專題24.3 弧、弦、圓心角【十大題型】 【人教版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc23975" 【題型1 圓心角、弧、弦的概念辨析】  PAGEREF _Toc23975 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc31815" 【題型2 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求角度】  PAGEREF _Toc31815 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc10364" 【題型3 用圓心角、弧、弦的關(guān)系求線段長(zhǎng)度】  PAGEREF _Toc10364 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc32201" 【題型4 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求周長(zhǎng)】  PAGEREF _Toc32201 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc22928" 【題型5 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求面積】  PAGEREF _Toc22928 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc14052" 【題型6 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求弧的度數(shù)】  PAGEREF _Toc14052 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc478" 【題型7 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系比較大小】  PAGEREF _Toc478 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc6462" 【題型8 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系進(jìn)行證明】  PAGEREF _Toc6462 \h 9  HYPERLINK \l "_Toc18089" 【題型9 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系確定線段間的倍數(shù)關(guān)系】  PAGEREF _Toc18089 \h 10  HYPERLINK \l "_Toc3701" 【題型10 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求最值】  PAGEREF _Toc3701 \h 11  【知識(shí)點(diǎn) 弧、弦、角、距的概念】 （1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等． （2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等． 說明：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣弧． （3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系 三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合． 【題型1 圓心角、弧、弦的概念辨析】 【例1】（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在⊙O中，AB=CD，則在①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④AC=BD中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（????） ?? A．1 B．2 C．3 D．4 【變式1-1】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）下列說法正確的是（????） A．相等的圓心角所對(duì)的弧相等 B．在同圓中，等弧所對(duì)的圓心角相等 C．弦相等，圓心到弦的距離相等 D．圓心到弦的距離相等，則弦相等 【變式1-2】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）判斷下列命題是真命題還是假命題（寫在橫線上）： （1）在同圓中，如果圓心角相等，那么它們所對(duì)的弧也相等． （2）在等圓中，如果弦相等，那么它們所對(duì)的弧也相等． （3）在同圓或等圓中，如果弧相等，那么它們所對(duì)的弦的弦心距也相等． （4）在等圓中，如果弧不相等，那么它們所對(duì)的弦也不相等． 【變式1-3】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C均在⊙O上，點(diǎn)A是CB中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（　?。??? A．AB=OC B．∠BAC+∠AOC=180° C．BC=2AC D．∠BAC+12∠AOC=180° 【題型2 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求角度】 【例2】（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，AC=AD，∠AOD=70°，則∠BCO的度數(shù)是（????） ?? A．30° B．35° C．40° D．55° 【變式2-1】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，A、B、C、D是⊙O上的點(diǎn)，如果AB=CD，∠AOB=70°，那么∠COD= ． ?? 【變式2-2】（2023秋·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖半徑OA，OB，OC將一個(gè)圓分成三個(gè)大小相同扇形，其中OD是∠AOB的角平分線，∠AOE=13∠AOC，則∠DOE等于（　?。? A．