基本知識點(diǎn)：
①兩點(diǎn)之間線段最短；②點(diǎn)到直線的距離最短。
求最值問題的類型
微專題
1． (2023?德州）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)E在BC上，CE＝2．點(diǎn)M是對角線BD上的一個動點(diǎn)，則EM+CM的最小值是（ ）
第1題 第2題
A．6B．3C．2D．4
2． (2023?資陽）如圖，正方形ABCD的對角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是直線BC上一動點(diǎn)．若AB＝4，則AE+OE的最小值是（ ）
A．4B．2+2C．2D．2
3． (2023?菏澤）如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，M是對角線BD上的一個動點(diǎn)，CF＝BF，則MA+MF的最小值為（ ）
第3題 第4題 第5題
A．1B．C．D．2
4． (2023?廣安）如圖，菱形ABCD的邊長為2，點(diǎn)P是對角線AC上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為邊AD、DC的中點(diǎn)，則PE+PF的最小值是（ ）
A．2B．C．1.5D．
5． (2023?赤峰）如圖，菱形ABCD，點(diǎn)A、B、C、D均在坐標(biāo)軸上．∠ABC＝120°，點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是OC上的一動點(diǎn)，則PD+PE的最小值是（ ）
A．3B．5C．2D．
6． (2023?安順）已知正方形ABCD的邊長為4，E為CD上一點(diǎn)，連接AE并延長交BC的延長線于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DG⊥AF，交AF于點(diǎn)H，交BF于點(diǎn)G，N為EF的中點(diǎn)，M為BD上一動點(diǎn)，分別連接MC，MN．若，則MC+MN的最小值為 ．
第6題 第7題
7． (2023?內(nèi)江）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點(diǎn)E、F分別是AB、DC上的動點(diǎn)，EF∥BC，則AF+CE的最小值是 ．
8． (2023?賀州）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn)，∠ADC的平分線交AB于點(diǎn)G，點(diǎn)P是線段DG上的一個動點(diǎn)，則△PEF的周長最小值為 ．
第8題 第9題
9． (2023?婁底）菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝45°，點(diǎn)P、Q分別是BC、BD上的動點(diǎn)，CQ+PQ的最小值為 ．
10． (2023?眉山）如圖，點(diǎn)P為矩形ABCD的對角線AC上一動點(diǎn)，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接PE，PB，若AB＝4，BC＝4，則PE+PB的最小值為 ．
第10題 第11題
11． (2023?濱州）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10．若點(diǎn)E是邊AD上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AC且分別交對角線AC、直線BC于點(diǎn)O、F，則在點(diǎn)E移動的過程中，AF+FE+EC的最小值為 ．
12． (2023?自貢）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中點(diǎn)，線段EF在邊AB上左右滑動，若EF＝1，則GE+CF的最小值為 ．
第12題 第13題
13． (2023?泰州）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為與點(diǎn)D不重合的動點(diǎn)，以DE為一邊作正方形DEFG．設(shè)DE＝d1，點(diǎn)F、G與點(diǎn)C的距離分別為d2、d3，則d1+d2+d3的最小值為（ ）
A．B．2C．2D．4
14． (2023?安徽）已知點(diǎn)O是邊長為6的等邊△ABC的中心，點(diǎn)P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面積分別記為S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，則線段OP長的最小值是（ ）
A．B．C．3D．
考點(diǎn)二：利用確定圓心的位置求最短路徑
知識回顧
解題思路：
通過確定圓心的位置，利用定點(diǎn)到圓心的距離加或減半徑解題。
確定圓心的方法：
方法①：到定點(diǎn)的距離等于定長確定圓心。通常存在線段旋轉(zhuǎn)。
方法②：直徑所對的圓周角等于90°。找90°的角所對直線的中點(diǎn)。通常出現(xiàn)兩個角相等。
微專題
