類型一、比較大小與實(shí)數(shù)估算
例1．比較大?。篲_________．
例2.比較下列實(shí)數(shù)的大小___________．
【變式訓(xùn)練1】設(shè)a=，b=，c=3，則a，b，c的大小關(guān)系為_______．
【變式訓(xùn)練2】比較大小______ ．
【變式訓(xùn)練3】比較大?。篲____；_____（填“＞”或“＜”或“＝”）
【變式訓(xùn)練3】比較與的大?。?br>類型二、整數(shù)部分問題
例．閱讀下面的文字，解答問題：大家知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，∵，∴．于是可以用來表示的小數(shù)部分，又例如：∵，即，∴的整數(shù)部分是2，小數(shù)部分是．請解答下列問題：
(1)的整數(shù)部分是 ，小數(shù)部分是 ．
(2)已知a是的整數(shù)部分，b是其小數(shù)部分，求的值．
【變式訓(xùn)練1】閱讀下面的文字，解答問題：大家知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，于是小明用來表示的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實(shí)上，小明的表示方法是有道理的，因?yàn)榈恼麛?shù)部分是1，將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是這個(gè)數(shù)的小數(shù)部分，又例如：，即，所以的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為，請解答：
(1)的整數(shù)部分是______，小數(shù)部分是______．
(2)如果的小數(shù)部分為a，的整數(shù)部分為b，求的值；
(3)已知：x是的整數(shù)部分，y是其小數(shù)部分，請直接寫出的值的相反數(shù)．
【變式訓(xùn)練2】材料1：2.5的整數(shù)部分是2，小數(shù)部分是0.5，小數(shù)部分可以看成是得來的，類比來看，是無理數(shù)，而，所以的整數(shù)部分是1，于是可用來表示的小數(shù)部分．
材料2：若，則有理數(shù)部分相等，無理數(shù)部分也相等，即，要滿足，．
根據(jù)以上材料，完成下列問題：
(1)的整數(shù)部分是________，小數(shù)部分是__________；
(2)也是夾在相鄰兩個(gè)整數(shù)之間的，可以表示為，求的算術(shù)平方根．
(3)若，則________，________．
【變式訓(xùn)練3】規(guī)定：表示實(shí)數(shù)x的整數(shù)部分．如，，在此規(guī)定下解決下列問題．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【變式訓(xùn)練4】規(guī)定用符號(hào)[x]表示一個(gè)實(shí)數(shù)的整數(shù)部分，例如[]＝0，[]＝3，[]＝1，并且規(guī)定一個(gè)實(shí)數(shù)減去它的整數(shù)部分表示這個(gè)實(shí)數(shù)的小數(shù)部分，按此規(guī)定解答問題：
(1)[]＝ ，的小數(shù)部分為 ；
(2)已知a，b分別是的整數(shù)部分和小數(shù)部分，求的值．
類型三、新定義問題
例．定義：若無理數(shù)（為正整數(shù)）：（其中為滿足不等式的最大整數(shù)，為滿足不等式的最小整數(shù)），則稱無理數(shù)的“雅區(qū)間”為．例如：因?yàn)?，所以，所以的“雅區(qū)間”為，所以的雅區(qū)間為．
解答下列問題：
(1)的“雅區(qū)間”是___________；的“雅區(qū)間”是___________．
(2)若無理數(shù)（為正整數(shù)）的“雅區(qū)間”為，的“雅區(qū)間”為，求的值．
【變式訓(xùn)練1】若是一個(gè)大于11兩位數(shù)，與它相鄰的11的整數(shù)倍的數(shù)為它的“鄰居數(shù)”，與它最接近的“鄰居數(shù)”為“最佳鄰居數(shù)”，的“最佳鄰居數(shù)”記作，令；若是一個(gè)大于111的三位數(shù)，它的“鄰居數(shù)”則為111的整數(shù)倍，依此類推．例如：50的“鄰居數(shù)”為44與55，，，∵，55為50的“最佳鄰居數(shù)”，∴，
再如：492的“鄰居數(shù)”為444和555，，，
∵，∴444是492的“最佳鄰居數(shù)”，∴．
(1)求和的值；
(2)若為一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為，且．求的值．