100° B．110° C．120° D．130° 【變式2-3】（2023春·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·九年級(jí)校考期中）如圖，EF、CD是⊙O的兩條直徑，A是劣弧DF的中點(diǎn)，若∠EOD=32°，則∠CDA的度數(shù)是（????） ?? A．37° B．74° C．53° D．63° 【題型3 用圓心角、弧、弦的關(guān)系求線段長(zhǎng)度】 【例3】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，CD、BE是⊙O的兩條弦，CD交AB于點(diǎn)G，點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，點(diǎn)B是CD的中點(diǎn)，若AB=10，BG=2，則BE的長(zhǎng)為（???） ?? A．3 B．4 C．6 D．8 【變式3-1】（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）將半徑為5的⊙O如圖折疊，折痕AB長(zhǎng)為8，C為折疊后AB的中點(diǎn)，則OC長(zhǎng)為（????） A．2 B．3 C．1 D．2 【變式3-2】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)C是直徑AB的三等分點(diǎn)ACdx2 B．當(dāng)dx1>dx2時(shí)，x1>x2 C．當(dāng)x1+x2=1時(shí)，dx1=dx2 D．當(dāng)x1=2x2時(shí)，dx1=2dx2 【題型8 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系進(jìn)行證明】 【例8】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知圓內(nèi)接△ABC中，AB>AC，D為BAC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，求證：BD2?AD2=AB?AC． ?? 【變式8-1】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在⊙O中，弦AB與弦CD相交于點(diǎn)E，且AB=CD．求證：CE=BE． ???? 【變式8-2】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在⊙O上依次取點(diǎn)B，A，C使BA=AC，連接AC，AB，BC，取AB的中點(diǎn)D，連接CD，在弦BC右側(cè)取點(diǎn)E，使2CE=AC，且CE∥AB，連接BE． ?? (1)求證：△DBC?△ECB． (2)若AC=8，∠ABC=30°，求BE的長(zhǎng)． 【變式8-3】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B、C、D是⊙O上的點(diǎn)，AD為直徑，AB∥OC． ?? (1)求證：點(diǎn)C平分BD． (2)利用無刻度的直尺和圓規(guī)做出AB的中點(diǎn)P（保留作圖痕跡）． 【題型9 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系確定線段間的倍數(shù)關(guān)系】 【例9】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，已知AB為半圓的直徑．求作矩形MNPQ，使得點(diǎn)M，N在AB上，點(diǎn)P，Q在半圓上，且MN=2MQ．要求：（1）用直尺和圓規(guī)作圖；（2）保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明． 【變式9-1】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在⊙O中，AB＝2AC，AD⊥OC于點(diǎn)D，比較大小AB 2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）． 【變式9-2】（2023?鐵嶺模擬）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓O上，把半圓沿弦AC折疊，AC恰好經(jīng)過點(diǎn)O，則BC與AC的關(guān)系是（　?。? A．BC=12AC B．BC=13AC C．BC=AC D．不能確定 【變式9-3】（2023?長(zhǎng)安區(qū)二模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，且AC=3BC，則弦AC與弦BC的關(guān)系是（　?。? A．AC＝3BC B．AC=3BC C．AC＝（2+1）BC D．3AC＝BC 【題型10 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求最值】 【例10】（2023秋·浙江衢州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)M，N在⊙O上，且點(diǎn)N是弧BM的中點(diǎn)，P是直徑AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PM，PN，已知AB=10，弧BM的度數(shù)為40°，則PM+PN的最小值為（????） ?? A．10 B．53 C．52 D．5 【變式10-1】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB是半圓O的直徑，半圓的半徑為4，點(diǎn)C，D在半圓上，OC⊥AB,BD=2CD，點(diǎn)P是OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則BP+DP的最小值為 ． 【變式10-2】（2023·山東棗莊·九年級(jí)學(xué)業(yè)考試）如圖，AB是⊙O的直徑，AB=10cm，M是半圓AB的一個(gè)三等分點(diǎn)，N是半圓AB的一個(gè)六等分點(diǎn)，P是直徑AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接MP，NP，則MP+NP的最小值是 cm． 