命題范圍：
第一章，第二章，函數(shù)的概念及其表示方法，函數(shù)的基本性質(zhì),冪函數(shù).
高考真題：
1．（2011·上?！じ呖颊骖}（文））下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
2．（2011·陜西·高考真題（文））函數(shù)的圖象是
A．B．
C．D．
3．（2020·江蘇·高考真題）已知y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時， ，則f(-8)的值是____.
牛刀小試
第I卷 選擇題部分（共60分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·四川涼山·高一期末）如圖，①②③④對應(yīng)四個冪函數(shù)的圖像，其中①對應(yīng)的冪函數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·北京順義·高一期末）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的值為（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全國·高一單元測試）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則函數(shù)的圖象是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·全國·高一階段練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的值等于（ ）
A．B．4C．8D．
6．（2021·陜西·西安市第三中學(xué)高一期中）冪函數(shù)中a的取值集合C是的子集，當(dāng)冪函數(shù)的值域與定義域相同時，集合C為（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．3B．2C．1D．1或2
8．（2022·全國·高一課時練習(xí)）下列命題正確的是（ ）
A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過，兩點(diǎn)B．函數(shù)的圖象經(jīng)過第二象限
C．如果兩個冪函數(shù)的圖象有三個公共點(diǎn)，那么這兩個函數(shù)一定相同D．如果冪函數(shù)為偶函數(shù)，則圖象一定經(jīng)過點(diǎn)
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分.
9．（2020·湖南·嘉禾縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）下列函數(shù)為冪函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2021·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)，則是（ ）
A．偶函數(shù)B．奇函數(shù)C．有最大值D．無最大值
11．（2022·廣東·韶關(guān)市田家炳中學(xué)高一期末）如果冪函數(shù)的圖象不過原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值為（ ）
A．B．C．D．無解
12．（2022·全國·高一）下列關(guān)于冪函數(shù)的性質(zhì)說法正確的有（ ）
A．當(dāng)時，函數(shù)在其定義域上遞減
B．當(dāng)時，函數(shù)圖象是一條直線
C．當(dāng)時，函數(shù)是偶函數(shù)
D．當(dāng)時，函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
第II卷 非選擇題部分（共90分）
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（2021·上海市楊浦高級中學(xué)高一期中）冪函數(shù)的定義域?yàn)開_____;
14．（2022·全國·高一課時練習(xí)）若函數(shù)是冪函數(shù)，則實(shí)數(shù)______.
15．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則___________.
16．（2022·江西贛州·高一期末）已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的值為______.
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（2021·全國·高一課前預(yù)習(xí)）已知是冪函數(shù)，求、的值．
18．（2021·江蘇·高一課時練習(xí)）分別寫出下列函數(shù)的定義域，并指出它們的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
19．（2021·全國·高一課時練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，試求出這個函數(shù)的解析式.
20．（2021·全國·高一課時練習(xí)）比較下列各組中兩個數(shù)的大?。?br>（1），；
（2），．
21．（2021·江蘇·高一課時練習(xí)）函數(shù)y＝(m2－m－1)是冪函數(shù)，且在x∈上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值．
22．（2020·江蘇·高一課時練習(xí)）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
第三章 專題17 冪函數(shù)(A）
命題范圍：
第一章，第二章，函數(shù)的概念及其表示方法，函數(shù)的基本性質(zhì),冪函數(shù).
高考真題：
1．（2011·上海·高考真題（文））下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】試題分析：由偶函數(shù)定義知，僅A,C為偶函數(shù)， C. 在區(qū)間上單調(diào)遞增函數(shù)，故選A．
2．（2011·陜西·高考真題（文））函數(shù)的圖象是
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】試題分析：先找出函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)（1，1），（8，2），（，），再判斷函數(shù)的走向，結(jié)合圖形，選出正確的答案．
解：函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)（1，1），故排除A，D；
由特殊點(diǎn)（8，2），（，），可排除C．
故選B．
3．（2020·江蘇·高考真題）已知y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時， ，則f(-8)的值是____.
