1.集合的含義與表示(1)集合元素的三個特征:　　　　　、　　　　　、　　　　　.?(2)元素與集合的關(guān)系有　　　　或　　　　　兩種,用符號　　或　　表示.?(3)集合的表示方法:　　　　　、　　　　　、　　　　　.?(4)常見數(shù)集的記法.
2.集合間的基本關(guān)系
4.集合的運算性質(zhì)(1)并集的性質(zhì):A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A.(2)交集的性質(zhì):A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?　　　　.?(3)補集的性質(zhì):A∪(?UA)=　　　;A∩(?UA)=?;?U(?UA)=　　　;?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB);?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB).?
1.若集合A中含有n個元素,則它的子集個數(shù)為2n,真子集的個數(shù)為2n-1,非空真子集的個數(shù)為2n-2.2.A?B,B?C?A?C;A?B,B?C?A?C.3.A?B?A∩B=A?A∪B=B?(?UB)?(?UA)?A∩(?UB)=?(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
易錯點1　忽略集合中元素的互異性而致錯
易錯點2　不能正確理解集合的表示方法而致錯
易錯點3　不理解自定義的集合(運算)而致錯
易錯點4　不理解集合中元素的確定性而致錯
易錯點5　混淆元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系而致錯
易錯點6　忽視對空集的討論而致錯
易錯點7　忽略端點的取值情況而致錯
易錯點8　含參數(shù)的集合運算中忽視對空集的討論而致錯
例1 (1)[2022全國卷乙]設(shè)全集 U ＝{1，2，3，4，5}， 集合 M 滿足? UM ＝{1，3}，則 (　A　)
[解析]　由題意知 M ＝{2，4，5}，故選A.
(2)[全國卷Ⅲ]已知集合 A ＝{( x ， y )｜ x ， y ∈N*， y ≥ x }， B ＝{( x ， y )｜ x ＋ y ＝ 8}，則 A ∩ B 中元素的個數(shù)為(　C　)
[解析]　由題意得， A ∩ B ＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以 A ∩ B 中元素 的個數(shù)為4，故選C.
命題點2　集合間的基本關(guān)系
例2 [2023新高考卷Ⅱ]設(shè)集合 A ＝{0，－ a }， B ＝{1， a －2，2 a －2}，若 A ? B ，則 a ＝(　B　)
[解析]　依題意，有 a －2＝0或2 a －2＝0.當(dāng) a －2＝0時，解得 a ＝2，此時 A ＝{0， －2}， B ＝{1，0，2}，不滿足 A ? B ；當(dāng)2 a －2＝0時，解得 a ＝1，此時 A ＝{0， －1}， B ＝{－1，0，1}，滿足 A ? B . 所以 a ＝1，故選B.
命題點3　集合的基本運算
角度1　集合的交、并、補運算例3 (1)[2023新高考卷Ⅰ]已知集合 M ＝{－2，－1，0，1，2}， N ＝{ x ｜ x 2－ x －6≥0}，則 M ∩ N ＝(　C　)
[解析]　解法一　因為 N ＝{ x ｜ x 2－ x －6≥0}＝{ x ｜ x ≥3或 x ≤－2}，所以 M ∩ N ＝{－2}，故選C.
解法二　因為1? N ，所以1? M ∩ N ，排除A，B；因為2? N ，所以2? M ∩ N ，排除 D. 故選C.
(2)[2023全國卷甲]設(shè)全集 U ＝Z，集合 M ＝{ x ｜ x ＝3 k ＋1， k ∈Z}， N ＝{ x ｜ x ＝ 3 k ＋2， k ∈Z}，則? U ( M ∪ N )＝(　A　)
[解析]　解法一　 M ＝{…，－2，1，4，7，10，…}， N ＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以 M ∪ N ＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以? U ( M ∪ N )＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍數(shù)，即? U ( M ∪ N )＝{ x ｜ x ＝3 k ， k ∈Z}，故選A.
解法二　集合 M ∪ N 表示被3除余1或2的整數(shù)集，則它在整數(shù)集中的補集是恰好能 被3整除的整數(shù)集，故選A.
（3）[2023全國卷乙]設(shè)全集 U ＝{0，1，2，4，6，8}，集合 M ＝{0，4，6}， N ＝{0，1，6}，則 M ∪? UN ＝(　A　)
[解析]　由題意知，? UN ＝{2，4，8}，所以 M ∪? UN ＝{0，2，4，6，8}.故選A.
