1．圓的定義和圓的方程
2.點與圓的位置關系
平面上的一點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關系：
(1)|MC|>r?M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?M在圓外；
(2)|MC|＝r?M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；
(3)|MC|0)
圓心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半徑r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)
（一）
1.求圓的方程的常用方法
(1)直接法：直接求出圓心坐標和半徑，寫出方程．
(2)待定系數(shù)法
①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關，則設圓的標準方程，求出a，b，r的值；
②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關于D，E，F(xiàn)的方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值．
2.方程表示圓的充要條件是，故在解決圓的一般式方程的有關問題時，必須注意這一隱含條件．在圓的一般方程中，圓心為，半徑
3.點與圓的位置關系判斷
（1）點與圓的位置關系：
①點P在圓外；
②點P在圓上；
③點P在圓內(nèi)．
（2）點與圓的位置關系：
①點P在圓外；
②點P在圓上；
③點P在圓內(nèi)．
4.（1）圓的軸對稱性：圓關于直徑所在的直線對稱
（2）圓關于點對稱：
①求已知圓關于某點對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標準方程
②兩圓關于某點對稱，則此點為兩圓圓心連線的中點
（3）圓關于直線對稱：
①求已知圓關于某條直線對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標準方程
②兩圓關于某條直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線
題型1：求圓的方程
1-1．（2024高一上·江蘇連云港·期末）求過兩點，且圓心在直線上的圓的標準方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由圓心在直線x﹣2y﹣2＝0上，可設圓心C（2b+2，b），再根據(jù)圓心到兩點A（0，4）、B（4，6）的距離相等，求出b的值，即得圓心和半徑，從而求得圓的標準方程．
【詳解】設圓心坐標為C（2b+2，b），由圓過兩點A（0，4），B（4，6），可得|AC|=|BC|，
即，解得，
可得圓心為（4，1），半徑為5，則所求圓的方程為．
故選：D．
1-2．（2024高三下·陜西西安·階段練習）過點作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則的外接圓方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由切線性質(zhì)得O、A、B、P四點共圓，為直徑，求得圓心坐標和半徑可得圓方程即為所求．
【詳解】由圓，得到圓心，由題意知O、A、B、P四點共圓，的外接圓即四邊形的外接圓， 又，從而的中點坐標為所求圓的圓心，為所求圓的半徑，所以所求圓的方程為.
故選：A
1-3．（2024·福建福州·模擬預測）已知，則外接圓的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求得外接圓的方程即可進行選擇.
【詳解】設外接圓的方程為
則有，解之得
則外接圓的方程為
故選：D
題型2：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件
2-1．（2024高二上·甘肅金昌·期中）若方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】根據(jù)公式，即可求解.
【詳解】若方程表示圓，則，
解得：或.
故選：C
2-2．（2024高三·全國·課后作業(yè)）關于x、y的方程表示一個圓的充要條件是（ ）.
A．，且
B．，且
C．，且，
D．，且，
【答案】D
【分析】根據(jù)圓的一般式方程可得答案.
【詳解】關于x、y的方程表示一個圓的充要條件是
，即，且，.
故選：D
2-3．（2024高三下·河南·階段練習）“”是“方程表示圓”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】
根據(jù)二元二次方程表示圓的充要條件是可得答案.
【詳解】因為方程，即表示圓，
等價于0，解得或.
故“”是“方程表示圓”的充分不必要條件.
故選：A
題型3：點與圓的位置關系判斷
3-1．（2024·遼寧·二模）已知圓，直線l：，若l與圓O相交，則（ ）．
A．點在l上B．點在圓O上
C．點在圓O內(nèi)D．點在圓O外
【答案】D
【分析】根據(jù)l與圓O相交，可知圓心到直線的距離小于半徑，列出不等式，再判斷點與直線和圓的關系.
【詳解】由已知l與圓O相交，,可知圓心到直線的距離小于半徑，
則有，故，
把代入，所以點不在直線l上，故A錯誤；
又，則點在圓O外，故D正確.
故選：D．
3-2．（2024高二上·全國·課后作業(yè)）若點在圓的內(nèi)部，則a的取值范圍是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，將點的坐標代入圓的方程計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由題可知，半徑，所以，把點代入方程，
則，解得，所以故a的取值范圍是.
故選：D
3-3．（2024高二上·全國·課后作業(yè)）點與圓的位置關系是（ ）
A．點在圓上B．點在圓內(nèi)C．點在圓外D．不確定
【答案】C
【分析】點到圓心的距離大于半徑，點在圓外.
【詳解】因為，所以點在圓外，
故選：C
3-4．（2024·甘肅定西·模擬預測）若點在圓的外部，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用表示圓的條件和點和圓的位置關系進行計算.
【詳解】依題意，方程可以表示圓，則，得；
由點在圓的外部可知：，得.
故.
