北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列2.3平行線四大模型專項訓(xùn)練(40道)同步學(xué)案(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

專題2.3 平行線四大模型專項訓(xùn)練（40道）【北師大版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共40題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，涵蓋了平行線四大模型的綜合問題的所有類型！【模型1 “鉛筆”模型】 1．（2022·湖南·永州市劍橋?qū)W校七年級階段練習(xí)）如圖所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，則∠3的度數(shù)為(　　) A．55° B．60° C．65° D．70° 2．（2022·貴州六盤水·七年級期中）如圖所示，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，應(yīng)為（????） A．α+β+γ B．β+γ?α C．180°?α?γ+β D．180°+α+β?γ 3．（2022·甘肅·北京師范大學(xué)慶陽實驗學(xué)校七年級期中）如圖，如果AB∥CD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝___°． 4．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）如圖所示，AB//CD，∠ABE與∠CDE的角平分線相較于點F，∠E=80°，求∠BFD的度數(shù). 5．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）已知如圖所示，AB//CD，∠ABE=3∠DCE，∠DCE=28°，求∠E的度數(shù). 6．（2022·全國·七年級）(1)問題情景：如圖1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù)．小明想到一種方法，但是沒有解答完：如圖2，過P作PE//AB，∴∠APE+∠PAB=180°， ∴∠APE=180°-∠PAB=180°-130°=50° ∵AB//CD，∴PE//CD． …… 請你幫助小明完成剩余的解答． (2)問題遷移：請你依據(jù)小明的解題思路，解答下面的問題：如圖3，AD//BC，當點P在A、B兩點之間時，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，則∠CPD，∠α，∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由． 7．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）如圖1，四邊形MNBD為一張長方形紙片．（1）如圖2，將長方形紙片剪兩刀，剪出三個角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），則∠BAE+∠AEC+∠ECD=__________°．（2）如圖3，將長方形紙片剪三刀，剪出四個角（∠BAE、∠AEF、∠EFC、∠FCD），則∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=__________°．（3）如圖4，將長方形紙片剪四刀，剪出五個角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），則∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=___________°．（4）根據(jù)前面探索出的規(guī)律，將本題按照上述剪法剪n刀，剪出n+1個角，那么這n+1個角的和是____________°． 8．（2022·安徽合肥·七年級期末）問題情景：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度數(shù)．（1）麗麗同學(xué)看過圖形后立即口答出：∠APC＝85°，請補全她的推理依據(jù)．如圖2，過點P作PE∥AB，因為AB∥CD，所以PE∥CD．（）所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（）因為∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°， ∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．問題遷移：（2）如圖3，AD∥BC，當點P在A、B兩點之間運動時，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD與∠α、∠β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（3）在（2）的條件下，如果點P在A、B兩點外側(cè)運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請直接寫出∠CPD與∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系．【模型2 “豬蹄”模型】 9．（2022·全國·七年級）如圖所示，直角三角板的60°角壓在一組平行線上，AB∥CD，∠ABE=40°，則∠EDC=______度． 10．（2022·河南平頂山·八年級期末）如圖： (1)如圖1，AB∥CD，∠ABE=45°，∠CDE=21°，直接寫出∠BED的度數(shù)． (2)如圖2，AB∥CD，點E為直線AB，CD間的一點，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，寫出∠BED與∠F之間的關(guān)系并說明理由． (3)如圖3，AB與CD相交于點G，點E為∠BGD內(nèi)一點，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠BGD=60°，∠BFD=95°，直接寫出∠BED的度數(shù)． 11．（2022·江蘇常州·七年級期中）問題情境：如圖①，直線AB∥CD，點E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上． (1)猜想：若∠1=130°，∠2=150°，試猜想∠P=______°； (2)探究：在圖①中探究∠1，∠2，∠P之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； (3)拓展：將圖①變?yōu)閳D②，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度數(shù)． 12．（2022·山東聊城·七年級階段練習(xí)）已知直線AB//CD，EF是截線，點M在直線AB、CD之間． (1)如圖1，連接GM，HM．求證：∠M＝∠AGM＋∠CHM； (2)如圖2，在∠GHC的角平分線上取兩點M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．試判斷∠M與∠GQH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 13．（2022·廣東韶關(guān)·七年級期中）如圖1，點A、B分別在直線GH、MN上，∠GAC=∠NBD，∠C=∠D. （1）求證：GH//MN；（提示：可延長AC交MN于點P進行證明）（2）如圖2，AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，若∠AED=∠GAC，求∠GAC與∠ACD之間的數(shù)量關(guān)系；（3）在（2）的條件下，如圖3，BF平分∠DBM，點K在射線BF上，∠KAG=13∠GAC，若∠AKB=∠ACD，直接寫出∠GAC的度數(shù)． 14．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖所示，已知AB//CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，求證：∠E=12(∠A+∠C) 15．（2022·浙江工業(yè)大學(xué)附屬實驗學(xué)校七年級期中）已知AB//CD．（1）如圖1，E為AB，CD之間一點，連接BE，DE，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D；（2）如圖，連接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直線交于點F． ①如圖2，當點B在點A的左側(cè)時，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度數(shù)． ②如圖3，當點B在點A的右側(cè)時，設(shè)∠ABC＝α，∠ADC＝β，請你求出∠BFD的度數(shù)．（用含有α，β的式子表示） 16．（2022·全國·七年級）如圖1，AB//CD，E是AB，CD之間的一點． (1)判定∠BAE，∠CDE與∠AED之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； (2)如圖2，若∠BAE，∠CDE的角平分線交于點F，直接寫出∠AFD與∠AED之間的數(shù)量關(guān)系； (3)將圖2中的射線DC沿DE翻折交AF于點G得圖3，若∠AGD的余角等于2∠E的補角，求∠BAE的大?。?17．（2022·廣東·高州市第一中學(xué)附屬實驗中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°； (1)若∠E＝60°，則∠F＝； (2)請?zhí)剿鳌螮與∠F之間滿足的數(shù)量關(guān)系？說明理由； (3)如圖2，已知EP平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD，反向延長FG交EP于點P，求∠P的度數(shù)． 18．（2022·河南·商丘市第十六中學(xué)七年級期中）已知AB∥CD，線段EF分別與AB，CD相交于點E，F(xiàn)．（1）請在橫線上填上合適的內(nèi)容，完成下面的解答：如圖1，當點P在線段EF上時，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度數(shù)；解：過點P作直線PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依據(jù)是　??；因為AB∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依據(jù)是　??；所以∠C＝（　　），所以∠APC＝（　　）+（　?。健螦+∠C＝97°．（2）當點P，Q在線段EF上移動時（不包括E，F(xiàn)兩點）： ①如圖2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立嗎？請說明理由； ②如圖3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，請直接寫出∠M，∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系． 19．（2022·湖北武漢·七年級期末）如圖1，點A在直線MN上，點B在直線ST上，點C在MN，ST之間，且滿足∠MAC+∠ACB+∠SBC =360°．（1）證明：MN//ST；（2）如圖2，若∠ACB=60°，AD//CB，點E在線段BC上，連接AE，且∠DAE=2∠CBT，試判斷∠CAE與∠CAN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，若∠ACB=180°n（n為大于等于2的整數(shù)），點E在線段BC上，連接AE，若∠MAE=n∠CBT，則∠CAE:∠CAN=______． 20．（2022·重慶江北·七年級期末）如圖1，AB//CD，點E、F分別在AB、CD上，點O在直線AB、CD之間，且∠EOF=100°．（1）求∠BEO+∠OFD的值；（2）如圖2，直線MN分別交∠BEO、∠OFC的角平分線于點M、N，直接寫出∠EMN?∠FNM的值；（3）如圖3，EG在∠AEO內(nèi)，∠AEG=m∠OEG；FH在∠DFO內(nèi)，∠DFH=m∠OFH，直線MN分別交EG、FH分別于點M、N，且∠FMN?∠ENM=50°，直接寫出m的值． 21．（2022·黑龍江哈爾濱·七年級期末）已知，AB∥CD，點E在CD上，點G，F(xiàn)在AB上，點H在AB，CD之間，連接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，F(xiàn)E⊥HE，垂足為E．（1）如圖1，求證：HG⊥HE；（2）如圖2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于點M，求證：∠GHE＝2∠GME；（3）如圖3，在（2）的條件下，F(xiàn)K平分∠AFE交CD于點K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度數(shù)． 22.（2022·廣西柳州·七年級期中）已知直線a∥b，直線EF分別與直線a，b相交于點E，F(xiàn)，點A，B分別在直線a，b上，且在直線EF的左側(cè)，點P是直線EF上一動點（不與點E，F(xiàn)重合），設(shè)∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3． (1)如圖1，當點P在線段EF上運動時，試說明∠1＋∠3＝∠2； (2)當點P在線段EF外運動時有兩種情況． ①如圖2寫出∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系并給出證明； ②如圖3所示，猜想∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系（不要求證明）．【模型3 “臭腳”模型】 23．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）（1）已知：如圖（a），直線DE∥AB．求證：∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）如圖（b），如果點C在AB與ED之外，其他條件不變，那么會有什么結(jié)果？你還能就本題作出什么新的猜想？ 24．