【知識(shí)梳理】2
【真題自測】4
【考點(diǎn)突破】5
【考點(diǎn)1】空間向量的運(yùn)算及共線、共面定理5
【考點(diǎn)2】空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用7
【考點(diǎn)3】利用空間向量證明平行與垂直9
【分層檢測】12
【基礎(chǔ)篇】12
【能力篇】15
【培優(yōu)篇】16
考試要求：
1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.
2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.
3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.
4.理解直線的方向向量及平面的法向量.
5.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系.
6.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理.
知識(shí)梳理
1.空間向量的有關(guān)概念
2.空間向量的有關(guān)定理
(1)共線向量定理：對任意兩個(gè)空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底.
3.空間向量的數(shù)量積
(1)兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是[0，π]，若〈a，b〉＝eq \f(π,2)，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.
(2)兩向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cs〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉.
(3)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律
①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交換律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用
設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
5.直線的方向向量和平面的法向量
(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量.
(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量.
6.空間位置關(guān)系的向量表示
1.在平面中A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是：eq \(OA,\s\up6(→))＝xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn).
2.在空間中P，A，B，C四點(diǎn)共面的充要條件是：eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O為空間任意一點(diǎn).
3.向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不滿足結(jié)合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.
4.在利用eq \(MN,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))證明MN∥平面ABC時(shí)，必須說明M點(diǎn)或N點(diǎn)不在平面ABC內(nèi).
真題自測
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（2021·全國·高考真題）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足BP=λBC+μBB1，其中，μ∈0,1，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，的周長為定值
B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值
C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得
D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面
三、解答題
3．（2023·全國·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，．
(1)求證：//平面；
(2)若，求三棱錐的體積．
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】空間向量的運(yùn)算及共線、共面定理
一、單選題
1．（2021·上海崇明·一模）若正方體上的點(diǎn)是其所在棱的中點(diǎn)，則直線與直線異面的圖形是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·黑龍江佳木斯·模擬預(yù)測）給出下列命題，其中錯(cuò)誤的命題是（ ）
A．向量，，共面，即它們所在的直線共面
B．若對空間中任意一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面
C．兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線
D．已知向量，，則在上的投影向量為
二、多選題
3．（2022·重慶·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，、分別為線段、的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)P），則下列說法正確的是（ ）
A．對任意點(diǎn)，則有、、、四點(diǎn)共面
B．存在點(diǎn)，使得、、、四點(diǎn)共面
C．對任意點(diǎn)，則有平面
D．存在點(diǎn)，使得平面
4．（22-23高二上·廣東·階段練習(xí)）《瀑布》（圖1）是埃舍爾為人所知的作品.畫面兩座高塔各有一個(gè)幾何體，左塔上方是著名的“三立方體合體”（圖2）.在棱長為2的正方體中建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系（原點(diǎn)O為該正方體的中心，x，y，z軸均垂直該正方體的面），將該正方體分別繞著x軸，y軸，z軸旋轉(zhuǎn)，得到的三個(gè)正方體，，2，3（圖4，5，6）結(jié)合在一起便可得到一個(gè)高度對稱的“三立方體合體”（圖7）.在圖7所示的“三立方體合體”中，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，2，3，則
B．設(shè)，則
C．點(diǎn)到平面的距離為
D．若G為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則直線與直線所成角最小為
三、填空題
5．（2023·山東·模擬預(yù)測）已知三棱錐，空間內(nèi)一點(diǎn)滿足，則三棱錐與的體積之比為 ．
6．（23-24高二上·浙江麗水·期末）已知三棱錐的體積為是空間中一點(diǎn)，，則三棱錐的體積是 .
反思提升：
1.(1)選定空間不共面的三個(gè)向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解決立體幾何問題的基本要求.
(2)解題時(shí)應(yīng)結(jié)合已知和所求觀察圖形，正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，靈活運(yùn)用三角形法則及平行四邊形法則，就近表示所需向量.
2.(1)對空間任一點(diǎn)O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(AB,\s\up6(→))，若x＋y＝1，則點(diǎn)P，A，B共線.
(2)證明空間四點(diǎn)P，M，A，B共面的方法.
①eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→)).
②對空間任一點(diǎn)O，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→)).
【考點(diǎn)2】空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用
一、單選題
1．（2024·青海·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐P-ABC中，，，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)滿足，，，則直線CE與DF所成的角為（ ）
A．30°B．C．60°D．90°
2．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）如圖，在所有棱長均為的平行六面體中，為與交點(diǎn)，，則的長為（ ）