【變式10-3】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交弧BC于點(diǎn)D．點(diǎn)E為半徑OB上一動(dòng)點(diǎn)，若OB=2，則CE+DE長(zhǎng)的最小值為 ． 專題24.3 弧、弦、圓心角【十大題型】 【人教版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc23975" 【題型1 圓心角、弧、弦的概念辨析】  PAGEREF _Toc23975 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc31815" 【題型2 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求角度】  PAGEREF _Toc31815 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc10364" 【題型3 用圓心角、弧、弦的關(guān)系求線段長(zhǎng)度】  PAGEREF _Toc10364 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc32201" 【題型4 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求周長(zhǎng)】  PAGEREF _Toc32201 \h 12  HYPERLINK \l "_Toc22928" 【題型5 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求面積】  PAGEREF _Toc22928 \h 15  HYPERLINK \l "_Toc14052" 【題型6 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求弧的度數(shù)】  PAGEREF _Toc14052 \h 19  HYPERLINK \l "_Toc478" 【題型7 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系比較大小】  PAGEREF _Toc478 \h 23  HYPERLINK \l "_Toc6462" 【題型8 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系進(jìn)行證明】  PAGEREF _Toc6462 \h 26  HYPERLINK \l "_Toc18089" 【題型9 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系確定線段間的倍數(shù)關(guān)系】  PAGEREF _Toc18089 \h 30  HYPERLINK \l "_Toc3701" 【題型10 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求最值】  PAGEREF _Toc3701 \h 34  【知識(shí)點(diǎn) 弧、弦、角、距的概念】 （1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等． （2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等． 說明：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系 三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合． 【題型1 圓心角、弧、弦的概念辨析】 【例1】（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在⊙O中，AB=CD，則在①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④AC=BD中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（????） ?? A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用同圓或等圓中弧，弦以及所對(duì)的圓心角之間的關(guān)系逐項(xiàng)分析即可． 【詳解】解：∵在⊙O中，AB=CD， ∴AB=CD，故①正確； ∵BC為公共弧， ∴ AC=BD，故④正確； ∴AC=BD，故②正確； ∴∠AOC=∠BOD，故③正確； 綜上分析可知，正確的有4個(gè)． 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查了弧，弦、圓心角之間的關(guān)系：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等以及推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等． 【變式1-1】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）下列說法正確的是（????） A．相等的圓心角所對(duì)的弧相等 B．在同圓中，等弧所對(duì)的圓心角相等 C．弦相等，圓心到弦的距離相等 D．圓心到弦的距離相等，則弦相等 【答案】B 【分析】圓心角、弧、弦、圓心到弦的距離的關(guān)系的前提“在同圓和等圓中”，據(jù)此逐項(xiàng)判定即可． 【詳解】解：A、在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故此選項(xiàng)不符合題意； B、在同圓中，等弧所對(duì)的圓心角相等，故此選項(xiàng)符合題意； C、在同圓和等圓中，弦相等，圓心到弦的距離相等，故此選項(xiàng)不符合題意； D、在同圓和等圓中，圓心到弦的距離相等，則弦相等，故此選項(xiàng)不符合題意； 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦、圓心到弦的距離的關(guān)系，解題關(guān)鍵是熟練掌握在同圓或等圓中，圓心角、圓心角所對(duì)弧、圓心角所對(duì)弦、圓心到弦的距離中有一組量相等，則其余各組量也相等． 