TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc9016" 【題型1 確定尺規(guī)作三角形的依據(jù)】 PAGEREF _Tc9016 \h 1
\l "_Tc9081" 【題型2 根據(jù)全等三角形的判定方法確定唯一三角形】 PAGEREF _Tc9081 \h 2
\l "_Tc24040" 【題型3 利用尺規(guī)作全等三角形】 PAGEREF _Tc24040 \h 3
\l "_Tc25716" 【題型4 格點中作全等三角形】 PAGEREF _Tc25716 \h 4
\l "_Tc14588" 【題型5 結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問題】 PAGEREF _Tc14588 \h 6
\l "_Tc9678" 【題型6 利用作全等三角形解決實際問題】 PAGEREF _Tc9678 \h 7
\l "_Tc30532" 【題型7 利用三角形全等測距離】 PAGEREF _Tc30532 \h 8
【題型1 確定尺規(guī)作三角形的依據(jù)】
【例1】（2022秋·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在用尺規(guī)作圖得到△DBC≌△ABC過程中，運用的三角形全等的判定方法是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
【變式1-1】（2022秋·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期末）如圖，已知∠ABC，以點B為圓心，適當長為半徑作弧，分別交AB,BC于D，P；作一條射線FE，以點F圓心，BD長為半徑作弧l，交EF于點H；以H為圓心，PD長為半徑作弧，交弧l于點Q；作射線FQ．這樣可得∠QFE=∠ABC，其依據(jù)是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【變式1-2】（2022秋·北京朝陽·八年級?？计谥校┮阎鰽BC，現(xiàn)將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，使點A落在射線BP上，求作△A'C'B．作法：在BP上截BA'=BA，以點B為圓心、BC為半徑作弧，以點A'為圓心、AC為半徑作弧，兩弧在射線BP右側(cè)交于點C'，則△A'C'B即為所求．此作圖確定三角形的依據(jù)是：___________．
【變式1-3】（2022秋·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期末）尺規(guī)作三角形的類型：
【題型2 根據(jù)全等三角形的判定方法確定唯一三角形】
【例2】（2022秋·安徽阜陽·八年級統(tǒng)考期末）根據(jù)下列條件，能畫出唯一△ABC的是（ ）
A．AB=3，BC=4，AC=8B．∠A=60°，∠B=45°，AB=4
C．∠C=90°，AB=6D．AB=4，BC=3，∠A=30°
【變式2-1】（2022秋·河北秦皇島·八年級統(tǒng)考期末）利用尺規(guī)進行作圖，根據(jù)下列條件作三角形，畫出的三角形不是唯一的是（ ）
A．已知三條邊
B．已知三個角
C．已知兩角和夾邊
D．已知兩邊和夾角
【變式2-2】（2022秋·北京順義·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中給定下面幾組條件：
①BC=4cm，AC=5cm，∠ACB=30°；
②BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°；
③BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=90°；
④BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=120°．
若根據(jù)每組條件畫圖，則△ABC能夠唯一確定的是___________（填序號）.
【變式2-3】（2022秋·山東聊城·八年級校聯(lián)考期中）∠MAB為銳角，AB=a，點C在射線AM上，點B到射線AM的距離為d，BC=x，若△ABC的形狀、大小是唯一確定的，則x的取值范圍是（ ）

A．x=d或x≥aB．x≥aC．x=dD．x=d或x>a
【題型3 利用尺規(guī)作全等三角形】
【例3】（2022秋·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）尺規(guī)作圖：作△ABC，使∠ABC=α，AB=m，BC=n．（保留作圖痕跡，不寫作法）．
【變式3-1】（2022秋·河北邢臺·八年級統(tǒng)考期中）尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）
已知：線段a，b，c；
求作：△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c．
【變式3-2】（2022春·河南信陽·八年級統(tǒng)考期中）我們通過“三角形全等的判定”的學習，可以知道“兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等”是一個基本事實，用它可以判定兩個三角形全等；而滿足條件“兩邊和其中一邊所對的角分別相等”的兩個三角形卻不一定全等．下面請你來探究“兩邊和其中一邊所對的角分別相等的兩個三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一個△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即兩邊和其中一邊所對的角分別相等）．
(1)動手畫圖：請依據(jù)下面的步驟，用尺規(guī)完成作圖過程（保留作圖痕跡）：
①畫EF=BC；
②在線段EF的上方畫∠F=∠C；
③畫DE=AB；
④順次連接相應頂點得所求三角形．
(2)觀察：觀察你畫的圖形，你會發(fā)現(xiàn)滿足條件的三角形有____個；其中三角形____（填三角形的名稱）與△ABC明顯不全等；
