專題2.1 平行線的判定【十一大題型】 【北師大版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc31035" 【題型1 對(duì)頂角的識(shí)別及其性質(zhì)】  PAGEREF _Toc31035 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc31736" 【題型2 平行、垂直】  PAGEREF _Toc31736 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc27142" 【題型3 平行公理及其推論】  PAGEREF _Toc27142 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc20414" 【題型4 同位角相等，兩直線平行】  PAGEREF _Toc20414 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc5858" 【題型5 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行】  PAGEREF _Toc5858 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc193" 【題型6 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行】  PAGEREF _Toc193 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc19633" 【題型7 平行線的判定方法的綜合運(yùn)用】  PAGEREF _Toc19633 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc13799" 【題型8 角平分線與平行線的判定綜合運(yùn)用】  PAGEREF _Toc13799 \h 9  HYPERLINK \l "_Toc5671" 【題型9 平行線判定的實(shí)際應(yīng)用】  PAGEREF _Toc5671 \h 11  HYPERLINK \l "_Toc22763" 【題型10 余角和補(bǔ)角的計(jì)算】  PAGEREF _Toc22763 \h 12  HYPERLINK \l "_Toc132" 【題型11 同（等）角的余角和補(bǔ)角相等的運(yùn)用】  PAGEREF _Toc132 \h 14  【題型1 對(duì)頂角的識(shí)別及其性質(zhì)】 【例1】（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·七年級(jí)期中）下列各圖中，∠1與∠2是對(duì)頂角的是（　?。?A． B． C． D． 【變式1-1】（2022·廣東·揭西縣陽(yáng)夏華僑中學(xué)七年級(jí)期末）已知：如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠AOC，∠EOC＝25∠COB． (1)圖中的對(duì)頂角有　 　對(duì)，它們是　 ?。?(2)圖中互補(bǔ)的角有　 　對(duì)，它們是　 ?。?(3)求∠EOD的度數(shù)． 【變式1-2】（2021·山東·濟(jì)南市鋼城區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE⊥CD，OF平分∠AOD，若∠AOD=50°.求∠EOF的度數(shù). 【變式1-3】（2022·遼寧·鞍山市第二中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE． (1)若∠AOC=76°，∠BOF=______度． (2)若∠BOF=36°，∠AOC的度數(shù)是多少？ 【題型2 平行、垂直】 【例2】（2022·福建·廈門雙十中學(xué)海滄附屬學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A在直線l1上，點(diǎn)B，C在直線l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，則下列說(shuō)法正確的是（　?。? A．點(diǎn)A到直線l2的距離等于4 B．點(diǎn)C到直線l1的距離等于4 C．點(diǎn)C到AB的距離等于4 D．點(diǎn)B到AC的距離等于3 【變式2-1】（2022·廣西·欽州市第四中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（???????） A．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a∥b,b∥c，則a∥c B．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a⊥b，b⊥c，則a⊥c C．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a∥b,b⊥c，則a∥c D．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且，a∥b,b∥c則a⊥c 【變式2-2】（2022·吉林·公主嶺市陶家中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，因?yàn)锳B⊥l，BC⊥l，B為垂足，所以AB和BC重合，其理由是（????） A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 C．垂直同一條直線的兩條直線平行 D．垂線段最短 【變式2-3】（2022·江蘇·九年級(jí)）如圖，點(diǎn)A、點(diǎn)B是直線l上兩點(diǎn)，AB＝10，點(diǎn)M在直線l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若點(diǎn)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，連接MP，則線段MP的最小值是____． 【知識(shí)點(diǎn) 平行線的判定】 1.平行公理及其推論 ①經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行. ②如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行. 2.平行線的判定方法 ①兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.（同位角相等，兩直線平行）. ②兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行. （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行. ③兩直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則這兩條直線平行.（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.） 【題型3 平行公理及其推論】 【例3】（2022·江西上饒·七年級(jí)期中）同一平面內(nèi)的四條直線若滿足a⊥b，b⊥c，c⊥d，則下列式子成立的是（????） A．a(chǎn)∥d B．b⊥d C．a(chǎn)⊥d D．b∥c 【變式3-1】（2022·河南漯河·七年級(jí)期末）如圖，工人師傅用角尺畫出工件邊緣AB的垂線a和b，得到a∥b，理由是（???） A．連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短 B．在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行 C．在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線 D．經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行 【變式3-2】（2022·湖北武漢·七年級(jí)期中）下列命題：①內(nèi)錯(cuò)角相等；②兩個(gè)銳角的和是鈍角；③ a ， b ， c 是同一平面內(nèi)的三條直線，若a//b，b// c ，則a// c ；④ a ， b ， c 是同一平面內(nèi)的三條直線，若a ? b ， b ? c ，則a ? c ； 其中真命題的個(gè)數(shù)是（????????） A．1個(gè) B．2 個(gè) C．3 個(gè) D．4 個(gè) 【變式3-3】（2022·四川·甘孜藏族自治州教育局七年級(jí)期末）如圖， AB∥CD， 如果∠1=∠2， 那么EF與AB平行嗎？ 說(shuō)說(shuō)你的理由． 解：因?yàn)椤?=∠2， 所以____________∥___________．（??????????） 又因?yàn)锳B∥CD， 所以AB∥EF． （???????????） 【題型4 同位角相等，兩直線平行】 【例4】（2022·甘肅·隴南育才學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，AB⊥MN，垂足為B，CD⊥MN，垂足為D，∠1＝∠2．在下面括號(hào)中填上理由． 因?yàn)锳B⊥MN，CD⊥MN， 所以∠ABM＝∠CDM＝90°． 又因?yàn)椤?＝∠2( )， 所以∠ABM?∠1＝∠CDM?