f(-x)=-f(x)
(1)周期函數(shù)一般地,對(duì)于函數(shù)f(x),如果存在一個(gè)　　　　　　　　　T,使得對(duì)定義域內(nèi)的　　　　　　,都滿足　　　　　　　　　,那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù),　　　　　T稱為這個(gè)函數(shù)的周期.?(2)最小正周期對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f(x),如果在它的所有周期中存在一個(gè)　　　　　　　,那么這個(gè)　　　　　　　　就稱為f(x)的最小正周期.?(3)周期不唯一:若T是函數(shù)y=f(x)(x∈R)的一個(gè)周期,則nT(n∈Z且n≠0)也是函數(shù)f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).
f(x+T)=f(x)　　　
易錯(cuò)點(diǎn)　忽略函數(shù)的定義域而致錯(cuò)
命題點(diǎn)1　函數(shù)的奇偶性
角度1　判斷函數(shù)的奇偶性
例1 (1)[全國卷Ⅰ]設(shè)函數(shù) f ( x )， g ( x )的定義域都為R，且 f ( x )是奇函數(shù)， g ( x )是偶函 數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是(　B　)
[解析]　因?yàn)?f ( x )為奇函數(shù)， g ( x )為偶函數(shù)，所以 f ( x ) g ( x )為奇函數(shù)， f ( x )｜ g ( x )｜為奇函數(shù)，｜ f ( x )｜ g ( x )為偶函數(shù)，｜ f ( x ) g ( x )｜為偶函數(shù)，故選B.
(2)全國卷Ⅱ]設(shè) f ( x )為奇函數(shù)，且當(dāng) x ≥0時(shí)， f ( x )＝e x －1，則當(dāng) x ＜ 0時(shí)， f ( x )＝ (　D　)
[解析]　依題意得，當(dāng) x ＜0時(shí)， f ( x )＝－ f (－ x )＝－(e－ x －1)＝－e－ x ＋1，故選D.
命題點(diǎn)2　函數(shù)的周期性
1. [2024黑龍江省雞西市第一中學(xué)模擬]下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)單調(diào)遞 減的是(　C　)
2.[2023南京市、鹽城市一模]若函數(shù) f ( x )＝ x 3＋ bx 2＋ cx ＋ d 滿足 f (1－ x )＋ f (1＋ x ) ＝0對(duì)一切實(shí)數(shù) x 恒成立，則不等式 f '(2 x ＋3)＜ f '( x －1)的解集為(　C　)
[解析]　由 f (1－ x )＋ f (1＋ x )＝0可知，函數(shù) f ( x )的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)中心對(duì)稱.
解法一　易得 f '( x )＝3 x 2＋2 bx ＋ c 的圖象的對(duì)稱軸為直線 x ＝1，所以函數(shù) f '( x )在 (－∞，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，則由 f '(2 x ＋3)＜ f '( x －1)，得｜2 x ＋3－1｜＜｜ x －1－1｜，解得－4＜ x ＜0，故選C.
3. [2024黃岡模擬]已知函數(shù) f ( x )及其導(dǎo)函數(shù) f '( x )的定義域均為R，記 g ( x )＝ f '( x ＋ 1)，且 f (2＋ x )－ f (2－ x )＝4 x ， g (3＋ x )為偶函數(shù)，則g'(7)＋ g (17)＝(　C　)
[解析]　因?yàn)?g (3＋ x )為偶函數(shù)， g ( x )＝ f '( x ＋1)，所以 f '( x ＋4)＝ f '(－ x ＋4)，對(duì) f (2＋ x )－ f (2－ x )＝4 x 兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得 f '(2＋ x )＋ f '(2－ x )＝4，所以有 f '(4＋ x )＋ f '(－ x )＝4? f '(4－ x )＋ f '(－ x )＝4? f '(4＋ x )＋ f '( x )＝4? f '(8＋ x )＝ f '( x )，所以函數(shù) f '( x )的周期為8，在 f '(2＋ x )＋ f '(2－ x )＝4中，令 x ＝0，得 f '(2)＝2，因此 g (17)＝ f '(18)＝ f '(2)＝2
因?yàn)?g (3＋ x )為偶函數(shù)，所以有 g (3＋ x )＝ g (3－ x )?g'(3＋ x )＝－g'(3－ x )?g'(7)＝ －g'(－1)　①，
f '(8＋ x )＝ f '( x )? g (7＋ x )＝ g ( x －1)?g'(7＋ x )＝g'( x －1)?g'(7)＝g'(－1)?、?，
由①②可得：g'(7)＝0，所以g'(7)＋ g (17)＝2，故選C.
4.[2024遼寧鞍山一中模擬]下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0，＋∞)上單調(diào)遞 增的是(　C　)
5.[2024江蘇南通模擬]已知定義在R上的函數(shù) f ( x )， g ( x )分別是奇函數(shù)和偶函數(shù)， 且 f ( x )＋ g ( x )＝ x 2－2 x ，則 f (2)＋ g (1)＝ ?.
[解析]　由 f ( x )是奇函數(shù)， g ( x )是偶函數(shù)，得 f (－ x )＝－ f ( x )， g (－ x )＝ g ( x )， ∵ f ( x )＋ g ( x )＝ x 2－2 x ，∴ f (－ x )＋ g (－ x )＝(－ x )2－2(－ x )＝ x 2＋2 x ，即－ f ( x )＋ g ( x )＝ x 2＋2 x ，則有 f ( x )＝－2 x ， g ( x )＝ x 2，則 f (2)＋ g (1)＝－4＋1＝－3

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