【變式訓(xùn)練2】對任意一個(gè)三位正整數(shù)n，如果n滿足百位上的數(shù)字小于十位上的數(shù)字，且百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和等于個(gè)位上的數(shù)字，那么稱這個(gè)數(shù)n為“望岳數(shù)”．“望岳數(shù)”n的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和的算術(shù)平方根的結(jié)果記為．例如：，滿足，且，所以134是“望岳數(shù)”，；例如：，滿足，但是，所以237不是“望岳數(shù)”；再如：，滿足，但是，所以415不是“望岳數(shù)”．
(1)判斷347和157是不是“望岳數(shù)”，并說明理由；
(2)若t是“望岳數(shù)”，且t的3倍與t中十位數(shù)字的4倍的和能被11整除，求滿足條件的“望岳數(shù)”t以及的最大值．
【變式訓(xùn)練3】下面是小明探索的近似值的過程：
我們知道面積是2的正方形的邊長是，易知．因此可設(shè)，畫出如下示意圖．
由圖中面積計(jì)算，
另一方面由題意知
所以
略去，得方程．
解得．即．
(1)仿照上述方法，探究的近似值．（畫出示意圖，標(biāo)明數(shù)據(jù)，并寫出求解過程）
(2)結(jié)合上述具體實(shí)例，已知非負(fù)整數(shù)a、b、m，若，且，請估算___________．（用a、b的代數(shù)式表示）
類型四、規(guī)律性問題
例．對于實(shí)數(shù)a，我們規(guī)定，用符號(hào)表示不大于的最大整數(shù)，稱為a的根整數(shù)，例如：，，
(1)仿照以上方法計(jì)算：_____；=_____；
(2)計(jì)算：；
(3)如果我們對a連續(xù)求根整數(shù)，直到結(jié)果為1為止，例如，對10連續(xù)求根整數(shù)2次，即，這時(shí)候結(jié)果為1，那么只需進(jìn)行3次連續(xù)求根整數(shù)運(yùn)算后結(jié)果為1的所有正整數(shù)中，最大的是______．
【變式訓(xùn)練1】先觀察下列等式，再回答問題：
①；
②；
③．
(1)根據(jù)上而三個(gè)等式提供的信息，請你猜想______．
(2)請按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出用n的式子表示的等式：______．
對任何實(shí)數(shù)a可表示不超過a的最大整數(shù)，如，，計(jì)算：的值
【變式訓(xùn)練2】觀察表格，回答問題：
(1)表格中________，________；
(2)從表格中探究a與數(shù)位的規(guī)律，并利用這個(gè)規(guī)律解決下面兩個(gè)問題：
①已知，則________；
②已知，若，用含m的代數(shù)式表示b，則________；
(3)試比較與a的大?。?br>當(dāng)________時(shí)，；當(dāng)________時(shí)，；當(dāng)________時(shí)，．
【變式訓(xùn)練3】我國數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機(jī)上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求24389的立方根，華羅庚脫口說出答案，眾人十分驚奇，忙問計(jì)算的奧妙．你知道他是怎樣迅速準(zhǔn)確地計(jì)算出結(jié)果的嗎?
下面是小超的探究過程，請補(bǔ)充完整：
(1)求；
①由，，可以確定是___________位數(shù)；
②由24389的個(gè)位上的數(shù)字是9，可以確定的個(gè)位上的數(shù)字是___________；
③如果劃去24389后面的三位389得到數(shù)24，而，，可以確定的十位上的數(shù)字是___________；由此求得____________．
(2)已知185193也是一個(gè)整數(shù)的立方，用類似的方法可以求得___________．
a
…
0.0001
0.01
1
100
10000
…
…
0.01
x
1
y
100
…
專題03 實(shí)數(shù)的四種特殊考法
類型一、比較大小與實(shí)數(shù)估算
例1．比較大?。篲_________．
【答案】
【詳解】解：∵，,
∴，即，
故答案為：．
例2.比較下列實(shí)數(shù)的大小___________．
【答案】
【詳解】解：∵，即，
∴，
∴，
故答案為：
【變式訓(xùn)練1】設(shè)a=，b=，c=3，則a，b，c的大小關(guān)系為_______．
【答案】a＜c＜b
【詳解】解：∵，
∴，即；
∵，
∴，
∴，
∵，∴，
故答案為：
【變式訓(xùn)練2】比較大小______ ．
【答案】

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