∠2( )， 即∠EBM＝∠FDM． 所以EB∥FD( ) 【變式4-1】（2022·湖北·蘄春縣向橋鄉(xiāng)白水中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，過(guò)直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線的方法叫“推平行線”法，其依據(jù)是______． 【變式4-2】（2022·山東泰安·七年級(jí)期末）如圖，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3．請(qǐng)說(shuō)明線段BE與DF的位置關(guān)系？為什么？ 【變式4-3】（2022·北京東城·七年級(jí)期末）如圖，直線l與直線AB，CD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，∠1是它的補(bǔ)角的3倍，∠1?∠2=90°．判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由． 【題型5 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行】 【例5】（2022·山東·曲阜九巨龍學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A在直線DE上，AB⊥AC于A，∠1與∠C互余，DE和BC平行嗎？若平行，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【變式5-1】（2022·北京市房山區(qū)燕山教委八年級(jí)期中）如圖，已知∠1=75°，∠2=35°，∠3=40°，求證：a∥b． 【變式5-2】（2022·福建·莆田第二十五中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，CF是△ABC外角∠ACM的平分線，∠ACB=40°，∠A=70°，求證：AB∥CF. 【變式5-3】（2022·遼寧·阜新市第十中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，AB∥DE，∠1=∠ACB，∠CAB=12∠BAD，試說(shuō)明AD∥BC． 【題型6 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行】 【例6】（2022·河北衡水·七年級(jí)階段練習(xí)）已知：∠A=∠C=120°，∠AEF=∠CEF=60°，求證：AB∥CD． 【變式6-1】（2022·西藏昂仁縣中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，∠CAD＝20°，∠B＝70°，AB⊥AC，求證：AD∥BC． 【變式6-2】（2022·甘肅·平?jīng)鍪械谄咧袑W(xué)七年級(jí)期中）如圖，∠1=30°,∠B=60°,AB⊥AC. (1) ∠DAB+∠B等于多少度？ (2)AD與BC平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由． 【變式6-3】（2022·北京市第五中學(xué)分校七年級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分別為D，F(xiàn)，點(diǎn)M，G在AB上，GF交BD于點(diǎn)H，∠BMD+∠ABC＝180°，∠1＝∠2，求證：MD∥GF． 下面是小穎同學(xué)的思考過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)全證明過(guò)程并在括號(hào)內(nèi)填上證明依據(jù)． 證明：∵BD⊥AC，EF⊥AC， ∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（①　　）． ∴∠BDC＝∠EFC（等量代換）． ∴BD∥EF（同位角相等，兩直線平行）． ∴∠2＝∠CBD（ ②　　）． ∵∠1＝∠2（已知）． ∴∠1＝∠CBD（等量代換）． ∴③　?。▋?nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）． ∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知）， ∴MD∥BC（④　?。?∴MD∥GF（⑤　　）． 【題型7 平行線的判定方法的綜合運(yùn)用】 【例7】（2022·廣西賀州·七年級(jí)期末）如圖，有下列條件：①∠1=∠2；②∠3+∠4=180°；③∠5+∠6=180°；④∠2=∠3．其中，能判斷直線a∥b的有（　　　） A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè) 【變式7-1】（2022·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期末）在鋪設(shè)鐵軌時(shí)，兩條直軌必須是互相平行的，如圖，已經(jīng)知道∠2是直角，那么再度量圖中已標(biāo)出的哪個(gè)角，不能判斷兩條直軌是否平行(???) A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠5 【變式7-2】（2022·山西臨汾·七年級(jí)期末）在下列圖形中，已知∠1=∠2，一定能推導(dǎo)出l1∥l2的是（???） A． B． C． D． 【變式7-3】（2022·山東日照·七年級(jí)期末）如圖，在下列給出的條件中，不能判定DE∥BC的是（????） A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠5=∠C D．∠B+∠BDE=180° 【題型8 角平分線與平行線的判定綜合運(yùn)用】 【例8】（2022·吉林·大安市樂(lè)勝鄉(xiāng)中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADF+∠AFD=90°，點(diǎn)E、F分別在DC、AB上，且BE、DF分別平分∠ABC、∠ ADC，判斷BE、DF是否平行，并說(shuō)明理由． 【變式8-1】（2022·江蘇·揚(yáng)州市邗江區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期末）將下列證明過(guò)程補(bǔ)充完整： 已知：如圖，點(diǎn)E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求證：AB∥CD． 證明：∵CE平分∠ACD（已知）， ∴∠2＝∠　 ?。?　 　）． ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝∠　 　（ 　 ?。?∴AB∥CD（ 　 ?。?【變式8-2】（2022·遼寧沈陽(yáng)·七年級(jí)期末）按邏輯填寫步驟和理由，將下面的證明過(guò)程補(bǔ)充完整 如圖，直線MN分別與直線AC、DG交于點(diǎn)B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分線BE交直線DG于點(diǎn)E，∠BFG的角平分線FC交直線AC于點(diǎn)C． 求證：BE∥CF． 證明：∵∠1＝∠2（已知） ∠ABF＝∠1（對(duì)頂角相等） ∠BFG＝∠2（____________） ∴∠ABF＝______（等量代換） ∵BE平分∠ABF（已知） ∴∠EBF=12______（____________） ∵FC平分∠BFG（已知） ∴∠CFB=12______（____________） ∴∠EBF＝______ ∴BE∥CF（____________） 【變式8-3】（2022·內(nèi)蒙古·扎賚特旗音德爾第三中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)G在CD上，已知∠BAG+∠AGD=180°，EA平分∠BAG，F(xiàn)G平分∠AGC．請(qǐng)說(shuō)明AE∥GF的理由． 解：因?yàn)椤螧AG+∠AGD=180°(已知)， ∠AGC+∠AGD=180°(______)， 所以∠BAG=∠AGC(______)． 因?yàn)镋A平分∠BAG， 所以∠1=12∠BAG(______)． 因?yàn)镕G平分∠AGC， 所以∠2=12______， 得∠1=∠2(等量代換)， 所以______(______)． 【題型9 平行線判定的實(shí)際應(yīng)用】 【例9】（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，若將木條a繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)后使其與木條b平行，則旋轉(zhuǎn)的最小角度為(　　) A．65° B．85° C．95° D．115° 【變式9-1】（2022·河南·鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校經(jīng)開校區(qū)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示的四種沿AB進(jìn)行折疊的方法中，不一定能判斷紙帶兩條邊a，b互相平行的是（　?。? A．如圖1，展開后測(cè)得∠1=∠2 B．如圖2，展開后測(cè)得∠1=∠2且∠3=∠4 C．如圖3，測(cè)得∠1=∠2 D．