第一章 三角形的證明B卷壓軸題考點訓練 1．如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，，，過點作直線與軸交于點，點為線段上一動點，將沿直線翻折得到，線段交軸于點．若為直角三角形，請寫出點的坐標______． 2．如圖，在長方形的對角線上有一動點，連接，過點作交射線于點，，當為等腰三角形時，的度數(shù)是______． 3．如圖，等腰ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，點D在線段AB上運動（不與A、B重合），將CAD與CBD分別沿直線CA、CB翻折得到CAP與CBQ，給出下列結論： ①CD=CP=CQ； ②∠PCQ的大小不變； ③PCQ面積的最小值為； ④當點D在AB的中點時，PDQ是等邊三角形，其中所有正確結論的序號是______． 4．如圖，在四邊形中，，，，點為邊上一點，連接.，與交于點，且，若，，則的長為_______________. 5．如圖，在長方形中，，，點在上，連接．當時，的長為___________；在點的運動過程中，的最小值為___________． 6．如圖，過邊長為2的等邊的邊上一點，作于點，為延長線上一點，當時，連接交邊于點，則的長為______. 7．如圖，為等腰的高，，，E、F分別為線段、上的動點，且，則的最小值為______． 8．如圖，等邊中，，為上一動點，，，則最小值為________． 9．如圖，在平面直角坐標系中，直線交x軸于點，與y軸交于點，且a，p滿足． (1)求直線的解析式； (2)如圖1，直線與x軸交于點N，點M在x軸上方且在直線上，若的面積等于6，請求出點M的坐標； (3)如圖2，已知點，若點B為射線上一動點，連接，在坐標軸上是否存在點Q，使是以為底邊，點Q為直角頂點的等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點Q坐標；若不存在，請說明理由． 10．（1）如圖1，在△ABC中∠A＝60 o，BD、CE均為△ABC的角平分線且相交于點O. ①填空：∠BOC＝ 度； ②求證：BC＝BE+CD．(寫出求證過程) （2）如圖2，在△ABC中，AB=AC=m，BC=n， CE平分∠ACB． ①若△ABC的面積為S，在線段CE上找一點M，在線段AC上找一點N，使得AM+MN的值最小，則AM+MN的最小值是　　 　　　　．(直接寫出答案)；　 ②若∠A=20°，則△BCE的周長等于　　　　　?。?直接寫出答案)． 11．在中，，交BA的延長線于點G． 特例感知： （1）將一等腰直角三角尺按圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點為F，一條直角邊與AC重合，另一條直角邊恰好經過點B．通過觀察、測量BF與CG的長度，得到．請給予證明． 猜想論證： （2）當三角尺沿AC方向移動到圖2所示的位置時，一條直角邊仍與AC邊重合，另一條直角邊交BC于點D，過點D作垂足為E．此時請你通過觀察、測量DE，DF與CG的長度，猜想并寫出DE、DF與CG之間存在的數(shù)量關系，并證明你的猜想． 聯(lián)系拓展： （3）當三角尺在圖2的基礎上沿AC方向繼續(xù)移動到圖3所示的位置（點F在線段AC上，且點F與點C不重合）時，請你判斷（2）中的猜想是否仍然成立？（不用證明） 12．已知為等邊三角形． （1）如圖1，點D為邊上一點，以為邊作等邊三角形，連接，求證：． （2）如圖2，當點D在邊的延長線上時，以為邊作等邊三角形，求證：無論點D的位置如何變化，的內角平分線的交點P始終在的角平分線上． （3）如圖3，以為腰作等腰直角三角形，取斜邊的中點E，連接，交于點F．試判斷線段，，之間存在何種數(shù)量關系，并證明你的結論． 13．在銳角△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AD⊥BC于點D． (1)如圖1，過點B作BG⊥AC于點G，求證：AC=BF； (2)動點P從點D出發(fā)，沿射線DB運動，連接AP，過點A作AQ⊥AP，且滿足． ①如圖2，當點P在線線段BD上時，連接PQ分別交AD、AC于點M、N．請問是否存在某一時刻使得△APM和△AQN成軸對稱，若有，求此刻∠APD的大小；若沒有，請說明理由． ②如圖3，連接BQ，交直線AD與點F，當點P在線段BD上時，試猜想BP和DF的數(shù)量關系并證明；當點P在DB的延長線上時，若，請直接寫出的值． 14．如圖，在中，是的平分線． (1)在線段上任意取一點，過點作，交于點，交于點，通過這樣的作圖能得到結論，那么依據(jù)是_________． (2)如果，平分交于點，且、相交于點，求證：． (3)如果，在邊上截取一點，連接，使，連接．請直接寫出的度數(shù)． 15．