【變式1-2】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）判斷下列命題是真命題還是假命題（寫在橫線上）： （1）在同圓中，如果圓心角相等，那么它們所對(duì)的弧也相等． （2）在等圓中，如果弦相等，那么它們所對(duì)的弧也相等． （3）在同圓或等圓中，如果弧相等，那么它們所對(duì)的弦的弦心距也相等． （4）在等圓中，如果弧不相等，那么它們所對(duì)的弦也不相等． 【答案】 真命題 假命題 真命題 假命題 【分析】根據(jù)圓的相關(guān)性質(zhì)分別判斷各命題的真假． 【詳解】解：對(duì)于（1），在同圓中，如果圓心角相等，那么它們所對(duì)的弧也相等，原命題為真命題； 對(duì)于（2），在等圓中，如果弦相等，那么它們所對(duì)的弧不一定相等，因?yàn)橐粭l弦對(duì)應(yīng)兩條弧，原命題為假命題； 對(duì)于（3），在同圓或等圓中，如果弧相等，那么它們所對(duì)的弦的弦心距也相等，原命題為真命題； 對(duì)于（4），在等圓中，如果弧不相等，那么它們所對(duì)的弦有可能相等，如圓心角分別為30°和330°所對(duì)的兩條弧，其所對(duì)的弦相等，原命題為假命題． 故答案為：真命題，假命題，真命題，假命題． 【點(diǎn)睛】本題考查了同圓或等圓中圓心角，弧長(zhǎng)，弦長(zhǎng)的關(guān)系，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵． 【變式1-3】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C均在⊙O上，點(diǎn)A是CB中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（　　） ?? A．AB=OC B．∠BAC+∠AOC=180° C．BC=2AC D．∠BAC+12∠AOC=180° 【答案】B 【分析】直接利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得出各線段、角的關(guān)系即可解答． 【詳解】解：A、∵點(diǎn)A是CB中點(diǎn)， ∴AB=AC， ∴AB=AC， 無法得出AB=OC，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤； B、如圖：連接BO， ∵AB=AC， ∴∠BOA=∠AOC， ∵BO=AO=CO， ∴∠OAC=∠BAO=∠ACO， ∴∠OAC+∠ACO+∠AOC=∠BAC+∠AOC=180°，故此選項(xiàng)正確； C、∵AB=AC，AB+AC>BC， ∴BC≠2AC，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤； D、無法得出∠BAC+12∠AOC=180°，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤． 故選：B． ?? 【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，正確把握相關(guān)定理是解題關(guān)鍵． 【題型2 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求角度】 【例2】（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，AC=AD，∠AOD=70°，則∠BCO的度數(shù)是（????） ?? A．30° B．35° C．40° D．55° 【答案】B 【分析】首先由AC=AD，∠AOD=70°可得∠AOC=∠AOD=70°，再由OB=OC可得出∠OBC=∠OCB=12∠AOC=35°． 【詳解】解：∵在⊙O中，AC=AD，∠AOD=70° ∴∠AOC=∠AOD=70°， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB=12∠AOC=35°， 故選：B． 【點(diǎn)睛】此題考查了弧與圓心角的關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵． 【變式2-1】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，A、B、C、D是⊙O上的點(diǎn)，如果AB=CD，∠AOB=70°，那么∠COD= ． ?? 【答案】70° 【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦三者的關(guān)系可解答． 【詳解】解：∵AB=CD， ∴∠COD=∠AOB=70°， 故答案為：70°． 【點(diǎn)睛】本題主要考查圓心角、弧、弦三者的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等． 【變式2-2】（2023秋·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖半徑OA，OB，OC將一個(gè)圓分成三個(gè)大小相同扇形，其中OD是∠AOB的角平分線，∠AOE=13∠AOC，則∠DOE等于（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【答案】A 【分析】先根據(jù)已知易得AB=BC=AC，從而可得∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，然后根據(jù)已知可求出∠AOD=60°，∠AOE=40°，從而利用角的和差關(guān)系，進(jìn)行計(jì)算即可解答． 【詳解】解：∵半徑OA，OB，OC將一個(gè)圓分成三個(gè)大小相同扇形， ∴AB=BC=AC， ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°， ∵OD是∠AOB的角平分線， ∴∠AOD=12∠AOB=60°， ∵∠AOE=13∠AOC， ∴∠AOE=13×120°=40°， ∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=100°， 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握?qǐng)A心角、弧、弦的關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 【變式2-3】（2023春·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，EF、CD是⊙O的兩條直徑，A是劣弧DF的中點(diǎn)，若∠EOD=32°，則∠CDA的度數(shù)是（????） ?? A．