在圖4中，展開后測(cè)得∠1+∠2=180° 【變式9-2】（2022·全國(guó)·七年級(jí)）一輛汽車在廣闊的草原上行駛，兩次拐彎后，行駛的方向與原來(lái)的方向相同，那么這兩次拐彎的角度可能是（????） A．第一次向右拐40°，第二次向右拐140°． B．第一次向右拐40°，第二次向左拐40°． C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°． D．第一次向右拐140°，第二次向左拐40°． 【變式9-3】（2022·江蘇·南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期中）如圖，a、b、c三根木棒釘在一起，∠1=70°,∠2=100°，現(xiàn)將木棒a、b同時(shí)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，速度分別為18度/秒和3度/秒，兩根木棒都停止時(shí)運(yùn)動(dòng)結(jié)束，則___________秒后木棒a，b平行． 【題型10 余角和補(bǔ)角的計(jì)算】 【例10】（2022·河南平頂山·七年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，CO⊥AB，∠1=28°，OE是∠AOD的平分線，OF⊥OE． (1)求∠AOE的度數(shù)． (2)找出圖中與∠BOF互補(bǔ)的角，并求出∠BOF補(bǔ)角的度數(shù)． 【變式10-1】（2022·河南·鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校經(jīng)開校區(qū)七年級(jí)階段練習(xí)）一個(gè)角的余角比它的補(bǔ)角的15還少2°，則這個(gè)角的度數(shù)是_______． 【變式10-2】（2022·新疆·烏魯木齊市第136中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，O是直線AB上一點(diǎn)，OC為任意一條射線，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC． (1)圖中∠AOD的補(bǔ)角是 和 ；∠BOD的余角是 和 ． (2)已知∠COD=40°，求∠COE的度數(shù)． 【變式10-3】（2022·全國(guó)·七年級(jí)）已知：如圖所示，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC=70°，∠AOC=50°． （1）求出∠AOB及其補(bǔ)角的度數(shù)； （2）求出∠DOC和∠AOE的度數(shù)，并判斷∠DOE 與∠AOB是否互補(bǔ)，并說(shuō)明理由； （3）若∠BOC=α，∠AOC=β，則∠DOE 與∠AOB是否互補(bǔ)，并說(shuō)明理由． 【題型11 同（等）角的余角和補(bǔ)角相等的運(yùn)用】 【例11】（2022·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在同一平面內(nèi)，∠AOB=∠COD=90°，∠AOF=∠DOF，點(diǎn)E為OF反向延長(zhǎng)線上一點(diǎn)（圖中所有角均指小于180°的角）．下列結(jié)論： ①∠COE=∠BOE； ②∠AOD+∠BOC=180°； ③∠BOC?∠AOD=90°； ④∠COE+∠BOF=180°．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（　　?。? A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【變式11-1】（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AOE是一條直線，OB⊥AE,OC⊥OD，圖中互補(bǔ)的角有（????） A．4對(duì) B．5對(duì) C．6對(duì) D．7對(duì) 【變式11-2】（2022·河北秦皇島·七年級(jí)期中）如圖，已知直線AB、CD、EF、MN相交于點(diǎn)O，CD⊥AB，OC平分∠EOM，圖中∠EOC的余角的個(gè)數(shù)是（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 【變式11-3】（2022·福建·廈門市松柏中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，∠AOB=90°，直線b經(jīng)過(guò)點(diǎn)O．在下面的五 專題2.1 平行線的判定【十一大題型】 【北師大版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc22615" 【題型1 對(duì)頂角的識(shí)別及其性質(zhì)】  PAGEREF _Toc22615 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc19488" 【題型2 平行、垂直】  PAGEREF _Toc19488 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc23166" 【題型3 平行公理及其推論】  PAGEREF _Toc23166 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc24423" 【題型4 同位角相等，兩直線平行】  PAGEREF _Toc24423 \h 11  HYPERLINK \l "_Toc14609" 【題型5 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行】  PAGEREF _Toc14609 \h 13  HYPERLINK \l "_Toc18832" 【題型6 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行】  PAGEREF _Toc18832 \h 16  HYPERLINK \l "_Toc31625" 【題型7 平行線的判定方法的綜合運(yùn)用】  PAGEREF _Toc31625 \h 19  HYPERLINK \l "_Toc18287" 【題型8 角平分線與平行線的判定綜合運(yùn)用】  PAGEREF _Toc18287 \h 22  HYPERLINK \l "_Toc22972" 【題型9 平行線判定的實(shí)際應(yīng)用】  PAGEREF _Toc22972 \h 26  HYPERLINK \l "_Toc11910" 【題型10 余角和補(bǔ)角的計(jì)算】  PAGEREF _Toc11910 \h 29  HYPERLINK \l "_Toc1028" 【題型11 同（等）角的余角和補(bǔ)角相等的運(yùn)用】  PAGEREF _Toc1028 \h 33  【題型1 對(duì)頂角的識(shí)別及其性質(zhì)】 【例1】（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·七年級(jí)期中）下列各圖中，∠1與∠2是對(duì)頂角的是（　?。?A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根據(jù)對(duì)頂角的概念逐一判斷即可． 【詳解】解：A、∠1與∠2的頂點(diǎn)不相同，故不是對(duì)頂角，此選項(xiàng)不符合題意； B、∠1與∠2的一邊不是反向延長(zhǎng)線，故不是對(duì)頂角，此選項(xiàng)不符合題意； C、∠1與∠2是對(duì)頂角，故此選項(xiàng)符合題意； D、∠1與∠2的一邊不是反向延長(zhǎng)線，故不是對(duì)頂角，此選項(xiàng)不符合題意． 【點(diǎn)睛】本題考查的是對(duì)頂角的判斷，有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角,解題關(guān)鍵是熟練掌握定義，正確判斷． 【變式1-1】（2022·廣東·揭西縣陽(yáng)夏華僑中學(xué)七年級(jí)期末）已知：如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠AOC，∠EOC＝25∠COB． (1)圖中的對(duì)頂角有　 　對(duì)，它們是　 ?。?(2)圖中互補(bǔ)的角有　 　對(duì)，它們是　 ?。?(3)求∠EOD的度數(shù)． 【答案】(1)兩；∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD (2)八；∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD，∠EOC和∠EOB，∠AOE和∠EOD (3)140° 【分析】（1）根據(jù)對(duì)頂角的定義，判斷即可； （2）根據(jù)補(bǔ)角的定義進(jìn)行判斷即可； （3）根據(jù)OE平分∠AOC，得出∠EOC＝∠AOE，設(shè)∠BOC＝x，則∠EOC＝∠AOE＝25x，列出關(guān)于x的方程，解方程即可得出∠BOC的度數(shù)，再求出∠DOE的度數(shù)，即可得出結(jié)果． （1） 解：圖中的對(duì)頂角有：∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD． 