15． (2023?泰安）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P是線段BC上一動點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AP上一點(diǎn)，∠ADM＝∠BAP，則BM的最小值為（ ）
B．
C．﹣ D．﹣2
16． (2023?黃石）如圖，等邊△ABC中，AB＝10，點(diǎn)E為高AD上的一動點(diǎn)，以BE為邊作等邊△BEF，連接DF，CF，則∠BCF＝ ，F(xiàn)B+FD的最小值為 ．
第16題 第17題
17． (2023?柳州）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一個動點(diǎn)，且EG＝2，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接CF，則線段CF長的最小值為 ．
18． (2023?無錫）△ABC是邊長為5的等邊三角形，△DCE是邊長為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點(diǎn)F．如圖，若點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，∠DBC＝20°，則∠BAF＝ °；現(xiàn)將△DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)1周，在這個旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長度的最小值是 ．
問題
基本圖形
解題圖形
解題思路與步驟
如圖①：如圖，存在直線l以及直線外的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，直線上存在一點(diǎn)M，使得MP＋MQ的值最小。
解題思路：找點(diǎn)作對稱
解題步驟：
①從問題中確定定點(diǎn)與動點(diǎn)。
②作其中一個定點(diǎn)關(guān)于動點(diǎn)所在直線的對稱點(diǎn)。通常情況下其中一個定點(diǎn)的關(guān)于動點(diǎn)所在直線的對稱點(diǎn)存在，找出即可。
③連接對稱點(diǎn)與另一個定點(diǎn)。與動點(diǎn)所在直線的交點(diǎn)即是動點(diǎn)的位置。然后解題。
如圖②：如圖，已知∠MON以及角內(nèi)一點(diǎn)P，角的兩邊OM與ON上存在點(diǎn)A與點(diǎn)B，使得△PAB的周長最小。
如圖③：如圖：已知∠AOB以及角內(nèi)兩點(diǎn)點(diǎn)P與點(diǎn)Q，角的兩邊上分別存在M、N使得四邊形PQMN的周長最小。
專題35 最值問題
考點(diǎn)一：利用對稱求最值問題
知識回顧
基本知識點(diǎn)：
①兩點(diǎn)之間線段最短；②點(diǎn)到直線的距離最短。
求最值問題的類型
微專題
1． (2023?德州）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)E在BC上，CE＝2．點(diǎn)M是對角線BD上的一個動點(diǎn)，則EM+CM的最小值是（ ）
A．6B．3C．2D．4
【分析】要求ME+MC的最小值，ME、MC不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化ME，MC的值，從而找出其最小值求解．
【解答】解：如圖，連接AE交BD于M點(diǎn)，
∵A、C關(guān)于BD對稱，
∴AE就是ME+MC的最小值，
∵正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上的一定點(diǎn)，且BE＝BC﹣CE＝6﹣2＝4，
∵AB＝，
∴AE＝＝2，
∴ME+MC的最小值是2．
故選：C．
2． (2023?資陽）如圖，正方形ABCD的對角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是直線BC上一動點(diǎn)．若AB＝4，則AE+OE的最小值是（ ）
A．4B．2+2C．2D．2
【分析】本題為典型的將軍飲馬模型問題，需要通過軸對稱，作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)A'，再連接A'O，運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短得到A'O為所求最小值，再運(yùn)用勾股定理求線段A'O的長度即可．
【解答】解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)A'，連接A'O，其與BC的交點(diǎn)即為點(diǎn)E，再作OF⊥AB交AB于點(diǎn)F，
∵A與A'關(guān)于BC對稱，
∴AE＝A'E，AE+OE＝A'E+OE，當(dāng)且僅當(dāng)A'，O，E在同一條線上的時候和最小，如圖所示，此時AE+OE＝A'E+OE＝A'O，
∵正方形ABCD，點(diǎn)O為對角線的交點(diǎn)，
∴，
∵A與A'關(guān)于BC對稱，
∴AB＝BA'＝4，
∴FA'＝FB+BA'＝2+4＝6，
