第一章，第二章，函數(shù)的概念及其表示方法，函數(shù)的基本性質(zhì).
高考真題：
1．（2022·天津·高考真題）函數(shù)的圖像為（ ）
A．B．
C．D．
2．（2020·山東·高考真題）已知函數(shù)的定義域是，若對于任意兩個不相等的實數(shù)，，總有成立，則函數(shù)一定是（ ）
A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．增函數(shù)D．減函數(shù)
3．（2015·山東·高考真題）已知函數(shù)是奇函數(shù)，當時，，那么的值是（ ）
A．B．C．1D．3
牛刀小試
第I卷 選擇題部分（共60分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·高一期中）函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于（ ）對稱
A．軸B．軸C．坐標原點D．不能確定
2．（2022·全國·高一課時練習）下列命題正確的是（ ）
A．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，且
B．偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且
C．存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)
D．奇?偶函數(shù)的定義域可以不關(guān)于原點對稱
3．（2022·全國·高一課時練習）下列四個函數(shù)在是增函數(shù)的為（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·全國·高一課時練習）下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·甘肅慶陽·高一期末）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全國·高一課時練習）設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022·廣西桂林·高一期末）已知是以2為周期的函數(shù)，且，則（ ）
A．1B．-1C．D．7
8．（2022·全國·高一單元測試）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則( )
A．－12B．12C．9D．－9
二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分.
9．（2022·全國·高一課時練習）下列函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2020·廣東·新會陳經(jīng)綸中學高一期中）下列哪個函數(shù)是其定義域上的偶函數(shù)（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·全國·高一單元測試）關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（ ）
A．在上單調(diào)遞減B．在上單調(diào)遞增
C．在上單調(diào)遞減D．在上單調(diào)遞增
12．（2021·廣西·高一階段練習）函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，下列說法正確的有（ ）．
A．；
B．若在上有最小值，則在上有最大值3；
C．若在上為減函數(shù)，則在上是增函數(shù).
D．
第II卷 非選擇題部分（共90分）
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（2020·湖南·華容縣教育科學研究室高一期末）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則________
14．（2022·全國·高一課時練習）寫出一個同時具有性質(zhì)①對任意，都有；②的函數(shù)___________.
15．（2021·江蘇省沭陽高級中學高一期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則__________.
16．（2022·全國·高一課時練習）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為__________.
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（2022·全國·高一課時練習）判斷下列函數(shù)的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
18．（2021·江蘇·鹽城市田家炳中學高一期中）已知函數(shù)．
(1)當時，判斷函數(shù)的奇偶性；
(2)當時，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明．
19．（2021·四川自貢·高一期中）已知函數(shù)
(1)畫出函數(shù)的圖象；
(2)求的值；
(3)寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
20．（2022·重慶·巫山縣官渡中學高一階段練習）已知函數(shù)．
(1)證明函數(shù)為奇函數(shù)；
(2)若，求函數(shù)的最大值和最小值．
21．（2022·湖南·高一課時練習）已知二次函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且在區(qū)間上為增函數(shù)，試確定，，之間的大小關(guān)系．
22．（2020·黑龍江·哈爾濱市第一二二中學校高一期中）已知定義在的函數(shù)在單調(diào)遞減，且.
(1)若是奇函數(shù)，求m的取值范圍；
(2)若是偶函數(shù)，求m的取值范圍.
第三章 專題15 函數(shù)的基本性質(zhì)(A）
命題范圍：
第一章，第二章，函數(shù)的概念及其表示方法，函數(shù)的基本性質(zhì).
高考真題：
1．（2022·天津·高考真題）函數(shù)的圖像為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性及其在上的函數(shù)值符號，結(jié)合排除法可得出合適的選項.
【詳解】函數(shù)的定義域為，
且，
函數(shù)為奇函數(shù)，A選項錯誤；
又當時，，C選項錯誤；
當時，函數(shù)單調(diào)遞增，故B選項錯誤；
故選：D.
2．（2020·山東·高考真題）已知函數(shù)的定義域是，若對于任意兩個不相等的實數(shù)，，總有成立，則函數(shù)一定是（ ）
A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．增函數(shù)D．減函數(shù)
【答案】C
【分析】利用函數(shù)單調(diào)性定義即可得到答案.
【詳解】對于任意兩個不相等的實數(shù)，，總有成立，
等價于對于任意兩個不相等的實數(shù)，總有.
所以函數(shù)一定是增函數(shù).
故選：C
3．（2015·山東·高考真題）已知函數(shù)是奇函數(shù)，當時，，那么的值是（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】A
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】函數(shù)是奇函數(shù)，當時，，
.
故選：A.