故選：C
題型4：與圓有關的對稱問題
4-1．（2024·西藏日喀則·一模）已知圓關于直線對稱，圓交于、兩點，則
【答案】2
【分析】將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，再由圓關于直線對稱，則圓心在直線上，即可求出的值，最后求出圓心到直線的距離，利用勾股定理、垂徑定理計算可得.
【詳解】圓，即，圓心，半徑，
因為圓關于直線對稱，所以，解得，
所以，圓心，半徑，
則圓心到軸的距離，所以.
故答案為：
4-2．（2024高三上·江西南昌·階段練習）已知圓上存在兩點關于直線對稱，則的最小值是 ．
【答案】2
【分析】依題意有直線過圓心，得到，再利用重要不等式求的最小值.
【詳解】圓上存在兩點關于直線對稱，所以直線過圓心，有，即.
，當且僅當，即時等號成立.
∴，即，所以時，的最小值為2.
故答案為：2
4-3．（2024高二上·上海浦東新·階段練習）已知圓C與圓D：關于直線對稱，則圓C的方程為 ．
【答案】
【分析】已知圓D：，化為標準方程可得圓心坐標及半徑，圓C與圓D關于直線對稱，轉(zhuǎn)化為兩圓心關于直線對稱，半徑相等，求出圓C的圓心，則可得圓C的方程.
【詳解】因為，
設圓C的圓心為，
又因為圓C與圓D關于直線對稱，
即圓心與關于直線對稱，
所以，解得，
所以，圓C的方程為
（二）
求與圓有關的軌跡問題的常用方法
(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．
(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．
(3)相關點代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式．
題型5：與圓有關的軌跡問題
5-1．（2024高三·全國·專題練習）已知圓，平面上一動點滿足：且，．求動點的軌跡方程；
【答案】
【分析】設，依題意得到，整理即可得解.
【詳解】解：設，由，
所以，整理得，
即動點的軌跡方程．
5-2．（2024·福建）動點到兩定點和的距離的比等于2，求動點P的軌跡方程，并說明這軌跡是什么圖形．
【答案】；動點P的軌跡是以為圓心，半徑是4的圓
【分析】題意可知，由兩點間得距離公式化簡即可求解
【詳解】由題意可知：，
又，和，
所以，
化簡得即，
所以動點P的軌跡是以為圓心，半徑是4的圓
5-3．（2024高三·全國·專題練習）已知是圓內(nèi)的一點是圓上兩動點，且滿足，求矩形頂點Q的軌跡方程．
【答案】
【分析】根據(jù)可得以及中可求點M的軌跡，再根據(jù)為中點即可求解.
【詳解】連接AB，PQ，設AB與PQ交于點M，如圖所示．
因為四邊形APBQ為矩形，所以M為AB，PQ的中點，連接OM.
由垂徑定理可知
設
由此可得①
又在中，
有②
由①②得
故點M的軌跡是圓．
因為點M是PQ的中點，設
則
代入點M的軌跡方程中得，
整理得，即為所求點Q的軌跡方程．
5-4．（2024高二下·廣東深圳·期中）點，點是圓上的一個動點，則線段的中點的軌跡方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】設出點坐標，得出點坐標，代入圓方程，即可得到線段的中點M的軌跡方程.
【詳解】設點的坐標為，因為點是線段的中點，
可得，點在圓上，
則，即.
故選：A.
（三）
與圓有關的最值問題的求解方法
(1)借助幾何性質(zhì)求最值：形如μ＝eq \f(y－b,x－a)，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題．
(2)建立函數(shù)關系式求最值：列出關于所求目標式子的函數(shù)關系式，然后根據(jù)關系式的特征選用配方法、判別式法、基本不等式法等求最值．
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動點)且與圓C有關的折線段的最值問題的基本思路：①“動化定”，把與圓上動點的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；②“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對稱性解決．
題型6：利用幾何性質(zhì)求最值
6-1．（2024·河北·一模）直線與圓相切，則的最大值為（ ）
A．16B．25C．49D．81
【答案】C
【分析】利用圓與直線的位置關系得出的方程，根據(jù)方程分析利用表示的幾何意義求解即可.
【詳解】由直線與圓相切可得：
圓心到直線的距離等于圓的半徑，
即，
故，即點在圓O上，
的幾何意義為圓上的點與點之間距離的平方，
由圓心為，
因為，
所以點在圓外，
所以點到點的距離的最大值為圓心到的距離與圓半徑之和，
即，
所以的最大值為.
故選：C.
6-2．（2024·吉林白山·一模）已知圓與直線，P，Q分別是圓C和直線l上的點且直線PQ與圓C恰有1個公共點，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
，的最小值為圓心到直線的距離，可求的最小值.
【詳解】
圓化為標準方程為，
則圓C的圓心為，半徑，則，
直線PQ與圓C相切，有，
因為點Q在直線l上，所以，則．
即的最小值是.