A．B．C．D．
二、多選題
3．（2024·河北石家莊·三模）如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)，則下列說法正確的有（ ）

A．若點(diǎn)為中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為
B．若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則的最小值為
C．若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則平面與四邊形的交線長為
D．若點(diǎn)在側(cè)面正方形內(nèi)（包含邊界）且，則點(diǎn)的軌跡長度為
4．（2024·山西太原·模擬預(yù)測）如圖，正八面體棱長為1，M為線段上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則（ ）
A．B．的最小值為
C．當(dāng)時(shí)，AM與BC的夾角為D．
三、填空題
5．（23-24高三下·上海浦東新·期中）正三棱錐中，底面邊長，側(cè)棱，向量，滿足，，則的最大值為 .
6．（23-24高二上·廣東·期末）如圖，正方形和正方形的邊長都是1，且它們所在的平面所成的二面角的大小是，則直線和夾角的余弦值為 ．若分別是上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值是 ．
反思提升：
由向量數(shù)量積的定義知，要求a與b的數(shù)量積，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a與b的夾角與方向有關(guān)，一定要根據(jù)方向正確判定夾角的大小，才能使a·b計(jì)算準(zhǔn)確.
【考點(diǎn)3】利用空間向量證明平行與垂直
一、單選題
1．（2024·山東濟(jì)南·三模）如圖所示，正方體的棱長為1，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．直線與直線垂直B．直線與平面平行
C．三棱錐的體積為D．直線BC與平面所成的角為
2．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為的正方體中，與平面交于點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)，點(diǎn)分別在線段上運(yùn)動(dòng)，則線段的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，平面平面，且和均是邊長為的等邊三角形，分別為的中點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），平面交直線于，則下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有
B．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)到直線距離的最小值為
C．存在點(diǎn)，使得平面
D．當(dāng)時(shí)，直線交于同一點(diǎn)
4．（2024·重慶九龍坡·三模）在棱長為2的正方體中，P，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，為側(cè)面正方形的中心，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直線平面
B．直線與平面所成角的正切值為
C．三棱錐的體積為
D．三棱錐的外接球表面積為9π
三、解答題
5．（2024·江西南昌·模擬預(yù)測）如圖，在平行六面體中，，.

(1)求證：四邊形為正方形；
(2)求體對角線的長度；
(3)求異面直線與所成角的余弦值.
6．（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為1的正方體中，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值．
反思提升：
(1)利用向量證明平行問題
①線線平行：方向向量平行.
②線面平行：平面外的直線方向向量與平面法向量垂直.
③面面平行：兩平面的法向量平行.
(2)利用向量法證垂直問題的類型及常用方法
①線線垂直問題：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零；②線面垂直問題：直線的方向向量與平面的法向量共線，或利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；③面面垂直問題：兩個(gè)平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（20-21高二上·山東泰安·期中）已知兩個(gè)非零向量，，則這兩個(gè)向量在一條直線上的充要條件是（ ）．
A．B．
C．D．存在非零實(shí)數(shù)，使
2．（2024·河南·三模）在四面體中，是邊長為2的等邊三角形，是內(nèi)一點(diǎn)，四面體的體積為，則對，的最小值是（ ）
A．B．C．D．6
3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，四個(gè)棱長為的正方體排成一個(gè)正四棱柱，是一條側(cè)棱，是上底面上其余的八個(gè)點(diǎn)，則的不同值的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．4D．8
4．（2024·四川德陽·二模）已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，給出下列結(jié)論，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
①若，且，則
②若且，則
③若，且，則
④若，且，則
A．1B．2C．3D．4
二、多選題
5．（22-23高二上·全國·課后作業(yè)）下列命題是真命題的有( )
A．A，B，M，N是空間四點(diǎn)，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么A，B，M，N共面
B．直線l的方向向量為，直線m的方向向量為，則l與m垂直
C．直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則l⊥α
D．平面α經(jīng)過三點(diǎn)，是平面α的法向量，則u+t＝1
6．（2021·全國·模擬預(yù)測）在正三棱柱中，，，與交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．存在點(diǎn)，使得
C．三棱錐的體積為
D．直線與平面所成角的余弦值為
7．（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測）如圖，在正方體中，P為線段的中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），則（ ）
A．存在點(diǎn)Q，使得B．存在點(diǎn)Q，使得平面
C．三棱錐的體積是定值D．二面角的余弦值為
三、填空題
8．（2023高一·全國·單元測試）設(shè)是空間兩個(gè)不共線的非零向量，已知，，，且三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值為 ．
9．（2024·山東濟(jì)南·一模）在三棱柱中，，，且平面，則的值為 .
10．（23-24高二上·廣東惠州·期中）如圖，在三棱錐中，已知平面，，，則向量在向量上的投影向量為 （用向量來表示）.