（1）如圖1，已知，，，求證：； （2）如圖2，已知等腰，，，，是三角形外部一點，連接，將繞點順時針旋轉得到，點正好在線段上，求的長． （3）如圖3，已知等腰，，，，是三角形外部一點，連接，將繞點旋轉90°恰好得到，請直接寫出線段_________． 第一章 三角形的證明B卷壓軸題考點訓練 1．如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，，，過點作直線與軸交于點，點為線段上一動點，將沿直線翻折得到，線段交軸于點．若為直角三角形，請寫出點的坐標______． 【答案】或 【詳解】解：為直角三角形，分兩種情況討論： ①當時，過點作于，如圖所示： 由對折可得，， ， ， 為等腰直角三角形， ， ， ，即， ， ； ②當時，如圖所示： 由對折得，，， ， ， 由，可得：， 設，則， ， ，解得， ， ， 綜上，或． 2．如圖，在長方形的對角線上有一動點，連接，過點作交射線于點，，當為等腰三角形時，的度數(shù)是______． 【答案】或 【詳解】解：根據(jù)題意，若，如圖所示： 此時與重合，不存在，以此為臨界狀態(tài)，分兩種情況討論： ①如圖所示： 為等腰三角形，， ， 在長方形中，，，則， ，， ， 是等邊三角形，即； ②如圖所示： 為等腰三角形， ， ，是的一個外角， ，即， 在長方形中，，，則， ，， ， 在中，利用三角形內角和定理可知： ； 綜上所述，的度數(shù)是或， 故答案為：或． 3．如圖，等腰ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，點D在線段AB上運動（不與A、B重合），將CAD與CBD分別沿直線CA、CB翻折得到CAP與CBQ，給出下列結論： ①CD=CP=CQ； ②∠PCQ的大小不變； ③PCQ面積的最小值為； ④當點D在AB的中點時，PDQ是等邊三角形，其中所有正確結論的序號是______． 【答案】①②④． 【詳解】①∵將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ， ∴CP=CD=CQ，∴①正確； ②∵將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，∴∠ACP=∠ACD，∠BCQ=∠BCD， ∴∠ACP+∠BCQ=∠ACD+∠BCD=∠ACB=120°， ∴∠PCQ=360°﹣(∠ACP+BCQ+∠ACB) =360°﹣(120°+120°) =120°， ∴∠PCQ的大小不變；∴②正確； ③如圖，過點Q作QE⊥PC交PC延長線于E， ∵∠PCQ=120°， ∴∠QCE=60°， 在Rt△QCE中，tan∠QCE=， ∴QE=CQ×tan∠QCE=CQ×tan60°=CQ， ∵CP=CD=CQ， ∴S△PCQ=CP×QE=CP×CQ=， ∴CD最短時，S△PCQ最小，即：CD⊥AB時，CD最短， 過點C作CF⊥AB，此時CF就是最短的CD， ∵AC=BC=4，∠ACB=120°， ∴∠ABC=30°， ∴CF=BC=2，即：CD最短為2， ∴S△PCQ最小===，∴③錯誤； ④∵將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ， ∴AD=AP，∠DAC=∠PAC， ∵∠DAC=30°， ∴∠APD=60°， ∴△APD是等邊三角形， ∴PD=AD，∠ADP=60°，同理：△BDQ是等邊三角形， ∴DQ=BD，∠BDQ=60°， ∴∠PDQ=60°， ∵當點D在AB的中點，∴AD=BD，∴PD=DQ， ∴△DPQ是等邊三角形， ∴④正確， 故答案為①②④． 4．如圖，在四邊形中，，，，點為邊上一點，連接.，與交于點，且，若，，則的長為_______________. 【答案】 【詳解】解：如圖，連接交于點 ∵，，， ∴垂直平分，是等邊三角形 ∴，， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴是等邊三角形 ∴ ∴，，∴ ∴ 5．如圖，在長方形中，，，點在上，連接．當時，的長為___________；在點的運動過程中，的最小值為___________． 【答案】???? ##???? ## 【詳解】解：∵四邊形是矩形，，， ∴，，， ∴， 當時，則， ∵， ∴， ∴； 在線段下方作，過點E作于點F，連接， ∴， ∴， 當D、E、F三點共線時，的值最小， 此時， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值為：， ∴的最小值為． 故答案為：；． 6．如圖，過邊長為2的等邊的邊上一點，作于點，為延長線上一點，當時，連接交邊于點，則的長為______. 【答案】1 【詳解】過點P作交于點F，如圖， ∴，，是等邊三角形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； ∴，， ∵，， ∴， ∵， 故答案為： 7．如圖，為等腰的高，，，E、F分別為線段、上的動點，且，則的最小值為______． 