在Rt△OFA'中，，
故選：D．
3． (2023?菏澤）如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，M是對角線BD上的一個動點(diǎn)，CF＝BF，則MA+MF的最小值為（ ）
A．1B．C．D．2
【分析】當(dāng)MA+MF的值最小時，A、M、F三點(diǎn)共線，即求AF的長度，根據(jù)題意判斷△ABC為等邊三角形，且F點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，求出AF的長度即可．
【解答】解：當(dāng)A、M、F三點(diǎn)共線時，即當(dāng)M點(diǎn)位于M′時，MA+MF的值最小，
由菱形的性質(zhì)可知，
AB＝BC，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∵F點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，AB＝2，
∴AF⊥BC，CF＝FB＝1，
∴在Rt△ABF中，AF＝＝．
故選：C．
4． (2023?廣安）如圖，菱形ABCD的邊長為2，點(diǎn)P是對角線AC上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為邊AD、DC的中點(diǎn)，則PE+PF的最小值是（ ）
A．2B．C．1.5D．
【分析】如圖，取AB的中點(diǎn)T，連接PT，F(xiàn)T．首先證明四邊形ADFT是平行四邊形，推出AD＝FT＝2，再證明PE+PF＝PT+PF，由PF+PT≥FT＝2，可得結(jié)論．
【解答】解：如圖，取AB的中點(diǎn)T，連接PT，F(xiàn)T．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∵DF＝CF，AT＝TB，
∴DF＝AT，DF∥AT，
∴四邊形ADFT是平行四邊形，
∴AD＝FT＝2，
∵四邊形ABCD是菱形，AE＝DE，AT＝TB，
∴E，T關(guān)于AC對稱，
∴PE＝PT，
∴PE+PF＝PT+PF，
∵PF+PT≥FT＝2，
∴PE+PF≥2，
∴PE+PF的最小值為2．
故選：A．
5． (2023?赤峰）如圖，菱形ABCD，點(diǎn)A、B、C、D均在坐標(biāo)軸上．∠ABC＝120°，點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是OC上的一動點(diǎn)，則PD+PE的最小值是（ ）
A．3B．5C．2D．
【分析】根據(jù)題意得，E點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是BC的中點(diǎn)E'，連接DE'交AC與點(diǎn)P，此時PD+PE有最小值，求出此時的最小值即可．
【解答】解：根據(jù)題意得，E點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是BC的中點(diǎn)E'，連接DE'交AC與點(diǎn)P，此時PD+PE有最小值為DE'，
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，點(diǎn)A（﹣3，0），
∴OA＝OC＝3，∠DBC＝60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∴DE'＝OC＝3，
即PD+PE的最小值是3，
故選：A．
6． (2023?安順）已知正方形ABCD的邊長為4，E為CD上一點(diǎn)，連接AE并延長交BC的延長線于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DG⊥AF，交AF于點(diǎn)H，交BF于點(diǎn)G，N為EF的中點(diǎn)，M為BD上一動點(diǎn)，分別連接MC，MN．若，則MC+MN的最小值為 ．
【分析】由正方形的性質(zhì)，可得A點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于BD對稱，則有MN+CM＝MN+AM≥AN，所以當(dāng)A、M、N三點(diǎn)共線時，MN+CM的值最小為AN，先證明△DCG∽△FCE，再由＝，可知＝，分別求出DE＝1，CE＝3，CF＝12，即可求出AN．
【解答】解：如圖，連接AM，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴A點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于BD對稱，
∴CM＝AM，
∴MN+CM＝MN+AM≥AN，
∴當(dāng)A、M、N三點(diǎn)共線時，MN+CM的值最小，
∵AD∥CF，
∴∠DAE＝∠F，
∵∠DAE+∠DEH＝90°，
∵DG⊥AF，
∴∠CDG+∠DEH＝90°，
∴∠DAE＝∠CDG，
∴∠CDG＝∠F，
∴△DCG∽△FCE，
∵＝，
∴＝，
∵正方形邊長為4，
∴CF＝12，
∵AD∥CF，
∴＝＝，
∴DE＝1，CE＝3，
在Rt△CEF中，EF2＝CE2+CF2，
∴EF＝＝3，
∵N是EF的中點(diǎn)，
∴EN＝，
