新高考數學一輪復習方法技巧與題型歸納訓練專題35 圓的方程（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習網

知識點一：基本概念
平面內到定點的距離等于定長的點的集合（軌跡）叫圓．
知識點二：基本性質、定理與公式
1．圓的四種方程
（1）圓的標準方程：，圓心坐標為（a，b），半徑為
（2）圓的一般方程：，圓心坐標為，半徑
（3）圓的直徑式方程：若，則以線段AB為直徑的圓的方程是
（4）圓的參數方程：
①的參數方程為（為參數）；
②的參數方程為（為參數）．
注意：對于圓的最值問題，往往可以利用圓的參數方程將動點的坐標設為（為參數，為圓心，r為半徑），以減少變量的個數，建立三角函數式，從而把代數問題轉化為三角問題，然后利用正弦型或余弦型函數的有界性求解最值．
2．點與圓的位置關系判斷
（1）點與圓的位置關系：
①點P在圓外；
②點P在圓上；
③點P在圓內．
（2）點與圓的位置關系：
①點P在圓外；
②點P在圓上；
③點P在圓內．
【題型歸納目錄】
題型一：求圓多種方程的形式
題型二：直線系方程和圓系方程
題型三：與圓有關的軌跡問題
題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件
題型五：點與圓的位置關系判斷
題型六：數形結合思想的應用
題型七：與圓有關的對稱問題
題型八：圓過定點問題
【典型例題】
題型一：求圓多種方程的形式
例1．已知的圓心是坐標原點，且被直線截得的弦長為，則的方程為（）
A．B．
C．D．
例2．過點（7，-2）且與直線相切的半徑最小的圓方程是（）
A．B．
C．D．
例3．若圓C與直線：和：都相切，且圓心在y軸上，則圓C的方程為（）
A．B．
C．D．
例4．過點的圓與直線相切于點，則圓的方程為（）
A．B．
C．D．
例5．已知直線與以點為圓心的圓相交于A，B兩點，且，則圓C的方程為（）
A．B．
C．D．
例6．直線與軸，軸分別交于點，，以線段為直徑的圓的方程為（）
A．B．
C．D．
例7．過點，，且圓心在直線上的圓的方程是（）
A．B．
C．D．
例8．過點作圓兩條切線，切點分別為A、B，O為坐標原點，則的外接圓方程是（）
A．B．
C．D．
例9．已知三個點，，，則的外接圓的圓心坐標是___________．
例10．圓心在直線y＝－2x上，并且經過點，與直線x＋y＝1相切的圓C的方程是______．
【方法技巧與總結】
（1）求圓的方程必須具備三個獨立的條件，從圓的標準方程上來講，關鍵在于求出圓心坐標（a，b）和半徑r；從圓的一般方程來講，必須知道圓上的三個點．因此，待定系數法是求圓的方程常用的方法．
（2）用幾何法來求圓的方程，要充分運用圓的幾何性質，如圓心在圓的任一條弦的垂直平分線上，半徑、弦心距、弦長的一半構成直角三角形等．
題型二：直線系方程和圓系方程
例11．過圓與的交點，且圓心在直線上的圓的方程是_______．
例12．已知圓與圓相交于A、B兩點．
（1）求公共弦AB所在直線方程；
（2）求過兩圓交點A、B，且過原點的圓的方程．
例13．已知圓．求證：對任意不等于的實數，方程是通過兩個已知圓交點的圓的方程．
例14．已知圓和圓．
（1）求證：兩圓相交；
（2）求過點，且過兩圓交點的圓的方程．
【方法技巧與總結】
求過兩直線交點（兩圓交點或直線與圓交點）的直線方程（圓系方程）一般不需求其交點，而是利用它們的直線系方程（圓系方程）．
（1）直線系方程：若直線與直線相交于點P，則過點P的直線系方程為：
簡記為：
當時，簡記為：（不含）
（2）圓系方程：若圓與圓相交于A，B兩點，則過A，B兩點的圓系方程為：
簡記為：，不含
當時，該圓系退化為公共弦所在直線（根軸）
注意：與圓C共根軸l的圓系
題型三：與圓有關的軌跡問題
例15．已知點，，動點滿足，則點P的軌跡為___________．
例16．古希臘幾何學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．在平面直角坐標系中，，，點滿足，則點的軌跡方程為（）