（2022·全國·七年級）已知，AE//BD，∠A=∠D．（1）如圖1，求證：AB//CD；（2）如圖2，作∠BAE的平分線交CD于點F，點G為AB上一點，連接FG，若∠CFG的平分線交線段AG于點H，連接AC，若∠ACE=∠BAC+∠BGM，過點H作HM⊥FH交FG的延長線于點M，且3∠E?5∠AFH=18°，求∠EAF+∠GMH的度數(shù)． 25．（2022·廣東·東莞市光明中學(xué)七年級期中）（1）如圖（1）AB∥CD，猜想∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，說出理由．（2）觀察圖（2），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，并說明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，不需要說明理由． 26．（2022·浙江臺州·七年級期末）如圖，已知AD⊥AB于點A，AE∥CD交BC于點E，且EF⊥AB于點F．求證：∠C=∠1+∠2．證明：∵AD⊥AB于點A，EF⊥AB于點F，（已知） ∴∠DAB=∠EFB=90°．（垂直的定義） ∴AD∥EF，（????） ∴__________=∠1（????） ∵AE∥CD，（已知） ∴∠C=________．（兩直線平行，同位角相等） ∵∠AEB=∠AEF+∠2， ∴∠C=∠1+∠2．（等量代換） 27．（2022·廣東珠海·七年級期中）已知AM//CN，點B為平面內(nèi)一點，AB⊥BC于B．（1）如圖1，點B在兩條平行線外，則∠A與∠C之間的數(shù)量關(guān)系為______；（2）點B在兩條平行線之間，過點B作BD⊥AM于點D． ①如圖2，說明∠ABD=∠C成立的理由； ②如圖3，BF平分∠DBC交DM于點F,BE平分∠ABD交DM于點E．若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度數(shù)． 28．（2022·湖南·新田縣云梯學(xué)校七年級階段練習(xí)）①如圖1，AB ∥ CD，則∠A+∠E+∠C=360°；②如圖2，AB ∥ CD，則∠P=∠A?∠C；③如圖3，AB ∥ CD，則∠E=∠A+∠1；④如圖4，直線AB ∥ CD ∥ EF，點O在直線EF上，則∠α?∠β+∠γ=180°．以上結(jié)論正確的個數(shù)是（????） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【模型4 “鉛筆”模型】 29．（2022·福建·浦城縣教師進修學(xué)校八年級期中）如圖，直線MA∥NB，∠A=70°，∠B=40°，則∠P=___________度． 30．（2022·江蘇·景山中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，若AB//CD，則∠1+∠3-∠2的度數(shù)為______ 31．（2022·湖北·浠水縣蘭溪鎮(zhèn)蘭溪初級中學(xué)七年級期中）如圖，已知AB//DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，則∠BCD=_____． 32．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，則∠EAB的度數(shù)為__________． 33．（2022·全國·七年級）如圖，如果AB∥EF，EF∥CD，則∠1，∠2，∠3的關(guān)系式__________． 34．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）已知AB//CD ，求證：∠B＝∠E＋∠D 35．（2022·浙江·七年級期中）為更好地理清平行線與相關(guān)角的關(guān)系，小明爸爸為他準備了四根細直木條AB、BC，CD、DE，做成折線ABCDE，如圖1，且在折點B、C、D處均可自由轉(zhuǎn)出．（1）如圖2，小明將折線調(diào)節(jié)成∠B=50°,∠C=75°,∠D=25°，判別AB是否平行于ED，并說明理由；（2）如圖3，若∠C=∠D=25°，調(diào)整線段AB、BC使得AB//CD，求出此時∠B的度數(shù)，要求畫出圖形，并寫出計算過程．（3）若∠C=85°,∠D=25°,AB//DE，求出此時∠B的度數(shù)，要求畫出圖形，直接寫出度數(shù)，不要求計算過程． 36．（2022·山西晉中·七年級期中）綜合與探究【問題情境】王老師組織同學(xué)們開展了探究三角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動（1）如圖1，EF//MN，點A、B分別為直線EF、MN上的一點，點P為平行線間一點，請直接寫出∠PAF、∠PBN和∠APB之間的數(shù)量關(guān)系；　　　　　　　　　【問題遷移】（2）如圖2，射線OM與射線ON交于點O，直線m//n，直線m分別交OM、ON于點A、D，直線n分別交OM、ON于點B、C，點P在射線OM上運動， ①當點P在A、B（不與A、B重合）兩點之間運動時，設(shè)∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．則∠CPD，∠α，∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由． ②若點P不在線段AB上運動時（點P與點A、B、O三點都不重合），請你畫出滿足條件的所有圖形并直接寫出∠CPD，∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系． 37．（2022·湖北武漢·七年級階段練習(xí)）如圖1，MN∥PQ，點C、B分別在直線MN、PQ上，點A在直線MN、PQ之間．（1）求證：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如圖2，CD∥AB，點E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求證：∠MCA＝∠DCE；（3）如圖3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度數(shù)． 38．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）（1）如圖，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度數(shù)；（2）如圖，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍與∠E的補角的和為190°，求∠ABE的度數(shù)．（3）如圖，P為（2）中射線BE上一點，G是CD上任一點，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度數(shù)． 39．（2022·江蘇·揚州中學(xué)教育集團樹人學(xué)校七年級階段練習(xí)）已知直線AB∥CD，P為平面內(nèi)一點，連接專題2.3 平行線四大模型專項訓(xùn)練（40道）【北師大版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共40題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，涵蓋了平行線四大模型的綜合問題的所有類型！【模型1 “鉛筆”模型】 1．（2022·湖南·永州市劍橋?qū)W校七年級階段練習(xí)）如圖所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，則∠3的度數(shù)為(　　) A．55° B．60° C．65° D．70° 【答案】A 【分析】首先過點A作AB∥l1，由l1∥l2，即可得AB∥l1∥l2，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，即可求得∠4與∠5的度數(shù)，又由平角的定義，即可求得∠3的度數(shù)．【詳解】解：過點A作AB∥l1， ∵l1∥l2， ∴AB∥l1∥l2， ∴∠1+∠4=180°,∠2+∠5=180°， ∵∠1=105°,∠2=140 °， ∴∠4=75°,∠5=40°， ∵∠4+∠5+∠3=180°， ∴∠3=65°. 故選：C. 【點睛】本題考查的知識點是平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握平行線的性質(zhì). 2．（2022·貴州六盤水·七年級期中）如圖所示，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，應(yīng)為（????） A．α+β+γ B．β+γ?α C．180°?α?γ+β D．180°+α+β?γ 【答案】A 【分析】過C作CD∥AB，過M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出α+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=γ，求出∠BCD=180°-α，∠DCM=∠CMN=β-γ，即可得出答案．【詳解】過C作CD∥AB，過M作MN∥EF， ∵AB∥EF， ∴AB∥CD∥MN∥EF， ∴α+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=γ， ∴∠BCD=180°-α，∠DCM=∠CMN=β-γ， ∴x=∠BCD+∠DCM=180°?α?γ+β，【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查了學(xué)生的推理能力． 3．（2022·甘肅·北京師范大學(xué)慶陽實驗學(xué)校七年級期中）如圖，如果AB∥CD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝___°．【答案】540 【分析】過點E作EM∥CD，過點F作FN∥CD，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可作答．【詳解】過點E作EM∥CD，過點F作FN∥CD，如圖， ∵AB∥CD，EM∥CD，F(xiàn)N∥CD， ∴AB∥FN，EM∥FN， ∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°， ∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN， ∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°，故答案為：540．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，即兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．構(gòu)造輔助線EM∥CD，F(xiàn)N∥CD是解答本題的關(guān)鍵． 4．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）如圖所示，AB//CD，∠ABE與∠CDE的角平分線相較于點F，∠E=80°，求∠BFD的度數(shù). 【答案】∠BFD=140°. 【分析】先設(shè)∠ABE=2x，∠CDE=2y，由題意的∠ABF=∠FBE=x，∠EDF=∠CDF=y，題意得到x+y=140°；由側(cè)M圖ABFDC知，∠BFD=∠ABF+∠CDF=x+y=140°. 【詳解】設(shè)∠ABE=2x，∠CDE=2y， ∵∠ABE與∠CDE的角平分線相交于點F， ∴∠ABF=∠FBE=x，∠EDF=∠CDF=y，由筆尖圖ABEDC知，∠ABE+∠E+∠CDE=360°，即2x+80°+2y=360°，x+y=140°，由側(cè)M圖ABFDC知，∠BFD=∠ABF+∠CDF=x+y=140°. 【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)和角平分線，解題的關(guān)鍵是設(shè)∠ABE=2x，∠CDE=2y，并由題意得到x，y的關(guān)系式. 5．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）已知如圖所示，AB//CD，∠ABE=3∠DCE，∠DCE=28°，求∠E的度數(shù). 【答案】56°. 【分析】由平行線的性質(zhì)可知∠ABF=∠DFE，由三角形鄰補角可得∠E=∠ABE?∠DCE，帶入題干信息即可得出答案. 【詳解】由平行線的性質(zhì)可知∠ABF=∠DFE，由三角形鄰補角以及鳥嘴圖DCEFBA知∠E=∠ABE?∠DCE=3×28°?28°=56°. 【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，知道同位角相等時解題的關(guān)鍵. 6．（2022·全國·七年級）(1)問題情景：如圖1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù)．小明想到一種方法，但是沒有解答完：如圖2，過P作PE//AB，∴∠APE+∠PAB=180°， ∴∠APE=180°-∠PAB=180°-130°=50° ∵AB//CD，∴PE//CD． …… 請你幫助小明完成剩余的解答． (2)問題遷移：請你依據(jù)小明的解題思路，解答下面的問題：如圖3，AD//BC，當點P在A、B兩點之間時，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，則∠CPD，∠α，∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．【答案】(1) 110°，見解析；(2) ∠CPD=∠α+∠β，理由見解析【分析】(1)過P作PE∥AB，構(gòu)造同旁內(nèi)角，通過平行線性質(zhì)，可得∠APC=50°+60°=110° (2)過P作PE∥AD交CD于E點，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線性質(zhì)得到∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案. 【詳解】解：(1)剩余過程：∠CPE+∠PCD=180°， ∴∠CPE=180°-120°=60° ∠APC=50°+60°=110°； (2)∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如下圖，過P作PE∥AD交CD于點E， ∵AD∥BC ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE ∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β. 