(3)小結(jié)：經(jīng)歷以上探究過程，可得結(jié)論：______．
【變式3-3】（2022春·陜西·七年級陜西師大附中?？计谥校┏咭?guī)作圖
已知：∠α，∠β和線段a，求作△ABC，使∠A=∠α，∠B=2∠β，AB=a．
要求：不寫作法，保留作圖痕跡，標明字母．
【題型4 格點中作全等三角形】
【例4】（2022秋·山西晉城·八年級統(tǒng)考期末）如圖是5×5的正方形網(wǎng)格，以點D、E為兩個頂點作位置不同的格點三角形，使所作的三角形與△ABC全等，這樣的格點三角形最多可以畫出（ ）
A．3個B．4個C．5個D．6個
【變式4-1】（2022秋·湖北荊門·八年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC的頂點A、B、C都在小正方形的頂點上，試在方格紙上按下列要求畫格點三角形（三角形的頂點在格點上），只需畫出一個即可：
(1)在圖（1）中畫出與△ABC全等的三角形，且有條公共邊：
(2)在圖（2）中畫出與△ABC全等的三角形，且有一個公共頂點：
(3)在圖（3）中畫出與△ABC全等的三角形，且有一個公共角．
【變式4-2】（2022秋·吉林長春·八年級?？计谀﹫D①、圖②均為4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，邊長均為1．在圖①、圖②中按下列要求各畫一個三角形．
要求：
(1)三角形的三個頂點都在格點上．
(2)與△ABC全等，且位置不同．
【變式4-3】（2022春·四川達州·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，在邊長為1的9×9正方形網(wǎng)格中，老師請同學們過點C畫線段AB的垂線．如圖2，小明在多媒體展臺上展示了他畫出的圖形．請你利用所學知識判斷并說明直線CD是否為線段AB的垂線．（點A，B，C，D，E，F(xiàn)都是小正方形的頂點）
【題型5 結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問題】
【例5】（2022秋·山西長治·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，點P，Q分別在邊BC及CB的延長線上，且BQ=CP．
(1)實踐與探索：利用尺規(guī)按下列要求作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）．
①作∠PQM=∠CBA，且點M在QC的上方；
②在QM上截取QR=BA；
③連接PR．
(2)猜想與驗證：試猜想線段AC和RP的數(shù)量關系，并證明你的猜想．
【變式5-1】（2022春·河南平頂山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC．
（1）按要求畫出圖形：利用尺規(guī)作∠BAD＝∠BAC，并在射線AD上截取AE＝AC，連接BE（不寫作法，保留作圖痕跡）．
（2）判斷BC和BE的數(shù)量關系．并說明理由，注明推理依據(jù)．
【變式5-2】（2022春·廣東佛山·七年級?？计谥校]有量角器，利用刻度尺也能畫出一個角的平分線．下面是小彬的做法，請說明理由．（寫出具體的說理過程，寫出必要步驟的根據(jù)）
如圖，角平分線刻度尺畫法：
①利用刻度尺在∠AOB 的兩邊上，分別取OD＝OC．
②連接CD，利用刻度尺畫出CD的中點E．
③畫射線OE．所以射線OE為∠AOB的角平分線．
【變式5-3】（2022秋·八年級單元測試）求證：全等三角形對應邊上的中線相等．要求：①根據(jù)給出的△ABC用尺規(guī)作出△A'B'C'，使得△A'B'C'≌△ABC，不寫作法，保留作圖痕跡；②在已有的圖形上畫出一組對應中線，并據(jù)此寫出已知、求證和證明過程．
【題型6 利用作全等三角形解決實際問題】
【例6】（2022秋·山東東營·七年級統(tǒng)考期末）如圖，A、B兩點分別位于一個池塘的兩端，小明想用繩子測量A、B間的距離，但繩子不夠長.他叔叔幫他出了一個這樣的主意：先在地上取一個可以直接到達A點和B點的點C，連接AC并延長到D，使CD=AC；連接BC并延長到E，使CE=CB；連接DE并測量出它的長度．
(1)DE=AB嗎？請說明理由；
(2)如果DE的長度是8 m，則AB的長度是多少？
【變式6-1】（2022春·山東青島·七年級山東省青島第七中學?？计谀┤鐖D，在小明的一張地圖上，有A、B、C三個城市，但是圖上城市C已被墨跡污染，只知道∠BAC＝∠α，∠ABC＝∠β，你能用尺規(guī)幫他在圖中確定C城市的具體位置嗎？
【變式6-2】（2022春·全國·七年級期末）如圖所示，要測量一個沼澤水潭的寬度．現(xiàn)由于不能直接測量，小軍是這樣操作的：他在平地上選取一點C，該點可以直接到達A與B點，接著他量出AC和BC的距離，并找出AC與BC的中點E、F，連接EF，測量EF的長，于是他便知道了水潭AB的長等于2EF，小軍的做法有道理嗎？說明理由．你還有比小軍更簡單的方法嗎？
【變式6-3】（2022春·廣東佛山·七年級佛山市惠景中學校考期中）如圖，某同學不小心把一塊三角形玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去切割一塊大小完全一樣的玻璃，現(xiàn)有以下幾個方案：
方案A：帶①去；方案B：帶②去；方案C：帶③去；
(1)你認為他選擇最省事的辦法是采用方案______；
(2)根據(jù)所選的方案用尺規(guī)作圖的方法將三角形玻璃還原（不寫作法，要求保留作圖痕跡）．
【題型7 利用三角形全等測距離】
【例7】（2022秋·湖北武漢·八年級校考階段練習）（1）如圖1．海岸上有A、B兩個觀測點，點B在點A的正東方，海島C在觀測點A的正北方，海島D在觀測點B的正北方，如果從觀測點A看海島C，D的視角∠CAD與從觀測點B看海島C，D的視角∠CBD相等，那么海島C，D到觀測點A，B所在海岸距離CA，DB相等嗎？請說明理由．
（2）在（1）的條件下，在A的正北方向有一個海島K，通過測量得到KB長度是368海里，如圖2所示．求BK中點G到A的距離．