A．B．C．D．
例17．若圓與圓的公共弦的長為1，則下列結論正確的有（）
A．
B．
C．中點的軌跡方程為
D．中點的軌跡方程為
例18．已知圓，直線，過上的點作圓的兩條切線，切點分別為，則弦中點的軌跡方程為（）
A．B．
C．D．
例19．已知A，B為圓上的兩個動點，P為弦的中點，若，則點P的軌跡方程為（）
A．B．
C．D．
例20．（多選題）已知，過定點的直線為與過定點的直線，兩條動直線的交點為，則（）
A．定點
B．定點
C．點的軌跡方程為
D．的最大值為
例21．（多選題）在平面直角坐標系內，已知，，是平面內一動點，則下列條件中使得點的軌跡為圓的有（）
A．B．
C．D．
例22．在邊長為1的正方形ABCD中，邊AB、BC上分別有一個動點Q、R，且．求直線AR與DQ的交點P的軌跡方程．
例23．已知圓C過點，，．
（1）求圓C的標準方程；
（2）已知點P是直線與直線的交點，過點P作直線與圓C交于點A，B，求弦的中點M的軌跡方程．
例24．已知圓，平面上一動點P滿足：且，．
求動點P的軌跡方程；
例25．已知圓，直線l滿足___________（從①l過點，②l斜率為2，兩個條件中，任選一個補充在上面問題中并作答），且與圓C交于A，B兩點，求AB中點M的軌跡方程．
例26．直線與圓相交于A，B兩點，O為圓心，當k變化時，求弦AB的中點M的軌跡方程．
例27．設不同的兩點A，B在橢圓上運動，以線段AB為直徑的圓過坐標原點O，過O作，M為垂足．求點M的軌跡方程；
例28．在平面直角坐標系中，曲線與兩坐標軸的交點都在圓上．
（1）求圓的方程；
（2）已知為坐標原點，點在圓上運動，求線段的中點的軌跡方程．
【方法技巧與總結】
要深刻理解求動點的軌跡方程就是探求動點的橫縱坐標x，y的等量關系，根據題目條件，直接找到或轉化得到與動點有關的數量關系，是解決此類問題的關鍵所在．
題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件
例29．若方程表示圓，則的取值范圍為________．
例30．設甲：實數；乙：方程是圓，則甲是乙的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
例31．已知點A（1，2）在圓C：外，則實數m的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
例32．若方程表示一個圓，則m的取值范圍是（）
A．B．C．D．
例33．曲線上存在兩點A，B到直線到距離等于到的距離，則（）
A．12B．13C．14D．15
例34．“”是“方程是圓的方程”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
例35．已知點在圓C：的外部，則實數m的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
例36．方程表示的曲線為（）
A．兩條線段B．一條線段和一個圓
C．一條線段和半個圓D．一條射線和半個圓
例37．已知a∈R，若方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則此圓的圓心坐標為（）
A．（－2，－4）B．
C．（－2，－4）或D．不確定
【方法技巧與總結】
方程表示圓的充要條件是，故在解決圓的一般式方程的有關問題時，必須注意這一隱含條件．在圓的一般方程中，圓心為，半徑
題型五：點與圓的位置關系判斷
例38．已知直線過點，則（）
A．B．
C．D．
例39．已知點在圓的內部，則（）
A．B．
C．D．
【方法技巧與總結】
在處理點與圓的位置關系問題時，應注意圓的不同方程形式對應的不同判斷方法，另外還應注意其他約束條件，如圓的一般方程的隱含條件對參數的制約．
題型六：數形結合思想的應用
例40．（多選題）關于曲線：，下列說法正確的是（）
A．曲線圍成圖形的面積為
B．曲線所表示的圖形有且僅有條對稱軸
C．曲線所表示的圖形是中心對稱圖形
D．曲線是以為圓心，為半徑的圓
