與性質(zhì)求面積】
【例3】（2023春·廣東深圳·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，△ABC中，BC=10，AC?AB=5，AD是∠BAC的角平分線，CD⊥AD，則S△BDC的最大值為．

【變式3-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知四邊形ABCD，連接AC、BD，∠BAC=∠ADC=90°，AB=AC，若AD=5，則△ABD的面積等于．

【變式3-2】（2023春·江蘇南京·八年級(jí)南京市科利華中學(xué)?？计谥校┤鐖D，Rt△ABC中，∠C=90°，分別以AB、AC、BC為邊在AB同側(cè)作正方形ABDE、ACPQ、BCMN，四塊陰影部分面積分別為S1、S2、S3、S4，若S1+S2+S3=12，則S4= ．
【變式3-3】（2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)景山中學(xué)?？计谀┮阎骸鰽BC中，∠ACB=90°，AC=CB，D為射線CB上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，在直線AC右側(cè)作AE⊥AD，且AE=AD．連接BE交直線AC于M，若2AC=7CM，則S△ADBS△AEM的值為．

【題型4 尺規(guī)作圖與全等三角形的綜合】
【例4】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)B在直線l上，分別以線段BA的端點(diǎn)為圓心，以BC（小于線段BA）長為半徑畫弧，分別交直線l，線段BA于點(diǎn)C，D，E，再以點(diǎn)E為圓心，以CD長為半徑畫弧交前面的弧于點(diǎn)F，畫射線AF．若∠BAF的平分線AH交直線l于點(diǎn)H，∠ABC=70°，則∠AHB的度數(shù)為．
【變式4-1】（2023·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）我們通過“三角形全等的判定”的學(xué)習(xí)，可以知道“兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等”是一個(gè)基本事實(shí)，用它可以判定兩個(gè)三角形全等；而滿足條件“兩邊和其中一邊所對(duì)的角分別相等”的兩個(gè)三角形卻不一定全等．下面請(qǐng)你來探究“兩邊和其中一邊所對(duì)的角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一個(gè)△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即兩邊和其中一邊所對(duì)的角分別相等）．
(1)動(dòng)手畫圖：請(qǐng)依據(jù)下面的步驟，用尺規(guī)完成作圖過程（保留作圖痕跡）：
①畫EF=BC；
②在線段EF的上方畫∠F=∠C；
③畫DE=AB；
④順次連接相應(yīng)頂點(diǎn)得所求三角形．
(2)觀察：觀察你畫的圖形，你會(huì)發(fā)現(xiàn)滿足條件的三角形有____個(gè)；其中三角形____（填三角形的名稱）與△ABC明顯不全等；
(3)小結(jié)：經(jīng)歷以上探究過程，可得結(jié)論：______．
【變式4-2】（2023春·山西·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐：在綜合實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們?cè)谝阎切蔚幕A(chǔ)上，經(jīng)過畫圖，探究三角形邊之間存在的關(guān)系．如圖，已知點(diǎn)D在ΔABC的邊BC的延長線上，過點(diǎn)D作∠BDM=∠B且DM//AB，在DM上截取DE=AB，再作∠DEF=∠A交線段BC于點(diǎn)F．