37° B．74° C．53° D．63° 【答案】C 【分析】首先根據(jù)“同弧或等弧所對(duì)的弦長(zhǎng)相等，對(duì)的圓心角也相等”求得∠DOA=74°，再根據(jù)等腰三角形“等邊對(duì)等角”的性質(zhì)求解即可． 【詳解】解：如下圖，連接OA， ?? ∵A是劣弧DF的中點(diǎn)，即DA=FA， ∴∠DOA=∠FOA， ∵∠EOD=32°， ∴∠DOA=∠FOA=12(180°?∠EOD)=74°， ∵OD=OA， ∴∠ODA=∠OAD=12(180°?∠DOA)=53°， 即∠CDA=53°． 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧與圓心角的關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵． 【題型3 用圓心角、弧、弦的關(guān)系求線段長(zhǎng)度】 【例3】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，CD、BE是⊙O的兩條弦，CD交AB于點(diǎn)G，點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，點(diǎn)B是CD的中點(diǎn)，若AB=10，BG=2，則BE的長(zhǎng)為（???） ?? A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先根據(jù)垂徑定理的推論得到AB⊥CD，CD=2CG，再利用勾股定理求出CG=4，進(jìn)而得到CD=2CG=8，再證明BE=CD，則BE=CD=8． 【詳解】解：如圖所示，連接OC， ∵點(diǎn)B是CD的中點(diǎn)，AB是⊙O的直徑， ∴AB⊥CD，BC=BD， ∴CD=2CG， ∵AB=10， ∴OC=OB=12AB=5， ∵BG=2， ∴OG=3， 在Rt△COG中，由勾股定理得CG=OC2?OG2=4， ∴CD=2CG=8， ∵點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)， ∴BC=EC， ∴BC=EC=BD， ∴BE=CD， ∴BE=CD=8， 故選D． ?? 【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理的推論，勾股定理，弧與弦之間的關(guān)系，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵． 【變式3-1】（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）將半徑為5的⊙O如圖折疊，折痕AB長(zhǎng)為8，C為折疊后AB的中點(diǎn)，則OC長(zhǎng)為（????） A．2 B．3 C．1 D．2 【答案】C 【分析】延長(zhǎng)OC交⊙O于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，連接OA、OB、AC、BC，根據(jù)圓心角、弧、弦、的關(guān)系由AC=BC得到AC=BC，可以判斷OC是AB的垂直平分線，則AE=BE=4，再利用勾股定理求出OE=3，所以DE=2，然后利用點(diǎn)C和點(diǎn)D關(guān)于AB對(duì)稱得出CE=2，最后計(jì)算OE?CE即可得出答案． 【詳解】解：延長(zhǎng)OC交⊙O于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，連接OA、OB、AC、BC，如圖， ∵C為折疊后AB的中點(diǎn)， ∴AC=BC， ∴AC=BC， ∵OA=OB， ∴OC是AB的垂直平分線， ∴AE=BE=12AB=4， 在Rt△AOE中，OE=OA2?AE2=52?42=3, ∴DE=OD?OE=5?3=2， ∵ADB沿AB折疊得到ACB，CD⊥AB， ∴點(diǎn)C和點(diǎn)D關(guān)于AB對(duì)稱， ∴CE=DE=2， ∴OC=OE?CE=3?2=1， 故選C 【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的折疊變換，圓的對(duì)稱性，圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系以及勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的對(duì)稱性及折疊前后的對(duì)應(yīng)關(guān)系． 【變式3-2】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)C是直徑AB的三等分點(diǎn)ACAB， ∴ABx2時(shí)，dx1>dx2 B．當(dāng)dx1>dx2時(shí)，x1>x2 C．當(dāng)x1+x2=1時(shí)，dx1=dx2 D．當(dāng)x1=2x2時(shí)，dx1=2dx2 【答案】C 【分析】根據(jù)弧、弦、圓心角的關(guān)系，即可求解． 【詳解】解：A、當(dāng)x1>x2時(shí)，dx1可能大于dx2，故本選項(xiàng)不符合題意； B、當(dāng)dx1>dx2時(shí)，x1可能大于x2，故本選項(xiàng)不符合題意； C、當(dāng)x1+x2=1時(shí)，dx1=dx2，故本選項(xiàng)符合題意； D、當(dāng)x1=2x2時(shí)，dx1不一定等于2dx2，故本選項(xiàng)不符合題意； 故選：C 【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧、弦、圓心角的關(guān)系，熟練掌握弧、弦、圓心角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 【題型8 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系進(jìn)行證明】 【例8】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知圓內(nèi)接△ABC中，AB>AC，D為BAC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，求證：BD2?AD2=AB?AC． ?? 