在Rt△ADE中，EA2＝AD2+DE2，
∴AE＝＝，
∴AN＝，
∴MN+MC的最小值為，
故答案為：，
7． (2023?內(nèi)江）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點(diǎn)E、F分別是AB、DC上的動點(diǎn)，EF∥BC，則AF+CE的最小值是 ．
【分析】延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，則四邊形EFGC是平行四邊形，得CE＝FG，則AF+CE＝AF+FG，可知當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線時，AF+CE的值最小為AG，利用勾股定理求出AG的長即可．
【解答】解：延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，
∵EF∥CG，EF＝CG，
∴四邊形EFGC是平行四邊形，
∴CE＝FG，
∴AF+CE＝AF+FG，
∴當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線時，AF+CE的值最小為AG，
由勾股定理得，AG＝＝＝10，
∴AF+CE的最小值為10，
故答案為：10．
8． (2023?賀州）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn)，∠ADC的平分線交AB于點(diǎn)G，點(diǎn)P是線段DG上的一個動點(diǎn)，則△PEF的周長最小值為 ．
【分析】如圖，在DC上截取DT，使得DT＝DE，連接FT，過點(diǎn)T作TH⊥AB于點(diǎn)H．利用勾股定理求出FT＝，EF＝5，證明PE+PF＝PF+PT≥FT，可得結(jié)論．
【解答】解：如圖，在DC上截取DT，使得DT＝DE，連接FT，過點(diǎn)T作TH⊥AB于點(diǎn)H．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADT＝90°，
∵∠AHT＝90°，
∴四邊形AHTD是矩形，
∵AE＝DE＝AD＝3．AF＝FB＝AB＝4，
∴AH＝DT＝3，HF＝AF﹣AH＝4﹣3＝1，HT＝AD＝6，
∴FT＝＝＝，
∵DG平分∠ADC，DE＝DT，
∴E、T關(guān)于DG對稱，
∴PE＝PT，
∴PE+PF＝PF+PT≥FT＝，
∵EF＝＝＝5，
∴△EFP的周長的最小值為5+，
故答案為：5+．
9． (2023?婁底）菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝45°，點(diǎn)P、Q分別是BC、BD上的動點(diǎn)，CQ+PQ的最小值為 ．
【分析】連接AQ，作AH⊥BC于H，利用SAS證明△ABQ≌△CBQ，得AQ＝CQ，當(dāng)點(diǎn)A、Q、P共線，AQ+PQ的最小值為AH的長，再求出AH的長即可．
【解答】解：連接AQ，作AH⊥BC于H，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝CB，∠ABQ＝∠CBQ，
∵BQ＝BQ，
∴△ABQ≌△CBQ（SAS），
∴AQ＝CQ，
∴當(dāng)點(diǎn)A、Q、P共線，AQ+PQ的最小值為AH的長，
∵AB＝2，∠ABC＝45°，
∴AH＝，
∴CQ+PQ的最小值為，
故答案為：．
10． (2023?眉山）如圖，點(diǎn)P為矩形ABCD的對角線AC上一動點(diǎn)，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接PE，PB，若AB＝4，BC＝4，則PE+PB的最小值為 ．
【分析】作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B'，交AC于點(diǎn)F，連接B′E交AC于點(diǎn)P，則PE+PB的最小值為B′E的長度；然后求出B′B和BE的長度，再利用勾股定理即可求出答案．
【解答】解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B'，交AC于點(diǎn)F，連接B′E交AC于點(diǎn)P，則PE+PB的最小值為B′E的長度，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB＝CD＝4，∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝4，
∴tan∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝30°，
由對稱的性質(zhì)可知，B'B＝2BF，B'B⊥AC，
∴BF＝BC＝2，∠CBF＝60°，
∴B′B＝2BF＝4，
∵BE＝BF，∠CBF＝60°，
∴△BEF是等邊三角形，
∴BE＝BF＝B'F，
∴△BEB'是直角三角形，
∴B′E＝＝＝6，
∴PE+PB的最小值為6，
故答案為：6．
11． (2023?濱州）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10．若點(diǎn)E是邊AD上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AC且分別交對角線AC、直線BC于點(diǎn)O、F，則在點(diǎn)E移動的過程中，AF+FE+EC的最小值為 ．