【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的推理能力，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯角以及同旁內(nèi)角. 7．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）如圖1，四邊形MNBD為一張長方形紙片．（1）如圖2，將長方形紙片剪兩刀，剪出三個角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），則∠BAE+∠AEC+∠ECD=__________°．（2）如圖3，將長方形紙片剪三刀，剪出四個角（∠BAE、∠AEF、∠EFC、∠FCD），則∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=__________°．（3）如圖4，將長方形紙片剪四刀，剪出五個角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），則∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=___________°．（4）根據(jù)前面探索出的規(guī)律，將本題按照上述剪法剪n刀，剪出n+1個角，那么這n+1個角的和是____________°．【答案】（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．【分析】（1）過點E作EH∥AB，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可得到三個角的和等于180°的2倍；（2）分別過E、F分別作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可得到四個角的和等于180°的三倍；（3）分別過E、F、G分別作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可得到四個角的和等于180°的三倍；（4）根據(jù)前三問個的剪法，剪n刀，剪出n+1個角，那么這n+1個角的和是180n度．【詳解】（1）過E作EH∥AB（如圖②）． ∵原四邊形是長方形， ∴AB∥CD，又∵EH∥AB， ∴CD∥EH（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）． ∵EH∥AB， ∴∠A+∠1=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）． ∵CD∥EH， ∴∠2+∠C=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）． ∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，又∵∠1+∠2=∠AEC， ∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；（2）分別過E、F分別作AB的平行線，如圖③所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；（3）分別過E、F、G分別作AB的平行線，如圖④所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；（4）由此可得一般規(guī)律：剪n刀，剪出n+1個角，那么這n+1個角的和是180n度．故答案為：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，作平行線并利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補是解本題的關(guān)鍵，總結(jié)規(guī)律求解是本題的難點． 8．（2022·安徽合肥·七年級期末）問題情景：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度數(shù)．（1）麗麗同學(xué)看過圖形后立即口答出：∠APC＝85°，請補全她的推理依據(jù)．如圖2，過點P作PE∥AB，因為AB∥CD，所以PE∥CD．（）所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（）因為∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°， ∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．問題遷移：（2）如圖3，AD∥BC，當點P在A、B兩點之間運動時，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD與∠α、∠β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（3）在（2）的條件下，如果點P在A、B兩點外側(cè)運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請直接寫出∠CPD與∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）平行于同一條直線的兩條直線平行（或平行公理推論），兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；（2）∠CPD=∠α+∠β，理由見解析；（3）∠CPD=∠β?∠α或∠CPD=∠α?∠β 【分析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)填寫即可；（2）過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（3）畫出圖形（分兩種情況①點P在BA的延長線上，②點P在AB的延長線上），根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【詳解】解：（1）如圖2，過點P作PE∥AB，因為AB∥CD，所以PE∥CD．（平行于同一條直線的兩條直線平行）所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（兩直線平行同旁內(nèi)角互補）因為∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°， ∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；（2）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如圖3所示，過P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；（3）當P在BA延長線時，如圖4所示：過P作PE∥AD交CD于E，同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠β-∠α；當P在AB延長線時，如圖5所示：同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠α-∠β．綜上所述，∠CPD與∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系為：∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定定理，正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．【模型2 “豬蹄”模型】 9．（2022·全國·七年級）如圖所示，直角三角板的60°角壓在一組平行線上，AB∥CD，∠ABE=40°，則∠EDC=______度．【答案】20 【分析】如圖（見詳解），過點E作EF∥AB，先證明AB∥EF∥CD，再由平行線的性質(zhì)定理得到∠ABE=∠BEF=40°，∠EDC=∠DEF，結(jié)合已知條件∠BED=60°即可得到．【詳解】解：由題意可得：∠BED=60°．如圖，過點E作EF∥AB，又∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠ABE=∠BEF=40°，∠EDC=∠DEF， ∵∠BED=60°， ∴∠DEF+∠BEF=60°， ∴∠DEF=20°，即：∠EDC=20°．故答案為：20．【點睛】本題重點考查了平行線的性質(zhì)定理的運用．從“基本圖形”的角度看，本題可以看作是“M”型的簡單運用．解法不唯一，也可延長BE交CD于點G，結(jié)合三角形的外角定理來解決；或連結(jié)BD，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理來解決． 10．（2022·河南平頂山·八年級期末）如圖： (1)如圖1，AB∥CD，∠ABE=45°，∠CDE=21°，直接寫出∠BED的度數(shù)． (2)如圖2，AB∥CD，點E為直線AB，CD間的一點，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，寫出∠BED與∠F之間的關(guān)系并說明理由． (3)如圖3，AB與CD相交于點G，點E為∠BGD內(nèi)一點，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠BGD=60°，∠BFD=95°，直接寫出∠BED的度數(shù)．【答案】(1)∠BED=66°； (2)∠BED=2∠F，見解析； (3)∠BED的度數(shù)為130°．【分析】（1）首先作EF∥AB，根據(jù)直線AB∥CD，可得EF∥CD，所以∠ABE=∠1=45°，∠CDE=∠2=21°，據(jù)此推得∠BED=∠1+∠2=66°；（2）首先作EG∥AB，延長DE交BF于點H，利用三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義即可得到∠BED=2∠F；（3）延長DF交AB于點H，延長GE到I，利用三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義即可得到∠BED的度數(shù)為130°．（1）解：（1）如圖，作EF∥AB，， ∵直線AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠ABE=∠1=45°，∠CDE=∠2=21°， ∴∠BED=∠1+∠2=66°；（2）解：∠BED=2∠F，理由是：過點E作EG∥AB，延長DE交BF于點H， ∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG， ∴∠5=∠1+∠2，∠6=∠3+∠4，又∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE， ∴∠2=∠1，∠3=∠4，則∠5=2∠2，∠6=2∠3， ∴∠BED=2(∠2+∠3) ，又∠F+∠3=∠BHD，∠BHD+∠2=∠BED， ∴∠3+∠2+∠F=∠BED，綜上∠BED=∠F+12∠BED，即∠BED=2∠F；（3）解：延長DF交AB于點H，延長GE到I， ∵∠BGD=60°， ∴∠3=∠1+∠BGD=∠1+60°，∠BFD=∠2+∠3=∠2+∠1+60°=95°， ∴∠2+∠1=35°，即2(∠2+∠1) =70°， ∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE， ∴∠ABE=2∠2，∠CDE=2∠1， ∴∠BEI=∠ABE +∠BGE=2∠2+∠BGE，∠DEI=∠CDE+∠DGE=2∠1+∠DGE， ∴∠BED=∠BEI+∠DEI=2(∠2+∠1)+( ∠BGE+∠DGE)=70°+60°=130°， ∴∠BED的度數(shù)為130°．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識，掌握平行線的判定和性質(zhì)，正確添加輔助線是解題關(guān)鍵． 11．（2022·江蘇常州·七年級期中）問題情境：如圖①，直線AB∥CD，點E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上． (1)猜想：若∠1=130°，∠2=150°，試猜想∠P=______°； (2)探究：在圖①中探究∠1，∠2，∠P之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； (3)拓展：將圖①變?yōu)閳D②，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度數(shù)．【答案】(1)80° (2)∠P=360°?∠1?∠2；證明見詳解 (3)140° 【分析】（1）過點P作MN∥AB，利用平行的性質(zhì)就可以求角度，解決此問；（2）利用平行線的性質(zhì)求位置角的數(shù)量關(guān)系，就可以解決此問；（3）分別過點P、點G作MN∥AB、KR∥AB，然后利用平行線的性質(zhì)求位置角的數(shù)量關(guān)系即可．（1）解：如圖過點P作MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥MN∥CD． ∴∠1+∠EPN=180°， ∠2+∠FPN=180°． ∵∠1=130°，∠2=150°， ∴∠1+∠2+∠EPN+∠FPN=360° ∴∠EPN+FPN=360°?130°?150°=80°． ∵∠P=∠EPN+∠FPN， ∴∠P=80°．故答案為：80°；（2）解：∠P=360°?∠1?∠2，理由如下：如圖過點P作MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥MN∥CD． ∴∠1+∠EPN=180°， ∠2+∠FPN=180°． ∴∠1+∠2+∠EPN+∠FPN=360° ∵∠EPN+∠FPN=∠P， ∠P=360°?∠1?∠2．（3）如圖分別過點P、點G作MN∥AB、KR∥AB ∵AB∥CD， ∴AB∥MN∥KR∥CD． ∴∠1+∠EPN=180°， ∠NPG+∠PGR=180°， ∠RGF+∠2=180°． ∴∠1+∠EPN+∠NPG+∠PGR+RGF+∠2=540° ∵∠EPG=∠EPN+∠NPG=75°， ∠PGR+∠RGF=∠PGF， ∠1+∠2=325°， ∴∠PGF+∠1+∠2+∠EPG=540° ∴∠PGF=540°?325°?75°=140° 故答案為：140°．