【答案】見解析 【分析】在BA上截取BF=CA，連接DF，DC，由D為BAC的中點(diǎn)，根據(jù)在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角以及它們對(duì)應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對(duì)應(yīng)相等得到DB=DC，易得△DBF≌△DCA，得到AE=EF，于是有BF=BE?EF=BE?AE=CA，因此BD2?AD2=BE2?AE2=(BE+AE)(BE?AE)=AB·AC． 【詳解】證明：在BA上截取BF=CA，連接DF，DC，如圖， ?? ∵D為BAC的中點(diǎn)， ∴DB=DC，∠DBF=∠ACD， 在△DBF,△DCA中， DB=DC∠DBF=∠DCABF=CA， ∴△DBF≌△DCA(SAS)， ∴DF=DA， ∵DE⊥AB， ∴AE=EF， ∴BF=BE?EF=BE?AE=CA， 在Rt△BDE,Rt△ADE中，BD2=BE2+DE2，AD2=AE2+DE2， ∴BD2?AD2=BE2?AE2=(BE+AE)(BE?AE)=AB·AC，即BD2?AD2=AB?AC． 【點(diǎn)睛】本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角以及它們對(duì)應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對(duì)應(yīng)相等．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理． 【變式8-1】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在⊙O中，弦AB與弦CD相交于點(diǎn)E，且AB=CD．求證：CE=BE． ???? 【答案】見解析 【分析】由弧、弦、圓心角的關(guān)系進(jìn)行證明，結(jié)合等角對(duì)等邊，即可得到結(jié)論成立． 【詳解】證明：∵AB=CD， ∴AB=CD，???????????????????????????????????????? ∴AB?BC=CD?BC， 即AC=BD，?????????????????????????????????????? ∴∠B=∠C，????????????????????????????????????????????????????????????? ∴BE=CE； 【點(diǎn)睛】本題考查了弧、弦、圓心角的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行證明． 【變式8-2】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在⊙O上依次取點(diǎn)B，A，C使BA=AC，連接AC，AB，BC，取AB的中點(diǎn)D，連接CD，在弦BC右側(cè)取點(diǎn)E，使2CE=AC，且CE∥AB，連接BE． ?? (1)求證：△DBC?△ECB． (2)若AC=8，∠ABC=30°，求BE的長(zhǎng)． 【答案】(1)見解析 (2)47 【分析】（1）根據(jù)SAS即可證明△DBC?△ECB； （2）作DH⊥AC于點(diǎn)H，求出DC=47，再根據(jù)△DBC?△ECB得DE=CD,從而可得結(jié)論． 【詳解】（1）∵BA=AC， ∴BA=CA， ∵2CE=AC， ∴BA=2CE， ∵D為AB的中點(diǎn)， ∴BA=2BD， ∴BD=CE， ∵CE∥AB， ∴∠DBC=∠ECB， ∵BC=BC， ∴△DBC?△ECB （2）作DH⊥AC于點(diǎn)H， ?? ∵BA=CA， ∴∠ACB=∠ABC=30°，∠DAH=∠ACB+∠ABC=60°. ∵BA=CA=8， ∴DA=4，HA=2，HC=HA+AC=10，HD=23， 在Rt△DHC中，DC=DH2+HC2=232+102=47 ∵△DBC?△ECB， ∴BE=CD=47． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)概念，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵． 【變式8-3】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B、C、D是⊙O上的點(diǎn)，AD為直徑，AB∥OC． ?? (1)求證：點(diǎn)C平分BD． (2)利用無刻度的直尺和圓規(guī)做出AB的中點(diǎn)P（保留作圖痕跡）． 【答案】(1)見解析 (2)見解析 【分析】（1）連接OB，因?yàn)锳B∥OC，得到∠DOC=∠OAB，∠COB=∠OBA，又因?yàn)榘霃较嗟龋瑒t∠OAB=∠OBA，即可證明點(diǎn)C平分BD； （2）分別以A、B為圓心，大于12AB為半徑，畫弧交于一點(diǎn)，連接該點(diǎn)與圓心交AB于一點(diǎn)即為AB的中點(diǎn)P． 【詳解】（1）證明：如圖，連接OB， ?? ∵OC∥AB， ∴∠DOC=∠OAB，∠COB=∠OBA， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA， ∴∠DOC=∠COB， ∴點(diǎn)C平分BD； （2）解：如圖所示：點(diǎn)P為所求： ?? 【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)以及基本作圖等知識(shí)內(nèi)容，正確掌握基本作圖的方法是解題的關(guān)鍵． 【題型9 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系確定線段間的倍數(shù)關(guān)系】 【例9】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，已知AB為半圓的直徑．求作矩形MNPQ，使得點(diǎn)M，N在AB上，點(diǎn)P，Q在半圓上，且MN=2MQ．要求：（1）用直尺和圓規(guī)作圖；（2）保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明． 