【分析】如圖，過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H．利用相似三角形的性質(zhì)求出FH，EF，設(shè)BF＝x，則DE＝10﹣x﹣＝﹣x，因?yàn)镋F是定值，所以AF+CE的值最小時，AF+EF+CE的值最小，由AF+CE＝+，可知欲求AF+CE的最小值相當(dāng)于在x軸上找一點(diǎn)P（x，0），使得P到A（0，5），B（，5）的距離和最小，如圖1中，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′，連接BA′交x軸于點(diǎn)P，連接AP，此時PA+PB的值最小，最小值為線段A′B的長，由此即可解決問題．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝∠BHE＝90°，
∴四邊形ABHE是矩形，
∴EH＝AB＝5，
∵BC＝AD＝10，
∴AC＝＝＝5，
∵EF⊥AC，
∴∠COF＝90°，
∴∠EFH+∠ACB＝90°，
∵∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠EFH＝∠BAC，
∴△EHF∽△CBA，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴FH＝，EF＝，
設(shè)BF＝x，則DE＝10﹣x﹣＝﹣x，
∵EF是定值，
∴AF+CE的值最小時，AF+EF+CE的值最小，
∵AF+CE＝+，
∴欲求AF+CE的最小值相當(dāng)于在x軸上找一點(diǎn)P（x，0），使得P到A（0，5），B（，5）的距離和最小，如圖1中，
作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′，連接BA′交xz軸于點(diǎn)P，連接AP，此時PA+PB的值最小，最小值為線段A′B的長，
∵A′（0，﹣5），B（，5），
∴A′B＝＝，
∴AF+CE的最小值為，
∴AF+EF+CE的最小值為+．
解法二：過點(diǎn)C作CC′∥EF，使得CC′＝EF，連接C′F．
∵EF＝CC′，EF∥CC′，
∴四邊形EFC′C是平行四邊形，
∴EC＝FC′，
∵EF⊥AC，
∴AC⊥CC′，
∴∠ACC＝90°，
∵AC′＝＝＝，
∴AF+EC＝AF+FC′≥AC′＝，
∴AF+EF+CE的最小值為+．
故答案為：+．
12． (2023?自貢）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中點(diǎn)，線段EF在邊AB上左右滑動，若EF＝1，則GE+CF的最小值為 ．
【分析】解法一：利用已知可以得出GC，EF長度不變，求出GE+CF最小時即可得出四邊形CGEF周長的最小值，利用軸對稱得出E，F(xiàn)位置，即可求出．
解法二：設(shè)AE＝x，則BF＝3﹣x，根據(jù)勾股定理可得：EG+CF＝+，由勾股定理構(gòu)建另一矩形EFGH，根據(jù)線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短可得結(jié)論．
【解答】解：解法一：如圖，作G關(guān)于AB的對稱點(diǎn)G'，在CD上截取CH＝1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF＝1，此時GE+CF的值最小，
∵CH＝EF＝1，CH∥EF，
∴四邊形EFCH是平行四邊形，
∴EH＝CF，
∴G'H＝EG'+EH＝EG+CF，
∵AB＝4，BC＝AD＝2，G為邊AD的中點(diǎn)，
∴DG'＝AD+AG'＝2+1＝3，DH＝4﹣1＝3，
由勾股定理得：HG'＝＝3，
即GE+CF的最小值為3．
解法二：∵AG＝AD＝1，
設(shè)AE＝x，則BF＝AB﹣EF﹣AE＝4﹣x﹣1＝3﹣x，
由勾股定理得：EG+CF＝+，
如圖，矩形EFGH中，EH＝3，GH＝2，GQ＝1，
P為FG上一動點(diǎn)，設(shè)PG＝x，則FP＝3﹣x，
∴EP+PQ＝+，
當(dāng)E，P，Q三點(diǎn)共線時，EP+PQ最小，最小值是3，
即EG+CF的最小值是3．
故答案為：3．
13． (2023?泰州）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為與點(diǎn)D不重合的動點(diǎn)，以DE為一邊作正方形DEFG．設(shè)DE＝d1，點(diǎn)F、G與點(diǎn)C的距離分別為d2、d3，則d1+d2+d3的最小值為（ ）
A．B．2C．2D．4
【分析】連接AE，那么，AE＝CG，所以這三個d的和就是AE+EF+FC，所以大于等于AC，故當(dāng)AEFC四點(diǎn)共線有最小值，最后求解，即可求出答案．
【解答】解：如圖，連接AE，
∵四邊形DEFG是正方形，
∴∠EDG＝90°，EF＝DE＝DG，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴d1+d2+d3＝EF+CF+AE，