【答案】 【詳解】如圖，過點C作，且，并在的同側，連接，交于點G， ∵為等腰的高，， ∴， ∴， 當F與點G重合時，取得最小值， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．如圖，等邊中，，為上一動點，，，則最小值為________． 【答案】 【詳解】解：如圖，連接，取的中點O，連接，，過點O作于H， ∵是等邊三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴C、D、P、E四點共圓， ∴， ∴當?shù)闹底钚r，的值最小， 根據(jù)垂線段最短可得，當時，，此時最小，， ∵，，?? ∴，， ∴， ∴， ∴的值最小為， 故答案為． 9．如圖，在平面直角坐標系中，直線交x軸于點，與y軸交于點，且a，p滿足． (1)求直線的解析式； (2)如圖1，直線與x軸交于點N，點M在x軸上方且在直線上，若的面積等于6，請求出點M的坐標； (3)如圖2，已知點，若點B為射線上一動點，連接，在坐標軸上是否存在點Q，使是以為底邊，點Q為直角頂點的等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點Q坐標；若不存在，請說明理由． 【答案】(1)直線AP的解析式為 (2) (3)Q的坐標為或或，理由見解析 【詳解】（1）解：∵， 解得， ∴， 設直線的解析式為， ∴，解得， ∴直線AP的解析式為； （2）過作交x軸于D，連接， ∵，的面積等于6， ∴的面積等于6， ∴，即， ∴， ∴， 設直線的解析式為，則， ∴， ∴直線的解析式為， 令，得， ∴； （3）Q的坐標為或或． 理由如下： 設， ①當點Q在x軸負半軸時，過B作軸于E，如圖， ∴， ∵是以為底邊的等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； ②當Q在y軸正半軸上時，過C作軸于F，過B作軸于G，如圖， ∴，， ∵是以為底邊的等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴即， ∴， ∴， ∴； ③當Q在y軸正半軸上時，過點C作軸于F，過B作軸于T，如圖， ∴，， 同②可證， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 綜上，Q的坐標為或或． 10．（1）如圖1，在△ABC中∠A＝60 o，BD、CE均為△ABC的角平分線且相交于點O. ①填空：∠BOC＝ 度； ②求證：BC＝BE+CD．(寫出求證過程) （2）如圖2，在△ABC中，AB=AC=m，BC=n， CE平分∠ACB． ①若△ABC的面積為S，在線段CE上找一點M，在線段AC上找一點N，使得AM+MN的值最小，則AM+MN的最小值是　　 　　　?。?直接寫出答案)；　 ②若∠A=20°，則△BCE的周長等于　　　　　?。?直接寫出答案)． 【答案】（1）①120；②證明見解析；（2）①(或)；②m 【詳解】試題分析：（1）①根據(jù)三角形內角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，則2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，再根據(jù)角平分線的定義得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，則2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，易得∠BOC=90°+∠A，由∠A＝60 o即可得∠BOC的值； ②采用截長法在在BC上截取BF＝BE，連接OF，由邊角邊證得△EBO≌△FBO，再由角邊角證得△DCO≌△FCO，即可得證； （2）①當AM⊥BC時，AM+MN的值最??； ②在CA上截取CD=CB,以E為圓心EC為半徑畫弧，與AC交于點F，通過構造全等三角形，利用等腰三角形的判定和性質即可求解. 試題解析：（1）①在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB， ∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB， ∵BD、CE均為△ABC的角平分線， ∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB， ∴2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB， ∴∠BOC=90°+∠A， ∵∠A＝60 o， ∴∠BOC=90°+×60 o=120°； 故答案為120°； ②證明：由（1）①∠BOC＝120°， ∴∠BOE＝∠COD＝180°－120°＝60°， 在BC上截取BF＝BE，連接OF， ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBO＝∠FBO， 