故選：A
6-3．（2024·重慶）設P是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動點，Q是直線x＝－3上的動點，則|PQ|的最小值為 ( )
A．6B．4C．3D．2
【答案】B
【詳解】當PQ所在直線過圓心且垂直于直線x＝－3時，|PQ|有最小值，且最小值為圓心(3，－1)到直線x＝－3的距離減去半徑2，即最小值為4，故選B.
題型7：利用函數(shù)求最值
7-1．（2024高三·全國·對口高考）在平面直角坐標系xOy中，以點，曲線上的動點B，第一象限內(nèi)的點C，構(gòu)成等腰直角三角形ABC，且，則線段OC長的最大值是 ．
【答案】/
【分析】設，，，運用兩點的距離公式和兩直線垂直的條件，可得，的方程，解方程可得的坐標，運用兩點的距離公式，化簡整理，運用正弦函數(shù)的值域，即可得到所求最大值.
【詳解】曲線是以為圓心，1為半徑的上半圓，
可設，，，
由等腰直角三角形，可得，即有
即，①
，即有，
即為，②
由①②解得，，
或，（舍去）．
則
，
當，即，取得最大值．
故答案為：
7-2．（2024·浙江·模擬預測）已知圓和點，由圓外一點向圓引切線，切點分別為，若，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設，利用可得，再由利用配方法可得答案.
【詳解】設，連接，則，可得，
所以，
即，可得，
所以，
當時，.
故選：C.

（四）
求過兩直線交點（兩圓交點或直線與圓交點）的直線方程（圓系方程）一般不需求其交點，而是利用它們的直線系方程（圓系方程）．
（1）直線系方程：若直線與直線相交于點P，則過點P的直線系方程為：
簡記為：
當時，簡記為：（不含）
（2）圓系方程：若圓與圓相交于A，B兩點，則過A，B兩點的圓系方程為：
簡記為：，不含
當時，該圓系退化為公共弦所在直線（根軸）
注意：與圓C共根軸l的圓系
題型8：圓系方程
8-1．（2024高二上·安徽銅陵·期中）經(jīng)過直線與圓的交點，且過點的圓的方程為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意設出過直線和圓的交點的圓系方程，代入已知點坐標，可求出的值，即可確定所求圓的方程.
【詳解】設過已知直線和圓的交點的圓系方程為：
∵所求圓過點
∴
解得
所以圓的方程為，化簡得.
故答案為：.
【點睛】本題主要考查求解圓的方程，設出過已知直線和圓的交點的圓系方程是解本題的關鍵.
8-2．（2024高三下·江蘇鹽城·階段練習）曲線與的四個交點所在圓的方程是 ．
【答案】
【解析】根據(jù)題意得到：，化簡得到答案.
【詳解】，，故，
化簡整理得到：，即.
故答案為：.
【點睛】本題考查了曲線交點求圓方程，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.
8-3．（2024高二·遼寧·學業(yè)考試）過圓與的交點，且圓心在直線上的圓的方程是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)過兩圓交點的圓系方程設出所求圓的方程，并求出圓心坐標，把圓心坐標代入直線的方程，從而求出圓的方程.
【詳解】設圓的方程為，
則，
即，所以圓心坐標為，
把圓心坐標代入，可得，
所以所求圓的方程為．
故答案為：.
（五）
圓過定點問題，想辦法求出含有參數(shù)的圓的方程，然后按參數(shù)整理后得，只要讓此關于的多項式中各項系數(shù)（包括常數(shù)項）均為0，就可解得定點．
題型9：圓過定點問題
9-1．（2024高二下·上海徐匯·期中）對任意實數(shù)，圓恒過定點，則定點坐標為 ．
【答案】或
【分析】由已知得，從而，由此能求出定點的坐標．
【詳解】解：，即，
令，解得，，或，，
所以定點的坐標是或．
故答案為：或.
9-2．（2024高三·浙江溫州·階段練習）已知動圓圓心在拋物線上，且動圓恒與直線相切，則此動圓必過定點
【答案】
【分析】由拋物線方程可確定焦點和準線，結(jié)合拋物線定義可知動圓必過焦點，由此可得結(jié)論.
【詳解】由拋物線方程知：拋物線焦點為，準線為；
設動圓圓心為，
動圓與直線相切，動圓半徑即為其圓心到直線的距離；
動圓圓心在拋物線上，，動圓必過點，即所求定點為.
故答案為：.
9-3．（2024高三下·上海閔行·期中）若拋物線與坐標軸分別交于三個不同的點、、，則的外接圓恒過的定點坐標為
【答案】
【分析】設拋物線交軸于點，交軸于點、，根據(jù)題意設圓心為，求出，寫出圓的方程，可得出關于、的方程組，即可得出圓所過定點的坐標.
【詳解】設拋物線交軸于點，交軸于點、，
由題意可知，由韋達定理可得，，
所以，線段的中點為，設圓心為，
由可得，解得，
，則，則，
所以，圓的方程為，
整理可得，
方程組的解為.
因此，的外接圓恒過的定點坐標為.
故答案為：.

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