【答案】
【分析】先求，再根據(jù)奇函數(shù)求
【詳解】，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以
故答案為：
牛刀小試
第I卷 選擇題部分（共60分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先得到函數(shù)的定義域，再判斷函數(shù)的奇偶性，最后根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；
【詳解】解：因?yàn)?，即，定義域?yàn)椋遥?br>即為奇函數(shù)，又由冪函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，故符合題意的只有C；
故選：C
2．（2022·四川涼山·高一期末）如圖，①②③④對應(yīng)四個冪函數(shù)的圖像，其中①對應(yīng)的冪函數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出冪函數(shù)的指數(shù)取值范圍，得到正確答案.
【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象可得：①對應(yīng)的冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，且增長速度越來越慢，故，故D選項(xiàng)符合要求.
故選：D
3．（2022·北京順義·高一期末）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求出的值即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，
所以，則.
故選：C.
4．（2022·全國·高一單元測試）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則函數(shù)的圖象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)出函數(shù)的解析式，根據(jù)冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，構(gòu)造方程求出指數(shù)的值，再結(jié)合函數(shù)的解析式研究其性質(zhì)即可得到圖象．
【詳解】設(shè)冪函數(shù)的解析式為，
∵冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，
∴，
解得
∴，其定義域?yàn)?，且是增函?shù)，
當(dāng)時，其圖象在直線的上方．對照選項(xiàng)可知C滿足題意．
故選:C．
5．（2022·全國·高一階段練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的值等于（ ）
A．B．4C．8D．
【答案】D
【分析】設(shè)冪函數(shù)，由題設(shè)條件可求，從而可求的值.
【詳解】設(shè)冪函數(shù)，冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，
解得，所以，則．
故選：D.
6．（2021·陜西·西安市第三中學(xué)高一期中）冪函數(shù)中a的取值集合C是的子集，當(dāng)冪函數(shù)的值域與定義域相同時，集合C為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分別求出各冪函數(shù)的定義域和值域，得到答案.
【詳解】當(dāng)時，定義域和值域均為，符合題意；
時，定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，故不合題意；
時，定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，符合題意；
時，定義域與值域均為R，符合題意；
時，定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋环项}意；
時，定義域與值域均為R，符合題意.
故選：C
7．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．3B．2C．1D．1或2
【答案】C
【分析】由題意利用冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，得出結(jié)論．
【詳解】冪函數(shù)為偶函數(shù)，
，且為偶數(shù)，
則實(shí)數(shù)，
故選：C
8．（2022·全國·高一課時練習(xí)）下列命題正確的是（ ）
A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過，兩點(diǎn)B．函數(shù)的圖象經(jīng)過第二象限
C．如果兩個冪函數(shù)的圖象有三個公共點(diǎn)，那么這兩個函數(shù)一定相同D．如果冪函數(shù)為偶函數(shù)，則圖象一定經(jīng)過點(diǎn)
【答案】D
【分析】通過舉反例可判斷A、C項(xiàng)，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可判斷B項(xiàng)，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)集合偶函數(shù)的定義可判斷D項(xiàng).
【詳解】解：對于A，冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)時，不過點(diǎn)，故A項(xiàng)錯誤；
對于B，的圖象過第一、三象限，故B項(xiàng)錯誤；
對于C，與的圖象有三個交點(diǎn)，這兩個函數(shù)不相同，故C項(xiàng)錯誤；
對于D，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)，所以冪函數(shù)為偶函數(shù)時，圖象一定經(jīng)過點(diǎn)，故D項(xiàng)正確．
故選：D．
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分.
9．（2020·湖南·嘉禾縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）下列函數(shù)為冪函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義可得結(jié)果.
【詳解】由冪函數(shù)的定義知，函數(shù)，為冪函數(shù).
故選：BD.
10．（2021·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)，則是（ ）
A．偶函數(shù)B．奇函數(shù)C．有最大值D．無最大值
【答案】BD
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義，可知，從而得出函數(shù)，根據(jù)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得出答案.
【詳解】解：由題可知，是冪函數(shù)，則，
所以，
所以是奇函數(shù)，且無最大值.