【變式7-1】（2022秋·海南省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期中）王強同學用10塊高度都是2cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板AC=BC,∠ACB=90°，點C在DE上，點A和B分別與木墻的頂端重合，求兩堵木墻之間的距離．
【變式7-2】（2022·江蘇·八年級假期作業(yè)）為了解學生對所學知識的應用能力，某校老師在七年級數(shù)學興趣小組活動中，設置了這樣的問題：因為池塘兩端A，B的距離無法直接測量，請同學們設計方案測量A，B的距離．甲、乙兩位同學分別設計出了如下兩種方案：
甲：如圖①，先在平地上取一個可以直接到達點A，B的點O，連接AO并延長到點C，連接BO并延長到點D，使CO=AO，DO=BO，連接DC，測出DC的長即可．
乙：如圖②，先確定直線AB，過點B作直線BE，在直線BE上找可以直接到達點A的一點D，連接DA，作DC=DA，交直線AB于點C，最后測量BC的長即可．
（1）甲、乙兩同學的方案哪個可行？
（2）請說明方案可行的理由．
尺
規(guī)
作
圖
類型
依據(jù)
已知兩邊及其夾角作三角形
__________
已知兩角一邊作三角形
__________（或AAS）
已知三邊作三角形
__________
專題4.5 用尺規(guī)作三角形【七大題型】
【北師大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc9016" 【題型1 確定尺規(guī)作三角形的依據(jù)】 PAGEREF _Tc9016 \h 1
\l "_Tc9081" 【題型2 根據(jù)全等三角形的判定方法確定唯一三角形】 PAGEREF _Tc9081 \h 3
\l "_Tc24040" 【題型3 利用尺規(guī)作全等三角形】 PAGEREF _Tc24040 \h 5
\l "_Tc25716" 【題型4 格點中作全等三角形】 PAGEREF _Tc25716 \h 9
\l "_Tc14588" 【題型5 結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問題】 PAGEREF _Tc14588 \h 13
\l "_Tc9678" 【題型6 利用作全等三角形解決實際問題】 PAGEREF _Tc9678 \h 17
\l "_Tc30532" 【題型7 利用三角形全等測距離】 PAGEREF _Tc30532 \h 21
【題型1 確定尺規(guī)作三角形的依據(jù)】
【例1】（2022秋·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在用尺規(guī)作圖得到△DBC≌△ABC過程中，運用的三角形全等的判定方法是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
【答案】B
【分析】根據(jù)作法可得∠ABC=∠DBC,∠ACB=∠DCB，可利用ASA證明△DBC≌△ABC，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)作法得：∠ABC=∠DBC,∠ACB=∠DCB，
∵BC=BC，
∴△DBC≌△ABCASA．
故選：B
【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖——作一個角等于已知角，全等三角形的判定，熟練掌握作一個角等于已知角的作法，全等三角形的判定定理是解題的關鍵．
【變式1-1】（2022秋·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期末）如圖，已知∠ABC，以點B為圓心，適當長為半徑作弧，分別交AB,BC于D，P；作一條射線FE，以點F圓心，BD長為半徑作弧l，交EF于點H；以H為圓心，PD長為半徑作弧，交弧l于點Q；作射線FQ．這樣可得∠QFE=∠ABC，其依據(jù)是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【答案】D
【分析】根據(jù)題意得出BP=BD=FQ=FH，DP=QH，利用SSS證明△PBD≌△QFH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出∠QFE=∠ABC．
【詳解】解：如圖，連接DP，QH，
根據(jù)題意得，BP=BD=FQ=FH，DP=QH，
在△PBD和△QFH中，BP=FQBD=FHDP=QH，
∴△PBD≌△QFHSSS，
∴∠ABC=∠QFE，
【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．
【變式1-2】（2022秋·北京朝陽·八年級?？计谥校┮阎鰽BC，現(xiàn)將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，使點A落在射線BP上，求作△A'C'B．作法：在BP上截BA'=BA，以點B為圓心、BC為半徑作弧，以點A'為圓心、AC為半徑作弧，兩弧在射線BP右側(cè)交于點C'，則△A'C'B即為所求．此作圖確定三角形的依據(jù)是：___________．
【答案】SSS##邊邊邊
【分析】根據(jù)作圖步驟可知，BA=BA'，AC=A'C'，BC=BC'，由此即可求解．
【詳解】解：根據(jù)作圖步驟可知，BA=BA'，AC=A'C'，BC=BC'
∴△ABC≌△A'BC'SSS
故答案為：SSS
【點睛】此題考查了全等三角形的判定，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定方法．
【變式1-3】（2022秋·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期末）尺規(guī)作三角形的類型：
【答案】 SAS ASA SSS
【詳解】試題解析：已知兩邊及其夾角作三角形,其依據(jù)是：SAS.
已知兩角一邊作三角形,其依據(jù)是：ASA（或AAS）.
已知三邊作三角形, 其依據(jù)是：SSS.
故答案為SAS,ASA,SSS.
點睛：判定三角形全等的方法有：SAS,ASA,SSS,AAS,HL.