故答案為：兩；∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD． （2） 圖中互補(bǔ)的角有：∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD， ∵OE平分∠AOC， ∴∠AOE=∠COE， ∵∠AOE+∠BOE=180°， ∴∠COE+∠BOE=180°， ∴∠EOC和∠EOB互補(bǔ)， ∵∠COE+∠EOD=180°， ∴∠AOE+∠EOD=180°， ∴∠AOE和∠EOD互補(bǔ)． 故答案為：八；∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD，∠EOC和∠EOB，∠AOE和∠EOD． （3） ∵OE平分∠AOC， ∴∠EOC＝∠AOE， 設(shè)∠BOC＝x，則∠EOC＝∠AOE＝25x，由平角定義得， 25x+25x+x＝180°， 解得：x＝100° ∴∠EOC＝∠AOE＝12（180°﹣100°）＝40°， ∴∠DOE＝100°+40°＝140°， 答：∠EOD的度數(shù)為140°． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)頂角的定義、補(bǔ)角的定義、角平分線的定義，熟練掌握相關(guān)定義，根據(jù)題意求出∠BOC的度數(shù)，是解題的關(guān)鍵． 【變式1-2】（2021·山東·濟(jì)南市鋼城區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE⊥CD，OF平分∠AOD，若∠AOD=50°.求∠EOF的度數(shù). 【答案】65° 【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠FOD=∠AOF=12∠AOD=25°，根據(jù)垂線的性質(zhì)可得∠EOD=90°，再進(jìn)行解答即可． 【詳解】解：∵OF平分∠AOD，∠AOD=50°， ∴∠FOD=∠AOF=12∠AOD=25°， ∵OE⊥CD， ∴∠EOD=90°， ∴∠EOF=∠EOD-∠FOD=90°-25°=65°． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線的性質(zhì)和角平分線的定義，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵． 【變式1-3】（2022·遼寧·鞍山市第二中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE． (1)若∠AOC=76°，∠BOF=______度． (2)若∠BOF=36°，∠AOC的度數(shù)是多少？ 【答案】(1)33 (2)∠AOC的度數(shù)是72° 【分析】（1）根據(jù)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、角平分線的定義，求出∠EOF和∠EOB的度數(shù)，再根據(jù)角的和差即可得∠BOF的度數(shù)； （2）根據(jù)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、角平分線的定義，先用∠BOE的等式表示∠AOC，再根據(jù)角分線的定義，列出等式即可求得結(jié)果． （1） ∵∠AOC=76°， ∴∠BOD=∠AOC=76°， ∵OE平分∠BOD， ∴∠BOE=∠DOE=38°， ∵∠COE+∠DOE=180°， ∴∠COE=180°?∠DOE=142°， ∵OF平分∠COE， ∴∠EOF=∠COF=71°， ∵∠BOF+∠BOE=∠EOF， ∴∠BOF=∠EOF?∠BOE =71°?38° =33° 故答案為：33； （2） 設(shè)∠AOC=x°， ∴∠BOD=∠AOC=x°， ∵OE平分∠BOD， ∴∠BOE=∠DOE=12x°， ∵∠COE+∠DOE=180°， ∴∠COE=180°?∠DOE=180°?12x°， ∵OF平分∠COE， ∴∠EOF=∠COF=12180°?12x°°， ∵∠BOF+∠BOE=∠EOF，∠BOF=36° ∴36°+12x°=12180°?12x°°， ∴x=72°． 【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、角平分線的定義，解題關(guān)鍵是觀察圖形分清楚哪兩個(gè)角相等，哪些角相加得180度． 【題型2 平行、垂直】 【例2】（2022·福建·廈門雙十中學(xué)海滄附屬學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A在直線l1上，點(diǎn)B，C在直線l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，則下列說(shuō)法正確的是（　　） A．點(diǎn)A到直線l2的距離等于4 B．點(diǎn)C到直線l1的距離等于4 C．點(diǎn)C到AB的距離等于4 D．點(diǎn)B到AC的距離等于3 【答案】D 【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，即可得到答案． 【詳解】解：點(diǎn)A到直線l2的距離為AB的長(zhǎng)，等于4，故A正確； 點(diǎn)C到直線l1的距離為AC的長(zhǎng)，大于4，故B錯(cuò)誤； 點(diǎn)C到AB的距離為BC的長(zhǎng)，等于3，故C錯(cuò)誤； 同理，點(diǎn)B到AC的距離也不是3，故D錯(cuò)誤， 故選：A 【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線的距離，掌握定義是解題的關(guān)鍵． 【變式2-1】（2022·廣西·欽州市第四中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（???????） A．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a∥b,b∥c，則a∥c B．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a⊥b，b⊥c，則a⊥c C．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a∥b,b⊥c，則a∥c D．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且，a∥b,b∥c則a⊥c 【答案】D 【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)分析判斷即可． 【詳解】A．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a∥b,b∥c，則a∥c，故選項(xiàng)正確，符合題意． B．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a⊥b，b⊥c，則a//c，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意． C．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a∥b,b⊥c，則a⊥c，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意． D．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且，a∥b,b∥c則a//c，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵． 【變式2-2】（2022·吉林·公主嶺市陶家中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，因?yàn)锳B⊥l，BC⊥l，B為垂足，所以AB和BC重合，其理由是（????） A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 C．垂直同一條直線的兩條直線平行 D．垂線段最短 【答案】B 【分析】利用“平面內(nèi)，經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”，逐一分析，排除錯(cuò)誤答案即可． 【詳解】解：A.點(diǎn)A、C可以確定一條直線，但不可以確定三點(diǎn)B、A、C都在直線l的垂線上，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B.直線BA、BC都經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)B，且都垂直于直線l，故本選項(xiàng)正確； C.在同一平面內(nèi)，經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D.此題沒(méi)涉及到線段的長(zhǎng)度，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； 【點(diǎn)睛】本題考查了垂直的定義、兩點(diǎn)確定一條直線、垂線段最短，熟練掌握和運(yùn)用各定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵. 【變式2-3】（2022·江蘇·九年級(jí)）如圖，點(diǎn)A、點(diǎn)B是直線l上兩點(diǎn)，AB＝10，點(diǎn)M在直線l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若點(diǎn)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，連接MP，則線段MP的最小值是____． 