例1．（2023春·江蘇南京·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，將去掉一項(xiàng)后，剩下三項(xiàng)依次為等比數(shù)列的前三項(xiàng)，則（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023秋·青海西寧·高三?？计谀┰O(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若，，成等差數(shù)列，且，則（ ）
A．-1B．-3C．-5D．-7
例3．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．已知數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列
B．已知數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列是等差數(shù)列
C．已知數(shù)列是等差數(shù)列且，數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列
D．已知數(shù)列是等比數(shù)列且，數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列是等差數(shù)列
例4．（2023春·安徽·高二安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則__________．
例5．（2023·全國·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，a2=5，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列，.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.
例6．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知公差不為0的等差數(shù)列滿足：①，②成等比數(shù)列；③．從①②③中選擇兩個作為條件，證明另一個成立．
例7．（2023春·云南曲靖·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知等比數(shù)列滿足，且，為數(shù)列的前項(xiàng)和.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2) （）能否構(gòu)成等差數(shù)列，若能，則求的值；若不能，則說明理由.
例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè){an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，已知a1，3a2，9a3成等差數(shù)列，求等比數(shù)列{an}的公比.
例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是一個公比為的等比數(shù)列，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，再從條件①?②?③這三個條件中選擇一個作為已知，解答下列問題:條件①:成等差數(shù)列;條件②:;條件③:.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小值.
注:如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.
例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)之積為.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)公差不為0的等差數(shù)列中，，___________，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
請從①； ②這兩個條件中選擇一個條件，補(bǔ)充在上面的問題中并作答.
注：如果選擇多個條件分別作答，則按照第一個解答計(jì)分.
例11．（2023秋·湖南湘潭·高三校聯(lián)考期末）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，.
(1)求數(shù)列，通項(xiàng)公式
(2)設(shè)數(shù)列中滿足，求和
例12．（2023·四川·校聯(lián)考一模）已知等差數(shù)列與正項(xiàng)等比數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前20項(xiàng)的和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求滿足的n的最小值．
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列和等差數(shù)列，滿足，則（ ）
A．B．1C．4D．6
2．（2023春·廣西南寧·高三南寧三中?？紝ｎ}練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，，成等差數(shù)列，則（ ）
A．7B．12C．15D．31
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列中，，若成等比數(shù)列，則公差d=（ ）
A．或2B．2C．1或D．1
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，則的公差為（ ）
A．1B．C．D．2
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是等差數(shù)列，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，，則（ ）
A．7B．4C．1D．–2
6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）等比數(shù)列的公比為，且，，成等差數(shù)列，則的前10項(xiàng)和為（ ）．
A．B．C．171D．
7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知公差不為0的等差數(shù)列，滿足，，成等比數(shù)列，的前n項(xiàng)和為，則的值為（ ）
A．B．C．3D．
8．（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列與各項(xiàng)均為整數(shù)的等比數(shù)列的首項(xiàng)分別為，且，.將數(shù)列，中所有項(xiàng)按照從小到大的順序排列成一個新的數(shù)列（重復(fù)的項(xiàng)只計(jì)一次），則數(shù)列的前40項(xiàng)和為（ ）
A．1843B．2077C．2380D．2668
9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，，，則（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，則公比（ ）
A．B．C．D．1
11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知在等比數(shù)列中，，等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（ ）
A．96B．102C．118D．126
12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，3，成等比數(shù)列，則為（ ）
A．1B．C．D．
13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知1，，，4成等比數(shù)列，1，，，，4成等差數(shù)列，則的值是（ ）
A．B．C．2D．1
二、多選題
14．（2023春·安徽阜陽·高三阜陽市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列命題正確的是（ ）
A．若均為等比數(shù)列且公比相等，則也是等比數(shù)列
B．為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則也成等比數(shù)列
C．為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列
D．的前項(xiàng)和為，則“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件
15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列四個選項(xiàng)中正確的有（ ）
A．若數(shù)列的前n項(xiàng)和（a，b，c為常數(shù)），則數(shù)列為等差數(shù)列
B．若數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列為等比數(shù)列
C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，為前n項(xiàng)和，則，，，…仍為等差數(shù)列
D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列，為前n項(xiàng)和，則，，，…仍為等比數(shù)列
16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差和首項(xiàng)都不等于0，且，，成等比數(shù)列，則下列說法正確的是（ ）
A．B．C．D．
17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在公比為整數(shù)的等比數(shù)列中，是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則下列說法正確的是
A．
B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
C．
D．?dāng)?shù)列是公差為2的等差數(shù)列
三、填空題
18．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高三校考開學(xué)考試）在等差數(shù)列中，公差不為，，且，，成等比數(shù)列，當(dāng)______時，數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值.
19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是等差數(shù)列，，公差，為其前n項(xiàng)和，若，，成等比數(shù)列，則________．
20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差不為零，且，，成等比數(shù)列，則________．
21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列的公差為2，前n項(xiàng)和為，若，，構(gòu)成等比數(shù)列，則___________.
22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若成等比數(shù)列，則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式________．
23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）公比不為1的等比數(shù)列中，若成等差數(shù)列，則數(shù)列的公比為__________.
24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，，，則______.
25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）寫出同時滿足以下三個條件的數(shù)列的一個通項(xiàng)公式______．①不是等差數(shù)列，②是等比數(shù)列，③是遞增數(shù)列．
26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列的公差為2，若，，成等比數(shù)列，則______．
27．（2023秋·北京石景山·高三統(tǒng)考期末）等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，若，則公比 __________．
28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，且成等差數(shù)列，則的值為___________.
29．（2023春·北京·高三北京二中?？奸_學(xué)考試）等差數(shù)列中，且，，成等比數(shù)列，數(shù)列前20項(xiàng)的和____
30．（2023春·天津·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）等比數(shù)列中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且,,成等差數(shù)列，則=_________．
四、解答題
31．（2023春·上海普陀·高三曹楊二中校考階段練習(xí)）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知.
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)若，，成等比數(shù)列，求的最小值.
32．（2023秋·江蘇無錫·高三統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差，是，的等比中項(xiàng)，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，，求．
33．（2023秋·重慶·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且、、成等比數(shù)列.
(1)求；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
34．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，，，數(shù)列為等比數(shù)列，滿足，且，，成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
35．（2023秋·河北唐山·高三統(tǒng)考期末）已知是等差數(shù)列，是公比不為1的等比數(shù)列，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若集合，且，求中所有元素之和.
36．（2023秋·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比為，前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列.
(1)求的通項(xiàng)；
(2)若，求的前項(xiàng)和.
37．（2023秋·江西吉安·高三統(tǒng)考期末）設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，，數(shù)列為等比數(shù)列，其中．
(1)求，的通項(xiàng)公式；
(2)若，求的前n項(xiàng)和．
38．（2023·重慶·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè).
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)設(shè)數(shù)列的前5項(xiàng)和為35，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
39．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，前四項(xiàng)的和為16，數(shù)列滿足，，且數(shù)列為等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式：
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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