∴點(diǎn)A，E，F(xiàn)，C在同一條線上時，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小，
連接AC，
∴d1+d2+d3最小值為AC，
在Rt△ABC中，AC＝AB＝2，
∴d1+d2+d3最小＝AC＝2，
故選：C．
14． (2023?安徽）已知點(diǎn)O是邊長為6的等邊△ABC的中心，點(diǎn)P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面積分別記為S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，則線段OP長的最小值是（ ）
A．B．C．3D．
【分析】如圖，不妨假設(shè)點(diǎn)P在AB的左側(cè)，證明△PAB的面積是定值，過點(diǎn)P作AB的平行線PM，連接CO延長CO交AB于點(diǎn)R，交PM于點(diǎn)T．因?yàn)椤鱌AB的面積是定值，推出點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是直線PM，求出OT的值，可得結(jié)論．
【解答】解：如圖，不妨假設(shè)點(diǎn)P在AB的左側(cè)，
∵S△PAB+S△ABC＝S△PBC+S△PAC，
∴S1+S0＝S2+S3，
∵S1+S2+S3＝2S0，
∴S1+S1+S0＝2，
∴S1＝S0，
∵△ABC是等邊三角形，邊長為6，
∴S0＝×62＝9，
∴S1＝，
過點(diǎn)P作AB的平行線PM，連接CO延長CO交AB于點(diǎn)R，交PM于點(diǎn)T．
∵△PAB的面積是定值，
∴點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是直線PM，
∵O是△ABC的中心，
∴CT⊥AB，CT⊥PM，
∴?AB?RT＝，CR＝3，OR＝，
∴RT＝，
∴OT＝OR+TR＝，
∵OP≥OT，
∴OP的最小值為，
當(dāng)點(diǎn)P在②區(qū)域時，同法可得OP的最小值為，
如圖，當(dāng)點(diǎn)P在①③⑤區(qū)域時，OP的最小值為，當(dāng)點(diǎn)P在②④⑥區(qū)域時，最小值為，
∵＜，
故選：B．
考點(diǎn)二：利用確定圓心的位置求最短路徑
知識回顧
解題思路：
通過確定圓心的位置，利用定點(diǎn)到圓心的距離加或減半徑解題。
確定圓心的方法：
方法①：到定點(diǎn)的距離等于定長確定圓心。通常存在線段旋轉(zhuǎn)。
方法②：直徑所對的圓周角等于90°。找90°的角所對直線的中點(diǎn)。通常出現(xiàn)兩個角相等。
微專題
15． (2023?泰安）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P是線段BC上一動點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AP上一點(diǎn)，∠ADM＝∠BAP，則BM的最小值為（ ）
A．B．C．﹣D．﹣2
【分析】如圖，取AD的中點(diǎn)O，連接OB，OM．證明∠AMD＝90°，推出OM＝AD＝2，點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡是以O(shè)為圓心，2為半徑的⊙O．利用勾股定理求出OB，可得結(jié)論．
【解答】解：如圖，取AD的中點(diǎn)O，連接OB，OM．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，
∴∠BAP+∠DAM＝90°，
∵∠ADM＝∠BAP，
∴∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∵AO＝OD＝2，
∴OM＝AD＝2，
∴點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡是以O(shè)為圓心，2為半徑的⊙O．
∵OB＝＝＝，
∴BM≥OB﹣OM＝﹣2，
∴BM的最小值為﹣2．
故選：D．
16． (2023?黃石）如圖，等邊△ABC中，AB＝10，點(diǎn)E為高AD上的一動點(diǎn)，以BE為邊作等邊△BEF，連接DF，CF，則∠BCF＝ ，F(xiàn)B+FD的最小值為 ．
【分析】首先證明△BAE≌△BCF（SAS），推出∠BAE＝∠BCF＝30°，作點(diǎn)D關(guān)于CF的對稱點(diǎn)G，連接CG，DG，BG，BG交CF于點(diǎn)F′，連接DF′，此時BF′+DF′的值最小，最小值＝線段BG的長．
【解答】解：如圖，
∵△ABC是等邊三角形，AD⊥CB，
∴∠BAE＝∠BAC＝30°，
∵△BEF是等邊三角形，
∴∠EBF＝∠ABC＝60°，BE＝BF，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△BAE和△BCF中，
，
∴△BAE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠BCF＝30°，
作點(diǎn)D關(guān)于CF的對稱點(diǎn)G，連接CG，DG，BG，BG交CF的延長線于點(diǎn)F′，連接DF′，此時BF′+DF′的值最小，最小值＝線段BG的長．
