【知識點1 角平分線的作法】
①以O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.
②分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點C.
③畫射線OC.即射線OC即為所求.
【題型1 角平分線的作法及應用】
【例1】（2020秋?曲靖校級月考）如圖所示，已知∠AOB，求作射線OC，使OC平分∠AOB，作法的合理順序是 ．（將①②③重新排列）
①作射線OC；
②以O為圓心，任意長為半徑畫弧交OA、OB于D、E；
③分別以D、E為圓心，大于的長為半徑作弧，在∠AOB內(nèi)，兩弧交于點C．
【變式1-1】（2020?連城縣模擬）如圖，已知∠MON，點B，C分別在射線OM，ON上，且OB＝OC．
（1）用直尺和圓規(guī)作出∠MON的角平分線OP，在射線OP上取一點A，分別連接AB、AC（只需保留作圖痕跡，不要求寫作法）．
（2）在（1）的條件下求證：AB＝AC．
【變式1-2】（2020秋?沛縣期中）如圖，已知點D在△ABC的邊AB上，且AD＝CD，
（1）用直尺和圓規(guī)作∠BDC的平分線DE，交BC于點E（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）在（1）的條件下，判斷DE與AC的位置關系，并寫出證明過程．
【變式1-3】（2021秋?孟州市校級期中）數(shù)學課上，探討角平分線的作法時，李老師用直尺和圓規(guī)作角平分線，方法如下：
根據(jù)以上情境，解決下列問題：
作法：（如圖1）
①在OA和OB上分別截取OD、OE，使OD＝OE．
②分別以D、E為圓心，以大于DE的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點C．
③作射線OC，則OC就是∠AOB的平分線．
小聰只帶來直角三角板，他發(fā)現(xiàn)利用三角板也可以作角平分線（如圖2），方法如下：
步驟：①利用三角板上的刻度，在OA和OB上分別截取OM、ON，使OM＝ON．
②分別過M、N作OM、ON的垂線，交于點P．
③作射線OP，則OP為∠AOB的平分線．
小穎的身邊只有刻度尺，經(jīng)過嘗試，她發(fā)現(xiàn)利用刻度尺也可以作角平分線．
①李老師用尺規(guī)作角平分線時，用到的三角形全等的判定方法是 ．
②小聰?shù)淖鞣ㄕ_嗎？請說明理由．
③請你幫小穎設計用刻度尺作角平分線的方法．（要求：作出圖形，寫出作圖步驟，不予證明）
【知識點2 角平分線的性質】
角的平分線的性質：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.
用符號語言表示角的平分線的性質定理：
若CD平分∠ADB，點P是CD上一點，且PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，則PE＝PF.
【題型2 角平分線的性質的應用】
【例2】（2021春?畢節(jié)市期末）如圖，已知△ABC中，∠C＝90，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于點D，DE⊥AB于點E，且AB＝10，則△DEB的周長為（ ）
A．9B．5C．10D．不能確定
【變式2-1】（2021春?漢壽縣期中）如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，連接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，點P是邊BC上的一動點，則DP的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【變式2-2】（2020秋?增城區(qū)期末）如圖，已知△ABC的周長是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，OD⊥BC于點D，若OD＝3cm，則△ABC的面積是（ ）cm2．
A．24B．27C．30D．33
【變式2-3】（2021春?武侯區(qū)校級期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB于點F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，則△DEF的面積為（ ）
A．2B．3C．4D．6
【題型3 角平分線的性質與等積法】
【例3】（2020秋?云南期末）如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面積是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，求DE的長．
【變式3-1】（2021春?浦江縣期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，若AD平分∠BAC交BC于點D，求BD的長．
【變式3-2】（2020春?番禺區(qū)校級期中）點P為△ABC三內(nèi)角平分線的交點，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，求：點P到三邊的距離．
【變式3-3】（2020秋?渝水區(qū)校級期中）知識儲備：
（1）如圖1，AD是△ABC的高，則△ABC的面積S△ABCBC?AD．
比例的性質：若，則．
知識運用：
（2）如圖2，BE是△ABC的角平分線，運用上述知識，求證：；
知識延展：
如圖3，△ABC的角平分線BE平分△ABC的周長，求證：△ABC是等腰三角形．
【題型4 角平分線的性質與全等】
【例4】（2020秋?肇源縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于點E，點F在AC上，BE＝FC．求證：BD＝DF．
【變式4-1】（2020秋?平山縣期中）如圖，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，將直角三角板的頂點P在射線OM上移動，兩直角邊分別與OA、OB相交于點C、D，問PC與PD相等嗎？試說明理由．
【變式4-2】（2021春?鹽田區(qū)校級期中）已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上的一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E，點F是OC上的另一點，連接DF，EF．求證：DF＝EF．
【變式4-3】如圖，AB∥CD，以點A為圓心，小于AC長為半徑作圓弧，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點，再分別以E，F(xiàn)為圓心，大于EF長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點P，作射線AP，交CD于點M
（1）求證：AP平分∠CAB；
（2）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度數(shù)；
（3）若CN⊥AM，垂足為N，求證：△CAN≌△CMN．
【知識點3 角平分線的判定】
角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.
用符號語言表示角的平分線的判定：
若PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，PE＝PF，則PD平分∠ADB
【題型5 角平分線的判定】
【例5】（2020秋?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，l3與兩條平行公路l1，l2三條公路相交，若要在l1上確定某個位置，使其到另兩條公路的距離相等，這樣的位置有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．無數(shù)個
【變式5-1】（2020秋?長垣市月考）如圖為三條兩兩相交的公路，某石化公司擬建立一個加油站，計劃使得該加油站到三條公路的距離相等，則加油站的可選位置有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【變式5-2】（2020秋?夏津縣期末）小明同學在學習了全等三角形的相關知識后發(fā)現(xiàn)，只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個角的平分線．
如圖：一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點P，小明說：“射線OP就是∠BOA的角平分線．”他這樣做的依據(jù)是（ ）
A．角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上
B．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等
C．三角形三條角平分線的交點到三條邊的距離相等
D．以上均不正確
【變式5-3】（2021春?道縣期末）如圖，已知點P到AE、AD、BC的距離相等，下列說法：
①點P在∠BAC的平分線上；
②點P在∠CBE的平分線上；
③點P在∠BCD的平分線上；
④點P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分線的交點上．
其中正確的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．④D．②③
【題型6 角平分線的性質與判定綜合】
【例6】（2020秋?朝陽區(qū)校級期中）如圖，OD平分∠AOB，OA＝OB，P是OD上一點，PM⊥BD于點M，PN⊥AD于點N．求證：PM＝PN．
【變式6-1】（2020秋?臨西縣期末）已知：如圖，BP、CP分別是△ABC的外角平分線，PM⊥AB于點M，PN⊥AC于點N．求證：PA平分∠MAN．
【變式6-2】（2020秋?常熟市期中）如圖，△ABC中，點D在BC邊上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分線交AC于點E，過點E作EF⊥AB，垂足為F，且∠AEF＝50°，連接DE．
（1）求∠CAD的度數(shù)；
（2）求證：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面積．
【變式6-3】（2020秋?慶陽期中）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的外角平分線交于點P，PD⊥AC于點D，PH⊥BA于點H．
（1）若PH＝8cm，求點P到直線BC的距離；
（2）求證：點P在∠HAC的平分線上．

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