【題型2 根據(jù)全等三角形的判定方法確定唯一三角形】
【例2】（2022秋·安徽阜陽·八年級統(tǒng)考期末）根據(jù)下列條件，能畫出唯一△ABC的是（ ）
A．AB=3，BC=4，AC=8B．∠A=60°，∠B=45°，AB=4
C．∠C=90°，AB=6D．AB=4，BC=3，∠A=30°
【答案】B
【分析】判斷一個三角形是否為三角形，即兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，兩邊夾一角，或兩角夾一邊可確定三角形的形狀，否則三角形則并不是唯一存在，可能有多種情況存在.
【詳解】A.因為AC，BC，AB的長不滿足三角形三邊關系，所以A選項不能確定一個三角形；
B. ∠A，∠B的公共邊是AB，根據(jù)三角形全等的判定ASA可以確定一個三角形，故B選項能唯一確定一個三角形；
C. 只有一個角一條邊，故C選項不能唯一確定一個三角形；
D. ∠A不是AB和BC邊的夾角，故D選項不能唯一確定一個三角形，
故選：B.
【點睛】本題主要考查了三角形的確定問題，熟練掌握三角形的三邊關系等相關問題是解決本題的關鍵.
【變式2-1】（2022秋·河北秦皇島·八年級統(tǒng)考期末）利用尺規(guī)進行作圖，根據(jù)下列條件作三角形，畫出的三角形不是唯一的是（ ）
A．已知三條邊
B．已知三個角
C．已知兩角和夾邊
D．已知兩邊和夾角
【答案】B
【詳解】A、符合全等三角形的判定SSS，能作出唯一直角三角形；
B、不正確，已知三個角可畫出無數(shù)個三角形；
C、正確，符合ASA判定；
D、正確，符合SAS判定．
故選∶B．
【點睛】本題主要考查由已知條件作三角形，可以依據(jù)三角形全等的判定來做．
【變式2-2】（2022秋·北京順義·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中給定下面幾組條件：
①BC=4cm，AC=5cm，∠ACB=30°；
②BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°；
③BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=90°；
④BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=120°．
若根據(jù)每組條件畫圖，則△ABC能夠唯一確定的是___________（填序號）.
【答案】①③④
【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法進行分析，從而得到答案．
【詳解】解：①符合全等三角形的判定定理SAS，即能畫出唯一三角形，正確；
②根據(jù)BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°不能畫出唯一三角形，如圖所示△ABC和△BCD，
錯誤；
③符合全等三角形的判定定理HL，即能畫出唯一三角形，正確；
④∵∠ABC為鈍角，結(jié)合②可知，只能畫出唯一三角形，正確.
故答案為：①③④．
【點睛】本題考查的是全等三角形的判定方法；解答此題的關鍵是要掌握三角形全等判定的幾種方法即可，結(jié)合已知逐個驗證，要找準對應關系．
【變式2-3】（2022秋·山東聊城·八年級校聯(lián)考期中）∠MAB為銳角，AB=a，點C在射線AM上，點B到射線AM的距離為d，BC=x，若△ABC的形狀、大小是唯一確定的，則x的取值范圍是（ ）

A．x=d或x≥aB．x≥aC．x=dD．x=d或x>a
【答案】D
【分析】當x＝d時，BC⊥AM，C點唯一；當x≥a時，能構(gòu)成△ABC的C點唯一，可確定取值范圍．
【詳解】解：若△ABC的形狀、大小是唯一確定的，則C點唯一即可，
當x＝d時，BC⊥AM，C點唯一；
當x>a時，以B為圓心，BC為半徑的作弧，與射線AM只有一個交點，
x=a時，以B為圓心，BC為半徑的作弧，與射線AM只有兩個交點，一個與A重合，
所以，當x≥a時，能構(gòu)成△ABC的C點唯一，
故選為：A．
【點睛】本題考查了三角形的畫法，根據(jù)題意準確作圖并且能夠分類討論是解題關鍵．
【題型3 利用尺規(guī)作全等三角形】
【例3】（2022秋·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）尺規(guī)作圖：作△ABC，使∠ABC=α，AB=m，BC=n．（保留作圖痕跡，不寫作法）．
【答案】作圖見解析．
【分析】先作∠DBE=α，然后在射線BD、BE上分別取線段AB=m，BC=n，連接AC即可得解．
【詳解】解：如下圖所示，△ABC為所求作的三角形．
【點睛】本題考查了尺規(guī)作一個三角形，解題的關鍵是能用尺規(guī)作一個角等于已知角．
【變式3-1】（2022秋·河北邢臺·八年級統(tǒng)考期中）尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）
已知：線段a，b，c；
求作：△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c．
【答案】見解析
【分析】作射線AP，以A為圓心，c為半徑畫弧，交射線AP于點B，分別以A，B為圓心，以b，a為半徑畫弧，兩弧交于點C，連接AC，BC，則△ABC即為所求．
【詳解】解：如圖所示，△ABC即為所求；
．
【點睛】本題主要考查了復雜作圖，復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．