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)定理，準確的作出輔助線和正確的計算是解決本題的關(guān)鍵． 12．（2022·山東聊城·七年級階段練習(xí)）已知直線AB//CD，EF是截線，點M在直線AB、CD之間． (1)如圖1，連接GM，HM．求證：∠M＝∠AGM＋∠CHM； (2)如圖2，在∠GHC的角平分線上取兩點M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．試判斷∠M與∠GQH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)證明見詳解 (2)∠GQH=180°?∠M；理由見詳解【分析】（1）過點M作MN∥AB，由AB∥CD，可知MN∥AB∥CD．由此可知：∠AGM=∠GMN，∠CHM=∠HMN，故∠AGM+∠CHM=∠GMN+∠HMN=∠M；（2）由（1）可知∠AGM+∠CHM=∠M．再由∠CHM=∠GHM，∠AGM＝∠HGQ，可知：∠M=∠HGQ+∠GHM，利用三角形內(nèi)角和是180°，可得∠GQH=180°?∠M．（1）解：如圖：過點M作MN∥AB， ∴MN∥AB∥CD， ∴∠AGM=∠GMN，∠CHM=∠HMN， ∵∠M=∠GMN+∠HMN， ∴∠M=∠AGM+∠CHM．（2）解：∠GQH=180°?∠M，理由如下：如圖：過點M作MN∥AB，由（1）知∠M=∠AGM+∠CHM， ∵HM平分∠GHC， ∴∠CHM=∠GHM， ∵∠AGM＝∠HGQ， ∴∠M=∠HGQ+∠GHM， ∵∠HGQ+∠GHM+∠GQH=180°， ∴∠GQH=180°?∠M．【點睛】本題考查了利用平行線的性質(zhì)求角之間的數(shù)量關(guān)系，正確的作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵，同時這也是比較常見的幾何模型“豬蹄模型”的應(yīng)用． 13．（2022·廣東韶關(guān)·七年級期中）如圖1，點A、B分別在直線GH、MN上，∠GAC=∠NBD，∠C=∠D. （1）求證：GH//MN；（提示：可延長AC交MN于點P進行證明）（2）如圖2，AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，若∠AED=∠GAC，求∠GAC與∠ACD之間的數(shù)量關(guān)系；（3）在（2）的條件下，如圖3，BF平分∠DBM，點K在射線BF上，∠KAG=13∠GAC，若∠AKB=∠ACD，直接寫出∠GAC的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）∠ACD=3∠GAC，見解析；（3）54019°或54023°．【分析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求證即可；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°和平角定義得到∠AQD=∠E+∠EAQ，結(jié)合平行線的性質(zhì)得到∠BDQ=∠E+∠EAQ，再根據(jù)角平分線的定義證得∠CDB=2∠E+∠GAC，結(jié)合已知即可得出結(jié)論；（3）分當K在直線GH下方和當K在直線GH上方兩種情況，根據(jù)平行線性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、角平分線定義求解即可．【詳解】解：（1）如圖1，延長AC交MN于點P， ∵∠ACD=∠C， ∴AP//BD， ∴∠NBD=∠NPA， ∵∠GAC=∠NBD， ∴∠GAC=∠NPA， ∴GH//MN；（2）延長AC交MN于點P，交DE于點Q， ∵∠E+∠EAQ+∠AQE=180°，∠AQE+∠AQD=180°， ∴∠AQD=∠E+∠EAQ， ∵AP//BD， ∴∠AQD=∠BDQ， ∴∠BDQ=∠E+∠EAQ， ∵AE平分∠GAC，DE平分∠BDC， ∴∠GAC=2∠EAQ，∠CDB=2∠BDQ， ∴∠CDB=2∠E+∠GAC， ∵∠AED=∠GAC，∠ACD=∠CDB， ∴∠ACD=2∠GAC+∠GAC=3∠GAC；（3）當K在直線GH下方時，如圖，設(shè)射線BF交GH于I， ∵GH//MN， ∴∠AIB=∠FBM， ∵BF平分∠MBD， ∴∠DBF=∠FBM=12(180°?∠DBN)， ∴∠AIB=∠DBF， ∵∠AIB+∠KAG=∠AKB，∠AKB=∠ACD， ∴∠ACD=∠DBF+∠KAG， ∵∠KAG=13∠GAC，∠GAC=∠NBD， ∴13∠GAC+12(180°?∠DBN)=∠ACD=3∠GAC，即13∠GAC+90°?12∠GAC=3∠GAC，解得：∠GAC=54019°．當K在直線GH上方時，如圖，同理可證得∠AIB=12(180°?∠DBN)=∠AKB+∠KAG，則有3∠GAC+13∠GAC=12(180°?∠GAC)，解得：∠GAC=54023°．綜上，故答案為54019°或54023°．【點睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、三角形的外角性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、平角定義、角度的運算，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用是解答的關(guān)鍵． 14．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖所示，已知AB//CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，求證：∠E=12(∠A+∠C) 【答案】見解析【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC，再由BE平分∠ABC，DE平分∠ADC可知∠1＝12∠ADC，∠2＝12∠ABC，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖： ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC． ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC， ∴∠1＝12∠ADC，∠2＝12∠ABC． ∵∠3是三角形的外角， ∴∠3＝∠E＋∠2＝∠C＋∠1， ∴∠E+12∠ABC=∠C+12∠ADC，即∠E＋12∠C＝∠C＋12∠A， ∴∠E＝12（∠A＋∠C）．【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，三角形的外角，以及角平分線等知識點，熟知以上知識點是解題的關(guān)鍵． 15．（2022·浙江工業(yè)大學(xué)附屬實驗學(xué)校七年級期中）已知AB//CD．（1）如圖1，E為AB，CD之間一點，連接BE，DE，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D；（2）如圖，連接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直線交于點F． ①如圖2，當點B在點A的左側(cè)時，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度數(shù)． ②如圖3，當點B在點A的右側(cè)時，設(shè)∠ABC＝α，∠ADC＝β，請你求出∠BFD的度數(shù)．（用含有α，β的式子表示）【答案】（1）見解析；（2）55°；（3）180°?12α+12β 【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理解答即可；（2）①如圖2，過點F作FE//AB，當點B在點A的左側(cè)時，根據(jù)∠ABC=50°，∠ADC=60°，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可求∠BFD的度數(shù)； ②如圖3，過點F作EF//AB，當點B在點A的右側(cè)時，∠ABC=α，∠ADC=β，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可求出∠BFD的度數(shù)．【詳解】解：（1）如圖1，過點E作EF//AB，則有∠BEF=∠B， ∵AB//CD， ∴EF//CD， ∴∠FED=∠D， ∴∠BED=∠BEF+∠FED=∠B+∠D；（2）①如圖2，過點F作FE//AB，有∠BFE=∠FBA． ∵AB//CD， ∴EF//CD． ∴∠EFD=∠FDC． ∴∠BFE+∠EFD=∠FBA+∠FDC．即∠BFD=∠FBA+∠FDC， ∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC， ∴∠FBA=12∠ABC=25°，∠FDC=12∠ADC=30°， ∴∠BFD=∠FBA+∠FDC=55°．答：∠BFD的度數(shù)為55°； ②如圖3，過點F作FE//AB，有∠BFE+∠FBA=180°． ∴∠BFE=180°?∠FBA， ∵AB//CD， ∴EF//CD． ∴∠EFD=∠FDC． ∴∠BFE+∠EFD=180°?∠FBA+∠FDC．即∠BFD=180°?∠FBA+∠FDC， ∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC， ∴∠FBA=12∠ABC=12α，∠FDC=12∠ADC=12β， ∴∠BFD=180°?∠FBA+∠FDC=180°?12α+12β．答：∠BFD的度數(shù)為180°?12α+12β．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)． 16．（2022·全國·七年級）如圖1，AB//CD，E是AB，CD之間的一點． (1)判定∠BAE，∠CDE與∠AED之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； (2)如圖2，若∠BAE，∠CDE的角平分線交于點F，直接寫出∠AFD與∠AED之間的數(shù)量關(guān)系； (3)將圖2中的射線DC沿DE翻折交AF于點G得圖3，若∠AGD的余角等于2∠E的補角，求∠BAE的大?。?【答案】(1)∠BAE+∠CDE=∠AED； (2)∠AFD=12∠AED； (3)∠BAE=60° 【分析】（1）作EF∥AB，如圖1，則EF∥CD，利用平行線的性質(zhì)得∠1=∠EAE，∠2=∠CDE，從而得到∠BAE+∠CDE=∠AED （2）如圖2，由（1）的結(jié)論得∠AFD=12∠BAE，∠CDF=12∠CDE，則∠AFD=12（∠BAE+∠CDE），加上（1）的結(jié)論得到∠AFD=12∠AED；（3）由（1）的結(jié)論得∠AGD=∠BAF+∠CDG，利用折疊性質(zhì)得∠CDG=4∠CDF，再利用等量代換得到∠AGD=2∠AED-32∠BAE，加上90°-∠AGD=180°-2∠AED，從而計算出∠BAE的度數(shù)． (1) ∠BAE+∠CDE=∠AED 理由如下：作EF∥AB，如圖1 ∵AB∥CD ∴EF∥CD ∴∠1=∠BAE，∠2=∠CDE ∴∠BAE+∠CDE=∠AED (2) 如圖2，由（1）的結(jié)論得 ∠AFD=∠BAF+∠CDF ∵∠BAE、∠CDE的兩條平分線交于點F ∴∠BAF=12∠BAE，∠CDF=12∠CDE ∴∠AFE=12（∠BAE+∠CDE） ∵∠BAE+∠CDE=∠AED ∴∠AFD=12∠AED (3) 由（1）的結(jié)論得∠AGD=∠BAF+∠CDG 而射線DC沿DE翻折交AF于點G ∴∠CDG=4∠CDF ∴∠AGD=∠BAF+4∠CDF=12∠BAE+2∠CDE=12∠BAE+2（∠AED-∠BAE）=2∠AED-32∠BAE ∵90°-∠AGD=180°-2∠AED ∴90°-2∠AED+32∠BAE=180°-2∠AED ∴∠BAE=60° 【點睛】本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等． 17．（2022·廣東·高州市第一中學(xué)附屬實驗中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°； (1)若∠E＝60°，則∠F＝； (2)請?zhí)剿鳌螮與∠F之間滿足的數(shù)量關(guān)系？說明理由； (3)如圖2，已知EP平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD，反向延長FG交EP于點P，求∠P的度數(shù)．【答案】(1)90° (2)∠F=∠E+30°，理由見解析 (3)15° 【分析】（1）如圖1，分別過點E，F(xiàn)作EM//AB，F(xiàn)N//AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，∠D+∠DFN=180°，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；（2）如圖1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，由AB//CD，AB//FN，得到CD//FN，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠D+∠DFN=180°，于是得到結(jié)論；（3）如圖2，過點F作FH//EP，設(shè)∠BEF=2x°，則∠EFD=(2x+30)°，根據(jù)角平分線的定義得到∠PEF=12∠BEF=x°，∠EFG=12∠EFD=(x+15)°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG，于是得到結(jié)論．（1）解：如圖1，分別過點E，F(xiàn)作EM//AB，F(xiàn)N//AB， ∴EM//AB//FN， ∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，又∵AB//CD，AB//FN， ∴CD//FN， ∴∠D+∠DFN=180°，又∵∠D=120°， ∴∠DFN=60°， ∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°， ∴∠EFD=∠MEF+60° ∴∠EFD=∠BEF+30°=90°；故答案為：90°；（2）解：如圖1，分別過點E，F(xiàn)作EM//AB，F(xiàn)N//AB， ∴EM//AB//FN， ∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，又∵AB//CD，AB//FN， ∴CD//FN， ∴∠D+∠DFN=180°，又∵∠D=120°， ∴∠DFN=60°， ∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°， ∴∠EFD=∠MEF+60°， ∴∠EFD=∠BEF+30°；（3）解：如圖2，過點F作FH//EP，由（2）知，∠EFD=∠BEF+30°，設(shè)∠BEF=2x°，則∠EFD=(2x+30)°， ∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD， ∴∠PEF=12∠BEF=x°，∠EFG=12∠EFD=(x+15)°， ∵FH//EP， ∴∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG， ∵∠HFG=∠EFG?