1．圓的定義和圓的方程
2.點與圓的位置關(guān)系
平面上的一點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：
(1)|MC|>r?M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?M在圓外；
(2)|MC|＝r?M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；
(3)|MC|0)
圓心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半徑r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)
（一）
1.求圓的方程的常用方法
(1)直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程．
(2)待定系數(shù)法
①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b，r的值；
②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值．
2.方程表示圓的充要條件是，故在解決圓的一般式方程的有關(guān)問題時，必須注意這一隱含條件．在圓的一般方程中，圓心為，半徑
3.點與圓的位置關(guān)系判斷
（1）點與圓的位置關(guān)系：
①點P在圓外；
②點P在圓上；
③點P在圓內(nèi)．
（2）點與圓的位置關(guān)系：
①點P在圓外；
②點P在圓上；
③點P在圓內(nèi)．
4.（1）圓的軸對稱性：圓關(guān)于直徑所在的直線對稱
（2）圓關(guān)于點對稱：
①求已知圓關(guān)于某點對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標(biāo)準(zhǔn)方程
②兩圓關(guān)于某點對稱，則此點為兩圓圓心連線的中點
（3）圓關(guān)于直線對稱：
①求已知圓關(guān)于某條直線對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標(biāo)準(zhǔn)方程
②兩圓關(guān)于某條直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線
題型1：求圓的方程
1-1．（2024高一上·江蘇連云港·期末）求過兩點，且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A．B．
C．D．
1-2．（2024高三下·陜西西安·階段練習(xí)）過點作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則的外接圓方程是（ ）
A．B．
C．D．
1-3．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）已知，則外接圓的方程為（ ）
A．B．C．D．
題型2：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件
2-1．（2024高二上·甘肅金昌·期中）若方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．或D．或
2-2．（2024高三·全國·課后作業(yè)）關(guān)于x、y的方程表示一個圓的充要條件是（ ）.
A．，且
B．，且
C．，且，
D．，且，
2-3．（2024高三下·河南·階段練習(xí)）“”是“方程表示圓”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
題型3：點與圓的位置關(guān)系判斷
3-1．（2024·遼寧·二模）已知圓，直線l：，若l與圓O相交，則（ ）．
A．點在l上B．點在圓O上
C．點在圓O內(nèi)D．點在圓O外
3-2．（2024高二上·全國·課后作業(yè)）若點在圓的內(nèi)部，則a的取值范圍是（ ）.
A．B．C．D．
3-3．（2024高二上·全國·課后作業(yè)）點與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．點在圓上B．點在圓內(nèi)C．點在圓外D．不確定
3-4．（2024·甘肅定西·模擬預(yù)測）若點在圓的外部，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
題型4：與圓有關(guān)的對稱問題
4-1．（2024·西藏日喀則·一模）已知圓關(guān)于直線對稱，圓交于、兩點，則
4-2．（2024高三上·江西南昌·階段練習(xí)）已知圓上存在兩點關(guān)于直線對稱，則的最小值是 ．
4-3．（2024高二上·上海浦東新·階段練習(xí)）已知圓C與圓D：關(guān)于直線對稱，則圓C的方程為 ．
（二）
求與圓有關(guān)的軌跡問題的常用方法
(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．
(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．
(3)相關(guān)點代入法：找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式．
題型5：與圓有關(guān)的軌跡問題
5-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知圓，平面上一動點滿足：且，．求動點的軌跡方程；
5-2．（2024·福建）動點到兩定點和的距離的比等于2，求動點P的軌跡方程，并說明這軌跡是什么圖形．
5-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知是圓內(nèi)的一點是圓上兩動點，且滿足，求矩形頂點Q的軌跡方程．
5-4．（2024高二下·廣東深圳·期中）點，點是圓上的一個動點，則線段的中點的軌跡方程是（ ）
A．B．
C．D．
（三）
與圓有關(guān)的最值問題的求解方法
(1)借助幾何性質(zhì)求最值：形如μ＝eq \f(y－b,x－a)，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題．
(2)建立函數(shù)關(guān)系式求最值：列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法、基本不等式法等求最值．
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動點)且與圓C有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路：①“動化定”，把與圓上動點的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；②“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對稱性解決．
題型6：利用幾何性質(zhì)求最值
6-1．（2024·河北·一模）直線與圓相切，則的最大值為（ ）
A．16B．25C．49D．81
6-2．（2024·吉林白山·一模）已知圓與直線，P，Q分別是圓C和直線l上的點且直線PQ與圓C恰有1個公共點，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
6-3．（2024·重慶）設(shè)P是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動點，Q是直線x＝－3上的動點，則|PQ|的最小值為 ( )
A．6B．4C．3D．2
題型7：利用函數(shù)求最值
7-1．（2024高三·全國·對口高考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點，曲線上的動點B，第一象限內(nèi)的點C，構(gòu)成等腰直角三角形ABC，且，則線段OC長的最大值是 ．
7-2．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知圓和點，由圓外一點向圓引切線，切點分別為，若，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
（四）
求過兩直線交點（兩圓交點或直線與圓交點）的直線方程（圓系方程）一般不需求其交點，而是利用它們的直線系方程（圓系方程）．
（1）直線系方程：若直線與直線相交于點P，則過點P的直線系方程為：
簡記為：
當(dāng)時，簡記為：（不含）
（2）圓系方程：若圓與圓相交于A，B兩點，則過A，B兩點的圓系方程為：
簡記為：，不含
當(dāng)時，該圓系退化為公共弦所在直線（根軸）
注意：與圓C共根軸l的圓系
題型8：圓系方程
8-1．（2024高二上·安徽銅陵·期中）經(jīng)過直線與圓的交點，且過點的圓的方程為 .
8-2．（2024高三下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）曲線與的四個交點所在圓的方程是 ．
8-3．（2024高二·遼寧·學(xué)業(yè)考試）過圓與的交點，且圓心在直線上的圓的方程是 ．
（五）
圓過定點問題，想辦法求出含有參數(shù)的圓的方程，然后按參數(shù)整理后得，只要讓此關(guān)于的多項式中各項系數(shù)（包括常數(shù)項）均為0，就可解得定點．
題型9：圓過定點問題
9-1．（2024高二下·上海徐匯·期中）對任意實數(shù)，圓恒過定點，則定點坐標(biāo)為 ．
9-2．（2024高三·浙江溫州·階段練習(xí)）已知動圓圓心在拋物線上，且動圓恒與直線相切，則此動圓必過定點
9-3．（2024高三下·上海閔行·期中）若拋物線與坐標(biāo)軸分別交于三個不同的點、、，則的外接圓恒過的定點坐標(biāo)為

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