實(shí)踐操作
（1）尺規(guī)作圖：作出符合上述條件的圖形；
探究發(fā)現(xiàn)
（2）勤奮小組在作出圖形后，發(fā)現(xiàn)AC//EF，AC=EF，請(qǐng)說明理由；
探究應(yīng)用
（3）縝密小組在勤奮小組探究的基礎(chǔ)上，測(cè)得DF=5，CF=1，求線段BD的長．
【變式4-3】（2023春·北京·八年級(jí)校考期中）尺規(guī)作圖之旅
下面是一副純手繪的畫作，其中用到的主要工具就是直尺和圓規(guī)，在數(shù)學(xué)中，我們也能通過尺規(guī)作圖創(chuàng)造出許多帶有美感的圖形．
尺規(guī)作圖起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題，只允許使用圓規(guī)和直尺，來解決平面幾何作圖問題．
【作圖原理】在兩年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)里中，我們認(rèn)識(shí)了尺規(guī)作圖，并學(xué)會(huì)用尺規(guī)作圖完成一些作圖問題，請(qǐng)仔細(xì)思考回顧，判斷以下操作能否通過尺規(guī)作圖實(shí)現(xiàn)，可以實(shí)現(xiàn)的畫√，不能實(shí)現(xiàn)的畫×．
（1）過一點(diǎn)作一條直線．( )
（2）過兩點(diǎn)作一條直線．( )
（3）畫一條長為3㎝的線段．( )
（4）以一點(diǎn)為圓心，給定線段長為半徑作圓．( )
【回顧思考】還記得我們用尺規(guī)作圖完成的第一個(gè)問題嗎？那就是“作一條線段等于已知線段”，接著，我們學(xué)習(xí)了使用尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線，作角平分線，過直線外一點(diǎn)作垂線……而這些尺規(guī)作圖的背后都與我們學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)原理密切相關(guān)，下面是用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角的方法及說理，請(qǐng)補(bǔ)全過程．
已知：∠AOB．
求作：∠A'O'B'使∠A'O'B'=∠AOB
作法：（1）如圖，以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C，D；
（2）畫一條射線O'A'，以點(diǎn)O'為圓心，OC長為半徑畫弧，交O'A'于點(diǎn)C'；
（3）以點(diǎn)C'為圓心，____________________；
（4）過點(diǎn)D'畫射線O'B'，則∠A'O'B'=∠AOB．
說理：由作法得已知：OC=O'C',OD=O'D',CD=C'D'
求證：∠A'O'B'=∠AOB
證明：∵OC=O'C'OD=O'D'CD=C'D'
∴ΔOCD?ΔO'C'D'( )
所以∠A'O'B'=∠AOB( )
【小試牛刀】請(qǐng)按照上面的范例，完成尺規(guī)作圖并說理：過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線．
已知：直線l與直線外一點(diǎn)A．
求作：過點(diǎn)A的直線l'，使得l//l'．
【創(chuàng)新應(yīng)用】現(xiàn)實(shí)生活中許多圖案設(shè)計(jì)都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)原理，下面是一個(gè)常見商標(biāo)的設(shè)計(jì)示意圖．假設(shè)你擁有一家書店，請(qǐng)利用你手中的刻度尺和圓規(guī)，為你的書店設(shè)計(jì)一個(gè)圖案．要求保留作圖痕跡，并寫出你的設(shè)計(jì)意圖．
【題型5 三角形的三邊關(guān)系與全等三角形的綜合】
【例5】（2023春·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，過點(diǎn)A作AE⊥AB．連接BE，CE，M為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)．
(1)如圖1，若BC＝4，則S△EBC＝．
(2)如圖2，點(diǎn)M在BE上，且CM⊥BE于M，過點(diǎn)A作AF⊥BE于F，D為AC中點(diǎn)，連接FD并延長，交CM于點(diǎn)H．求證：MF＝MH；
(3)如圖3，連接BM，EM，過點(diǎn)B作BM'⊥BM于點(diǎn)B，且滿足BM'＝BM，連接AM'，MM'，過點(diǎn)B作BG⊥CE于點(diǎn)G，若S△ABC＝18，EM＝3，BG＝4，求線段AM'的長度的取值范圍．
【變式5-1】（2023春·四川樂山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，BC=12，AD平分∠BAC，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)F．
(1)若∠ABC=40°，∠C=80°，求∠ADB的度數(shù)；
(2)如圖1，若AB=10，求線段BE的長的取值范圍；
(3)如圖2，過點(diǎn)B作BH⊥AD交AD延長線于點(diǎn)H，設(shè)△BFH，△AEF的面積分別為S1，S2，若AB?AC=4，試求S1?S2的最大值．
【變式5-2】（2023春·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊．
(1)如圖1，線段AD，BC交于點(diǎn)E，連接AB，CD，判斷AD+BC與AB+CD的大小關(guān)系，并說明理由；
(2)如圖2，OC平分∠AOB，P為OC上任意一點(diǎn)，在OA，OB上截取OE=OF，連接PE，PF．求證：PE=PF；
(3)如圖3，在△ABC中，AB>AC，P為角平分線AD上異于端點(diǎn)的一動(dòng)點(diǎn)，求證：PB?PC>BD?CD．
【變式5-3】（2023春·湖南長沙·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀理解：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題:在△ABC中，AB=7，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
(1)小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）:①延長AD到Q使得DQ=AD；
②再連接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得4CD，
∴AE+BE+CE+ED>AB+CD，
即AD+BC>AB+CD；
（2）證明：∵OC平分∠AOB，
∴∠EOP=∠FOP，
在△OEP和△OFP中，
OE=OF∠EOP=∠FOPOP=OP，
∴△OEP≌△OFP(SAS)，
∴PE=PF；
（3）證明：在AB上取一點(diǎn)E，使AE=AC，連接DE交BP于點(diǎn)F，
∵AD是∠BAC的角平分線，
∴∠EAP=∠CAP，
在△APE和△APC中，
AE=AC∠EAP=∠CAPAP=AP，
∴△APE≌△APC(SAS)，
∴PE=PC，
同理可證DE=DC，
∵EF+PF>EP，BF+FD>BD，
∴EF+PF+BF+FD>EP+BD，
即PB+DE>EP+BD，
∴PB+CD>PC+BD，
∴PB?PC>BD?CD．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的綜合題，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系和全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
【變式5-3】（2023春·湖南長沙·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀理解：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題:在△ABC中，AB=7，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
(1)小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）:①延長AD到Q使得DQ=AD；
②再連接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得4

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