∵∠DCF＝∠FCG＝30°，
∴∠DCG＝60°，
∵CD＝CG＝5，
∴△CDG是等邊三角形，
∴DB＝DC＝DG，
∴∠CGB＝90°，
∴BG＝＝＝5，
∴BF+DF的最小值為5，
故答案為：30°，5．
17． (2023?柳州）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一個動點(diǎn)，且EG＝2，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接CF，則線段CF長的最小值為 ．
【分析】連接DG，將DG繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得DM，連接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，利用SAS證明△EDG≌△DFM，得MF＝EG＝2，再說明△DGC≌△DMH（AAS），得CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，求出CM的長，再利用三角形三邊關(guān)系可得答案．
【解答】解：連接DG，將DG繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得DM，連接MG，CM，MF，
作MH⊥CD于H，
∵∠EDF＝∠GDM，
∴∠EDG＝∠FDM，
∵DE＝DF，DG＝DM，
∴△EDG≌△MDF（SAS），
∴MF＝EG＝2，
∵∠GDC＝∠DMH，∠DCG＝∠DHM，DG＝DM，
∴△DGC≌△MDH（AAS），
∴CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，
∴CM＝＝2，
∵CF≥CM﹣MF，
∴CF的最小值為2﹣2，
故答案為：2﹣2．
18． (2023?無錫）△ABC是邊長為5的等邊三角形，△DCE是邊長為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點(diǎn)F．如圖，若點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，∠DBC＝20°，則∠BAF＝ °；現(xiàn)將△DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)1周，在這個旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長度的最小值是 ．
【分析】第一個問題證明△BCD≌△ACE（SAS），推出∠DBC＝∠EAC＝20°，可得∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝80°．第二個問題，如圖1中，設(shè)BF交AC于點(diǎn)T．證明∠BCT＝∠AFT＝60°，推出點(diǎn)F在△ABC的外接圓上運(yùn)動，當(dāng)∠ABF最小時，AF的值最小，此時CD⊥BD，求出AE，EF可得結(jié)論．
【解答】解：∵△ACB，△DEC都是等邊三角形，
∴AC＝CB，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠DBC＝∠EAC＝20°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝80°．
如圖1中，設(shè)BF交AC于點(diǎn)T．
同法可證△BCD≌△ACE，
∴∠CBD＝∠CAF，
∵∠BTC＝∠ATF，
∴∠BCT＝∠AFT＝60°，
∴點(diǎn)F在△ABC的外接圓上運(yùn)動，當(dāng)∠ABF最小時，AF的值最小，此時CD⊥BD，
∴BD＝＝＝4，
∴AE＝BD＝4，∠BDC＝∠AEC＝90°，
∵CD＝CE，CF＝CF，
∴Rt△CFD≌Rt△CFE（HL），
∴∠DCF＝∠ECF＝30°，
∴EF＝CE?tan30°＝，
∴AF的最小值＝AE﹣EF＝4﹣，
故答案為：80，4﹣．
問題
基本圖形
解題圖形
解題思路與步驟
如圖①：如圖，存在直線l以及直線外的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，直線上存在一點(diǎn)M，使得MP＋MQ的值最小。
解題思路：找點(diǎn)作對稱
解題步驟：
①從問題中確定定點(diǎn)與動點(diǎn)。
②作其中一個定點(diǎn)關(guān)于動點(diǎn)所在直線的對稱點(diǎn)。通常情況下其中一個定點(diǎn)的關(guān)于動點(diǎn)所在直線的對稱點(diǎn)存在，找出即可。
③連接對稱點(diǎn)與另一個定點(diǎn)。與動點(diǎn)所在直線的交點(diǎn)即是動點(diǎn)的位置。然后解題。
如圖②：如圖，已知∠MON以及角內(nèi)一點(diǎn)P，角的兩邊OM與ON上存在點(diǎn)A與點(diǎn)B，使得△PAB的周長最小。
如圖③：如圖：已知∠AOB以及角內(nèi)兩點(diǎn)點(diǎn)P與點(diǎn)Q，角的兩邊上分別存在M、N使得四邊形PQMN的周長最小。

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