牛刀小試
第I卷 選擇題部分（共60分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·高一期中）函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于（ ）對稱
A．軸B．軸C．坐標原點D．不能確定
【答案】B
【分析】由函數(shù)之間對稱關(guān)系直接判斷即可.
【詳解】函數(shù)上的點關(guān)于軸對稱點為，
點在函數(shù)上，與圖象關(guān)于軸對稱.
故選：B.
2．（2022·全國·高一課時練習）下列命題正確的是（ ）
A．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，且
B．偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且
C．存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)
D．奇?偶函數(shù)的定義域可以不關(guān)于原點對稱
【答案】C
【分析】根據(jù)奇偶性的定義判斷．
【詳解】奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，但不一定在x=0時有意義，比如，A錯誤；
偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，但不一定等于0，如，B錯誤；
函數(shù)y=0既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，C正確；
奇?偶數(shù)的定義域均是關(guān)于原點對稱的區(qū)間，D錯誤.
故選：C.
3．（2022·全國·高一課時練習）下列四個函數(shù)在是增函數(shù)的為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)各個函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷即可
【詳解】對A，二次函數(shù)開口向上，對稱軸為軸，在是減函數(shù)，故A不對．
對B，為一次函數(shù)，，在是減函數(shù)，故B不對．
對C，，二次函數(shù)，開口向下，對稱軸為，在是增函數(shù)，故C不對．
對D，為反比例類型，，在是增函數(shù)，故D對．
故選：D
4．（2022·全國·高一課時練習）下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可求解.
【詳解】對于A，為奇函數(shù)，所以A不符合題意；
對于B，為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，所以B不符合題意；
對于C，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，所以C符合題意；
對于D，為奇函數(shù)，所以D不符合題意．
故選：C．
5．（2022·甘肅慶陽·高一期末）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由單調(diào)性可直接得到，解不等式即可求得結(jié)果.
【詳解】在上單調(diào)遞增，，，解得：，
實數(shù)的取值范圍為.
故選：C.
6．（2022·全國·高一課時練習）設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義即可判斷.
【詳解】，則，因為是偶函數(shù)，故為偶函數(shù).
故選：A
7．（2022·廣西桂林·高一期末）已知是以2為周期的函數(shù)，且，則（ ）
A．1B．-1C．D．7
【答案】A
【分析】除三角函數(shù)外，也有很多周期函數(shù).可以利用周期函數(shù)的定義求值或求解析式.
【詳解】因為函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，所以為的周期，即
所以.
故選：A.
8．（2022·全國·高一單元測試）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則( )
A．－12B．12C．9D．－9
【答案】B
【分析】先計算出，然后利用函數(shù)的奇偶性即可完成.
【詳解】，因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，
所以，
故選：B.
二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分.
9．（2022·全國·高一課時練習）下列函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】畫出各選項的函數(shù)圖像，利用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.
【詳解】畫出函數(shù)圖象如圖所示，
由圖可得A，D中的函數(shù)在上單調(diào)遞增，B，C中的函數(shù)在上不單調(diào)．
故選:AD．
10．（2020·廣東·新會陳經(jīng)綸中學高一期中）下列哪個函數(shù)是其定義域上的偶函數(shù)（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】先求得函數(shù)定義域，根據(jù)偶函數(shù)的定義，逐一分析選項，即可得答案.
【詳解】對于A：定義域為R，令，則，
所以為定義域上偶函數(shù)，故A正確；
對于B：定義域為R，令，則，
所以為定義域上偶函數(shù)，故B正確；
對于C：令，解得，定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，令，
則，
所以為定義域上偶函數(shù)，故C正確；
對于D：定義域為，不關(guān)于原點對稱，故不是偶函數(shù)，故D錯誤.
故選：ABC
11．（2022·全國·高一單元測試）關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（ ）
A．在上單調(diào)遞減B．在上單調(diào)遞增
C．在上單調(diào)遞減D．在上單調(diào)遞增
【答案】AC
【分析】由題可得，進而即得.
【詳解】因為，
所以在和上單調(diào)遞減，則A，C正確，B，D錯誤.
故選：AC.
12．（2021·廣西·高一階段練習）函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，下列說法正確的有（ ）．
A．；
B．若在上有最小值，則在上有最大值3；
C．若在上為減函數(shù)，則在上是增函數(shù).
D．
【答案】AB
【分析】依據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)判斷選項ABD；舉反例否定選項C.
【詳解】選項A：函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則，則.判斷正確；
選項B：奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點中心對稱，故若在上有最小值，則在上有最大值3.判斷正確；
選項C：奇函數(shù)在上為減函數(shù)，但在上依舊是減函數(shù).判斷錯誤；
選項D：函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則.判斷錯誤.