例41．直線與曲線有且僅有一個公共點．則b的取值范圍是__________．
例42．若關于的方程有且僅有一個實數解，則實數的取值范圍是________．
例43．已知函數的圖像上有且僅有兩個不同的點關于直線的對稱點在的圖像上，則實數k的取值范圍是__________．
例44．已知是定義在上的奇函數，其圖象關于點對稱，當時，，若方程的所有根的和為6，則實數的取值范圍是______．
例45．廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽兩魚互糾在一起，因而被習稱為“陰陽魚太極圖”如圖是放在平面直角坐標系中的“太極圖”整個圖形是一個圓形區(qū)域．其中黑色陰影區(qū)域在y軸左側部分的邊界為一個半圓．已知符號函數，則當時，下列不等式能表示圖中陰影部分的是（）
A．B．
C．D．
例46．已知平面直角坐標系內一動點P，滿足圓上存在一點Q使得，則所有滿足條件的點P構成圖形的面積為（）
A．B．C．D．
【方法技巧與總結】
研究曲線的交點個數問題常用數形結合法，即需要作出兩種曲線的圖像．在此過程中，尤其要注意需對代數式進行等價變形，以防出現錯誤．
題型七：與圓有關的對稱問題
例47．若直線與圓的兩個交點關于直線對稱，則，的值分別是（）
A．，B．，4
C．，D．，4
例48．圓關于直線對稱的圓的方程是（）
A．B．
C．D．
例49．已知圓關于直線（，）對稱，則的最小值為（）
A．B．9C．4D．8
例50．設點，若直線關于對稱的直線與圓有公共點，則a的取值范圍是________．
例51．若圓關于直線和直線都對稱，則D＋E的值為_________．
【方法技巧與總結】
（1）圓的軸對稱性：圓關于直徑所在的直線對稱
（2）圓關于點對稱：
①求已知圓關于某點對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標準方程
②兩圓關于某點對稱，則此點為兩圓圓心連線的中點
（3）圓關于直線對稱：
①求已知圓關于某條直線對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標準方程
②兩圓關于某條直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線
題型八：圓過定點問題
例52．點是直線上任意一點，是坐標原點，則以為直徑的圓經過定點（）
A．和B．和C．和D．和
例53．一動圓的圓心在拋物線上，且該動圓恒與直線相切，則動圓必經過的定點為（）
A．B．C．D．
例54．已知直線，圓，則直線l與圓C的位置關系是（）
A．相離B．相切C．相交D．不確定
例55．在平面直角坐標系中，設二次函數的圖象與兩坐標軸有三個不同的交點．經過這三個交點的圓記為．
（I）求實數的取值范圍；
（II）求圓的一般方程；
（III）圓是否經過某個定點（其坐標與無關）？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
例56．判別方程（k為參數，）表示何種曲線?找出通過定點的坐標．
【方法技巧與總結】
特殊值法
【過關測試】
一、單選題
1．（2022·全國·高三專題練習（文））已知圓關于直線對稱，則的最小值為（）
A． B．C．4D．8
2．（2022·全國·高三專題練習）已知P是半圓C：上的點，Q是直線上的一點，則的最小值為（）
A．B．C．D．
3．（2022·北京市第十二中學三模）已知直線l過圓的圓心，且與直線2x＋y－3＝0垂直，則l的方程為（）
A．x－2y＋1＝0B．x＋2y－1＝0
C．2x＋y－2＝0D．x－2y－1＝0
4．（2022·河南·寶豐縣第一高級中學模擬預測（理））已知p：，q：關于x，y的方程表示圓，則是的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
5．（2022·全國·高三專題練習）已知，則的外接圓的一般方程為（）
A．B．
C．D．
6．（2022·全國·高三專題練習）已知集合，則集合中元素的個數為（）
