命題范圍：
集合，充分條件與必要條件，全稱量詞與存在量詞.
高考真題：
1．（2020·山東·高考真題）下列命題為真命題的是（ ）
A．且B．或
C．，D．，
2．（2020·山東·高考真題）已知，若集合，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．（2016·浙江·高考真題（理））命題“，使得”的否定形式是
A．，使得B．，使得
C．，使得D．，使得
牛刀小試
第I卷 選擇題部分（共60分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)） “為整數(shù)”是“為整數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不允分也不必要條件
2．（福建省漳州市四校2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）命題“有實數(shù)解”的否定是（ ）
A．無實數(shù)解B．無實數(shù)解
C．有實數(shù)解D．有實數(shù)解
3．（2021·北京八十中高三階段練習(xí)）設(shè)命題，則為（ ）
A．B．
C．D．
4．（四川省南充市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題）命題“，”的否定為（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．（2022·江蘇·高一單元測試）“三角形的某兩條邊相等”是“三角形為等邊三角形”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件
6．（2022·全國·高一專題練習(xí)）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
7．（2021·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學(xué)科研訓(xùn)處高一期中）“”是“”成立的是（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）命題“”為真命題的一個充分不必要條件是（ ）
A．B．C．D．
二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分.
9．（2022·江蘇·高一單元測試）下列說法中，以下是真命題的是（ ）．
A．存在實數(shù)，使
B．所有的素數(shù)都是奇數(shù)
C．至少存在一個正整數(shù)，能被5和7整除.
D．三條邊都相等的三角形是等邊三角形
10．（2020·黑龍江·哈爾濱市第一二二中學(xué)校高一期中）使得函數(shù)成立的一個充分不必要條件可以是（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）(多選)下列“若p，則q”形式的命題中，p是q的充分條件的有（ ）
A．若x＜1，則x＜2B．若兩個三角形的三邊對應(yīng)成比例，則這兩個三角形相似
C．若|x|≠1，則x≠1D．若ab＞0，則a＞0，b＞0
12．（2021·湖北·車城高中高一階段練習(xí)）若集合，滿足：，，則下列關(guān)系可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
第II卷 非選擇題部分（共90分）
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（2021·上?！ど贤飧街懈咭黄谥校岸际怯欣頂?shù)”的否定是____________．
14．（2022·全國·高一）已知命題，則____________
15．（2022·江蘇·高一）若“”是“”的充要條件，則實數(shù)m的取值是_________．
16．（2022·全國·高一）若命題“，”為假命題，則實數(shù)的取值范圍為______.
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（2022·全國·高一課時練習(xí)）寫出下列命題的否定，并判斷其真假：
(1)每個有理數(shù)都是實數(shù)；
(2)過直線外任意一點有且僅有一條直線與已知直線平行；
(3)設(shè)，是的邊，上的點，若，是，的中點，則．
18．（2022·江蘇·高一）判斷下列各命題的真假，并簡要說明理由：
(1)方程有唯一的解；
(2)若方程的兩實數(shù)根同號，則；
(3)如果，那么?或；
(4)合數(shù)一定是偶數(shù)．
19．（2021·全國·高一課時練習(xí)）若a，，p：，q：．判斷p是否為q的充要條件．
20．（2021·全國·高一單元測試）若命題“，一次函數(shù)的圖象在x軸上方”為真命題，求實數(shù)m的取值范圍．
21．（2021·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)：，：，且是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍．
22．（2021·江蘇·高一課時練習(xí)）設(shè)集合滿足條件p，滿足條件q.
（1）如果，那么p是q的什么條件？
（2）如果，那么p是q的什么條件？
（3）如果，那么p是q的什么條件？
試舉例說明.
第一章 專題2充要條件與量詞(A）
命題范圍：
集合，充分條件與必要條件，全稱量詞與存在量詞.
高考真題：
1．（2020·山東·高考真題）下列命題為真命題的是（ ）
A．且B．或
C．，D．，
【答案】D
【解析】
【分析】
本題可通過、、、、得出結(jié)果.
【詳解】
A項：因為，所以且是假命題，A錯誤；
B項：根據(jù)、易知B錯誤；
C項：由余弦函數(shù)性質(zhì)易知，C錯誤；
D項：恒大于等于，D正確，
故選：D.
2．（2020·山東·高考真題）已知，若集合，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可求解.
【詳解】
當(dāng)時，集合，，可得，滿足充分性，
若，則或，不滿足必要性，
所以“”是“”的充分不必要條件，
故選：A.
3．（2016·浙江·高考真題（理））命題“，使得”的否定形式是
A．，使得B．，使得
C．，使得D．，使得
【答案】D
【解析】
【詳解】
的否定是，的否定是，的否定是．故選D．
牛刀小試
第I卷 選擇題部分（共60分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)） “為整數(shù)”是“為整數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不允分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】
依據(jù)充分不必要條件的定義去判定“為整數(shù)”與“為整數(shù)”的邏輯關(guān)系即可.