∠EFH=15°， ∴∠P=15°．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵． 18．（2022·河南·商丘市第十六中學(xué)七年級期中）已知AB∥CD，線段EF分別與AB，CD相交于點E，F(xiàn)．（1）請在橫線上填上合適的內(nèi)容，完成下面的解答：如圖1，當點P在線段EF上時，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度數(shù)；解：過點P作直線PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依據(jù)是　　；因為AB∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依據(jù)是　　；所以∠C＝（　?。?，所以∠APC＝（　　）+（　　）＝∠A+∠C＝97°．（2）當點P，Q在線段EF上移動時（不包括E，F(xiàn)兩點）： ①如圖2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立嗎？請說明理由； ②如圖3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，請直接寫出∠M，∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）兩直線平行，內(nèi)錯角相等；平行于同一條直線的兩條直線平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由見解答過程；②3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．【分析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可完成填空；（2）結(jié)合（1）的輔助線方法即可完成證明；（3）結(jié)合（1）（2）的方法，根據(jù)∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，即可證明∠PMQ，∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：過點P作直線PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依據(jù)是兩直線平行，內(nèi)錯角相等；因為AB∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依據(jù)是平行于同一條直線的兩條直線平行；所以∠C＝（∠CPH），所以∠APC＝（∠APH）+（∠CPH）＝∠A+∠C＝97°．故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；平行于同一條直線的兩條直線平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①如圖2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由如下：過點P作直線PH∥AB，QG∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PH∥QG， ∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°， ∴∠APQ+∠PQC＝∠APH+∠HPQ+∠GQP+∠CQG＝∠A+∠C+180°． ∴∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立； ②如圖3，過點P作直線PH∥AB，QG∥AB，MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PH∥QG∥MN， ∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∠HPM＝∠PMN，∠GQM＝∠QMN， ∴∠PMQ＝∠HPM+∠GQM， ∵∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°， ∴∠APM+∠CQM＝∠A+∠C+∠PMQ＝2∠MPQ+2∠MQP＝2（180°﹣∠PMQ）， ∴3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．【點睛】考核知識點：平行線的判定和性質(zhì)．熟練運用平行線性質(zhì)和判定，添加適當輔助線是關(guān)鍵． 19．（2022·湖北武漢·七年級期末）如圖1，點A在直線MN上，點B在直線ST上，點C在MN，ST之間，且滿足∠MAC+∠ACB+∠SBC =360°．（1）證明：MN//ST；（2）如圖2，若∠ACB=60°，AD//CB，點E在線段BC上，連接AE，且∠DAE=2∠CBT，試判斷∠CAE與∠CAN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，若∠ACB=180°n（n為大于等于2的整數(shù)），點E在線段BC上，連接AE，若∠MAE=n∠CBT，則∠CAE:∠CAN=______．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）n-1 【分析】（1）連接AB，根據(jù)已知證明∠MAB+∠SBA=180°，即可得證；（2）作CF∥ST，設(shè)∠CBT=α，表示出∠CAN，∠ACF，∠BCF，根據(jù)AD∥BC，得到∠DAC=120°，求出∠CAE即可得到結(jié)論；（3）作CF∥ST，設(shè)∠CBT=β，得到∠CBT=∠BCF=β，分別表示出∠CAN和∠CAE，即可得到比值．【詳解】解：（1）如圖，連接AB，， ∵∠MAC+∠ACB+∠SBC=360°， ∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°， ∴∠MAB+∠SBA=180°， ∴MN//ST （2）∠CAE=2∠CAN，理由：作CF//ST，則MN//CF//ST, 如圖，設(shè)∠CBT=α，則∠DAE=2α． ∠BCF=∠CBT=α，∠CAN=∠ACF=60°?α， ∵AD//BC，∠DAC=180°?∠ACB=120°， ∴∠CAE=120°?∠DAE=120°?2α=2(60°?α)=2∠CAN．即∠CAE=2∠CAN．（3）作CF//ST，則MN//CF//ST, 如圖，設(shè)∠CBT=β，則∠MAE=nβ． ∵CF//ST， ∴∠CBT=∠BCF=β， ∠ACF=∠CAN=180°n?β=180°?nβn， ∠CAE=180°?∠MAE?∠CAN=180°?nβ?180°n+β=n?1n(180°?nβ)， ∠CAE:∠CAN=n?1n:1n=n?1，故答案為n?1．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和判定，解題關(guān)鍵是角度的靈活轉(zhuǎn)換，構(gòu)建數(shù)量關(guān)系式． 20．（2022·重慶江北·七年級期末）如圖1，AB//CD，點E、F分別在AB、CD上，點O在直線AB、CD之間，且∠EOF=100°．（1）求∠BEO+∠OFD的值；（2）如圖2，直線MN分別交∠BEO、∠OFC的角平分線于點M、N，直接寫出∠EMN?∠FNM的值；（3）如圖3，EG在∠AEO內(nèi)，∠AEG=m∠OEG；FH在∠DFO內(nèi)，∠DFH=m∠OFH，直線MN分別交EG、FH分別于點M、N，且∠FMN?∠ENM=50°，直接寫出m的值．【答案】（1）∠BEO+∠DFO=260° ；（2）∠EMN?∠FNM的值為40°；（3）53．【分析】（1）過點O作OG∥AB，可得AB∥OG∥CD，利用平行線的性質(zhì)可求解；（2）過點M作MK∥AB，過點N作NH∥CD，由角平分線的定義可設(shè)∠BEM=∠OEM=x，∠CFN=∠OFN=y，由∠BEO+∠DFO=260°可求x-y=40°，進而求解；（3）設(shè)直線FK與EG交于點H，F(xiàn)K與AB交于點K，根據(jù)平行線的性質(zhì)即三角形外角的性質(zhì)及∠FMN?∠ENM=50°，可得∠KFD?∠AEG=50°，結(jié)合∠AEG=n∠OEG，DFK=n∠OFK，∠BEO+∠DFO=260°，可得∠AEG+1n∠AEG+180°?∠KFD?1n∠KFD=100°，即可得關(guān)于n的方程，計算可求解n值．【詳解】證明：過點O作OG∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥OG∥CD， ∴∠BEO+∠EOG=180°，∠DFO+∠FOG=180°， ∴∠BEO+∠EOG+∠DFO+∠FOG=360°，即∠BEO+∠EOF+∠DFO=360°， ∵∠EOF=100°， ∴∠BEO+∠DFO=260°；（2）解：過點M作MK∥AB，過點N作NH∥CD， ∵EM平分∠BEO，F(xiàn)N平分∠CFO，設(shè)∠BEM=∠OEM=x，∠CFN=∠OFN=y， ∵∠BEO+∠DFO=260° ∴∠BEO+∠DFO=2x+180°?2y=260°， ∴x-y=40°， ∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD， ∴AB∥MK∥NH∥CD， ∴∠EMK=∠BEM=x，∠HNF=∠CFN=y，∠KMN=∠HNM， ∴∠EMN+∠FNM=∠EMK+∠KMN?（∠HNM+∠HNF） =x+∠KMN?∠HNM?y =x-y =40°，故∠EMN?∠FNM的值為40°；（3）如圖，設(shè)直線FK與EG交于點H，F(xiàn)K與AB交于點K， ∵AB∥CD， ∴∠AKF=∠KFD， ∵∠AKF=∠EHK+∠HEK=∠EHK+∠AEG， ∴∠KFD=∠EHK+∠AEG， ∵∠EHK=∠NMF?∠ENM=50°， ∴∠KFD=50°+∠AEG，即∠KFD?∠AEG=50°， ∵∠AEG=n∠OEG，F(xiàn)K在∠DFO內(nèi)，∠DFK=n∠OFK． ∴∠CFO=180°?∠DFK?∠OFK=180°?∠KFD?1n∠KFD ， ∠AEO=∠AEG+∠OEG=∠AEG+1n∠AEG， ∵∠BEO+∠DFO=260°， ∴∠AEO+∠CFO=100°， ∴∠AEG+1n∠AEG+180°?∠KFD?1n∠KFD=100°，即1+1n(∠KFD?∠AEG)＝80°， ∴1+1n×50°＝80°，解得n=53 ．經(jīng)檢驗，符合題意，故答案為：53．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，靈活運用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 21．（2022·黑龍江哈爾濱·七年級期末）已知，AB∥CD，點E在CD上，點G，F(xiàn)在AB上，點H在AB，CD之間，連接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，F(xiàn)E⊥HE，垂足為E．（1）如圖1，求證：HG⊥HE；（2）如圖2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于點M，求證：∠GHE＝2∠GME；（3）如圖3，在（2）的條件下，F(xiàn)K平分∠AFE交CD于點K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）40° 【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定解答即可；（2）過點H作HP∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可；（3）過點H作HP∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．【詳解】證明：（1）∵AB∥CD， ∴∠AFE＝∠FED， ∵∠AGH＝∠FED， ∴∠AFE＝∠AGH， ∴EF∥GH， ∴∠FEH+∠H＝180°， ∵FE⊥HE， ∴∠FEH＝90°， ∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°， ∴HG⊥HE；（2）過點M作MQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴MQ∥CD，過點H作HP∥AB， ∵AB∥CD， ∴HP∥CD， ∵GM平分∠HGB， ∴∠BGM＝∠HGM＝12∠BGH， ∵EM平分∠HED， ∴∠HEM＝∠DEM＝12∠HED， ∵MQ∥AB， ∴∠BGM＝∠GMQ， ∵MQ∥CD， ∴∠QME＝∠MED， ∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠BGM+∠MED， ∵HP∥AB， ∴∠BGH＝∠GHP＝2∠BGM， ∵HP∥CD， ∴∠PHE＝∠HED＝2∠MED， ∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠BGM+2∠MED＝2（∠BGM+∠MED）， ∴∠GHE＝∠2GME；（3）過點M作MQ∥AB，過點H作HP∥AB，由∠KFE：∠MGH＝13：5，設(shè)∠KFE＝13x，∠MGH＝5x，由（2）可知：∠BGH＝2∠MGH＝10x， ∵∠AFE+∠BFE＝180°， ∴∠AFE＝180°﹣10x， ∵FK平分∠AFE， ∴∠AFK＝∠KFE＝12 ∠AFE，即12(180°?10x)=13x，解得：x＝5°， ∴∠BGH＝10x＝50°， ∵HP∥AB，HP∥CD， ∴∠BGH＝∠GHP＝50°，∠PHE＝∠HED， ∵∠GHE＝90°， ∴∠PHE＝∠GHE﹣∠GHP＝90°﹣50°＝40°， ∴∠HED＝40°．