角度2　已知集合運算結(jié)果求參數(shù)例4 [全國卷Ⅰ]設(shè)集合 A ＝{ x ｜ x 2－4≤0}， B ＝{ x ｜2 x ＋ a ≤0}，且 A ∩ B ＝ { x ｜－2≤ x ≤1}，則 a ＝(　B　)
集合中元素的個數(shù)問題的求解策略關(guān)于集合中元素的個數(shù)問題，常借助Venn圖或用公式card( A ∪ B )＝card( A )＋ card( B )－ card( A ∩ B )，card( A ∪ B ∪ C )＝card( A )＋card( B )＋card( C )－card( A ∩ B )－card( A ∩ C )－card( B ∩ C )＋card( A ∩ B ∩ C )(card( A )表示有限集合 A 中元素的個數(shù))求解.
命題點4　集合中的計數(shù)問題
例5 [全國卷Ⅲ]《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)瑰 寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨 機調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀 過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有 60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為(　C　)
[解析]　解法一　由題意得，閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為 90－80＋60＝70，則 該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為70÷100＝0.7.故 選C.
解法二　用Venn圖表示調(diào)查的100位學(xué)生中閱讀過《西游記》和《紅樓夢》的人數(shù) 之間的關(guān)系，如圖，
集合的新定義問題的理解
“新定義”主要是指定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.
命題點5　集合的新定義問題
例6 [2024上海市晉元高級中學(xué)模擬]已知集合 M ＝{1，2，3，4，5，6}，集合 A ? M ，定義 M ( A )為 A 中元素的最小值，當(dāng) A 取遍 M 的所有非空子集時，對應(yīng)的 M ( A )的和記為 S ，則 S ＝ ?.
[解析]　由 M ＝{1，2，3，4，5，6}得， M 的非空子集 A 共有26－1個，其中最小值 為1的有25個，最小值為2的有24個，最小值為3的有23個，最小值為4的有22個， 最 小值為5的有21個，最小值為6的有20個，故 S ＝25×1＋24×2＋23×3＋22×4＋2×5 ＋1×6＝120.
1. [2024武漢部分學(xué)校調(diào)考]已知集合 A ＝{ x ｜ x 2－2 x －8＜0}， B ＝{－2，－1， 0，1，2}，則 A ∩ B ＝(　B　)
[解析]　因為 A ＝{ x ｜ x 2－2 x －8＜0}＝{ x ｜－2＜ x ＜4}， B ＝{－2，－1，0， 1，2}，所以 A ∩ B ＝{－1，0，1，2}，故選B.
[解析]　由已知，得 P ＝[0，＋∞)， Q ＝(0，＋∞)，所以 Q ? P ，故選A.
3. [2024遼寧聯(lián)考]設(shè)全集 U ＝{1，2， m 2}，集合 A ＝{2， m －1}，? UA ＝{4}，則 m ＝(　D　)
4. [2024江西南昌模擬]已知集合 A ＝{ x ｜2 x ≤8， x ∈N}， B ＝{ x ｜－2＜ x ＜5}， 則 A ∩ B 中元素的個數(shù)為(　B　)
[解析]　因為 A ＝{ x ｜2 x ≤8， x ∈N}＝{0，1，2，3}，所以 A ∩ B ＝{0，1，2， 3}，則 A ∩ B 中元素的個數(shù)為4.故選B.
5. [2024山東模擬]已知集合 M ＝{ x ｜ x 2－2 x ≤0}， N ＝{ x ｜lg2( x －1)＜1}，則 M ∩ N ＝(　B　)
[解析]　解法一　因為 M ＝{ x ｜ x 2－2 x ≤0}＝{ x ｜0≤ x ≤2}， N ＝{ x ｜lg2( x － 1)＜1}＝{ x ｜0＜ x －1＜2}＝{ x ｜1＜ x ＜3}，所以 M ∩ N ＝(1，2]，故選B.
6. [2024重慶渝北模擬]設(shè)集合 A ＝{ x ｜ x 2－8 x ＋15＝0}，集合 B ＝{ x ｜ ax －1＝ 0}，若 B ? A ，則實數(shù) a 取值集合的真子集的個數(shù)為(　C　)
7. [2024江西吉安模擬]若全集 U ＝{3，4，5，6，7，8}， M ＝{4，5}， N ＝{3，6}，則集合{7，8}＝(　D　)
[解析]　因為 M ＝{4，5}， N ＝{3，6}，所以 M ∪ N ＝{3，4，5，6}， M ∩ N ＝?，所以選項A，B不符合題意；又因為 U ＝{3，4，5，6，7，8}，所以(? UM )∪(? UN )＝{3，6，7，8}∪{4，5，7，8}＝{3，4，5，6，7，8}，(? UM )∩(? UN )＝{3，6，7，8}∩{4，5，7，8}＝{7，8}，因此選項C不符合題意，選項D符合題意，故選D.
8. [多選/2024遼寧朝陽模擬]設(shè) S 為實數(shù)集R的非空子集.若對任意 x ， y ∈ S ，都有 x ＋ y ， x － y ， xy ∈ S ，則稱 S 為封閉集.下列說法正確的是(　BCD　)

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