1.函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間的定義
f(x1)f(x2)
(1)y=f(x)在I上是增函數(shù)的充要條件是　　　　在I上恒成立;?(2)y=f(x)在I上是減函數(shù)的充要條件是　　　　在I上恒成立.?一般地,當x1≠x2時,稱　　 　　　　為函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[x1,x2](x1x2時)上的平均變化率.?
函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論:
易錯點1　忽略含參函數(shù)的分類討論而致錯
易錯點2　忽略分段函數(shù)的分界點而致錯
命題點1　確定函數(shù)的單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)
例1 (1)[2023北京高考]下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是(　C　)
(2)[全國卷Ⅱ]函數(shù) f ( x )＝ln( x 2－2 x －8)的單調(diào)遞增區(qū)間是(　 D　)
[解析]　由 x 2－2 x －8＞0，得 x ＜－2或 x ＞4.因此，函數(shù) f ( x )＝ln( x 2－2 x －8)的定 義域是(－∞，－2)∪(4，＋∞).(先求函數(shù) f ( x )的定義域)易知函數(shù) y ＝ x 2－2 x －8在(－∞，－2)上單調(diào)遞減，在(4，＋∞)上單調(diào)遞增，函數(shù) y ＝ln t 為(0，＋∞)上的增函數(shù)，由復合函數(shù)的單調(diào)性知， f ( x )＝ln( x 2－2 x －8)的 單調(diào)遞增區(qū)間是(4，＋∞).故選D.
命題點2　函數(shù)單調(diào)性的應用
對已知函數(shù)解析式比較函數(shù)值大小的問題,應先將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi),再利用函數(shù)的單調(diào)性解決;對沒有給出函數(shù)解析式的比較大小問題,需要先構(gòu)造函數(shù),再求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,最后利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.
例2[2024吉林長春東北師大附中校考改編]函數(shù) f ( x )的定義域為(0，＋∞)，對于? x ， y ∈(0，＋∞)， f ( xy )＝ f ( x )＋ f ( y )，且當 x ＞1時， f ( x )＜0.則 a ＝ f ( sin 3)， b ＝ f(ln 3)， c ＝ f (21.5)的大小關(guān)系是(　A　)
例3[全國卷Ⅰ]函數(shù) f ( x )在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若 f (1)＝－1，則 滿足－1≤ f ( x －2)≤1的 x 的取值范圍是(　D　)
[解析]　∵函數(shù) f ( x )為奇函數(shù)，且 f (1)＝－1，∴ f (－1)＝－ f (1)＝1，由－1≤ f ( x － 2)≤1，得 f (1)≤ f ( x －2)≤ f (－1)，(將常數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值)又函數(shù) f ( x )在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，∴－1≤ x －2≤1，∴1≤ x ≤3.故選D
角度3　已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍
例4[2023新高考卷Ⅰ]設(shè)函數(shù) f ( x )＝2 x ( x － a )在區(qū)間(0，1)單調(diào)遞減，則 a 的取值范 圍是(　D)
命題點3　與函數(shù)的最值(值域)有關(guān)的問題
1.[2024河北省唐山市第二中學模擬]下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是(　CC　)
[解析]　因為 y ＝e x 是增函數(shù)， y ＝e－ x 是減函數(shù)，所以 f ( x )＝e x －e－ x 在(0，＋∞) 上單調(diào)遞增，且 f ( x )＞0.又 f ( x )＝－ x 2在(－∞，0]上單調(diào)遞增，且 f ( x )≤0，所以 f ( x )在R上單調(diào)遞增.又 c ＝lg20.9＜0，0＜ b ＝lg32＜1， a ＝50.01＞1，即 a ＞ b ＞ c ，所以 f ( a )＞ f ( b )＞ f ( c ).
4.[多選/2024福建上杭一中模擬]高斯是德國著名數(shù)學家，有“數(shù)學王 子”的稱號，他和阿基米德，牛頓并列為世界三大數(shù)學家，用[ x ]表示不超過 x 的最 大整數(shù)，則 y ＝[ x ]稱為高斯函數(shù)，例如[－2.1]＝－3，[2.1]＝2.則下列說法正確的是 (　ACD　)
5.[2024河南鄭州模擬]函數(shù) f ( x )＝4 x －2 x ＋1－1的值域是 ?.
[解析]　由題知 f ( x )＝(2 x )2－2·2 x －1，令2 x ＝ t ( t ＞0)，得 m ( t )＝ t 2－2 t －1＝( t － 1)2－2( t ＞0)，由于 m ( t )＝( t －1)2－2( t ＞0)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單 調(diào)遞增，所以 m ( t )≥ m (1)＝－2，故 f ( x )的值域為[－2，＋∞).
6. [2023貴州安順模擬]若定義在R上的函數(shù) f ( x )，對任意 x 1≠ x 2，都有 x 1 f ( x 1)＋ x 2 f ( x 2)≥ x 1 f ( x 2)＋ x 2 f ( x 1)，則稱 f ( x )為“ H 函數(shù)”.現(xiàn)給出下列函數(shù)，其中是“ H 函數(shù)”的有 .(填上所有正確答案的序號)
① f ( x )＝ x 2－2 x ＋3；
② f ( x )＝2 x －1；
③ f ( x )＝lg( x －1)；

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