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)定理以及靈活構(gòu)造平行線是解題的關(guān)鍵． 22.（2022·廣西柳州·七年級期中）已知直線a∥b，直線EF分別與直線a，b相交于點E，F(xiàn)，點A，B分別在直線a，b上，且在直線EF的左側(cè)，點P是直線EF上一動點（不與點E，F(xiàn)重合），設(shè)∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3． (1)如圖1，當點P在線段EF上運動時，試說明∠1＋∠3＝∠2； (2)當點P在線段EF外運動時有兩種情況． ①如圖2寫出∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系并給出證明； ②如圖3所示，猜想∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系（不要求證明）．【答案】(1)證明見詳解 (2)①∠3=∠1+∠2；證明見詳解；②∠1=∠2+∠3；證明見詳解【分析】（1）如圖4過點P作PC∥a，利用平行線的傳遞性可知PC∥a∥b，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知∠1=∠APC，∠3=∠BPC，根據(jù)等量代換就可以得出∠2=∠1+∠3；（2）①如圖5過點P作PC∥a，利用平行線的傳遞性可知PC∥a∥b，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知∠3=∠BPC，∠1=∠APC，根據(jù)等量代換就可以得出∠3=∠1+∠2； ②如圖6過點P作PC∥a，利用平行線的傳遞性可知PC∥a∥b，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知∠1=∠APC，∠3=∠BPC，根據(jù)等量代換就可以得出∠1=∠2+∠3．（1）解：如圖4所示：過點P作PC∥a， ∵a∥b ∴PC∥a∥b ∴∠1=∠APC，∠3=∠BPC， ∵∠2=∠APC+∠BPC， ∴∠2=∠1+∠3；（2）解：①如圖5過點P作PC∥a， ∵a∥b ∴PC∥a∥b ∴∠3=∠BPC，∠1=∠APC， ∵∠BPC=∠2+∠APC， ∴∠3=∠1+∠2； ②如圖6過點P作PC∥a， ∵a∥b ∴PC∥a∥b ∴∠1=∠APC，∠3=∠BPC， ∵∠APC=∠2+∠BPC， ∴∠1=∠2+∠3．【點睛】本題利用“豬蹄模型”及其變式考查了利用平行線的性質(zhì)求角之間的數(shù)量關(guān)系，準確的作出輔助線和找到對應(yīng)的內(nèi)錯角是解決本題的關(guān)鍵．【模型3 “臭腳”模型】 23．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）（1）已知：如圖（a），直線DE∥AB．求證：∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）如圖（b），如果點C在AB與ED之外，其他條件不變，那么會有什么結(jié)果？你還能就本題作出什么新的猜想？【答案】（1）見解析；（2）當點C在AB與ED之外時，∠ABC?∠CDE=∠BCD，見解析【分析】（1）由題意首先過點C作CF∥AB，由直線AB∥ED，可得AB∥CF∥DE，然后由兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可證得∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）根據(jù)題意首先由兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可得∠ABC=∠BFD，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可證得∠ABC-∠CDE=∠BCD．【詳解】解：（1）證明：過點C 作CF∥AB， ∵AB∥ED， ∴AB∥ED∥CF， ∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC， ∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）結(jié)論：∠ABC-∠CDE=∠BCD，證明：如圖： ∵AB∥ED， ∴∠ABC=∠BFD，在△DFC中，∠BFD=∠BCD+∠CDE， ∴∠ABC=∠BCD+∠CDE， ∴∠ABC-∠CDE=∠BCD．若點C在直線AB與DE之間，猜想∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°, ∵AB∥ED∥CF， ∴∠ABC+∠BCF=180°,∠CDE+∠DCF=180°, ∴∠ABC+∠BCD+∠CDE=∠ABC+∠BCF+∠DCF+∠CDE=360°. 【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵，注意掌握輔助線的作法． 24．（2022·全國·七年級）已知，AE//BD，∠A=∠D．（1）如圖1，求證：AB//CD；（2）如圖2，作∠BAE的平分線交CD于點F，點G為AB上一點，連接FG，若∠CFG的平分線交線段AG于點H，連接AC，若∠ACE=∠BAC+∠BGM，過點H作HM⊥FH交FG的延長線于點M，且3∠E?5∠AFH=18°，求∠EAF+∠GMH的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）72° 【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A+∠B=180°，再根據(jù)等量代換可得∠B+∠D=180°，最后根據(jù)平行線的判定即可得證；（2）過點E作EP//CD，延長DC至Q，過點M作MN//AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等量代換可得出∠ECQ=∠BGM=∠DFG，再根據(jù)平角的含義得出∠ECF=∠CFG，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可推出∠BHF=∠CFH,∠CFA=∠FAB；設(shè)∠FAB=α,∠CFH=β，根據(jù)角的和差可得出∠AEC=2∠AFH，結(jié)合已知條件3∠AEC?5∠AFH=180°可求得∠AFH=18°，最后根據(jù)垂線的含義及平行線的性質(zhì)，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵AE//BD ∴∠A+∠B=180° ∵∠A=∠D ∴∠B+∠D=180° ∴AB//CD；（2）過點E作EP//CD，延長DC至Q，過點M作MN//AB ∵AB//CD ∴∠QCA=∠CAB，∠BGM=∠DFG，∠CFH=∠BHF，∠CFA=FAG ∵∠ACE=∠BAC+∠BGM ∴∠ECQ+∠QCA=∠BAC+∠BGM ∴∠ECQ=∠BGM=∠DFG ∵∠ECQ+ECD=180°,∠DFG+CFG=180° ∴∠ECF=∠CFG ∵AB//CD ∴AB//EP ∴∠PEA=∠EAB,∠PEC=∠ECF ∵∠AEC=∠PEC?∠PEA ∴∠AEC=∠ECF?∠EAB ∴∠ECF=∠AEC+∠EAB ∵AF平分∠BAE ∴∠EAF=∠FAB=12∠EAB ∵FH平分∠CFG ∴∠CFH=∠HFG=12∠CFG ∵CD//AB ∴∠BHF=∠CFH,∠CFA=∠FAB 設(shè)∠FAB=α,∠CFH=β ∵∠AFH=∠CFH?∠CFA=∠CFH?∠FAB ∴∠AFH=β?α，∠BHF=∠CFH=β ∴∠ECF+2∠AFH=∠AEC+∠EAB+2∠AFH=∠AEC+2β ∴∠ECF+2∠AFH=∠E+2∠BHF ∴∠AEC=2∠AFH ∵3∠AEC?5∠AFH=180° ∴∠AFH=18° ∵FH⊥HM ∴∠FHM=90° ∴∠GHM=90°?β ∵∠CFM+∠NMF=180° ∴∠HMB=∠HMN=90°?β ∵∠EAF=∠FAB ∴∠EAF=∠CFA=∠CFH?∠AFH=β?18° ∴∠EAF+∠GMH=β?18°+90°?β=72° ∴∠EAF+∠GMH=72°．【點睛】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)，角平分線的定義，能靈活根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定進行推理是解此題的關(guān)鍵． 25．（2022·廣東·東莞市光明中學(xué)七年級期中）（1）如圖（1）AB∥CD，猜想∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，說出理由．（2）觀察圖（2），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，并說明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，不需要說明理由．【答案】（1）∠B+∠BPD+∠D=360°，理由見解析；（2）∠BPD=∠B+∠D，理由見解析；（3）∠BPD=∠D-∠B或∠BPD=∠B-∠D，理由見解析【分析】（1）過點P作EF∥AB，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可求解；（2）首先過點P作PE∥AB，由AB∥CD，可得PE∥AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可得∠1=∠B，∠2=∠D，則可求得∠BPD=∠B+∠D．（3）由AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等與三角形外角的性質(zhì)，即可求得∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系．【詳解】解：（1）如圖（1）過點P作EF∥AB， ∴∠B+∠BPE=180°， ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴EF∥CD， ∴∠EPD+∠D=180°， ∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°， ∴∠B+∠BPD+∠D=360°．（2）∠BPD=∠B+∠D．理由：如圖2，過點P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠1=∠B，∠2=∠D， ∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D．（3）如圖（3），∠BPD=∠D-∠B．理由：∵AB∥CD， ∴∠1=∠D， ∵∠1=∠B+∠BPD， ∴∠D=∠B+∠BPD，即∠BPD=∠D-∠B；如圖（4），∠BPD=∠B-∠D．理由：∵AB∥CD， ∴∠1=∠B， ∵∠1=∠D+∠BPD， ∴∠B=∠D+∠BPD，即∠BPD=∠B-∠D．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意掌握平行線的性質(zhì)，注意輔助線的作法． 26．（2022·浙江臺州·七年級期末）如圖，已知AD⊥AB于點A，AE∥CD交BC于點E，且EF⊥AB于點F．求證：∠C=∠1+∠2．證明：∵AD⊥AB于點A，EF⊥AB于點F，（已知） ∴∠DAB=∠EFB=90°．（垂直的定義） ∴AD∥EF，（????） ∴__________=∠1（????） ∵AE∥CD，（已知） ∴∠C=________．（兩直線平行，同位角相等） ∵∠AEB=∠AEF+∠2， ∴∠C=∠1+∠2．（等量代換）【答案】見解析【分析】首先根據(jù)同位角相等，兩直線平行AD//EF，再根兩直線平行，內(nèi)錯角相等得到∠AEF=∠1．最后根據(jù)兩直線平行，同位角相等得到∠C= ∠AEB，再進行等量代換即可．【詳解】證明：∵AD⊥AB于點A，EF⊥AB于點F， ∴∠DAB=∠EFB=90°． ∴AD//EF，????（同位角相等，兩直線平行）???? ∴∠AEF=∠1．???????????? （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）???????? ∵AE//CD， ∴∠C= ∠AEB．???????????? ∵∠AEB=∠AEF+∠2， ∴∠C=∠1+∠2．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵． 27．（2022·廣東珠海·七年級期中）已知AM//CN，點B為平面內(nèi)一點，AB⊥BC于B．（1）如圖1，點B在兩條平行線外，則∠A與∠C之間的數(shù)量關(guān)系為______；（2）點B在兩條平行線之間，過點B作BD⊥AM于點D． ①如圖2，說明∠ABD=∠C成立的理由； ②如圖3，BF平分∠DBC交DM于點F,BE平分∠ABD交DM于點E．若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度數(shù)．【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）①見解析；②105° 【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)進行證明即可；（2）①過點B作BG∥DM，根據(jù)平行線找角的聯(lián)系即可求解；②先過點B作BG∥DM，根據(jù)角平分線的定義，得出∠ABF=∠GBF，再設(shè)∠DBE=α，∠ABF=β，根據(jù)∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根據(jù)AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程組即可得到∠ABE=15°，進而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【詳解】解：（1）如圖1，AM與BC的交點記作點O， ∵AM∥CN， ∴∠C=∠AOB， ∵AB⊥BC， ∴∠A+∠AOB=90°， ∴∠A+∠C=90°；（2）①如圖2，過點B作BG∥DM， ∵BD⊥AM， ∴DB⊥BG， ∴∠DBG=90°， ∴∠ABD+∠ABG=90°， ∵AB⊥BC， ∴∠CBG+∠ABG=90°， ∴∠ABD=∠CBG， ∵AM∥CN，BG∥DM， ∴BG//CN, ∴∠C=∠CBG， ∠ABD=∠C； ②如圖3，過點B作BG∥DM， ∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD， ∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由（2）知∠ABD=∠CBG， ∴∠ABF=∠GBF，設(shè)∠DBE=α，∠ABF=β，則∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG， ∠GBF=∠AFB=β， ∠BFC=3∠DBE=3α， ∴∠AFC=3α+β， ∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°， ∴∠FCB=∠AFC=3α+β， △BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得： 2α+β+3α+3α+β=180°， ∵AB⊥BC， ∴β+β+2α=90°， ∴α=15°， ∴∠ABE=15°， ∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運用，解決問題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯角，運用等角的余角（補角）相等進行推導(dǎo)．