【答案】4.8 【分析】根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)MP⊥AB時(shí)，MP有最小值，利用三角形的面積可列式計(jì)算求解MP的最小值． 【詳解】解：當(dāng)MP⊥AB時(shí)，MP有最小值， ∵AB＝10，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°， ∴AB?MP＝AM?BM， 即10MP＝6×8， 解得MP＝4.8． 故答案為：4.8． 【點(diǎn)睛】本題主要考查垂線段最短，三角形的面積，找到MP最小時(shí)的P點(diǎn)位置是解題的關(guān)鍵． 【知識(shí)點(diǎn) 平行線的判定】 1.平行公理及其推論 ①經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行. ②如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行. 2.平行線的判定方法 ①兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.（同位角相等，兩直線平行）. ②兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行. （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行. ③兩直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則這兩條直線平行.（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.） 【題型3 平行公理及其推論】 【例3】（2022·江西上饒·七年級(jí)期中）同一平面內(nèi)的四條直線若滿足a⊥b，b⊥c，c⊥d，則下列式子成立的是（????） A．a(chǎn)∥d B．b⊥d C．a(chǎn)⊥d D．b∥c 【答案】A 【分析】根據(jù)同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，可證a∥c，再結(jié)合c⊥d，可證a⊥d． 【詳解】解：∵a⊥b，b⊥c， ∴a∥c， ∵c⊥d， ∴a⊥d， 【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線及垂線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行． 【變式3-1】（2022·河南漯河·七年級(jí)期末）如圖，工人師傅用角尺畫出工件邊緣AB的垂線a和b，得到a∥b，理由是（???） A．連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短 B．在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行 C．在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線 D．經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行 【答案】B 【分析】三條直線AB、a、b位于同一平面內(nèi)，且直線a與直線b都垂直于AB，即可根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行的性質(zhì)來(lái)判斷出a∥b． 【詳解】∵直線AB、a、b位于同一平面內(nèi)，且AB⊥a、AB⊥b ∴a∥b（同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行） 故答案為B． 【點(diǎn)睛】本題考查了平行線判定的性質(zhì)，根據(jù)已知題目反應(yīng)出兩條直線是同一平面內(nèi)，且同時(shí)垂直于一條直線是本題的關(guān)鍵． 【變式3-2】（2022·湖北武漢·七年級(jí)期中）下列命題：①內(nèi)錯(cuò)角相等；②兩個(gè)銳角的和是鈍角；③ a ， b ， c 是同一平面內(nèi)的三條直線，若a//b，b// c ，則a// c ；④ a ， b ， c 是同一平面內(nèi)的三條直線，若a ? b ， b ? c ，則a ? c ； 其中真命題的個(gè)數(shù)是（????????） A．1個(gè) B．2 個(gè) C．3 個(gè) D．4 個(gè) 【答案】D 【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)可判斷①，根據(jù)兩銳角的大小求和可判斷②，根據(jù)平行公理推論可判斷③，根據(jù)垂直定義得出∠1=∠2=90°，然后利用同位角相等，兩直線平行的判定可判斷④． 【詳解】解：①兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，故①不正確； ②兩個(gè)銳角的和可以是銳角，直角，鈍角，故②不正確； ③ a ， b ， c 是同一平面內(nèi)的三條直線，若a//b，b// c ，則a// c ，故③正確； ④ a ， b ， c 是同一平面內(nèi)的三條直線，如圖 ∵a ? b ， b ? c ， ∴∠1=90°，∠2=90°， ∴∠1=∠2 ∴a ∥ c ，故④不正確； ∴真命題只有1個(gè)． 故選A． 【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)與判定，兩銳角和的大小，掌握平行線的性質(zhì)與判定，銳角定義是解題關(guān)鍵． 【變式3-3】（2022·四川·甘孜藏族自治州教育局七年級(jí)期末）如圖， AB∥CD， 如果∠1=∠2， 那么EF與AB平行嗎？ 說(shuō)說(shuō)你的理由． 解：因?yàn)椤?=∠2， 所以____________∥___________．（??????????） 又因?yàn)锳B∥CD， 所以AB∥EF． （???????????） 【答案】AD∥EF；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；平行于同一直線的兩條直線平行 【分析】根據(jù)平行線的判定定理完成填空即可求解． 【詳解】解：因?yàn)椤?=∠2?， 所以CD∥EF．（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行） 又因?yàn)锳B∥CD?， 所以AB∥EF?．（平行于同一直線的兩條直線平行） 【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，平行公理，掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵． 【題型4 同位角相等，兩直線平行】 【例4】（2022·甘肅·隴南育才學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，AB⊥MN，垂足為B，CD⊥MN，垂足為D，∠1＝∠2．在下面括號(hào)中填上理由． 因?yàn)锳B⊥MN，CD⊥MN， 所以∠ABM＝∠CDM＝90°． 又因?yàn)椤?＝∠2( )， 所以∠ABM?∠1＝∠CDM?∠2( )， 即∠EBM＝∠FDM． 所以EB∥FD( ) 【答案】???? 已知???? 等量減等量，差相等???? 同位角相等，兩直線平行 【分析】根據(jù)垂線的定義，得出∠ABM＝∠CDM＝90°，再根據(jù)角的等量關(guān)系，得出∠EBM＝∠FDM，然后再根據(jù)同位角相等，兩直線平行，得出EB∥FD，最后根據(jù)解題過(guò)程的理由填寫即可． 【詳解】因?yàn)锳B⊥MN，CD⊥MN， 所以∠ABM＝∠CDM＝90°． 又因?yàn)椤?＝∠2（已知）， 所以∠ABM?∠1＝∠CDM?∠2（等量減等量，差相等）， 即∠EBM＝∠FDM． 所以EB∥FD（同位角相等，兩直線平行）． 【點(diǎn)睛】本題考查了垂線的定義、平行線的判定，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握平行線的判定定理． 【變式4-1】（2022·湖北·蘄春縣向橋鄉(xiāng)白水中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，過(guò)直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線的方法叫“推平行線”法，其依據(jù)是______． 【答案】同位角相等，兩直線平行 【分析】作圖時(shí)保持∠1=∠2，根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可畫出已知直線的平行線． 【詳解】解：過(guò)直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線的方法叫“推平行線”法，其依據(jù)是：同位角相等，兩直線平行． 故答案為：同位角相等，兩直線平行． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，平行公理，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定和性質(zhì)． 【變式4-2】（2022·山東泰安·七年級(jí)期末）如圖，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3．