【變式3-2】（2022春·河南信陽·八年級統(tǒng)考期中）我們通過“三角形全等的判定”的學習，可以知道“兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等”是一個基本事實，用它可以判定兩個三角形全等；而滿足條件“兩邊和其中一邊所對的角分別相等”的兩個三角形卻不一定全等．下面請你來探究“兩邊和其中一邊所對的角分別相等的兩個三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一個△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即兩邊和其中一邊所對的角分別相等）．
(1)動手畫圖：請依據(jù)下面的步驟，用尺規(guī)完成作圖過程（保留作圖痕跡）：
①畫EF=BC；
②在線段EF的上方畫∠F=∠C；
③畫DE=AB；
④順次連接相應頂點得所求三角形．
(2)觀察：觀察你畫的圖形，你會發(fā)現(xiàn)滿足條件的三角形有____個；其中三角形____（填三角形的名稱）與△ABC明顯不全等；
(3)小結(jié)：經(jīng)歷以上探究過程，可得結(jié)論：______．
【答案】(1)見解析
(2)2，D'EF；
(3)兩邊和其中一邊所對的角分別相等的兩個三角形不一定全等
【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作線段，作一個角等于已知角的步驟作圖即可；
（2）根據(jù)所畫圖形填空即可；
（3）根據(jù)探究過程結(jié)合全等三角形的判定可得出結(jié)論．
（1）
解：如圖所示：
（2）
觀察所畫的圖形，發(fā)現(xiàn)滿足條件的三角形有2個；其中三角形D'EF（填三角形的名稱）與△ABC明顯不全等，
故答案為：2，D'EF；
（3）
經(jīng)歷以上探究過程，可得結(jié)論：兩邊和其中一邊所對的角分別相等的兩個三角形不一定全等，
故答案為：兩邊和其中一邊所對的角分別相等的兩個三角形不一定全等．
【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，全等三角形的判定，熟練掌握尺規(guī)作圖的方法和全等三角形的判定定理是解題的關鍵．
【變式3-3】（2022春·陜西·七年級陜西師大附中校考期中）尺規(guī)作圖
已知：∠α，∠β和線段a，求作△ABC，使∠A=∠α，∠B=2∠β，AB=a．
要求：不寫作法，保留作圖痕跡，標明字母．
【答案】見解析
【分析】首先作射線進而截取AB=a，再分別以A，B為端點，作∠A=∠α，∠B=2∠β，兩條射線交于點C，即可得到所求的△ABC．
【詳解】解：如圖，△ABC即為所求．
．
【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖，正確掌握作一角等于已知角的方法是解題關鍵．
【題型4 格點中作全等三角形】
【例4】（2022秋·山西晉城·八年級統(tǒng)考期末）如圖是5×5的正方形網(wǎng)格，以點D、E為兩個頂點作位置不同的格點三角形，使所作的三角形與△ABC全等，這樣的格點三角形最多可以畫出（ ）
A．3個B．4個C．5個D．6個
【答案】B
【分析】觀察圖形可知：DE與AC是對應邊，B點的對應點在DE上方兩個，在DE下方兩個共有4個滿足要求的點，也就有四個全等三角形．
【詳解】解：根據(jù)題意，運用SSS可得與△ABC全等的三角形有4個，線段DE的上方有兩個點，下方也有兩個點．
【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做題時要做到不重不漏．
【變式4-1】（2022秋·湖北荊門·八年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC的頂點A、B、C都在小正方形的頂點上，試在方格紙上按下列要求畫格點三角形（三角形的頂點在格點上），只需畫出一個即可：
(1)在圖（1）中畫出與△ABC全等的三角形，且有條公共邊：
(2)在圖（2）中畫出與△ABC全等的三角形，且有一個公共頂點：
(3)在圖（3）中畫出與△ABC全等的三角形，且有一個公共角．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】（ 1）可根據(jù)全等三角形判定中的邊邊邊（SSS）為依據(jù)作圖；
（2 ）（ 3）可根據(jù)全等三角形的判定中的邊角邊（SAS）為依據(jù)作圖．
【詳解】（1）解：如圖1，△AB'C即為所求（答案不唯一），
；
（2）解：如圖2，△BEF即為所求，
；
（3）解：如圖3，△CDE即為所求，
．
【點睛】本題考查的是作圖－復雜作圖，熟知全等三角形的作法是解答此題的關鍵．
【變式4-2】（2022秋·吉林長春·八年級?？计谀﹫D①、圖②均為4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，邊長均為1．在圖①、圖②中按下列要求各畫一個三角形．
要求：
(1)三角形的三個頂點都在格點上．
(2)與△ABC全等，且位置不同．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）利用全等三角形的判定方法，畫出圖形即可；
（2）利用全等三角形的判定方法，畫出圖形即可．
【詳解】（1）如圖，△ECB即為所求
（2）如圖，△DEF即為所求
【點睛】本題考查作圖，全等三角形的判定的知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
【變式4-3】（2022春·四川達州·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，在邊長為1的9×9正方形網(wǎng)格中，老師請同學們過點C畫線段AB的垂線．如圖2，小明在多媒體展臺上展示了他畫出的圖形．請你利用所學知識判斷并說明直線CD是否為線段AB的垂線．（點A，B，C，D，E，F(xiàn)都是小正方形的頂點）
【答案】見解析
【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．