余角和補角計算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián)．解題時注意方程思想的運用． 28．（2022·湖南·新田縣云梯學(xué)校七年級階段練習(xí)）①如圖1，AB ∥ CD，則∠A+∠E+∠C=360°；②如圖2，AB ∥ CD，則∠P=∠A?∠C；③如圖3，AB ∥ CD，則∠E=∠A+∠1；④如圖4，直線AB ∥ CD ∥ EF，點O在直線EF上，則∠α?∠β+∠γ=180°．以上結(jié)論正確的個數(shù)是（????） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B 【分析】①過點E作直線EF∥AB，由平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，即可得出結(jié)論； ②如圖2，先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠1＝∠C+∠P，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可作出判斷； ③如圖3，過點E作直線EF∥AB，由平行線的性質(zhì)可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A； ④如圖4，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的關(guān)系解答即可．【詳解】解： ①如圖1，過點E作直線EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠B+∠AEC＝360°，故①錯誤； ②如圖2，∵∠1是△CEP的外角， ∴∠1＝∠C+∠P， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠1，即∠P＝∠A﹣∠C，故②正確； ③如圖3，過點E作直線EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2， ∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，故③錯誤； ④如圖4，∵AB∥EF， ∴∠α＝∠BOF， ∵CD∥EF， ∴∠γ+∠COF＝180°， ∵∠BOF＝∠COF+∠β， ∴∠COF＝∠α﹣∠β， ∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故④正確；綜上結(jié)論正確的個數(shù)為2，【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．【模型4 “鉛筆”模型】 29．（2022·福建·浦城縣教師進修學(xué)校八年級期中）如圖，直線MA∥NB，∠A=70°，∠B=40°，則∠P=___________度．【答案】30 【分析】要求∠P的度數(shù)，只需根據(jù)平行線的性質(zhì)，求得其所在的三角形的一個外角，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)進行求解．【詳解】解：根據(jù)平行線的性質(zhì)，得∠A的同位角是70°，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，得∠P＝70°?40°＝30°．故答案為30．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和，可以牢記此題中的結(jié)論：∠P＝∠A?∠B． 30．（2022·江蘇·景山中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，若AB//CD，則∠1+∠3-∠2的度數(shù)為______ 【答案】180° 【分析】延長EA交CD于點F，則有∠2+∠EFC=∠3，然后根據(jù)AB//CD可得∠1=∠EFD，最后根據(jù)領(lǐng)補角及等量代換可求解．【詳解】解：延長EA交CD于點F，如圖所示： ∵ AB//CD， ∴∠1=∠EFD， ∵∠2+∠EFC=∠3， ∴ ∠EFC=∠3?∠2， ∵ ∠EFC+∠EFD=180°， ∴ ∠1+∠3?∠2=180°；故答案為180°．【點睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 31．（2022·湖北·浠水縣蘭溪鎮(zhèn)蘭溪初級中學(xué)七年級期中）如圖，已知AB//DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，則∠BCD=_____．【答案】40° 【分析】延長ED交BC于M，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等證明∠BMD=∠ABC，再求解∠CMD，再利用三角形的外角的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：延長ED交BC于M， ∵AB//DE， ∴∠BMD=∠ABC=80°， ∴∠CMD=180°?∠BMD=100°；又∵∠CDE=∠CMD+∠C， ∴∠BCD=∠CDE?∠CMD=140°?100°=40°．故答案是：40° 【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)．三角形的外角的性質(zhì)，鄰補角的定義，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵． 32．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，則∠EAB的度數(shù)為__________．【答案】57° 【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和180°以及平行線的性質(zhì)：1、如果兩直線平行，那么它們的同位角相等；2、如果兩直線平行，那么它們的同旁內(nèi)角互補；3、如果兩直線平行，那么它們的內(nèi)錯角相等，據(jù)此計算即可．【詳解】解：設(shè)AE、CD交于點F， ∵∠E＝37°，∠C＝ 20°， ∴∠CFE=180°-37°-20°=123°， ∴∠AFD=123°， ∵AB∥CD， ∴∠AFD+∠EAB=180°， ∴∠EAB=180°-123°=57°，故答案為：57°．【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)，熟知平行的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 33．（2022·全國·七年級）如圖，如果AB∥EF，EF∥CD，則∠1，∠2，∠3的關(guān)系式__________．【答案】∠2+∠3﹣∠1=180° 【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和平角定義求解即可．【詳解】解：∵AB∥EF，EF∥CD， ∴∠2+∠BOE=180°，∠3+∠COF=180°， ∴∠2+∠3+∠BOE+∠COF=360°， ∵∠BOE+∠COF+∠1=180°， ∴∠BOE+∠COF=180°﹣∠1， ∴∠2+∠3+（180°﹣∠1）=360°，即∠2+∠3﹣∠1=180°．故答案為：∠2+∠3﹣∠1=180°．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)、平角定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵． 34．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）已知AB//CD ，求證：∠B＝∠E＋∠D 【答案】見解析【分析】過點E作EF∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出∠B=∠BOD，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出∠BOD=∠BEF、∠D=∠DEF，結(jié)合角之間的關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】證明：過點E作EF∥CD，如圖 ∵AB∥CD， ∴∠B=∠BOD， ∵EF∥CD（輔助線）， ∴∠BOD=∠BEF（兩直線平行，同位角相等）；∠D=∠DEF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）； ∴∠BEF=∠BED+∠DEF=∠BED+∠D（等量代換）， ∴∠BOD=∠E+∠D（等量代換），即∠B=∠E+∠D．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角的計算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)找出相等或互補的角． 35．（2022·浙江·七年級期中）為更好地理清平行線與相關(guān)角的關(guān)系，小明爸爸為他準備了四根細直木條AB、BC，CD、DE，做成折線ABCDE，如圖1，且在折點B、C、D處均可自由轉(zhuǎn)出．（1）如圖2，小明將折線調(diào)節(jié)成∠B=50°,∠C=75°,∠D=25°，判別AB是否平行于ED，并說明理由；（2）如圖3，若∠C=∠D=25°，調(diào)整線段AB、BC使得AB//CD，求出此時∠B的度數(shù)，要求畫出圖形，并寫出計算過程．（3）若∠C=85°,∠D=25°,AB//DE，求出此時∠B的度數(shù)，要求畫出圖形，直接寫出度數(shù)，不要求計算過程．【答案】（1）AB∥DE，理由見解析；（2）25°或155°，畫圖見解析；（3）60°或120°或70°或110° 【分析】（1）過點C作CF∥AB，利用平行線的判定和性質(zhì)解答即可；（2）分別畫圖3和圖4，根據(jù)平行線的性質(zhì)可計算∠B的度數(shù)；（3）分別畫圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)計算出∠B的度數(shù)．【詳解】解：（1）AB∥DE，理由是：如下圖，過點C作CF∥AB， ∴∠B=∠BCF=50°， ∵∠BCD=75°， ∴∠DCF=25°， ∵∠D=25°， ∴∠D=∠DCF=25°， ∴CF∥DE， ∴AB∥DE；（2）如下圖， ∵AB∥CD， ∴∠B=∠BCD=25°；如圖4： ∵AB∥CD， ∴∠B+∠BCD=180°， ∴∠ABC=180°-25°=155°；（3）由（1）得：∠B=85°-25°=60°；如圖5，過C作CF∥AB，則AB∥CF∥CD， ∴∠FCD=∠D=25°， ∵∠BCD=85°， ∴∠BCF=85°-25°=60°， ∵AB∥CF， ∴∠B+∠BCF=180°， ∴∠B=120°；如圖6，∵∠C=85°，∠D=25°， ∴∠CFD=180°-85°-25°=70°， ∵AB∥DE， ∴∠B=∠CFD=70°，如圖7，同理得：∠B=25°+85°=110°，綜上所述，∠B的度數(shù)為60°或120°或70°或110°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的運用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造同位角以及內(nèi)錯角，依據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)進行推導(dǎo)計算． 36．（2022·山西晉中·七年級期中）綜合與探究【問題情境】王老師組織同學(xué)們開展了探究三角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動（1）如圖1，EF//MN，點A、B分別為直線EF、MN上的一點，點P為平行線間一點，請直接寫出∠PAF、∠PBN和∠APB之間的數(shù)量關(guān)系；　　　　　　　　　【問題遷移】（2）如圖2，射線OM與射線ON交于點O，直線m//n，直線m分別交OM、ON于點A、D，直線n分別交OM、ON于點B、C，點P在射線OM上運動， ①當點P在A、B（不與A、B重合）兩點之間運動時，設(shè)∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．則∠CPD，∠α，∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由． ②若點P不在線段AB上運動時（點P與點A、B、O三點都不重合），請你畫出滿足條件的所有圖形并直接寫出∠CPD，∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）∠PAF+∠PBN+∠APB=360°；（2）①∠CPD=∠α+∠β，理由見解析；②圖見解析，∠CPD=∠β?∠α或∠CPD=∠α?∠β 【分析】（1）作PQ∥EF，由平行線的性質(zhì)，即可得到答案；（2）①過P作PE//AD交CD于E，由平行線的性質(zhì)，得到∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得到答案； ②根據(jù)題意，可對點P進行分類討論：當點P在BA延長線時；當P在BO之間時；與①同理，利用平行線的性質(zhì)，即可求出答案．