故選：AB
第II卷 非選擇題部分（共90分）
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（2020·湖南·華容縣教育科學研究室高一期末）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則________
【答案】
【分析】由偶函數(shù)的定義直接求解即可
【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，
所以，即，
整理得，
因為
所以當時上式恒成立，
故答案為：0
14．（2022·全國·高一課時練習）寫出一個同時具有性質(zhì)①對任意，都有；②的函數(shù)___________.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)在為減函數(shù)，且再寫出即可.
【詳解】因為對任意，都有，所以函數(shù)在上減函數(shù).又，故函數(shù)可以為.（注：滿足題目條件的函數(shù)表達式均可.）
故答案為：（答案不唯一）
15．（2021·江蘇省沭陽高級中學高一期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則__________.
【答案】3
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】解：因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，故，
，故.
故答案為：3.
16．（2022·全國·高一課時練習）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為__________.
【答案】##
【分析】優(yōu)先考慮定義域，在研究復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時，要弄清楚它由什么函數(shù)復(fù)合而成的，再根據(jù)“同增異減”可求解.
【詳解】函數(shù)是由函數(shù)和組成的復(fù)合函數(shù)，
，解得或，
函數(shù)的定義域是或，
因為函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
而在上單調(diào)遞增，
由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的“同增異減”，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．
故答案為：.
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（2022·全國·高一課時練習）判斷下列函數(shù)的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）奇函數(shù)
（2）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
（3）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
（4）奇函數(shù)
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的概念，逐問判斷即可.
【詳解】（1）由，得，且，
所以的定義域為，關(guān)于原點對稱，
所以.
又，所以是奇函數(shù).
（2）因為的定義域為，不關(guān)于原點對稱，所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).
（3）對于函數(shù)，，其定義域為，關(guān)于原點對稱.
因為對定義域內(nèi)的每一個，都有，所以，，
所以既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).
（4）函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱.
①當時，，
所以，，所以；
②當時，，所以；
③當時，，所以.
綜上，可知函數(shù)為奇函數(shù).
18．（2021·江蘇·鹽城市田家炳中學高一期中）已知函數(shù)．
(1)當時，判斷函數(shù)的奇偶性；
(2)當時，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明．
【答案】(1)奇函數(shù)
(2)在上是單調(diào)遞減函數(shù)；證明見解析
【分析】(1)利用奇函數(shù)的定義判斷即可；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義即可判斷與證明.
（1）
當時，，定義域為，關(guān)于原點對稱，
，所以是奇函數(shù)．
（2）
當時，，證明：取，，
所以，，則，即，
所以在上是單調(diào)遞減函數(shù)．
19．（2021·四川自貢·高一期中）已知函數(shù)
(1)畫出函數(shù)的圖象；
(2)求的值；
(3)寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
【答案】(1)圖像見解析；
(2)；
(3)和.
【分析】(1)根據(jù)解析式分段描點連線即可；
(2)先計算，再計算即可；
(3)根據(jù)圖像寫出增區(qū)間即可.
(1)
(2)
；
(3)
由(1)得到的圖像可知，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和.
20．（2022·重慶·巫山縣官渡中學高一階段練習）已知函數(shù)．
(1)證明函數(shù)為奇函數(shù)；
(2)若，求函數(shù)的最大值和最小值．
【答案】(1)證明見解析
(2)最小值；最大值
【分析】（1）先判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱，再利用奇偶性的定義進行判斷；
（2）先利用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而求出區(qū)間上的最值.
（1）
證明：的定義域為，關(guān)于原點對稱，
，
所以在定義域上為奇函數(shù)；
（2）
（2）在上任取，且，
則
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴在上單調(diào)遞增，
∴最小值為，最大值為
21．（2022·湖南·高一課時練習）已知二次函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且在區(qū)間上為增函數(shù)，試確定，，之間的大小關(guān)系．
【答案】
【分析】由二次函數(shù)的對稱性可得函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較各函數(shù)值大小.
【詳解】由二次函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，
可知函數(shù)為偶函數(shù)，
所以，
又函數(shù)在上為增函數(shù)，
所以，
即.
22．（2020·黑龍江·哈爾濱市第一二二中學校高一期中）已知定義在的函數(shù)在單調(diào)遞減，且.
(1)若是奇函數(shù)，求m的取值范圍；
(2)若是偶函數(shù)，求m的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)，得到單調(diào)性，進而解不等式，求出答案；（2）根據(jù)偶函數(shù)，對不等式進行變形，進而得到不等式組，求出答案.
(1)
若是奇函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，故，解得：，故m的取值范圍為；
(2)
若是偶函數(shù)，因為在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，由得：，故，解得：，
故m的取值范圍為.

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