《三角形》全章復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解三角形有關(guān)的概念,掌握三角形內(nèi)角和定理的證明，能應(yīng)用內(nèi)角和定理進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算及證明問(wèn)題.2. 理解并會(huì)應(yīng)用三角形三邊關(guān)系定理；3.了解三角形中三條重要的線(xiàn)段并能正確的作圖.4.了解全等三角形的概念和性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確地辨認(rèn)全等三角形中的對(duì)應(yīng)元素；探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進(jìn)行證明，掌握綜合法證明的格式，而且要用利用圖形全等的解決實(shí)際生活中存在的問(wèn)題.5. 掌握常見(jiàn)的尺規(guī)作圖方法，并根據(jù)三角形全等判定定理利用尺規(guī)作一個(gè)三角形與已知三角形全等.  【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、三角形的內(nèi)角和三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/span>應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理可以解決以下三類(lèi)問(wèn)題：①在三角形中已知任意兩個(gè)角的度數(shù)可以求出第三個(gè)角的度數(shù)；②已知三角形三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，可以求出其內(nèi)角的度數(shù)；③求一個(gè)三角形中各角之間的關(guān)系．要點(diǎn)二、三角形的分類(lèi)1.按角分類(lèi)：要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/span>①銳角三角形：三個(gè)內(nèi)角都是銳角的三角形;②鈍角三角形：有一個(gè)內(nèi)角為鈍角的三角形.2.按邊分類(lèi)：要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/span> ①不等邊三角形：三邊都不相等的三角形；②等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角;③等邊三角形：三邊都相等的三角形.要點(diǎn)三、三角形的三邊關(guān)系1.定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊的之差小于第三邊.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/span>（1）理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短.（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線(xiàn)段能否組成三角形，若兩條較短的線(xiàn)段長(zhǎng)之和大于最長(zhǎng)線(xiàn)段的長(zhǎng)，則這三條線(xiàn)段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當(dāng)已知三角形兩邊長(zhǎng)，可求第三邊長(zhǎng)的取值范圍．（3）證明線(xiàn)段之間的不等關(guān)系．2.三角形的重要線(xiàn)段：一個(gè)三角形有三條中線(xiàn)，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，這點(diǎn)稱(chēng)為三角形的重心．一個(gè)三角形有三條角平分線(xiàn)，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)．三角形的三條高所在的直線(xiàn)相交于一點(diǎn)的位置情況有三種：銳角三角形交點(diǎn)在三角形內(nèi)；直角三角形交點(diǎn)在直角頂點(diǎn)；鈍角三角形交點(diǎn)在三角形外.要點(diǎn)四、全等三角形的性質(zhì)與判定1.全等三角形的性質(zhì)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.2.全等三角形的判定定理全等三角形判定1——“邊邊邊”：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS”）. “ 全等三角形判定2——“角邊角”：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”）. 全等三角形判定3——“角角邊”：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或“AAS”）   全等三角形判定4—— “邊角邊”：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”）.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/span>（1）如何選擇三角形證全等，可以從求證出發(fā)，看求證的線(xiàn)段或角（用等量代換后的線(xiàn)段、角）在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，可以證這兩個(gè)三角形全等；（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個(gè)三角形全等；（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個(gè)三角形全等，然后證它們?nèi)?；?）如果以上方法都行不通，就添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形.要點(diǎn)五、用尺規(guī)作三角形1.基本作圖利用尺規(guī)作圖作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段、作一個(gè)角等于已知角，并利用全等三角形的知識(shí)作一個(gè)三角形與已知三角形全等； 要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/span>要熟練掌握直尺和圓規(guī)在作圖中的正確應(yīng)用，對(duì)于作圖要用正確語(yǔ)言來(lái)進(jìn)行表達(dá).【典型例題】類(lèi)型一、三角形的內(nèi)角和1．在△ABC中，∠B＝20°+∠A，∠C＝∠B－10°，求∠A的度數(shù).