請(qǐng)說(shuō)明線段BE與DF的位置關(guān)系？為什么？ 【答案】BE∥DF，見解析 【分析】由已知推出∠3+∠4=90°，利用∠1+∠2=90°，∠2=∠3，得到∠1=∠4，即可得到結(jié)論BE∥DF． 【詳解】解：BE∥DF， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC=90°， ∴∠3+∠4=90°， ∵∠1+∠2=90°，∠2=∠3， ∴∠1=∠4， ∴BE∥DF． 【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定定理，熟記平行線的判定定理并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵． 【變式4-3】（2022·北京東城·七年級(jí)期末）如圖，直線l與直線AB，CD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，∠1是它的補(bǔ)角的3倍，∠1?∠2=90°．判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由． 【答案】AB∥CD；理由見解析 【分析】先根據(jù)補(bǔ)角的定義求出∠1的度數(shù)，然后求出∠CFE和∠2的度數(shù)，最后根據(jù)平行線的判定進(jìn)行解答即可． 【詳解】解：AB∥CD；理由如下： ∵∠1是它的補(bǔ)角的3倍， ∴設(shè)∠1=α，則∠1的補(bǔ)角為13α， ∴α+13α=180°， 解得：α=135°， ∴∠1=135°， ∴∠CFE=180°?∠1=45°， ∵∠1?∠2=90°， ∴∠2=∠1?90°=45°， ∴∠2=∠CFE=45°， ∴AB∥CD． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了補(bǔ)角的有關(guān)計(jì)算，平行線的判定，根據(jù)題意求出∠2=∠CFE=45°，是解題的關(guān)鍵． 【題型5 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行】 【例5】（2022·山東·曲阜九巨龍學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A在直線DE上，AB⊥AC于A，∠1與∠C互余，DE和BC平行嗎？若平行，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】平行，理由見解析 【分析】由垂直定義可得∠BAC=90°，根據(jù)平角定義得∠1+∠BAC+∠CAE=180°，即可得出∠1+∠CAE=90°，由∠1與∠C互余，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得出∠CAE=∠C，根據(jù)平行線的判定定理即可得出結(jié)論． 【詳解】解：平行， 理由如下： ∵AB⊥AC， ∴∠BAC=90°， ∵∠1+∠BAC+∠CAE=180°， ∴∠1+∠CAE=90°， ∵∠1與∠C互余，即∠1+∠C=90°， ∴∠CAE=∠C， ∴DE∥BC． 【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定，余角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵． 【變式5-1】（2022·北京市房山區(qū)燕山教委八年級(jí)期中）如圖，已知∠1=75°，∠2=35°，∠3=40°，求證：a∥b． 【答案】見解析 【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和性質(zhì)，求得∠4=75°，再根據(jù)∠1=75°，即可得到∠1=∠4，進(jìn)而判定a∥b． 【詳解】證明：如下圖： ∵∠4=∠3+∠2=75°， 又∵∠1=75°， ∴∠1=∠4， ∴a∥b． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定以及三角形內(nèi)角和性質(zhì)，解題時(shí)注意：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行． 【變式5-2】（2022·福建·莆田第二十五中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，CF是△ABC外角∠ACM的平分線，∠ACB=40°，∠A=70°，求證：AB∥CF. 【答案】證明見解析 【分析】由角平分線的定義及補(bǔ)角的定義可求得∠ACE的度數(shù)，即可得∠A＝∠ACE，進(jìn)而可證明結(jié)論． 【詳解】證明：∵∠ACB＝40°， ∴∠ACM＝180°-40°＝140°， ∵CF是△ABC外角∠ACM的平分線， ∴∠ACF＝12∠ACM＝70°， ∵∠A=70°， ∴∠A＝∠ACF＝70°， ∴AB∥CF． 【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)和平行線的判定，證得∠A＝∠ACF是解題的關(guān)鍵． 【變式5-3】（2022·遼寧·阜新市第十中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，AB∥DE，∠1=∠ACB，∠CAB=12∠BAD，試說(shuō)明AD∥BC． 【答案】見解析 【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠BAC=∠1，等量代換得∠ACB=∠BAC，根據(jù)∠CAB=12∠BAD可得∠ACB=∠DAC，即可得． 【詳解】證明：∵AB∥DE， ∴∠BAC=∠1， ∵∠1=∠ACB， ∴∠ACB=∠BAC， ∵∠CAB=12∠BAD， ∴∠ACB=∠DAC， ∴AD∥BC． 【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì)． 【題型6 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行】 【例6】（2022·河北衡水·七年級(jí)階段練習(xí)）已知：∠A=∠C=120°，∠AEF=∠CEF=60°，求證：AB∥CD． 【答案】見解析 【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，再根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行即可證明結(jié)論． 【詳解】證明：∵∠A=∠C=120°，∠AEF=∠CEF=60°， ∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°， ∴AB∥EF，CD∥EF， ∴AB∥CD． 【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定． 【變式6-1】（2022·西藏昂仁縣中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，∠CAD＝20°，∠B＝70°，AB⊥AC，求證：AD∥BC． 【答案】見解析 【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行證明即可． 【詳解】解：∵AB⊥AC， ∴∠BAC=90°， ∵∠CAD＝20°，∠B＝70°， ∴∠B+∠BAD=70°+90°+20°=180°， ∴AD∥BC． 【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定、垂直定義，熟練掌握平行線的判定方法是解答的關(guān)鍵． 【變式6-2】（2022·甘肅·平?jīng)鍪械谄咧袑W(xué)七年級(jí)期中）如圖，∠1=30°,∠B=60°,AB⊥AC. (1) ∠DAB+∠B等于多少度？ (2)AD與BC平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】(1)∠DAB+∠B=180° (2)AD∥BC；理由見解析 【分析】（1）由已知可求得∠DAB=120°，從而可求得∠DAB+∠B=180°； （2）根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行可得AD∥BC． （1） 解：∵AB⊥AC， ∴∠BAC=90°． 又∵∠1=30°， ∴∠BAD=120°， ∵∠B=60°， ∴∠DAB+∠B=180°． （2） 解：AD∥BC．理由如下： ∵∠DAB+∠B=180°， ∴AD∥BC． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行． 【變式6-3】（2022·北京市第五中學(xué)分校七年級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分別為D，F(xiàn)，點(diǎn)M，G在AB上，GF交BD于點(diǎn)H，∠BMD+∠ABC＝180°，∠1＝∠2，求證：MD∥GF． 下面是小穎同學(xué)的思考過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)全證明過(guò)程并在括號(hào)內(nèi)填上證明依據(jù)． 證明：∵BD⊥AC，EF⊥AC， ∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（①　?。?∴∠BDC＝∠EFC（等量代換）． ∴BD∥EF（同位角相等，兩直線平行）． ∴∠2＝∠CBD（ ②　?。?