故選：BD.
11．（2022·廣東·韶關(guān)市田家炳中學(xué)高一期末）如果冪函數(shù)的圖象不過原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值為（ ）
A．B．C．D．無解
【答案】BC
【分析】利用已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式與不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的值.
【詳解】由已知可得，解得或.
故選：BC.
12．（2022·全國·高一）下列關(guān)于冪函數(shù)的性質(zhì)說法正確的有（ ）
A．當(dāng)時，函數(shù)在其定義域上遞減
B．當(dāng)時，函數(shù)圖象是一條直線
C．當(dāng)時，函數(shù)是偶函數(shù)
D．當(dāng)時，函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
【答案】CD
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，對每個選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.
【詳解】當(dāng)時，，函數(shù)在(-∞，0)和(0，+∞)上遞減，不能說在定義域上遞減，故A選項(xiàng)錯誤；
當(dāng)時，，，其圖象是去掉點(diǎn)的直線，故B選項(xiàng)錯誤；
當(dāng)時，，函數(shù)的定義域?yàn)椋桥己瘮?shù)，所以C選項(xiàng)正確；
當(dāng)時，，其圖象與軸只有個交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以D選項(xiàng)正確.
故選：CD.
第II卷 非選擇題部分（共90分）
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（2021·上海市楊浦高級中學(xué)高一期中）冪函數(shù)的定義域?yàn)開_____;
【答案】
【分析】利用根式的性質(zhì)求函數(shù)定義域.
【詳解】由根式的性質(zhì)知：，
所以函數(shù)定義域?yàn)?
故答案為：
14．（2022·全國·高一課時練習(xí)）若函數(shù)是冪函數(shù)，則實(shí)數(shù)______.
【答案】1
【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義列方程求解可得.
【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得.
故答案為：1
15．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則___________.
【答案】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義求解即可.
【詳解】根據(jù)冪函數(shù)定義得，，所以，又圖像過點(diǎn)，
所以，解得，所以.
故答案為：.
16．（2022·江西贛州·高一期末）已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的值為______.
【答案】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念，求得，再結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】由題意，冪函數(shù)，可得，解得或，
當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，不符合題意；
當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，符合題意，
所以實(shí)數(shù)的值為-.
故答案為：-.
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（2021·全國·高一課前預(yù)習(xí)）已知是冪函數(shù)，求、的值．
【答案】；.
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義即可列方程組求解.
【詳解】由題意得解得
．
18．（2021·江蘇·高一課時練習(xí)）分別寫出下列函數(shù)的定義域，并指出它們的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】答案見解析.
【分析】直接觀察出定義域，在根據(jù)和的關(guān)系來判斷單調(diào)性.
【詳解】（1），其定義域?yàn)镽，
又，
故為定義域?yàn)镽的偶函數(shù)；
（2），其定義域?yàn)?，其為非奇非偶函?shù)；
（3），其定義域?yàn)椋?br>又，
故為定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)；
（4），其定義域?yàn)镽，
又，
故為定義域?yàn)镽的偶函數(shù).
19．（2021·全國·高一課時練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，試求出這個函數(shù)的解析式.
【答案】
【分析】直接帶點(diǎn)計算即可.
【詳解】由已知，得，即.
20．（2021·全國·高一課時練習(xí)）比較下列各組中兩個數(shù)的大?。?br>（1），；
（2），．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用冪函數(shù)的單調(diào)性即可比較大??；
（2）利用冪函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.
【詳解】（1）利用冪函數(shù)的性質(zhì)．
冪函數(shù)在上是增函數(shù)，而，所以．
（2）利用冪函數(shù)的性質(zhì)．
冪函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，而，所以．
21．（2021·江蘇·高一課時練習(xí)）函數(shù)y＝(m2－m－1)是冪函數(shù)，且在x∈上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值．
【答案】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及單調(diào)性即可求解.
【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)y＝(m2－m－1)是冪函數(shù)， 所以m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2，
又函數(shù)y＝(m2－m－1)在x∈上為減函數(shù)， 所以m－1

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