1.過角平分線上一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段：
2.在角的兩邊上截取相等的線段，結(jié)合角平分線構(gòu)造全等三角形：
3.構(gòu)造等腰三角形：

類型一、作垂線、分兩邊
例．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，則AD的長(zhǎng)是________．
【變式訓(xùn)練1】如圖所示，，是的中點(diǎn)，平分．
（1）求證：是的平分線；（2）若，求的長(zhǎng)．
【變式訓(xùn)練2】如圖，中，，，垂足為，若，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．4
【變式訓(xùn)練3】四邊形中，，連接．
（1）如圖1，若平分，求證：．
（2）如圖2，若，，求證：．
（3）如圖3，在（2）的條件下，作于點(diǎn)，連接，若，，求的長(zhǎng)度．
類型二、截線段、構(gòu)全等
例．已知：如圖，AC∥BD，AE、BE分別平分∠CAB和∠ABD，點(diǎn)E在CD上．用等式表示線段AB、AC、BD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【變式訓(xùn)練1】在中，BE，CD為的角平分線，BE，CD交于點(diǎn)F．
（1）求證：；
（2）已知．
①如圖1，若，，求CE的長(zhǎng)；
②如圖2，若，求的大?。?br>【變式訓(xùn)練2】（1）如圖1，射線OP平分∠MON，在射線OM，ON上分別截取線段OA，OB，使OA＝OB，在射線OP上任取一點(diǎn)D，連接AD，BD．求證：AD＝BD．
（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求證：BC＝AC+AD．
（3）如圖3，在四邊形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C為BD邊中點(diǎn)，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．
【變式訓(xùn)練3】如圖，已知B（-1，0），C（1，0），A為y軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)D為第二象限一動(dòng)點(diǎn)，E在BD的延長(zhǎng)線上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．
（1）求證：∠ABD=∠ACD；
（2）求證：AD平分∠CDE；
（3）若在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，始終有DC=DA+DB，在此過程中，∠BAC的度數(shù)是否變化？如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不變，請(qǐng)求出∠BAC的度數(shù)．
類型三、角平分線+垂直=等腰
例．如圖，OA=OB，∠AOB=90°，BD平分∠ABO交OA于點(diǎn)D，AE⊥BD于E，求證：BD=2AE.

【變式訓(xùn)練1】已知：如圖，在中，，平分，于，是的中點(diǎn)，求證：.
【變式訓(xùn)練2】已知：中，為的中點(diǎn)，平分于，連結(jié)，若，求的長(zhǎng)．
【變式訓(xùn)練3】 如圖，在中，，，平分，于，交于.求證：（1）；（2）.
類型四、角平分線+垂直=等腰
例. 如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點(diǎn)G、F，若FG=4，ED=8，求EB+DC=_________．
【變式訓(xùn)練1】如圖，已知，平分，，則（ ）
A. 105°B. 120°C. 130°D. 150°
【變式訓(xùn)練2】如圖，已知△ABC的兩邊AB=5，AC=8，BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，過點(diǎn)O作DE∥BC，則△ADE的周長(zhǎng)等于________________．
【變式訓(xùn)練3】 如圖①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作EF∥BC交AB、AC于E、F.
(1)圖①中有幾個(gè)等腰三角形?猜想:EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系.
(2)如圖②,若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎?如果有，分別指出它們.在第(1)問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎?
(3)如圖③，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F.這時(shí)圖中還有等腰三角形嗎?EF與BE、CF關(guān)系又如何?說(shuō)明你的理由.