A．B．
C．D．
7．（2022·全國·高三專題練習）已知是圓上一個動點，且直線與直線相交于點，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
8．（2022·全國·高三專題練習）已知直線與圓：相交于，兩點，若，則的值為（）
A．或0B．或4C．0或4D．或2
二、多選題
9．（2022·全國·高三專題練習）已知定點、，是動點且直線、的斜率之積為，則動點的軌跡可能是（）
A．圓的一部分B．橢圓的一部分C．雙曲線的一部分D．拋物線的一部分
10．（2022·全國·高三專題練習）已知圓的一般方程為，則下列說法正確的是（）
A．圓的圓心為B．圓的半徑為5
C．圓被軸截得的弦長為6D．圓被軸截得的弦長為6
11．（2022·全國·高三專題練習）已知圓關于軸對稱，經過點且被軸分成兩段，弧長比為，則圓的方程為（）
A．B．
C．D．
12．（2022·全國·高三專題練習）已知圓被軸分成兩部分的弧長之比為，且被軸截得的弦長為4，當圓心到直線的距離最小時，圓的方程為（）
A．B．
C．D．
三、填空題
13．（2022·全國·高三專題練習（文））圓心為，且截直線所得弦長為的圓的方程為___________．
14．（2022·全國·高三專題練習（文））已知圓C的圓心為C（1，1），且經過直線上的點P，則周長最小的圓C的方程是________________．
15．（2022·全國·高三專題練習（理））若不同的四點A（5，0），B（－1，0），C（－3，3），D（a，3）共圓，則a的值為________．
16．（2022·上?！つM預測）設直線系，對于下列四個命題：
①M中所有直線均經過一個定點；
②存在定點P不在M中的任一條直線上；
③對于任意整數，存在正n邊形，使其所有邊均在M中的直線上；
④M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等．
其中真命題的序號是_________（寫出所有真命題的序號）
四、解答題
17．（2022·陜西·武功縣普集高級中學高三階段練習（理））已知圓C經過點A（2，-1），和直線x+y=1相切，且圓心在直線y=-2x上．
（1）求圓C的方程；
（2）已知直線l經過原點，并且被圓C截得的弦長為2，求直線l的方程
18．（2022·全國·高三專題練習）已知圓C經過點，圓C的圓心在圓的內部，且直線被圓C所截得的弦長為．點P為圓C上異于A，B的任意一點，直線PA與x軸交于點M，直線PB與y軸交于點N．
（1）求圓C的方程；
（2）若直線與圓C交于A1，A2兩點，求．
19．（2022·全國·高三專題練習）已知圓：，直線：．
（1）證明：不論m為何值時，直線l恒過定點；
（2）求直線l被圓C截得的弦長最小時的方程．
20．（2022·全國·高三專題練習）已知動點P到定點的距離與P到定直線l：的距離比值是．
（1）求點P的軌跡C的方程；
（2）曲線C與x軸交于A、B兩點，直線AP和BP與直線l：分別交于點M，N，試探究以MN為直徑的圓是否恒過定點，若是，求出所有定點的坐標；若否，請說明理由．
21．（2022·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系xOy中，曲線Γ：y＝x2－mx＋2m（m∈R）與x軸交于不同的兩點A，B，曲線Γ與y軸交于點C．
（1）是否存在以AB為直徑的圓過點C？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由；
（2）求證：過A，B，C三點的圓過定點．
22．（2022·全國·高三專題練習）圓．
（1）若圓與軸相切，求圓的方程；
（2）求證：不論為何值，圓必過兩定點；
（3）已知，圓與軸相交于兩點，（點在點的左側）．過點任作一條與軸不重合的直線與圓相交于兩點，．問：是否存在實數，使得？若存在，求出實數的值，若不存在，請說明理由．

相關試卷

相關試卷更多

相關試卷

相關試卷 更多

相關試卷更多