∵∠1＝∠2（已知）． ∴∠1＝∠CBD（等量代換）． ∴③　?。▋?nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）． ∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知）， ∴MD∥BC（④　?。?∴MD∥GF（⑤　　）． 【答案】垂直的定義；兩直線平行，同位角相等；GF∥BC；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；平行于同一直線的兩直線平行． 【分析】根據(jù)垂直定義得出∠BDC＝∠EFC，根據(jù)平行線的判定推出BD∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CBD＝∠2，求出∠CBD＝∠1，根據(jù)平行線的判定得出GF∥BC，GF∥MD即可． 【詳解】證明：∵BD⊥AC，EF⊥AC， ∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定義）． ∴∠BDC＝∠EFC（等量代換）． ∴BD∥EF（同位角相等，兩直線平行）． ∴∠2＝∠CBD（兩直線平行，同位角相等）． ∵∠1＝∠2（已知）． ∴∠1＝∠CBD（等量代換）． ∴GF∥BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）． ∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知）， ∴MD∥BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）． ∴MD∥GF（平行于同一直線的兩直線平行）． 故答案為：垂直的定義；兩直線平行，同位角相等；GF∥BC；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；平行于同一直線的兩直線平行． 【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【題型7 平行線的判定方法的綜合運(yùn)用】 【例7】（2022·廣西賀州·七年級(jí)期末）如圖，有下列條件：①∠1=∠2；②∠3+∠4=180°；③∠5+∠6=180°；④∠2=∠3．其中，能判斷直線a∥b的有（　　?。? A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè) 【答案】B 【分析】同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．依據(jù)平行線的判定方法即可得出結(jié)論． 【詳解】解：①由∠1＝∠2，可得a∥b； ②由∠3＋∠4＝180°，可得a∥b； ③由∠5＋∠6＝180°，∠3＋∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b； ④由∠2＝∠3，不能得到a∥b； 故能判斷直線a∥b的有3個(gè)， 【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定，掌握平行線的判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 【變式7-1】（2022·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期末）在鋪設(shè)鐵軌時(shí)，兩條直軌必須是互相平行的，如圖，已經(jīng)知道∠2是直角，那么再度量圖中已標(biāo)出的哪個(gè)角，不能判斷兩條直軌是否平行(???) A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠5 【答案】D 【分析】因?yàn)椤?是直角，只要找出與∠2互為同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的其他角，根據(jù)平行線的判定定理判定即可得到正確答案． 【詳解】因?yàn)椤?是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出∠4=90°， 根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，就可以判斷兩條直軌平行， ∠5和∠2是內(nèi)錯(cuò)角，如果度量出∠5=90°， 根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”，就可以判斷兩條直軌平行， ∠3和∠2是同旁內(nèi)角，如果度量出∠3=90°， 根據(jù)“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”，就可以判斷兩條直軌平行， 所以答案為：A． 【點(diǎn)睛】本題考查兩直線平行的判定定理，解決本題的關(guān)鍵是熟練的掌握平行線的判定定理． 【變式7-2】（2022·山西臨汾·七年級(jí)期末）在下列圖形中，已知∠1=∠2，一定能推導(dǎo)出l1∥l2的是（???） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義，對(duì)頂角相等和平行線的判定定理即可求解． 【詳解】解：A.如圖， ∵∠1=∠2，∠1+∠3=180°， ∴∠2+∠3=180°， ∴不能推導(dǎo)出l1∥l2，不符合題意； B.如圖， ∵∠1=∠2，∠1+∠3=180°， ∴∠2+∠3=180°， ∴不能推導(dǎo)出l1∥l2，不符合題意； C.如圖， ∵∠1=∠2，∠1+∠3=180°， ∴∠2+∠3=180°， ∴不能推導(dǎo)出l1∥l2，不符合題意； D.如圖， ∵∠1=∠2，∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴一定能推導(dǎo)出l1∥l2，符合題意． 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，關(guān)鍵是熟悉同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行的知識(shí)點(diǎn)． 【變式7-3】（2022·山東日照·七年級(jí)期末）如圖，在下列給出的條件中，不能判定DE∥BC的是（????） A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠5=∠C D．∠B+∠BDE=180° 【答案】B 【分析】根據(jù)平行線的判定定理逐一判斷即可． 【詳解】因?yàn)椤?=∠2， 所以DE∥BC， 故A不符合題意； 因?yàn)椤?=∠4， 不能判斷DE∥BC， 故B符合題意； 因?yàn)椤?=∠C， 所以DE∥BC， 故C不符合題意； 因?yàn)椤螧+∠BDE=180°， 所以DE∥BC， 故D不符合題意； 故選B． 【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵． 【題型8 角平分線與平行線的判定綜合運(yùn)用】 【例8】（2022·吉林·大安市樂(lè)勝鄉(xiāng)中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADF+∠AFD=90°，點(diǎn)E、F分別在DC、AB上，且BE、DF分別平分∠ABC、∠ ADC，判斷BE、DF是否平行，并說(shuō)明理由． 【答案】平行，理由見解析 【分析】先根據(jù)角平分線的定義可得∠ABE=12∠ABC,∠ADF=12∠ADC，從而可得∠ADF+∠ABE=90°，再結(jié)合∠ADF+∠AFD=90°可得∠ABE=∠AFD，然后根據(jù)平行線的判定即可得． 【詳解】解：BE∥DF，理由如下： ∵BE,DF分別平分∠ABC,∠ADC， ∴∠ABE=12∠ABC,∠ADF=12∠ADC， ∵∠ADC+∠ABC=180°， ∴∠ADF+∠ABE=12∠ADC+∠ABC=90°， 又∵∠ADF+∠AFD=90°， ∴∠ABE=∠AFD， ∴BE∥DF． 【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線、平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解題關(guān)鍵． 【變式8-1】（2022·江蘇·揚(yáng)州市邗江區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期末）將下列證明過(guò)程補(bǔ)充完整： 已知：如圖，點(diǎn)E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求證：AB∥CD． 證明：∵CE平分∠ACD（已知）， ∴∠2＝∠　 ?。?　 ?。?∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝∠　 ?。?　 ?。?∴AB∥CD（ 　 　）． 【答案】ECD；角平分線的性質(zhì)；ECD；等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 【分析】根據(jù)平行線的判定依據(jù)角平分線的性質(zhì)即可解決問(wèn)題． 【詳解】證明：∵CE平分∠ACD， ∴∠2＝∠ECD（角平分線的性質(zhì)）， ∵∠1＝∠2．（已知）， ∴∠1＝∠ECD（等量代換）， ∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行）． 