又∵BO＝BO(公共邊相等) ∴△EBO≌△FBO(SAS) ∴∠BOF＝∠BOE＝60°， ∴∠COF＝∠BOC－∠BOF＝120°－60°＝60°＝∠COD， ∵CE平分∠ACB， ∴∠DCO＝∠FCO， 又∵CO＝CO(公共邊相等) ∴△DCO≌△FCO(ASA) ∴CD＝CF， ∴BC＝BF+CF＝BE+CD； （2）①如圖： 當AM⊥BC時，與BC交于點D，過M作MN⊥AC交AC與點D， ∵CE平分∠ACB， ∴DM=DN， ∴AD=AM+MD=AM+MN, 此時，AM+MN的值最小， 由S△ABC=BC·AD，BC=n，△ABC的面積為S， 得AD=， 或∵AB=AC, AD⊥BC, AB=AC=m，BC=n， ∴BD=CD=, 在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=； 故答案為(或)； ②如圖：在CA上截取CD=CB,以E為圓心EC為半徑畫弧，與AC交于點F， ∵AB=AC=m，∠A=20°， ∴∠B=∠C=80°, ∵CE平分∠ACB, ∴∠BCE=∠DCE=40°, ∵CE=CE, ∴△BCE≌△DCE, ∴∠CDE=∠B=80°,∠DEC=∠BEC=60°,BE=DE, ∴∠CDE=40°, ∵EC=EF, ∴∠EFC=∠ECF=40°, ∴∠DEF=∠CDE-∠DFE=40°, ∴DE=DF, ∠AEF=∠DFE-∠A=40°-20°=20°, ∴EF=AF, ∴BE=DF,CE=AF, ∴△BCE的周長=BC+CE+BE=CD+AF+DF=AC=m. 11．在中，，交BA的延長線于點G． 特例感知： （1）將一等腰直角三角尺按圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點為F，一條直角邊與AC重合，另一條直角邊恰好經過點B．通過觀察、測量BF與CG的長度，得到．請給予證明． 猜想論證： （2）當三角尺沿AC方向移動到圖2所示的位置時，一條直角邊仍與AC邊重合，另一條直角邊交BC于點D，過點D作垂足為E．此時請你通過觀察、測量DE，DF與CG的長度，猜想并寫出DE、DF與CG之間存在的數(shù)量關系，并證明你的猜想． 聯(lián)系拓展： （3）當三角尺在圖2的基礎上沿AC方向繼續(xù)移動到圖3所示的位置（點F在線段AC上，且點F與點C不重合）時，請你判斷（2）中的猜想是否仍然成立？（不用證明） 【答案】（1）證明見詳解；（2）DE+DF=CG，證明見詳解；（3）成立． 【詳解】（1）∵， ∴∠ABC=∠ACB， 在△BFC和△CGB中， ∴△BFC≌△CGB， ∴ （2）DE+DF=CG， 如圖，過點B作BM⊥CF交CF延長線于M，過點D作DH⊥BM于H， ∵， ∴∠ABC=∠ACB， 在△BMC和△CGB中， ∴△BMC≌△CGB， ∴BM=CG， 由題意和輔助線可知，∠M=90°，∠MFD=90°，∠MHD=90°， ∴四邊形MHDF為矩形， ∴MH=DF，DH∥MF， ∴∠HDB=∠MCB， ∴∠HDB=∠ABC， 在△BDH和△DBE中， ∴△BDH≌△DBE， ∴BH=DE， ∵BM=CG，BM=BH+HM， ∴DE+DF=CG， （3）成立， 如圖，過點B作BM⊥CF交CF延長線于M，過點D作DH⊥BM于H， 同（2）中的方法 ∵， ∴∠ABC=∠ACB， 在△BMC和△CGB中， ∴△BMC≌△CGB， ∴BM=CG， 由題意和輔助線可知，∠M=90°，∠MFD=90°，∠MHD=90°， ∴四邊形MHDF為矩形， ∴MH=DF，DH∥MF， ∴∠HDB=∠MCB， ∴∠HDB=∠ABC， 在△BDH和△DBE中， ∴△BDH≌△DBE， ∴BH=DE， ∵BM=CG，BM=BH+HM， ∴DE+DF=CG． 12．已知為等邊三角形． （1）如圖1，點D為邊上一點，以為邊作等邊三角形，連接，求證：． （2）如圖2，當點D在邊的延長線上時，以為邊作等邊三角形，求證：無論點D的位置如何變化，的內角平分線的交點P始終在的角平分線上． （3）如圖3，以為腰作等腰直角三角形，取斜邊的中點E，連接，交于點F．試判斷線段，，之間存在何種數(shù)量關系，并證明你的結論． 【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3），證明見解析． 【詳解】（1）∵和都是等邊三角形， ∴． ∴，即． 在和中， ， ∴． （2）過點P作于點M，交射線BA于點N， ∴， ∵為內角平分線， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， 即無論點D的位置如何變化， 的內角平分線的交點P始終在的角平分線上． （3）在上截，連接， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵為等腰直角三角形， ∴ ∵E為斜邊中點， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴為等邊三角形，∴， ∴． 