【詳解】證明：如圖所示：
通過圖可知：DF＝BE＝2，CF＝EA＝5，∠DFC＝∠BEA＝90°，
∴△DFC≌△BEA（SAS），
∴∠A＝∠C，
∵∠AGH＝∠CGP，
∴∠AHG＝∠APC＝90°，
∴直線CD為線段AB的垂線．
【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．
【題型5 結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問題】
【例5】（2022秋·山西長治·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，點P，Q分別在邊BC及CB的延長線上，且BQ=CP．
(1)實踐與探索：利用尺規(guī)按下列要求作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）．
①作∠PQM=∠CBA，且點M在QC的上方；
②在QM上截取QR=BA；
③連接PR．
(2)猜想與驗證：試猜想線段AC和RP的數(shù)量關系，并證明你的猜想．
【答案】(1)見解析
(2)RP=AC，理由見解析
【分析】（1）按照尺規(guī)作圖的方法作出圖形即可；
（2）利用SAS證明△RQP≌△ABC即可得到結(jié)論RP=AC．
【詳解】（1）解：如圖所示，
；
（2）解：結(jié)論RP=AC．理由如下，
∵BQ=CP，∴QP=BC，
由作圖知，∠PQM=∠CBA，QR=BA，
∴△RQP≌△ABCSAS，
∴RP=AC．
【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
【變式5-1】（2022春·河南平頂山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC．
（1）按要求畫出圖形：利用尺規(guī)作∠BAD＝∠BAC，并在射線AD上截取AE＝AC，連接BE（不寫作法，保留作圖痕跡）．
（2）判斷BC和BE的數(shù)量關系．并說明理由，注明推理依據(jù)．
【答案】（1）見解析；（2）BC＝BE，見解析
【分析】（1）利用尺規(guī)作∠BAD＝∠BAC，并在射線AD上截取AE＝AC，連接BE即可；
（2）結(jié)合（1）證明△ABC≌△ABE即可判斷BC和BE的數(shù)量關系．
【詳解】（1）如圖，∠BAD即為所求；
（2）BC＝BE，
理由如下：
∵AC＝AE（已知），∠CAB＝∠EAB（作圖知），AB＝AB（公共邊），
∴在△ABC和△ABE中，
AC=AE∠CAB=∠EABAB=AB，
∴△ABC≌△ABE（SAS），
∴BC＝BE（全等三角形對應邊相等）．
【點睛】本題考查了用尺規(guī)作一個角等于已知角，全等三角形的判定與性質(zhì)，要熟悉幾種基本尺規(guī)作圖．
【變式5-2】（2022春·廣東佛山·七年級校考期中）沒有量角器，利用刻度尺也能畫出一個角的平分線．下面是小彬的做法，請說明理由．（寫出具體的說理過程，寫出必要步驟的根據(jù)）
如圖，角平分線刻度尺畫法：
①利用刻度尺在∠AOB 的兩邊上，分別取OD＝OC．
②連接CD，利用刻度尺畫出CD的中點E．
③畫射線OE．所以射線OE為∠AOB的角平分線．
【答案】理由見解析
【分析】只需要利用SSS證明△COE≌△DOE即可證明∠COE=∠DOE，則OE為∠AOB的角平分線．
【詳解】解：∵E是CD的中點（已知），
∴CE=DE（線段中點的定義），
在△COE和△DOE中，
OC=ODCE=DEOE=OE，
∴△COE≌△DOE（SSS），
∴∠COE=∠DOE（全等三角形的性質(zhì)），
∴OE是∠AOB的角平分線．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關鍵．
【變式5-3】（2022秋·八年級單元測試）求證：全等三角形對應邊上的中線相等．要求：①根據(jù)給出的△ABC用尺規(guī)作出△A'B'C'，使得△A'B'C'≌△ABC，不寫作法，保留作圖痕跡；②在已有的圖形上畫出一組對應中線，并據(jù)此寫出已知、求證和證明過程．
【答案】①作圖見解析；②見解析．
【分析】①利用SSS構(gòu)造全等三角形即可；
②寫出已知，求證，再根據(jù)全等三角判定和性質(zhì)證明即可．
【詳解】解：①如圖，△A'B'C'即為所求．
②已知：如圖，ΔABC≌△A'B'C'，D是AB的中點，D'是A'B'的中點，
求證：CD=C'D'．
證明：∵ΔABC≌△A'B'C'
∴AB=A'B'，AC=A'C'，∠A=∠A'
∵D是AB的中點，D'是A'B'的中點，
∴AD=12AB，A'D'=12A'B'，
∴AD=A'D'
∴ΔCAD≌△C'A'D'(SAS)，
∴CD=C'D'．
【點睛】本題考查作圖?復雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中線，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定和性質(zhì)．
【題型6 利用作全等三角形解決實際問題】
【例6】（2022秋·山東東營·七年級統(tǒng)考期末）如圖，A、B兩點分別位于一個池塘的兩端，小明想用繩子測量A、B間的距離，但繩子不夠長.他叔叔幫他出了一個這樣的主意：先在地上取一個可以直接到達A點和B點的點C，連接AC并延長到D，使CD=AC；連接BC并延長到E，使CE=CB；連接DE并測量出它的長度．
(1)DE=AB嗎？請說明理由；
(2)如果DE的長度是8 m，則AB的長度是多少？
【答案】（1）DE=AB．理由見解析；（2）AB =8m．
【分析】（1）由題意知AC=DC，BC=EC，根據(jù)∠ACB=∠DCE即可證明△ABC≌△DEC，即可得AB=DE，即可解題；
（2）由（1）可知DE=AB，則可知AB的長度.