【詳解】
由題意，若為整數(shù)，則為整數(shù)，故充分性成立；
當(dāng)時，為整數(shù)，但不為整數(shù)，故必要性不成立；
所以“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的充分不必要條件.
故選：A.
2．（福建省漳州市四校2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）命題“有實數(shù)解”的否定是（ ）
A．無實數(shù)解B．無實數(shù)解
C．有實數(shù)解D．有實數(shù)解
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題判斷即可
【詳解】
因為全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，所以“有實數(shù)解”的否定是“無實數(shù)解”.
故選：B.
3．（2021·北京八十中高三階段練習(xí)）設(shè)命題，則為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題可得答案.
【詳解】
因為命題，所以為.
故選：A.
4．（四川省南充市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題）命題“，”的否定為（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)含有量詞的命題的否定即可得到結(jié)論．
【詳解】
解：命題為全稱命題“，”，則命題的否定為，，
故選：D．
5．（2022·江蘇·高一單元測試）“三角形的某兩條邊相等”是“三角形為等邊三角形”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)等邊三角形的定義結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可.
【詳解】
三角形的某兩條邊相等則三角形是等腰三角形，不一定是等邊三角形，所以充分性不成立；三角形為等邊三角形則其三邊相等，能得到三角形的任意兩邊也是相等的，所以必要性成立.
故選：B.
6．（2022·全國·高一專題練習(xí)）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】
求解一元二次方程，結(jié)合充分性和必要性即可容易判斷和選擇.
【詳解】
因為，故可得或，
若，則不一定有，故充分性不滿足；
若，則一定有，故必要性成立，
綜上所述：“”是“”的必要不充分條件.
故選：.
7．（2021·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學(xué)科研訓(xùn)處高一期中）“”是“”成立的是（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】
結(jié)合充分、必要條件的知識確定正確答案.
【詳解】
，
所以“”是“”成立的充分不必要條件.
故選：A
8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）命題“”為真命題的一個充分不必要條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)命題是真命題，由，恒成立求解.
【詳解】
因為命題“，”是真命題，
所以，恒成立，
所以，
結(jié)合選項，命題是真命題的一個充分不必要條件是，
故選：B
二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分.
9．（2022·江蘇·高一單元測試）下列說法中，以下是真命題的是（ ）．
A．存在實數(shù)，使
B．所有的素數(shù)都是奇數(shù)
C．至少存在一個正整數(shù)，能被5和7整除.
D．三條邊都相等的三角形是等邊三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】
舉例證明選項AC正確；舉反例否定選項B；依據(jù)等邊三角形定義判斷選項D.
【詳解】
選項A：當(dāng)時，成立.判斷正確；
選項B：2是素數(shù)，但是2不是奇數(shù).判斷錯誤；
選項C：正整數(shù)35和70能被5和7整除. 判斷正確；
選項D：三條邊都相等的三角形是等邊三角形. 判斷正確.
故選：ACD
10．（2020·黑龍江·哈爾濱市第一二二中學(xué)校高一期中）使得函數(shù)成立的一個充分不必要條件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
求得函數(shù)的定義域，進而求得其充分不必要條件.
【詳解】
依題意
解得.
所以使得函數(shù)成立的一個充分不必要條件可以是、.
故選：AC
11．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）(多選)下列“若p，則q”形式的命題中，p是q的充分條件的有（ ）
A．若x＜1，則x＜2B．若兩個三角形的三邊對應(yīng)成比例，則這兩個三角形相似
C．若|x|≠1，則x≠1D．若ab＞0，則a＞0，b＞0
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根據(jù)充分條件的定義逐一判斷即可.
【詳解】
由x＜1，可以推出x＜2，所以選項A符合題意；
由兩個三角形的三邊對應(yīng)成比例，可以推出這兩個三角形相似，所以選項B符合題意；
由|x|≠1，可以推出x≠1，所以選項C符合題意；
由ab＞0，不一定能推出a＞0，b＞0，比如，所以本選項不符合題意，
故選：ABC
12．（2021·湖北·車城高中高一階段練習(xí)）若集合，滿足：，，則下列關(guān)系可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根據(jù)子集的定義以及特殊例子一一說明即可；
【詳解】
解：若，則，則，故不，，即A一定錯誤，
若，時，滿足“，”，此時，即B正確.
若，時，滿足“，”成立，此時，即C正確.
若，時滿足條件“，”且有，則D正確.
故選：BCD.
第II卷 非選擇題部分（共90分）
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（2021·上?！ど贤飧街懈咭黄谥校岸际怯欣頂?shù)”的否定是____________．
【答案】不都是有理數(shù)
【解析】
【分析】
都是的否定是不都是，即可寫出命題的否定.
