1、說一說角平分線的性質(zhì)定理？
角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．
2、說一說角平分線的判定定理？
在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上．
同學(xué)們還記得三角形三邊垂直平分線的內(nèi)容嗎？ 請結(jié)合該內(nèi)容大膽猜想一下三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線有哪些性質(zhì)？大膽說出你的猜想。
1、三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。
2、銳角三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)交于三角形內(nèi)部 鈍角三角形交于三角形外部，直角三角形交于斜邊的中點(diǎn)。
小組合作，動(dòng)手實(shí)踐：1、 剪一個(gè)三角形紙片，通過折疊找出每個(gè)內(nèi)角的角平分線，觀察這三條角平分線，得到的結(jié)論是否與你的猜想一致？2、動(dòng)手畫一畫三角形的內(nèi)角平分線得到的結(jié)論是不是跟猜想的一致？3、得出你的結(jié)論
結(jié)論:三角形三條角平分線相交于一點(diǎn). 這一點(diǎn)到三角形三邊的距離相等．
證明命題:三角形三個(gè)角的平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等。
已知：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足。求證： ∠A的角平分線經(jīng)過點(diǎn)P，且PD=PE=PF．
證明：∵BM是△ABC的角平分線,點(diǎn)P在BM上PD⊥AB,PE⊥BC∴PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等.)同理：PE=PF．∴PD=PF=PE．∵PD⊥AB,PF⊥AC,PD=PF∴點(diǎn)P在∠A的平分線上(在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上.)即 ∠A的角平分線經(jīng)過點(diǎn)P
定理:三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等.幾何語言：如圖,在△ABC中,∵BM,CN,AE分別是△ABC的三條角平分線,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC(已知),∴BM,CN,AE相交于一點(diǎn)P,且PD=PE=PF(三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等).
提示:三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心.
例.如圖,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,垂足為E.(1)如果CD=4cm,AC的長;(2)求證:AB=AC+CD.
解：∵AD是△ABC的角平分線，DC⊥AC，DE⊥AB ∴DE=CD=4cm， 又∵AC=BC，∴∠B=∠BAC， 又∵∠C=90°，∴∠B=∠BAC=45°， ∵ DE⊥AB ∴∠BDE= 90°-∠B=45°∴BE=DE=4cm 在等腰直角三角形BDE中由勾股定理得BD= cm ∴AC=BC=CD+BD=4+ (cm) （2）由（1）的求解過程可知：Rt△ACD≌Rt△AED（HL） ∴AC=AE(全等三角形對應(yīng)邊相等）又∵BE=DE=CD ∴AB=AE+BE=AC+CD
1、思考：三角形三邊垂直平分線和三個(gè)內(nèi)角角平分線的區(qū)別聯(lián)系
到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等
到三角形三邊的距離相等
2.已知:如圖,∠C=900, ∠B=300,AD是Rt△ABC的角平分線.求證:BD=2CD. 3、已知:如圖,P是∠AOB平分線上的一點(diǎn),PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分別C,D.求證:(1)OC=OD;(2)OP是CD的垂直平分線.
已知:如圖,△ABC的外角∠CBDT和∠BCE的角 平分線相交于點(diǎn)F. 求證:點(diǎn)F在∠DAE的平分線上.
1、說一說三角形三條角平分線有什么特點(diǎn)？
三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等.
2、你還有哪些收獲呢？
（1）利用這個(gè)定理可以證三條直線交于上點(diǎn)；
（2）利用這個(gè)定理可以一個(gè)三角形分割成三個(gè)等高的小三角形.

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初中數(shù)學(xué)北師大版八年級下冊電子課本

4 角平分線

版本： 北師大版

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