【思路點(diǎn)撥】由三角形的內(nèi)角和，建立方程解決.
【答案與詳解】∵∠C＝∠B－10°＝∠A+10°，由三角形的內(nèi)角和定理，
　　　　　得∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+20°+∠A+10°＝180°，∴∠A＝50°. 
【總結(jié)升華】本題根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列出以∠A為未知數(shù)的方程，解方程即可求得∠A.建立方程求解，是本章求解角度數(shù)的常用方法.舉一反三【變式】若∠C=50°，∠B-∠A=10°，那么∠A=________，∠B=_______
【答案】60°，70°.類(lèi)型二、三角形的三邊關(guān)系及分類(lèi)2.一個(gè)若三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和7,則第三邊長(zhǎng)c的取值范圍是_______.
【思路點(diǎn)撥】三角形的兩邊a、b，那么第三邊c的取值范圍是│a-b│＜c＜a+b.
【答案與詳解】三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和7, 則第三邊長(zhǎng)c的取值范圍是│2-7│＜c＜2+7,即5＜c＜9．
【總結(jié)升華】三角形任意兩邊之差小于第三邊，若這兩邊之差是負(fù)數(shù)時(shí)需加絕對(duì)值．
舉一反三【變式】（2020?泉州）已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么邊AC的長(zhǎng)可能是下列哪個(gè)值（　?。?/span>　 A．11 B． 5 C． 2 D． 1【答案】B．解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，6﹣4＜AC＜6+4，即2＜AC＜10，符合條件的只有5.
3.一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別是75°、30°、75°，這個(gè)三角形是（  ）A 銳角三角形    B 等腰三角形    C 等腰銳角三角形  【答案】C舉一反三【變式】一個(gè)三角形中，一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)等于另外兩個(gè)內(nèi)角的和的2倍，這個(gè)三角形是（   ）三角形A 銳角    B  直角   C 鈍角  D無(wú)法判斷【答案】C【詳解】利用三角形內(nèi)角和是180°以及已知條件，可以得到其中較大內(nèi)角的度數(shù)為120°，所以三角形為鈍角三角形.類(lèi)型三、三角形的重要線(xiàn)段4. （2020?常德）如圖，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線(xiàn)交于點(diǎn)E，則∠AEC=　   　．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、角平分線(xiàn)的定義以及三角形外角定理求得∠DAC+∠ACF=（∠B+∠B+∠1+∠2）；最后在△AEC中利用三角形內(nèi)角和定理可以求得∠AEC的度數(shù)．【答案】70°．【詳解】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線(xiàn)交于點(diǎn)E，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；又∵∠B=40°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形內(nèi)角和定理），∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2）=110°（外角定理），∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+∠ACF）=70°．故答案為：70°．【總結(jié)升華】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及角平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟練應(yīng)用角平分線(xiàn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵． 舉一反三【變式】在△ABC中,∠B=60°,∠C=40°,AD、AE分別是△ABC的高線(xiàn)和角平分線(xiàn), 則∠DAE的度數(shù)為_(kāi)________. 【答案】10°.類(lèi)型四、全等三角形的性質(zhì)和判定 5.兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線(xiàn)上，連結(jié)DC．(1)請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說(shuō)明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）；(2)證明：DC⊥BE .　　【思路點(diǎn)撥】△ABE與△ACD中，已經(jīng)有兩邊，夾角可以通過(guò)等量代換找到，從而證明△ABE≌△ACD；通過(guò)全等三角形的性質(zhì)，通過(guò)倒角可證垂直.