【詳解】
“都是有理數(shù)”的否定是“不都是有理數(shù)”.
故答案為：不都是有理數(shù)
14．（2022·全國·高一）已知命題，則____________
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題即可求解.
【詳解】
解：因為命題，
所以根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，可得.
故答案為：.
15．（2022·江蘇·高一）若“”是“”的充要條件，則實數(shù)m的取值是_________．
【答案】0
【解析】
【分析】
根據(jù)充要條件的定義即可求解.
【詳解】
，
則{x|}＝{x|}，
即.
故答案為：0.
16．（2022·全國·高一）若命題“，”為假命題，則實數(shù)的取值范圍為______.
【答案】
【解析】
【分析】
命題為假命題時，二次方程無實數(shù)解，據(jù)此可求a的范圍.
【詳解】
若命題“，”為假命題，則一元二次方程無實數(shù)解，
∴.
∴a的取值范圍是：.
故答案為：.
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（2022·全國·高一課時練習(xí)）寫出下列命題的否定，并判斷其真假：
(1)每個有理數(shù)都是實數(shù)；
(2)過直線外任意一點有且僅有一條直線與已知直線平行；
(3)設(shè)，是的邊，上的點，若，是，的中點，則．
【答案】(1)存在有理數(shù)不是實數(shù).假命題
(2)過直線外任意一點不存在直線與已知直線平行，或至少有兩條直線與已知直線平行.假命題
(3)，是的邊，上的點，若，是，的中點，則與不平行．假命題
【解析】
【分析】
（1）否定結(jié)論即可，顯然為假命題；
（2）該命題為形式，否定為；
（3）否定結(jié)論即可，由中位線定理可知判斷真假.
(1)
否定：存在有理數(shù)不是實數(shù).
因為任何有理數(shù)都是實數(shù)，故否定為假命題.
(2)
否定：過直線外任意一點不存在直線與已知直線平行，或至少有兩條直線與已知直線平行.
易知否定為假命題
(3)
否定：，是的邊，上的點，若，是，的中點，則與不平行．
由三角形中位線知，否定為假命題
18．（2022·江蘇·高一）判斷下列各命題的真假，并簡要說明理由：
(1)方程有唯一的解；
(2)若方程的兩實數(shù)根同號，則；
(3)如果，那么?或；
(4)合數(shù)一定是偶數(shù)．
【答案】(1)假，舉反例：時方程無解
(2)真
(3)真
(4)假，舉反例：9是合數(shù)也為奇數(shù)
【解析】
【分析】
（1）舉反例即可得出答案.
（2）利用韋達定理即可得出答案.
（3）由集合的包含關(guān)系可得答案.
（4）舉反例即可得出答案.
(1)
當(dāng)時方程無解，故命題為假命題.
(2)
若一元二次方程兩實數(shù)根同號，則，故命題為真命題.
(3)
若，那么?或，故命題為真命題.
(4)
9是合數(shù)也為奇數(shù)，故命題為假命題.
19．（2021·全國·高一課時練習(xí)）若a，，p：，q：．判斷p是否為q的充要條件．
【答案】p是q的充要條件
【解析】
【分析】
利用充要條件的定義判斷即可
【詳解】
p是q的充要條件．理由：
若，則，即；
若，則，即，故，
所以p是q的充要條件．
20．（2021·全國·高一單元測試）若命題“，一次函數(shù)的圖象在x軸上方”為真命題，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】
【解析】
【分析】
由得，要使一次函數(shù)的圖象在軸上方，需，由此可得實數(shù)的取值范圍．
【詳解】
解：當(dāng)時，．
因為一次函數(shù)的圖象在x軸上方，
所以，即，
所以實數(shù)m的取值范圍是.
21．（2021·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)：，：，且是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)充分條件的定義以及集合的包含關(guān)系即可求出的范圍.
【詳解】
∵：，：，且是的充分條件，
∴，
∴ ，解得
故的范圍為.
22．（2021·江蘇·高一課時練習(xí)）設(shè)集合滿足條件p，滿足條件q.
（1）如果，那么p是q的什么條件？
（2）如果，那么p是q的什么條件？
（3）如果，那么p是q的什么條件？
試舉例說明.
【答案】（1）充分條件；（2）必要條件；（3）充要條件.
【解析】
【分析】
（1）利用集合間的關(guān)系結(jié)合充分條件的定義推導(dǎo)；
（2）利用集合間的關(guān)系結(jié)合必要條件的定義推導(dǎo)；
（3）由（1）（2）可得.
【詳解】
（1）若，則有，即每個使p成立的元素也使q成立，
即，所以p是q的充分條件.如，，
，是的充分條件.
（2）若，則有，即每個使q成立的元素也使p成立，
即，所以p是q的必要條件.如，，則，
是的必要條件.
（3）若，則，，所以p是q的充要條件.如，
是的充要條件.

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