【詳解】解：（1）作PQ∥EF，如圖： ∵EF//MN， ∴EF//MN//PQ， ∴∠PAF+∠APQ=180°，∠PBN+∠BPQ=180°， ∵∠APB=∠APQ+∠BPQ ∴∠PAF+∠PBN+∠APB=360°；（2）①∠CPD=∠α+∠β；理由如下：如圖，過P作PE//AD交CD于E， ∵AD//BC， ∴AD//PE//BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β； ②當點P在BA延長線時，如備用圖1： ∵PE∥AD∥BC， ∴∠EPC=β，∠EPD=α， ∴∠CPD=∠β?∠α；當P在BO之間時，如備用圖2： ∵PE∥AD∥BC， ∴∠EPD=α，∠CPE=β， ∴∠CPD=∠α?∠β．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩直線平行同旁內(nèi)角互補，兩直線平行內(nèi)錯角相等，從而得到角的關(guān)系． 37．（2022·湖北武漢·七年級階段練習(xí)）如圖1，MN∥PQ，點C、B分別在直線MN、PQ上，點A在直線MN、PQ之間．（1）求證：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如圖2，CD∥AB，點E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求證：∠MCA＝∠DCE；（3）如圖3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）120°．【分析】（1）過點A作AD∥MN，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根據(jù)角的和差等量代換即可得解；（2）由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由鄰補角定義得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代換即可得解；（3）由平行線的性質(zhì)得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°即可求解．【詳解】解：（1）證明：如圖1，過點A作AD∥MN， ∵MN∥PQ，AD∥MN， ∴AD∥MN∥PQ， ∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB， ∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如圖2，∵CD∥AB， ∴∠CAB+∠ACD＝180°， ∵∠ECM+∠ECN＝180°， ∵∠ECN＝∠CAB ∴∠ECM＝∠ACD，即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE， ∴∠MCA＝∠DCE；（3）∵AF∥CG， ∴∠GCA+∠FAC＝180°， ∵∠CAB＝60° 即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°， ∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA，由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP， ∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN， ∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF，又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN， ∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°， ∴∠GCA﹣∠ABF＝60°， ∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°， ∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA ＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF ＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF ＝120°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，線段、角、相交線與平行線，準確的推導(dǎo)是解決本題的關(guān)鍵． 38．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）（1）如圖，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度數(shù)；（2）如圖，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍與∠E的補角的和為190°，求∠ABE的度數(shù)．（3）如圖，P為（2）中射線BE上一點，G是CD上任一點，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度數(shù)．【答案】（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°．【分析】（1）過E作EM∥AB，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)和角平分線的定義解答即可；（2）過E作EM∥AB，過F作FN∥AB，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義以及解一元一次方程解答即可；（3）過P作PL∥AB，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義解答即可．【詳解】解：（1）過E作EM∥AB， ∵AB∥CD， ∴CD∥EM∥AB， ∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM， ∵CF平分∠DCE， ∴∠DCE＝2∠DCF， ∵∠DCF＝30°， ∴∠DCE＝60°， ∴∠CEM＝60°，又∵∠CEB＝20°， ∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°， ∴∠ABE＝40°；（2）過E作EM∥AB，過F作FN∥AB， ∵∠EBF＝2∠ABF， ∴設(shè)∠ABF＝x，∠EBF＝2x，則∠ABE＝3x， ∵CF平分∠DCE， ∴設(shè)∠DCF＝∠ECF＝y(tǒng)，則∠DCE＝2y， ∵AB∥CD， ∴EM∥AB∥CD， ∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x， ∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x，同理∠CFB＝y(tǒng)﹣x， ∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°， ∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，?? ∴x＝10°， ∴∠ABE＝3x＝30°；（3）過P作PL∥AB， ∵GM平分∠DGP， ∴設(shè)∠DGM＝∠PGM＝y(tǒng)，則∠DGP＝2y， ∵PQ平分∠BPG， ∴設(shè)∠BPQ＝∠GPQ＝x，則∠BPG＝2x， ∵PQ∥GN， ∴∠PGN＝∠GPQ＝x， ∵AB∥CD， ∴PL∥AB∥CD，?? ∴∠GPL＝∠DGP＝2y， ∠BPL＝∠ABP＝30°， ∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG， ∴30°＝2y﹣2x， ∴y﹣x＝15°， ∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y(tǒng)﹣x， ∴∠MGN＝15°．【點睛】此題考查平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵在于作輔助線和掌握判定定理． 39．（2022·江蘇·揚州中學(xué)教育集團樹人學(xué)校七年級階段練習(xí)）已知直線AB∥CD，P為平面內(nèi)一點，連接PA、PD．（1）如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數(shù)；（2）如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關(guān)系為　 ?。?（3）如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+12∠PAB＝∠APD，求∠AND的度數(shù)．【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°．【分析】（1）首先過點P作PQ∥AB，則易得AB∥PQ∥CD，然后由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補以及內(nèi)錯角相等，即可求解；（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可證得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）先證明∠NOD=12∠PAB，∠ODN=12∠PDC，利用（2）的結(jié)論即可求解．【詳解】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，過點P作PQ∥AB， ∴∠A=∠APQ=50°， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠D+∠DPQ=180°，則∠DPQ=180°-150°=30°， ∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，如圖，作PQ∥AB， ∴∠PAB=∠APQ， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP， ∵∠APD=∠APQ-∠DPQ， ∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°； ∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°； (3)設(shè)PD交AN于O，如圖， ∵AP⊥PD， ∴∠APO=90°，由題知∠PAN+12∠PAB=∠APD，即∠PAN+12∠PAB=90°，又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°， ∴∠POA=12∠PAB， ∵∠POA=∠NOD， ∴∠NOD=12∠PAB， ∵DN平分∠PDC， ∴∠ODN=12∠PDC， ∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-12(∠PAB+∠PDC)，由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°， ∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD， ∴∠AND=180°-12(∠PAB+∠PDC) =180°-12(180°+∠APD) =180°-12(180°+90°) =45°，即∠AND=45°．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義．注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 40．（2022·浙江杭州·七年級期中）已知，AB∥CD．點M在AB上，點N在CD上．（1）如圖1中，∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)系為：　；（不需要證明）如圖2中，∠BMF、∠F、∠FND的數(shù)量關(guān)系為：　；（不需要證明）（2）如圖3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度數(shù)；（3）如圖4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，則∠FEQ的大小是否發(fā)生變化，若變化，請說明理由，若不變化，求出∠FEQ的度數(shù)．【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不變，30° 【分析】（1）過E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；過F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及角平分線的定義可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，進而可求解；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可推知∠FEQ=12∠BME，進而可求解．【詳解】解：（1）過E作EH∥AB，如圖1， ∴∠BME＝∠MEH， ∵AB∥CD， ∴HE∥CD， ∴∠END＝∠HEN， ∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如圖2，過F作FH∥AB， ∴∠BMF＝∠MFK， ∵AB∥CD， ∴FH∥CD， ∴∠FND＝∠KFN， ∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．故答案為∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND． ∵NE平分∠FND，MB平分∠FME， ∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END， ∵2∠MEN＋∠MFN＝180°， ∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°， ∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，解得∠BMF＝60°， ∴∠FME＝2∠BMF＝120°；（3）∠FEQ的大小沒發(fā)生變化，∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END， ∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，