【答案與詳解】解：（1）△ABE≌△ACD 　 　證明：∠BAC＝∠EAD＝90°　　　　　 ∠BAC ＋∠CAE＝∠EAD ＋∠CAE 　　　　　 即 ∠BAE＝∠CAD　　　　　 又AB＝AC，AE＝AD，　　　　　 △ABE≌△ACD（SAS）（2）由（1）得∠BEA＝∠CDA，　　　　 又∠COE＝∠AOD　　　　 ∠BEA＋∠COE ＝∠CDA＋∠AOD＝90°　　　　 則有∠DCE＝180°－ 90°＝90°，　　　　 所以DC⊥BE.【總結(jié)升華】我們可以試著從變換的角度看待△ABE與△ACD，后一個(gè)三角形是前一個(gè)三角形繞著A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的，對(duì)應(yīng)邊的夾角等于旋轉(zhuǎn)的角度90°，即DC⊥BE.舉一反三【變式】如圖，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求證：BD＝CE.【答案】證明：∵AE⊥AB，AD⊥AC，      ∴∠EAB＝∠DAC＝90°      ∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE ，即∠DAB＝∠EAC.       在△DAB與△EAC中，              ∴△DAB≌△EAC （ASA）       ∴BD＝CE.6.己知：在ΔABC中，AD為中線(xiàn).求證：AD＜【答案與詳解】證明：延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD，      ∵AD為中線(xiàn)，      ∴BD＝CD      在△ADC與△EDB中            ∴△ADC≌△EDB（SAS）      ∴AC＝BE      在△ABE中，AB＋BE＞AE，即AB＋AC＞2AD      ∴AD＜.【總結(jié)升華】用倍長(zhǎng)中線(xiàn)法可將線(xiàn)段AC，2AD，AB轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，把分散的條件集中起來(lái).倍長(zhǎng)中線(xiàn)法實(shí)際上是繞著中點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°.舉一反三【變式】若三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和7,  則第三邊的中線(xiàn)長(zhǎng)的取值范圍是(     )        A.1 ＜＜ 6     B.5 ＜＜ 7     C.2 ＜＜ 12    D.無(wú)法確定【答案】A ；提示：倍長(zhǎng)中線(xiàn)構(gòu)造全等三角形，7－5＜＜7＋5，所以選A選項(xiàng).類(lèi)型五、全等三角形判定的實(shí)際應(yīng)用　7.如圖，小葉和小麗兩家分別位于A、B兩處隔河相望，要測(cè)得兩家之間的距離，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出測(cè)量方案．【答案與詳解】本題的測(cè)量方案實(shí)際上是利用三角形全等的知識(shí)構(gòu)造兩個(gè)全等三角形，是一個(gè)三角形在河岸的同一邊，通過(guò)測(cè)量這個(gè)三角形中與AB相等的線(xiàn)段的長(zhǎng)，從而得知兩家的距離．解：在點(diǎn)B所在的河岸上取點(diǎn)C，連結(jié)BC，使CD=CB，利用測(cè)角儀器使得∠B=∠D，且A、C、E三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，測(cè)量出DE的長(zhǎng)，就是AB的長(zhǎng)．在△ABC和△ECD中           ∴△ABC≌△ECD（ASA）∴AB=DE．【總結(jié)升華】對(duì)于實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，首先要能將它化成數(shù)學(xué)模型，再根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)去解決． 由已知易證△ABC≌△ECD，可得AB=DE，所以測(cè)得DE的長(zhǎng)也就知道兩家的距離是多少． 類(lèi)型六、用尺規(guī)作三角形8.（2020?藍(lán)田縣一模）如圖，已知線(xiàn)段a和b，a＞b，求作直角三角形ABC，使直角三角形的斜邊AB=a，直角邊AC=b．（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）【思路點(diǎn)撥】先作線(xiàn)段AC=b，再過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線(xiàn)，接著以點(diǎn)A為圓心，a為半徑畫(huà)弧交此垂線(xiàn)于B，則△ABC為所求．【答案與詳解】解：如圖，△ABC為所求作的直角三角形．【總結(jié)升華】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作． 舉一反三【變式】作圖題：（要求：用直尺、圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法．）已知：線(xiàn)段a與線(xiàn)段b．求作：線(xiàn)段AB，使AB=2a﹣b．【答案】解：如圖所示：作線(xiàn)段AB即為所求． 

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