1. 充分條件、必要條件與充要條件
2. 全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞與存在量詞
(2)全稱量詞命題與存在量詞命題
注意　 1.? p ( x )表示 p ( x )不成立.2. 含有一個(gè)量詞的命題的否定規(guī)律是：改寫量詞，否定結(jié)論.對(duì)于省略了量詞的命 題，則需要根據(jù)命題的含義加上量詞，再改寫.3. 命題 p 與? p ( p 的否定)真假相反.
?x∈M，?p(x)　
充分、必要條件與對(duì)應(yīng)集合之間的關(guān)系設(shè) A ＝{ x ｜ p ( x )}， B ＝{ x ｜ q ( x )}.(1)若 p 是 q 的充分條件，則 A ? B ；若 p 是 q 的必要條件，則 A ? B . (2)若 p 是 q 的充分不必要條件，則 A ? B ；若 p 是 q 的必要不充分條件，則 A ? B . (3)若 p 是 q 的充要條件，則 A ＝ B .
易錯(cuò)點(diǎn)1　條件判定不全面而致誤
易錯(cuò)點(diǎn)2　不能正確區(qū)分命題的條件與結(jié)論而致誤
易錯(cuò)點(diǎn)3　不能正確理解全稱量詞與存在量詞的概念而致錯(cuò)
易錯(cuò)點(diǎn)4　忽視否定的范圍而致錯(cuò)
?a，b∈R，方程ax2＋b＝0無解或至少有兩解
命題點(diǎn)1　充分條件與必要條件
角度1　充分條件與必要條件的判斷例1 (1)[2023天津高考]“ a 2＝ b 2”是“ a 2＋ b 2＝2 ab ”的(　B　)
[解析]　因?yàn)椤?a 2＝ b 2”?“ a ＝－ b 或 a ＝ b ”， “ a 2＋ b 2＝2 ab ”?“ a ＝ b ”，所以本題可以轉(zhuǎn)化為判斷“ a ＝－ b 或 a ＝ b ”與“ a ＝ b ”的關(guān)系，又“ a ＝－ b 或 a ＝ b ”是“ a ＝ b ”的必要不充分條件，所以“ a 2＝ b 2”是“ a 2＋ b 2＝2 ab ”的必要不充分條件.故選B.
(2)[2023全國(guó)卷甲]設(shè)甲： sin 2α＋ sin 2β＝1，乙： sin α＋ cs β＝0，則(　B　)
[解析]　甲等價(jià)于 sin 2α＝1－ sin 2β＝ cs 2β，等價(jià)于 sin α＝± cs β，所以由甲不能 推導(dǎo)出 sin α＋ cs β＝0，所以甲不是乙的充分條件；由 sin α＋ cs β＝0，得 sin α＝ － cs β，兩邊同時(shí)平方可得 sin 2α＝ cs 2β＝1－ sin 2β，即 sin 2α＋ sin 2β＝1，所以 由乙可以推導(dǎo)出甲，則甲是乙的必要條件.綜上，選B.
A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件
A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
解得 m ≥9，所以實(shí)數(shù) m 的取值范圍為[9，＋∞).
命題點(diǎn)2　全稱量詞與存在量詞
角度1　全稱量詞命題和存在量詞命題的否定及真假判斷例3 (1)[2023遼寧名校聯(lián)考]已知命題 p ：? x ＜－1，2 x － x －1＜0，則? p 為(　B　)
[解析]　因?yàn)槊} p ：? x ＜－1，2 x － x －1＜0，則? p ：? x ＜－1，2 x － x －1≥0.故 選B.
(2)[2023湖北模擬]下列命題為真命題的是(　C　)
(2)[2024江蘇南通學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)]設(shè)命題 p ：? x ∈R， ax 2－ x ＋1≤0.寫出一個(gè)實(shí)數(shù) a ＝ ，使得 p 為真命題.