【答案】見解析 【分析】根據(jù)題意，先找到圓心O，過點(diǎn)O作OC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，然后在OC的兩側(cè)分別作正方形，則MN=2MQ，矩形MNPQ即為所求． 【詳解】解：如圖所示， ①過點(diǎn)O作OC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C， ②作∠AOC,∠BOC的角平分線，交⊙O于點(diǎn)Q,P， ③作QM,PN垂直于AB，垂足分別為M,N， 則矩形MNPQ即為所求． 理由如下，∵OQ是∠AOC的角平分線，OD⊥AB， ∴∠AOQ=∠QOD=45°， 又MQ⊥AO 則△QMO是等腰直角三角形，四邊形QMOD是矩形， ∴QM=MO，則四邊形QMOD是正方形，同理可得DONP是正方形， 又MO=OD=ON ∴MN=2MQ． 【點(diǎn)睛】本題考查了作垂線，作角平分線，正方形的性質(zhì)，熟練掌握弧與圓心角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 【變式9-1】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在⊙O中，AB＝2AC，AD⊥OC于點(diǎn)D，比較大小AB 2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）． 【答案】= 【分析】過點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，根據(jù) 【詳解】解：如圖，過點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F， ∴AF=BF，AE=12AB ∵ AB=2AC ∴∠AOF=∠AOC ∵AD⊥OC，AE⊥OE ∴AD=AE=12AB 即AB=2AD 故答案為：= 【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，角平分線的判定定理，等弧所對(duì)的圓心角相等，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵． 【變式9-2】（2023?鐵嶺模擬）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓O上，把半圓沿弦AC折疊，AC恰好經(jīng)過點(diǎn)O，則BC與AC的關(guān)系是（　?。? A．BC=12AC B．BC=13AC C．BC=AC D．不能確定 【分析】連接OC，BC，過O作OE⊥AC于D交圓O于E，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到OD=12OE，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到OD=12BC，求得∠COB＝60°，得到∠AOC＝120°，于是得到結(jié)論． 【解答】解：如圖，連接OC，BC，過O作OE⊥AC于D交圓O于E， ∵把半圓沿弦AC折疊，AC恰好經(jīng)過點(diǎn)O， ∴OD=12OE， ∵AB是半圓O的直徑， ∴∠ACB＝90°， ∴OD∥BC， ∵OA＝OB， ∴OD=12BC， ∴BC＝OE＝OB＝OC， ∴∠COB＝60°， ∴∠AOC＝120°， ∴BC=12AC， 故選：A． 【變式9-3】（2023?長(zhǎng)安區(qū)二模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，且AC=3BC，則弦AC與弦BC的關(guān)系是（　?。? A．AC＝3BC B．AC=3BC C．AC＝（2+1）BC D．3AC＝BC 【分析】如圖，過點(diǎn)O作OD⊥AB，交AC于D，連接BD，OC，證明△CDB是等腰直角三角形，且AD＝BD，設(shè)CD＝CB＝x，則AD＝BD=2x，計(jì)算AC和BC的比可得結(jié)論． 【解答】解：如圖，過點(diǎn)O作OD⊥AB，交AC于D，連接BD，OC， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90°， ∵AC=3BC， ∴∠AOC＝135°， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO＝22.5°， ∵OD是AB的垂直平分線， ∴AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD＝22.5°， ∴∠CDB＝∠CBD＝45°， 設(shè)CD＝CB＝x，則AD＝BD=2x， ∴BCAC=xx+2x=12+1， ∴AC＝（2+1）BC． 故選：C． 【題型10 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求最值】 【例10】（2023秋·浙江衢州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)M，N在⊙O上，且點(diǎn)N是弧BM的中點(diǎn)，P是直徑AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PM，PN，已知AB=10，弧BM的度數(shù)為40°，則PM+PN的最小值為（????） ?? A．10 B．53 C．52 D．5 【答案】D 【分析】，作點(diǎn)N關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C，連接MC,OC，當(dāng)P點(diǎn)在MC上時(shí)，PM+PN=PM+PC=MC，即PM+PN取得最小值，進(jìn)而根據(jù)圓心角與弧的關(guān)系可得△OMC是等邊三角形，即可求解． 【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)N關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C，連接MC,OC，當(dāng)P點(diǎn)在MC上時(shí)，PM+PN=PM+PC=MC，即PM+PN取得最小值 ?? ∵BM的度數(shù)為40°，點(diǎn)N是弧BM的中點(diǎn)， ∴MC的度數(shù)為40°+12×40°=60°， 又OM=OC， ∴△OMC是等邊三角形， ∵AB=10 ∴MC=OM=5， 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，弧與圓心角的關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握是解題的關(guān)鍵． 