課后訓(xùn)練
1．如圖，四邊形中，，為上一點(diǎn)，連接，，，若，則線段的長(zhǎng)為_______．
2. 如圖，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分線，DE ∥ BC，交AB 于 E，∠A=60o， ∠BDC=95o，則∠BED的度數(shù)是（ ）
A. 35°B. 70°C. 110°D. 130°
3．如圖，四邊形中，平分，于點(diǎn)，．求證：．
3．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長(zhǎng)線上．求證：BE＝CD．
4．已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD．
求證：BE=AD．
5．如圖，在中，，，，分別平分,，，交于點(diǎn)O．
(1)求的度數(shù)；
(2)請(qǐng)你判斷，與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
6．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)且a，b滿足．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖（1），點(diǎn)C為x軸負(fù)半軸一動(dòng)點(diǎn)，，于D，交y軸于點(diǎn)E，求證：平分．
（3）如圖（2），點(diǎn)F為的中點(diǎn)，點(diǎn)G為x正半軸點(diǎn)右側(cè)的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)F作的垂線，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)H，那么當(dāng)點(diǎn)G的位置不斷變化時(shí)，的值是否發(fā)生變化?若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變化，請(qǐng)求出相應(yīng)結(jié)果．
專題01 與角平分線有關(guān)輔助線的四種做法
【基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)】
1.過角平分線上一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段：
2.在角的兩邊上截取相等的線段，結(jié)合角平分線構(gòu)造全等三角形：
3.構(gòu)造等腰三角形：

類型一、作垂線、分兩邊
例．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，則AD的長(zhǎng)是________．
【答案】5
【詳解】過D作，，交延長(zhǎng)線于F，
∵AD平分，，，
∴，，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【變式訓(xùn)練1】如圖所示，，是的中點(diǎn)，平分．
（1）求證：是的平分線；（2）若，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）詳見解析；（2）8cm.
【詳解】
（1）證明：過點(diǎn)E分別作于F，
∴∠DFE=∠AFE=90°．
∵∠B=∠C=90°，
∴∠B=∠AFE=∠DFE=∠C=90°．
∴CB⊥AB，CB⊥CD．
∵DE平分∠ADC．
∴∠EDC=∠EDF，CE=EF．
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴CE=BE，
∴BE=EF．
在Rt△AEB和Rt△AEF中，
，
∴Rt△AEB≌Rt△AEF（HL），
∴∠EAB=∠EAF，
∴AE是∠DAB的平分線；
（2）解：∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵∠BAD=60°，平分，AE是∠DAB的平分線，
， ，，
∵∠C=90°
∴ ， ，
.
故答案為（1）詳見解析；（2）8cm.
【變式訓(xùn)練2】如圖，中，，，垂足為，若，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．4
【答案】D
【詳解】做分別關(guān)于的軸對(duì)稱圖形延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，如圖：
∵是的對(duì)稱三角形
∴

∵
∴
又∵
∴
∴
∴四邊形是正方形
設(shè)，在 中：即：
解得：（舍）
∴的長(zhǎng)為4．
【變式訓(xùn)練3】四邊形中，，連接．
（1）如圖1，若平分，求證：．
（2）如圖2，若，，求證：．
（3）如圖3，在（2）的條件下，作于點(diǎn)，連接，若，，求的長(zhǎng)度．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）
【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
平分，
，
在與中
（HL）
即
（2）如圖，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，
，
即
（3）如圖，過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
，
四邊形是矩形
在與中
，
四邊形是正方形
設(shè)
在中
在中，
類型二、截線段、構(gòu)全等
例．已知：如圖，AC∥BD，AE、BE分別平分∠CAB和∠ABD，點(diǎn)E在CD上．用等式表示線段AB、AC、BD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】AC+BD=AB，理由見見解析
【詳解】解：AC+BD=AB，證明如下：
在BA上截取BF=BD，連接EF，如圖所示：
∵AE、BE分別平分∠CAB和∠ABD，
∴∠EAF=∠EAC，∠EBF=∠EBD，
在△BEF和△BED中，
，
∴（SAS），∴∠BFE=∠D，
∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°，
∵∠AFE+∠BFE=180°，∴∠AFE+∠D=180°，∴∠AFE=∠C，
在△AEF和△AEC中，
，∴（AAS），∴AF=AC，
∵AF+BF=AB，∴AC+BD=AB．
【變式訓(xùn)練1】在中，BE，CD為的角平分線，BE，CD交于點(diǎn)F．
（1）求證：；
（2）已知．
①如圖1，若，，求CE的長(zhǎng)；
②如圖2，若，求的大?。?br>【答案】（1）證明見解析；（2）2.5；（3）100°．
【詳解】解：（1）、分別是與的角平分線，
，
，
，
（2）如解（2）圖，在BC上取一點(diǎn)G使BG=BD，
由（1）得，
，
，
∴，
在與中，
，
∴（SAS）
∴，
∴，
∴，
∴
在與中，
，
，
，
，
；
∵，，
∴
（3）如解（3）圖，延長(zhǎng)BA到P，使AP=FC，
，
∴，
在與中，
，
∴（SAS）
∴，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
【變式訓(xùn)練2】（1）如圖1，射線OP平分∠MON，在射線OM，ON上分別截取線段OA，OB，使OA＝OB，在射線OP上任取一點(diǎn)D，連接AD，BD．求證：AD＝BD．
（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求證：BC＝AC+AD．
（3）如圖3，在四邊形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C為BD邊中點(diǎn)，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．
【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）AE=13
【詳解】證明：（1）∵射線OP平分∠MON，
∴∠AOD=∠BOD，
∵OD=OD，OA＝OB，
∴△AOD≌△BOD（SAS），
∴AD＝BD．
（2）在BC上截取CE=CA，連接DE，如圖所示：
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°，
∵CD=CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴∠A=∠CED=60°，AD=DE，
∵∠B+∠EDB=∠CED，∴∠EDB=∠B=30°，∴DE=BE，∴AD=BE，
∵BC=CE+BE，∴BC＝AC+AD．
（3）在AE上分別截取AF=AB=9，EG=ED=1，連接CF、CG，如圖所示：
同理（1）（2）可得：△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，
∴∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，
∵C為BD邊中點(diǎn)，∴BC=CD=CF=CG=3，
∵∠ACE＝120°，∴∠ACB+∠DCE=60°，
∴∠ACF+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，
∴△CFG是等邊三角形，∴FG=CF=CG=3，
∴AE=AF+FG+GE=9+3+1=13．
【變式訓(xùn)練3】如圖，已知B（-1，0），C（1，0），A為y軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)D為第二象限一動(dòng)點(diǎn)，E在BD的延長(zhǎng)線上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．
（1）求證：∠ABD=∠ACD；
（2）求證：AD平分∠CDE；
（3）若在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，始終有DC=DA+DB，在此過程中，∠BAC的度數(shù)是否變化？如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不變，請(qǐng)求出∠BAC的度數(shù)．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）不變，60°
【詳解】（1）證明：∵∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，
又∵∠ABD＋∠BDC＋∠DFB＝∠BAC＋∠ACD＋∠AFC＝180°，
∴∠ABD＝∠ACD；
（2）過點(diǎn)A作AM⊥CD于點(diǎn)M，作AN⊥BE于點(diǎn)N．
則∠AMC＝∠ANB＝90°，
∵OB＝OC，OA⊥BC，∴AB＝AC，
∵∠ABD＝∠ACD，∴△ACM≌△ABN （AAS），∴AM＝AN，
∴AD平分∠CDE（到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上）；
（3）∠BAC的度數(shù)不變化．
在CD上截取CP＝BD，連接AP．
∵CD＝AD＋BD，
∴AD＝PD，
∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，BD＝CP，
∴△ABD≌△ACP，
∴AD＝AP，∠BAD＝∠CAP，
∴AD＝AP＝PD，
即△ADP是等邊三角形，∴∠DAP＝60°，
∴∠BAC＝∠BAP＋∠CAP＝∠BAP＋∠BAD＝60°．
類型三、角平分線+垂直=等腰
例．如圖，OA=OB，∠AOB=90°，BD平分∠ABO交OA于點(diǎn)D，AE⊥BD于E，求證：BD=2AE.

【答案】詳見解析
【詳解】延長(zhǎng)BO，AE并交于F，
∵BD平分∠ABO，AF⊥BD，
∴∠1=∠2，∠AEB=∠FEB=90°，
在△ABE和△FBE中
，
∴△ABE≌△FBE，
∴AE=EF，
∵∠AOB=90゜，∠AED=90°，∠ADE=∠BDO，
∴∠2=∠OAF，
∵∠AOB=90°，
∴∠DOB=∠FOA=90°，
∴在△OBD和△OAF中
，
∴△OBD≌△OAF，
∴BD=AF，
∵AE=EF，
∴BD=2AE．
【變式訓(xùn)練1】已知：如圖，在中，，平分，于，是的中點(diǎn)，求證：.
【答案】見解析.