突破雙變量“存在性”或“任意性”問題
角度2　雙變量“存在性”或“任意性”的不等式問題
2.[2024湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考]設(shè) m ∈R， a ＝( m ，1)， b ＝(4， m )， c ＝ (1，－2)，則 b ⊥ c 是 a ∥ b 的(　A　)
[解析]　若 b ⊥ c ，則4－2 m ＝0，得 m ＝2，即 b ⊥ c ? m ＝2；若 a ∥ b ，則 m 2＝ 4，得 m ＝±2，即 a ∥ b ? m ＝±2.因?yàn)?m ＝2是 m ＝±2的充分不必要條件，所以 b ⊥ c 是 a ∥ b 的充分不必要條件，故選A.
3. [2024福建南平模擬]若命題 p ：? x ＞0， x 2－3 x ＋2＞0，則命題 p 的否定為 (　C　)
[解析]　命題 p ：? x ＞0， x 2－3 x ＋2＞0是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命 題，所以命題 p 的否定為? x ＞0， x 2－3 x ＋2≤0.故選C.
4. [2024河南名校聯(lián)考]若直線 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0的傾斜角為α，則“α不是鈍角” 是“ A · B ＜0”的(　B　)
5. [2024長(zhǎng)春市質(zhì)量監(jiān)測(cè)(一)]“ a ＞ b ＞1”是“l(fā)g a 2＜lg b 2”的(　A　)
6. [2024江蘇鎮(zhèn)江模擬]命題“? x ∈[0，3]， x 2－2 x － a ≤0”為真命題的一個(gè)充分不 必要條件是(　A　)
[解析]　由? x ∈[0，3]， x 2－2 x － a ≤0，得 a ≥ x 2－2 x 在 x ∈[0，3]恒成立. y ＝ x 2 －2 x 的圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線 x ＝1，則其在[0，3]上的最大值為32－2×3＝ 3，則 a ≥3，結(jié)合選項(xiàng)可知， a ≥3的充分不必要條件為 a ≥4，故選A.
7. [2024山東聊城模擬]若存在 x ∈(0，2]，使不等式 ax 2－2 x ＋3 a ＜0成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是(　A　)
9. [2024江西分宜中學(xué)、臨川一中等校聯(lián)考]已知{ an }是等比數(shù)列，則“ a 2＜ a 1＜ 0”是“{ an }為遞減數(shù)列”的(　A　)
10. [2024湖南模擬]已知“ a ≤ x ≤ a 2＋1”是“－2≤ x ≤5”的充分不必要條件，則 實(shí)數(shù) a 的取值范圍是(　C　)
11. [多選/2024江蘇省高郵一中模擬]若“? x ∈ M ，｜ x ｜＞ x ”為真命題， “? x ∈ M ， x ＞3”為假命題，則集合 M 可以是(　AB　)
[解析]　“? x ∈ M ，｜ x ｜＞ x ”為真命題，則 x ＜0，“? x ∈ M ， x ＞3”為假命 題，則“? x ∈ M ， x ≤3”為真命題.因此集合 M 的元素均為負(fù)數(shù)，故選AB.
12.[多選/2024重慶市合川區(qū)模擬]已知命題 p ：? x ∈R， x 2＋1＜2 x ；命題 q ：若 mx 2 － mx －1≠0恒成立，則－4＜ m ＜0.則(　BC　)
[解析]　對(duì)于命題 p ：因?yàn)?x 2－2 x ＋1＝( x －1)2≥0，所以 x 2＋1≥2 x ，即不存在 x ，使 x 2＋1＜2 x ，故命題 p 是假命題，則命題 p 的否定是真命題.對(duì)于命題 q ：若 mx 2－ mx －1≠0恒成立，則當(dāng) m ＝0時(shí)，－1≠0，原不等式恒成立；當(dāng) m ≠0時(shí)，Δ＝ m 2＋4 m ＜0，得－4＜ m ＜0.綜合得－4＜ m ≤0，故命題 q 是假命題，則命題 q 的否定是真命題.綜上所述，選項(xiàng)A錯(cuò)誤、B正確、C正確、D錯(cuò)誤.故選BC.
13. [多選/2024廣東廣州模擬]下列命題中為真命題的是(　CD　)

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