【變式10-1】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB是半圓O的直徑，半圓的半徑為4，點(diǎn)C，D在半圓上，OC⊥AB,BD=2CD，點(diǎn)P是OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則BP+DP的最小值為 ． 【答案】43 【分析】依題意，作點(diǎn)D關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn)為D1，連接BD1，BD1長(zhǎng)即為BP+DP最小值；過點(diǎn)D1作D1Q⊥AB，構(gòu)造RtΔQD1B和RtΔQOD1進(jìn)行對(duì)應(yīng)線段求解； 【詳解】作點(diǎn)D關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn)為D1，連接BD1，OD1；過點(diǎn)D1作D1Q⊥AB； 由題知，OC⊥AB，BD=2CD，∴BC=3CD，可得CD對(duì)應(yīng)的圓心角∠COD=30°； 又點(diǎn)D關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn)為D1， ∴∠COD1=30°，∠AOD1=60°，∴BD1長(zhǎng)為BP+DP的最小值 在RtΔQOD1中，OD1=4，∴OQ=2，D1Q=23； 在RtΔQD1B中，BQ=OQ+OB=6，D1Q=23，∴BD1=62+(23)2=43； 故填：43； 【點(diǎn)睛】本題綜合性考查圓的對(duì)稱性及“將軍飲馬問題”的求解，關(guān)鍵在于熟練使用輔助線進(jìn)行對(duì)應(yīng)的直角三角形構(gòu)造進(jìn)行計(jì)算； 【變式10-2】（2023·山東棗莊·九年級(jí)學(xué)業(yè)考試）如圖，AB是⊙O的直徑，AB=10cm，M是半圓AB的一個(gè)三等分點(diǎn)，N是半圓AB的一個(gè)六等分點(diǎn)，P是直徑AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接MP，NP，則MP+NP的最小值是 cm． 【答案】52 【分析】試題分析：作N關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)N'，連接M N'交AB于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求的點(diǎn)，再根據(jù)M是半圓AB的一個(gè)三等分點(diǎn)，N是半圓AB的一個(gè)六等分點(diǎn)可求出∠MO N'的值，再由勾股定理即可求出M N'的長(zhǎng)． 【詳解】作N關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)N'，連接M N'交AB于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求的點(diǎn)， ∵M(jìn)是半圓AB的一個(gè)三等分點(diǎn)，N是半圓AB的一個(gè)六等分點(diǎn)， ∴∠MOB= 180°3 =60°，∠BO N' = 180°6 =30°， ∴∠MO N' =90°， ∵AB=10， ∴OM=O N' =5， ∴M N' = OM2+ON'2=52+52=52， 即MP+NP的最小值是52 . 故答案為：52． 【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，圓心角、弧、弦的關(guān)系，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵． 【變式10-3】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交弧BC于點(diǎn)D．點(diǎn)E為半徑OB上一動(dòng)點(diǎn)，若OB=2，則CE+DE長(zhǎng)的最小值為 ． 【答案】22 【分析】如圖，作點(diǎn)D關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接D′C交OB于點(diǎn)E′，連接OD′，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，得出當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到點(diǎn)E'時(shí)，CE+DE長(zhǎng)最小，此時(shí)的最小值為CD'的長(zhǎng)度． 【詳解】如圖，作點(diǎn)D關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接D′C交OB于點(diǎn)E′，連接OD′， 此時(shí)E′C+E′D最小，即：E′C+E′D=CD′， 由題意得，∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°， ∴∠COD′=90°， ∴CD′=OC2+OD'2=22， 故答案為22． 【點(diǎn)睛】本題考查與圓有關(guān)的計(jì)算，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)及圓心角與圓弧的關(guān)系是正確計(jì)算的前提，理解軸對(duì)稱解決路程最短問題是關(guān)鍵．

英語朗讀寶
相關(guān)資料 更多
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
初中數(shù)學(xué)人教版（2024）九年級(jí)上冊(cè)電子課本

章節(jié)綜合與測(cè)試

版本： 人教版（2024）

年級(jí)： 九年級(jí)上冊(cè)

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部