【詳解】（1）
解：由題意知AC=DC，BC=EC，且∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
AC=DC∠ACB=∠DCEBC=EC ，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴DE=AB．
（2）由（1）知AB =DE=8m．
【點睛】本題考查了全等三角形在實際生活中的應用，考查了全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ABC≌△DEC是解題的關鍵．
【變式6-1】（2022春·山東青島·七年級山東省青島第七中學?？计谀┤鐖D，在小明的一張地圖上，有A、B、C三個城市，但是圖上城市C已被墨跡污染，只知道∠BAC＝∠α，∠ABC＝∠β，你能用尺規(guī)幫他在圖中確定C城市的具體位置嗎？
【答案】見解析
【分析】連接AB，以AB為邊，A為頂點作∠BAC＝α，以B為頂點作∠ABC＝∠β，兩邊交于點C，如圖所示．
【詳解】如圖所示，點C為求作的點．
【點睛】此題考查作圖-應用與設計作圖，熟練掌握全等三角形的判定方法（ASA）是解題的關鍵．
【變式6-2】（2022春·全國·七年級期末）如圖所示，要測量一個沼澤水潭的寬度．現(xiàn)由于不能直接測量，小軍是這樣操作的：他在平地上選取一點C，該點可以直接到達A與B點，接著他量出AC和BC的距離，并找出AC與BC的中點E、F，連接EF，測量EF的長，于是他便知道了水潭AB的長等于2EF，小軍的做法有道理嗎？說明理由．你還有比小軍更簡單的方法嗎？
【答案】詳見解析
【分析】仔細閱讀題目,分析可知若要說明小軍的作法有道理,只需證明AB=2EF即可, 過點B作BG∥AC交EF的延長線于點G,連接BE，利用ASA證明△ECF≌△GBF，得出EF=GF ,CE=BG，再利用SAS證明△AEB≌△GBE得出AB=GE，即可得證．
【詳解】
解:小軍的作法有道理,理由如下:
過點B作BG∥AC交EF的延長線于點G,連接BE
∵ 點E、F分別是AC、BC的中點
∴ AE=CE, BF=CF
∵ BG∥AC
∴ ∠ECF=∠GBF ,∠AEB=∠GBE (兩直線平行,內(nèi)錯角相等)
∵∠ECF=∠GBFBF=CF∠CFE=∠BFG
∴ △ECF≌△GBF (兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等)
∴ EF=GF ,CE=BG (全等三角形的對應邊相等)
∵ EF=GF ,EF+GF=EG
∴ EG=2EF
∵ CE=BG, AE=CE
∴ AE=BG
∵ 在△AEB和△GBE中,AE=GB∠AEB=∠GBEEB=BE
∴ △AEB≌△GBE (兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等)
∴ AB=GE (全等三角形的對應邊相等)
∵ GE=2EF, AB=GE
∴ AB=2EF
故小軍的做法是有道理的；
取直接能到達A，B兩點的C點，延長BC，AC，使EC=AC，DC=BC，
連接DE，
在△ABC和△EDC中,
EC=AC∠DCE=∠BCADC=BC
則△ABC≌△EDC，所以DE=AB．
【點睛】此題主要考查了應用全等三角形的相關知識來解決實際生活中的問題,在實際生活中,對于難以實地測量的線段,常常通過作輔助線構(gòu)造出全等的三角形,再運用“全等三角形的對應邊相等”這一性質(zhì)將需要測量的線段轉(zhuǎn)化到易測量的線段上,從而求解．
【變式6-3】（2022春·廣東佛山·七年級佛山市惠景中學?？计谥校┤鐖D，某同學不小心把一塊三角形玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去切割一塊大小完全一樣的玻璃，現(xiàn)有以下幾個方案：
方案A：帶①去；方案B：帶②去；方案C：帶③去；
(1)你認為他選擇最省事的辦法是采用方案______；
(2)根據(jù)所選的方案用尺規(guī)作圖的方法將三角形玻璃還原（不寫作法，要求保留作圖痕跡）．
【答案】(1)③
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定方法解答；
（2）先作一個角等于已知角，再作出已知邊，然后作出另一個角等于已知角，兩邊相交，然后連接即可得到該三角形；
（1）
解：帶③去滿足“角邊角”，可以配一塊完全一樣的玻璃．
故答案為：③．
（2）
先作∠C=∠A，然后再在射線CE上截取CD=AB，以點D為角的頂點，作∠CDF=∠B，∠CDF與∠DCF的一條邊為公共邊，另外一條邊交于點F，則△CDF即為所求作的三角形．
【點睛】本題考查了全等三角形的應用，作一個角等于已知角，作一條線段等于已知線段的作法，是基礎題，熟記全等三角形的判定方法和基本作圖是解題的關鍵．
【題型7 利用三角形全等測距離】
【例7】（2022秋·湖北武漢·八年級?？茧A段練習）（1）如圖1．海岸上有A、B兩個觀測點，點B在點A的正東方，海島C在觀測點A的正北方，海島D在觀測點B的正北方，如果從觀測點A看海島C，D的視角∠CAD與從觀測點B看海島C，D的視角∠CBD相等，那么海島C，D到觀測點A，B所在海岸距離CA，DB相等嗎？請說明理由．
（2）在（1）的條件下，在A的正北方向有一個海島K，通過測量得到KB長度是368海里，如圖2所示．求BK中點G到A的距離．
【答案】（1）相等，證明見解析；（2）184海里．
【分析】（1）證ΔCAB?ΔDBA(AAS)，得CA=DB即可；