【詳解】如圖，延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)F，
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠FAD，
∵CD⊥AD，∴∠ADC=∠ADF=90°，
又AD＝AD
∴△ADC≌△ADF(ASA)，∴CD=DF，AC=AF，
∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴DE是△BCF的中位線，
∴DE=BF，
∵BF=AB-AF=AB-AC，
∴DE=(AB-AC)．
【變式訓(xùn)練2】已知：中，為的中點(diǎn)，平分于，連結(jié)，若，求的長(zhǎng)．
【答案】
【詳解】解：延長(zhǎng)CG交AB于點(diǎn)E．
AG平分，于，
，，，
∵ ，為的中點(diǎn)，．
故答案為.
【變式訓(xùn)練3】 如圖，在中，，，平分，于，交于.求證：（1）；（2）.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析
【詳解】證明：（1）連接DF，
∵OF⊥AD，
∴∠AEF＝∠AEO＝90°，
∵AD平分∠FAO，
∴∠FAE＝∠OAE，
在△FAE和△OAE中，
∴△FAE≌△OAE（ASA），∴AF＝AO，∠AFO＝∠AOF，
∵AD⊥OF，∴FE＝OE，∴DF＝DO，∴∠DFO＝∠DOF，
∵∠AFO＝∠AOF，∴∠AFD＝∠AOB＝90°，
∵∠AOB＝90°，AO＝BO，∴∠B＝45°，
∴∠FDB＝∠AFO?∠B＝90°?45°＝45°＝∠B，∴BF＝DF，∴OD＝BF；
（2）解：在AD上截AM＝OF，連接OM，
∵∠OAB＝∠B＝45°，AD平分∠OAB，∴∠OAM＝22.5°，
∵OD＝DF，∴∠DFO＝∠DOF，
∵∠FDB＝45°＝∠DFO＋∠DOF，∴∠FOB＝22.5°＝∠OAM，
在△AMO和△OFB中，
∴△AMO≌△OFB（SAS），∴MO＝BF＝OD，
∵OF⊥AD，∴DE＝ME，∴AD?OF＝DM＝2DE．
類型四、角平分線+垂直=等腰
例. 如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點(diǎn)G、F，若FG=4，ED=8，求EB+DC=_________．
【答案】12
【詳解】∵BG平分∠EBC
∴∠EBG=∠GBC
∵ED∥BC
∴∠EGB=∠GBC
∴∠EBG=∠EGB
∴EB=EG
同理可得DF=DC
∴EB+DC=EG+DF=ED+FG=8+4=12
故答案為：12．
【變式訓(xùn)練1】如圖，已知，平分，，則（ ）
A. 105°B. 120°C. 130°D. 150°
【答案】B
【詳解】∵∠CDE＝150°，∴∠CDB＝180?∠CDE＝30°，
又∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB＝30°；
∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝60°，
∴∠C＝180°?60°＝120°．
故選B．
【變式訓(xùn)練2】如圖，已知△ABC的兩邊AB=5，AC=8，BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，過點(diǎn)O作DE∥BC，則△ADE的周長(zhǎng)等于________________．
【答案】13
【詳解】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，
∴∠DBO=∠OBC，∠OCE=∠OCB，
由∵M(jìn)NlBC，∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，
∴∠DBO=∠DOB，∠EOC=∠ECO，
∴MO=MB，NO=NC，·
又∵AB=5，AC=8，
∴ADE的周長(zhǎng)=AD+DE+AE=AB+AC=13
【變式訓(xùn)練3】 如圖①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作EF∥BC交AB、AC于E、F.
(1)圖①中有幾個(gè)等腰三角形?猜想:EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系.
(2)如圖②,若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎?如果有，分別指出它們.在第(1)問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎?
(3)如圖③，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F.這時(shí)圖中還有等腰三角形嗎?EF與BE、CF關(guān)系又如何?說(shuō)明你的理由.