故答案為：ECD；角平分線的定義；ECD；等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行． 【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和判定和角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的判定解答． 【變式8-2】（2022·遼寧沈陽(yáng)·七年級(jí)期末）按邏輯填寫步驟和理由，將下面的證明過(guò)程補(bǔ)充完整 如圖，直線MN分別與直線AC、DG交于點(diǎn)B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分線BE交直線DG于點(diǎn)E，∠BFG的角平分線FC交直線AC于點(diǎn)C． 求證：BE∥CF． 證明：∵∠1＝∠2（已知） ∠ABF＝∠1（對(duì)頂角相等） ∠BFG＝∠2（____________） ∴∠ABF＝______（等量代換） ∵BE平分∠ABF（已知） ∴∠EBF=12______（____________） ∵FC平分∠BFG（已知） ∴∠CFB=12______（____________） ∴∠EBF＝______ ∴BE∥CF（____________） 【答案】對(duì)頂角相等；∠BFG；∠ABF；角平分線的定義；∠BFG；角平分線的定義；∠CFB；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行； 【分析】根據(jù)對(duì)頂角的定義，平行線的判定，角平分線的性質(zhì)，結(jié)合上下文填空即可． 【詳解】證明：∵∠1＝∠2（已知） ∠ABF＝∠1（對(duì)頂角相等） ∠BFG＝∠2（對(duì)頂角相等） ∴∠ABF＝∠BFG（等量代換） ∵BE平分∠ABF（已知） ∴∠EBF=12∠ABF（角平分線的定義） ∵FC平分∠BFG（已知） ∴∠CFB=12∠BFG（角平分線的定義） ∴∠EBF＝∠CFB， ∴BE∥CF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）， 故答案為：對(duì)頂角相等；∠BFG；∠ABF；角平分線的定義；∠BFG；角平分線的定義；∠CFB；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行． 【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)頂角的定義及性質(zhì)，平行線的判定，角平分線的性質(zhì)，能夠熟練掌握平行線的判定是解決本題的關(guān)鍵． 【變式8-3】（2022·內(nèi)蒙古·扎賚特旗音德爾第三中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)G在CD上，已知∠BAG+∠AGD=180°，EA平分∠BAG，F(xiàn)G平分∠AGC．請(qǐng)說(shuō)明AE∥GF的理由． 解：因?yàn)椤螧AG+∠AGD=180°(已知)， ∠AGC+∠AGD=180°(______)， 所以∠BAG=∠AGC(______)． 因?yàn)镋A平分∠BAG， 所以∠1=12∠BAG(______)． 因?yàn)镕G平分∠AGC， 所以∠2=12______， 得∠1=∠2(等量代換)， 所以______(______)． 【答案】平角的定義；同角的補(bǔ)角相等；角平分線的定義；∠AGC；AE∥GF；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 【分析】由題意可求得∠BAG=∠AGC，再由角平分線的定義得∠1=12∠BAG，∠2=12∠AGC，從而得∠1=∠2，即可判定AE∥GF． 【詳解】解：∵∠BAG+∠AGD=180°（已知）， ∠AGC+∠AGD=180°（平角的定義）， ∴∠BAG=∠AGC（同角的補(bǔ)角相等）． ∵EA平分∠BAG， ∴∠1=12∠BAG（角平分線的定義）． ∵FG平分∠AGC， ∴∠2=12∠AGC， ∴∠1=∠2（等量代換）， ∴ AE∥GF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）． 故答案為：平角的定義；同角的補(bǔ)角相等；角平分線的定義；∠AGC；AE∥GF；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行． 【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的定義，補(bǔ)角的性質(zhì)和平行線的判定，解答的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定定理并靈活運(yùn)用． 【題型9 平行線判定的實(shí)際應(yīng)用】 【例9】（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，若將木條a繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)后使其與木條b平行，則旋轉(zhuǎn)的最小角度為(　　) A．65° B．85° C．95° D．115° 【答案】B 【分析】根據(jù)同位角相等兩直線平行可得當(dāng)∠AOB=65°時(shí)，a∥b，進(jìn)而算出答案． 【詳解】解：∵當(dāng)∠AOB=65°時(shí)，a∥b ∴旋轉(zhuǎn)的最小角度為150°﹣65°=85°， 故選：B 【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的判定，關(guān)鍵是掌握同位角相等兩直線平行． 【變式9-1】（2022·河南·鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校經(jīng)開校區(qū)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示的四種沿AB進(jìn)行折疊的方法中，不一定能判斷紙帶兩條邊a，b互相平行的是（　　） A．如圖1，展開后測(cè)得∠1=∠2 B．如圖2，展開后測(cè)得∠1=∠2且∠3=∠4 C．如圖3，測(cè)得∠1=∠2 D．在圖4中，展開后測(cè)得∠1+∠2=180° 【答案】A 【分析】根據(jù)平行線的判定定理，進(jìn)行分析，即可解答． 【詳解】A、 當(dāng)∠1=∠2時(shí)，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，所以a∥b； B、由∠1=∠2且∠3=∠4可得∠1=∠2=∠3=∠4=90°，所以a∥b； C、∠1=∠2不能判定a，b互相平行； D、∠1+∠2=180°時(shí)，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，所以a∥b． 【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定，掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行． 【變式9-2】（2022·全國(guó)·七年級(jí)）一輛汽車在廣闊的草原上行駛，兩次拐彎后，行駛的方向與原來(lái)的方向相同，那么這兩次拐彎的角度可能是（????） A．第一次向右拐40°，第二次向右拐140°． B．第一次向右拐40°，第二次向左拐40°． C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°． D．第一次向右拐140°，第二次向左拐40°． 【答案】B 【分析】畫出圖形，根據(jù)平行線的判定分別判斷即可得出． 【詳解】A.如圖，由內(nèi)錯(cuò)角相等可知，第二次拐彎后與原來(lái)平行，但方向相反，故不符合題意； B.如圖，由同位角相等可知，第二次拐彎后與原來(lái)平行，且方向相同，故符合題意； C.如圖，由內(nèi)錯(cuò)角不相等可知，第二次拐彎后與原來(lái)不平行，故不符合題意； D.如圖，由同位角不相等可知，第二次拐彎后與原來(lái)不平行，故不符合題意． 【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，正確畫出圖形，熟記判定定理是解題的關(guān)鍵． 【變式9-3】（2022·江蘇·南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期中）如圖，a、b、c三根木棒釘在一起，∠1=70°,∠2=100°，現(xiàn)將木棒a、b同時(shí)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，速度分別為18度/秒和3度/秒，兩根木棒都停止時(shí)運(yùn)動(dòng)結(jié)束，則___________秒后木棒a，b平行． 【答案】2或14或50或110 【分析】設(shè)t秒后木棒a，b平行，分四種情況討論：當(dāng)0

英語(yǔ)朗讀寶
相關(guān)資料 更多
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）七年級(jí)下冊(cè)電子課本 舊教材

章節(jié)綜合與測(cè)試

版本： 北師大版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)下冊(cè)

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部