（2）先證△KGA?△BGH(SAS)，得KA=BH，∠K=∠HBG，則KA//BH，由平行線的性質(zhì)得∠HBA=90°=∠KAB，證△KAB?△HBA(SAS)，得BK=AH=2AG=368，即可得出答案．
【詳解】（1）證明：如圖1所示：
∵∠CAD=∠CBD，∠COA=∠DOB，
∴∠C=∠D，
又∵點B在點A的正東方，海島C在觀測點A的正北方，海島D在觀測點B的正北方，
∴∠CAB=∠DBA=90°，
在△CAB和△DBA中，
∠C=∠D∠CAB=∠DBAAB=BA，
∴△CAB?△DBA(AAS)，
∴CA=DB，
即海島C，D到觀測點A，B所在海岸距離CA，DB相等；
（2）解：延長AG至H，使GH=AG，連接BH，如圖2所示：
∵點G是BK的中點，
∴GK=GB，
在△KGA和△BGH中，
GK=GB∠KGA=∠BGHAG=HG，
∴△KGA?△BGH(SAS)，
∴KA=BH，∠K=∠HBG，
∴KA//BH，
∴∠HBA=180°?∠KAB=90°=∠KAB，
在△KAB和△HBA中，
KA=HB∠KAB=∠HBAAB=BA，
∴△KAB?△HBA(SAS)，
∴BK=AH=2AG=368，
∴AG=184（海里）；
答：BK中點G到A的距離為184海里．
【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、方向角等知識；本題綜合性強，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)以及方向角，
【變式7-1】（2022秋·海南省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期中）王強同學用10塊高度都是2cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板AC=BC,∠ACB=90°，點C在DE上，點A和B分別與木墻的頂端重合，求兩堵木墻之間的距離．
【答案】20cm
【分析】由題意易得∠ADC=∠CEB=90°，則有∠BCE=∠DAC，進而可證△ADC≌△CEB，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可求解．
【詳解】解：∵AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
∵在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠BCEAC=BC
∴△ADC≌△CEB(AAS)；
又∵AD=EC=6cm，DC=BE=14cm，
∴DE=DC+CE=20(cm)，
答：兩堵木墻之間的距離為20cm．
【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握三角形全等的判定條件是解題的關鍵．
【變式7-2】（2022·江蘇·八年級假期作業(yè)）為了解學生對所學知識的應用能力，某校老師在七年級數(shù)學興趣小組活動中，設置了這樣的問題：因為池塘兩端A，B的距離無法直接測量，請同學們設計方案測量A，B的距離．甲、乙兩位同學分別設計出了如下兩種方案：
甲：如圖①，先在平地上取一個可以直接到達點A，B的點O，連接AO并延長到點C，連接BO并延長到點D，使CO=AO，DO=BO，連接DC，測出DC的長即可．
乙：如圖②，先確定直線AB，過點B作直線BE，在直線BE上找可以直接到達點A的一點D，連接DA，作DC=DA，交直線AB于點C，最后測量BC的長即可．
（1）甲、乙兩同學的方案哪個可行？
（2）請說明方案可行的理由．
【答案】（1）甲同學方案可行；（2）見解析
【分析】（1）根據(jù)三角形全等的判定定理即可判斷，判定三角形全等的方法有：SAS，SSS，AAS，ASA，HL(直角三角形)；
（2）根據(jù)SAS判定三角形全等的定理證明即可．
【詳解】（1）甲同學：由題意可知，
在△AOB和△COD中，
AO=CO∠AOB=∠CODBO=DO
∴△AOB≌△CODSAS．
∴CD=AB．
∴甲同學方案可行；
乙同學：由題意可知，已知的條件只有CD=AD，BD=BD兩組對應邊相等，
所以無法證明△ABD≌△CBD，
所以乙同學方案不可行
（2）理由:在△AOB和△COD中，
AO=CO∠AOB=∠CODBO=DO
∴△AOB≌△CODSAS．
∴CD=AB，
∴求出CD的長度即可得出AB的長度．
【點睛】此題考查了三角形全等的判定定理，解題的關鍵是熟練掌握三角形全等的判定定理．判定三角形全等的方法有：SAS，SSS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．
【變式7-3】（2022春·重慶南岸·七年級統(tǒng)考期末）如圖，A，B兩點位于高墻外，不能直接到達．為在該高樓的樓頂上搭建一個支架，需要在地面測量出A，B間的距離．學習了三角形全等知識后，小明給出了如下的方案：先在地面上取一點可以直接到達A點和B點的點O，連接AO并延長到C，使OC=OA；連接BO并延長到D，使OD=OB，連接CD并測量出CD的長度，CD的長度就是A，B間的距離．請根據(jù)以上的信息，說明AB=CD．
【答案】見解析
【分析】利用SAS證得△AOB≌△COD，則其對應邊相等．
【詳解】解：在△AOB與△COD中，
OA=OC∠AOB=∠CODOB=OD，
則△AOB≌△COD（SAS）．
尺
規(guī)
作
圖
類型
依據(jù)
已知兩邊及其夾角作三角形
__________
已知兩角一邊作三角形
__________（或AAS）
已知三邊作三角形
__________

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