【答案】（1）△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC共5個(gè)，EF=BE+FC；（2）有，△EOB、△FOC，存在；（3）有，EF=BE-FC．
【詳解】解：（1）圖中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；
EF、BE、FC的關(guān)系是EF=BE+FC．理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，△ABC是等腰三角形；
∵BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACO=∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠ABO=∠OBC=∠EOB=∠OCB=∠FOC=∠FCO，
∴△EOB、△OBC、△FOC都是等腰三角形，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE，
∴△AEF是等腰三角形，
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；
即EO=EB，F(xiàn)O=FC；
∴EF=EO+OF=BE+CF；
（2）當(dāng)AB≠AC時(shí)，△EOB、△FOC仍為等腰三角形，（1）的結(jié)論仍然成立．
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；
∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；
即EO=EB，F(xiàn)O=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF；
（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE-FC．理由如下：
同（1）可證得△EOB是等腰三角形；
∵EO∥BC，∴∠FOC=∠OCG；
∵OC平分∠ACG，∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，
∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；
∴EF=EO-FO=BE-FC．
課后訓(xùn)練
1．如圖，四邊形中，，為上一點(diǎn)，連接，，，若，則線段的長(zhǎng)為_______．
【答案】
【詳解】解析：連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，
，
，
，，
，
，，
，．
設(shè)，則，
．
．
設(shè)，則，
，，
在中，由勾股定理得
解得．
．
2. 如圖，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分線，DE ∥ BC，交AB 于 E，∠A=60o， ∠BDC=95o，則∠BED的度數(shù)是（ ）
A. 35°B. 70°C. 110°D. 130°
【答案】C
【詳解】∵∠BDC=∠A+∠ABD，
∴∠ABD=95°?60°=35°，
∵BD是∠ABC的角平分線，
∴∠ABC=2∠ABD=70°，
∵DE∥BC，
∴∠BED+∠ABC=180°，
∴∠BED=180°?70°=110°．
故選C．
3．如圖，四邊形中，平分，于點(diǎn)，．求證：．
【答案】證明過程見詳解
【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作的延長(zhǎng)線于，
∵平分，，
∴，為公共邊，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴在，中，
，
∴，
∴，
∴．
3．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長(zhǎng)線上．求證：BE＝CD．
【答案】見解析
【詳解】證明：分別延長(zhǎng)BE、CA交于點(diǎn)F，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠FEC＝90°．
∵CD平分∠ACB，∴∠FCE＝∠BCE．
在△CFE與△CBE中，
∵∠BEC＝∠FEC，∠FCE＝∠BCE，CE＝CE，∴△CFE≌△CBE，
∴BE＝EF＝BF．
在△CFE與△CAD中，
∵∠F＋∠FCE＝∠ADC＋∠ACD＝ 90°，∴∠F＝∠ADC．
在△BFA與△CDA中，
∵∠F＝∠ADC，∠BAC＝∠FAB，AB＝AC，
∴△BFA≌△CDA，∴BF＝CD．
∴BE＝CD．
4．已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD．
求證：BE=AD．
【答案】見解析.
【詳解】證明：延長(zhǎng)AC、BE交于F，
∵∠1=∠3，BE⊥AE，
在△AEF和△AEB中，，
∴△AEF≌△AEB(ASA)，∴FE=BE，
∴BE=BF，
∵∠ACD=∠BED=90°，∠ADC=∠BDE，∴∠1=∠2，
在△ACD和△BCF中，，
∴△ACD≌△BCF（ASA），∴AD=BF，
∴BE=AD.
5．如圖，在中，，，，分別平分,，，交于點(diǎn)O．
(1)求的度數(shù)；
(2)請(qǐng)你判斷，與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)；
(2)
【詳解】（1）在中，，,
∴,
∵平分,平分,,
,；
（2）在上取一點(diǎn)F，使,
在與中：
，，
，，
∵，,
在與中：
，
，
.
6．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)且a，b滿足．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖（1），點(diǎn)C為x軸負(fù)半軸一動(dòng)點(diǎn)，，于D，交y軸于點(diǎn)E，求證：平分．
（3）如圖（2），點(diǎn)F為的中點(diǎn)，點(diǎn)G為x正半軸點(diǎn)右側(cè)的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)F作的垂線，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)H，那么當(dāng)點(diǎn)G的位置不斷變化時(shí)，的值是否發(fā)生變化?若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變化，請(qǐng)求出相應(yīng)結(jié)果．
【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）不變化，．
【詳解】解：（1）∵
∴，
∴ ，即．
∴，．
（2）如圖，過點(diǎn)O作于M，于N，
根據(jù)題意可知．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴OA＝OB＝6．
在和中， ，
∴．
∴， ，．
∴，
∴，
∴點(diǎn)O一定在∠CDB的角平分線上，
即OD平分∠CDB．
（3）如圖，連接OF，
∵是等腰直角三角形且點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，
∴，，OF平分∠AOB．
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
在和中 ，
∴．
∴，
∴．
故不發(fā)生變化，且．

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