13．在銳角△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AD⊥BC于點D． (1)如圖1，過點B作BG⊥AC于點G，求證：AC=BF； (2)動點P從點D出發(fā)，沿射線DB運動，連接AP，過點A作AQ⊥AP，且滿足． ①如圖2，當點P在線線段BD上時，連接PQ分別交AD、AC于點M、N．請問是否存在某一時刻使得△APM和△AQN成軸對稱，若有，求此刻∠APD的大??；若沒有，請說明理由． ②如圖3，連接BQ，交直線AD與點F，當點P在線段BD上時，試猜想BP和DF的數(shù)量關系并證明；當點P在DB的延長線上時，若，請直接寫出的值． 【答案】(1)證明過程見解析． (2)①存在某一時刻使得△APM和△AQN成軸對稱，∠APD=30°，理由見解析．②BP=2DF， 【詳解】（1）證明：∵AD⊥BC ∴∠ADB=∠ADC=90° 又∵∠B=45° ∴△ABD是等腰直角三角形 ∴AD=BD ∵BG⊥AC ∴∠BGC=90° 又∵∠C=60° ∴∠DAC=90°-∠C=90°-60°=30° ∠FBD=90°-∠C=90°-60°=30° ∴∠DAC=∠FBD 在△BDF和△ADC中， ∴△BDF≌△ADC ∴AC=BF （2）①存在某一時刻使得△APM和△AQN成軸對稱 ∵AQ⊥AP ∴∠QAP=90° 由(1)的證明知∠DAC=30°，根據(jù)對稱的性質，得 ∠PAD=∠QAC===30° ∵∠ADP=90° ∴∠APD=90°-∠PAD=90°-30°=60° ②BP=2DF 理由如下: 如圖4所示,過Q作QE⊥AD，交AD與點E,那么 ∠AEQ=∠FEQ=90° ∴∠AQE+∠QAE=90° 又∵∠PAD+∠QAE=90° ∴∠AQE=∠PAD 在△APD和△QAE中， ，∴△APD≌△QAE ∴AE=PD；AD=QE，∴DE=BP 又∵AD=BD，∴BD=QE 在△QEF和△BDF中， ，∴△QEF≌△BDF，∴EF=DF，∴BP=2DF 當點P在DB的延長線上時，如下圖所示， 由上述證明過程可知PB=2DF，BD=AD 又已知，∴DF=AD ∴PB=2×BD=BD，∴= 14．如圖，在中，是的平分線． (1)在線段上任意取一點，過點作，交于點，交于點，通過這樣的作圖能得到結論，那么依據(jù)是_________． (2)如果，平分交于點，且、相交于點，求證：． (3)如果，在邊上截取一點，連接，使，連接．請直接寫出的度數(shù)． 【答案】(1)三線合一，(2)見解析 (3) 【詳解】（1）解：∵是的平分線，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴（三線合一）， 故答案為：三線合一； （2）過點作，垂足分別為，連接 ∵平分，是的平分線， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 在與中， ， ∴， ∴； （3） ∵是的平分線， ∴， 設， ∵， ∵， ∴， ∴ ， 如圖，延長至，過點分別作的垂線，垂直分別為， ∵， ∴， ∴是的角平分線， ∵， ∴， ∴是的角平分線， 又， ∴， ∴， ∴是的角平分線， ∴， ∴， ∴， 即． 15．（1）如圖1，已知，，，求證：； （2）如圖2，已知等腰，，，，是三角形外部一點，連接，將繞點順時針旋轉得到，點正好在線段上，求的長． （3）如圖3，已知等腰，，，，是三角形外部一點，連接，將繞點旋轉90°恰好得到，請直接寫出線段_________． 【答案】（1）見解析；（2）；（3）或 【詳解】解：（1）如圖，延長到點E，使，連接， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴是等邊三角形， ∴， 又∵， ∴； （2）如圖，延長到F，使，連接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 設，則， 過D作于G，則， ∴， 在直角中，， ∴， 解得：（負值舍去）， ∴， ∴； （3）將順時針旋轉得到，如圖， 同理可得：是等腰直角三角形，， 又， ∴； 將逆時針旋轉得到，如圖， 在上取，連接，設，交于點O， 在和中，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又， ∴， 綜上：的長為：或．

英語朗讀寶
相關資料 更多
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
初中數(shù)學北師大版（2024）八年級下冊電子課本

章節(jié)綜合與測試

版本： 北師大版（2024）

年級： 八年級下冊

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部