四、解答題
11．（2023·貴州六盤水·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為4的正方體中，，設(shè)，，.
(1)試用，，表示；
(2)求的長.
12．（20-21高二上·天津靜海·階段練習(xí)）如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)．設(shè)，，.
(1)求證EG⊥AB；
(2)求異面直線AG和CE所成角的余弦值．
【能力篇】
一、單選題
1．（2020·北京朝陽·一模）如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)在對角線上運(yùn)動(dòng).當(dāng)?shù)拿娣e取得最小值時(shí)，點(diǎn)的位置是（ ）
A．線段的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)B．線段的中點(diǎn)
C．線段的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)D．線段的四等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)
二、多選題
2．（2024·甘肅張掖·一模）下列命題錯(cuò)誤的是（ ）
A．對空間任意一點(diǎn)與不共線的三點(diǎn)，若，其中，，且，則四點(diǎn)共面
B．已知，，與的夾角為鈍角，則的取值范圍是
C．若，共線，則
D．若，共線，則一定存在實(shí)數(shù)使得
三、填空題
3．（2023·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）如圖，已知二面角的棱是，，，若，，，且，，則二面角的大小為 ，此時(shí)，四面體的外接球的表面積為 ．

四、解答題
4．（2024·天津河西·二模）如圖所示，在幾何體中，四邊形和均為邊長為2的正方形，，底面，M、N分別為、的中點(diǎn)，.
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)求平面與平面所成角的余弦值.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2023·江西·二模）在四棱錐中，棱長為2的側(cè)棱垂直底面邊長為2的正方形，為棱的中點(diǎn)，過直線的平面分別與側(cè)棱、相交于點(diǎn)、，當(dāng)時(shí)，截面的面積為（ ）
A．B．2C．D．3
二、多選題
2．（2024·河北秦皇島·三模）在長方形中，，，點(diǎn)在線段上（不包含端點(diǎn)），沿將折起，使二面角的大小為，，則（ ）
A．存在某個(gè)位置，使得
B．存在某個(gè)位置，使得直線平面
C．四棱錐體積的最大值為
D．當(dāng)時(shí)，線段長度的最小值為
三、填空題
3．（2023·上海嘉定·一模）正四棱臺(tái)是的中點(diǎn)，在直線上各取一個(gè)點(diǎn)P、Q，使得M、P、Q三點(diǎn)共線，則線段的長度為
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名稱
定義
空間向量
在空間中，具有大小和方向的量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
方向相反且模相等的向量
共線向量
(或平行向量)
表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量
共面向量
平行于同一個(gè)平面的向量
向量表示
坐標(biāo)表示
數(shù)量積
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共線
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
eq \r(aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋aeq \\al(2,3))
夾角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cs〈a，b〉＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋aeq \\al(2,3))·\r(beq \\al(2,1)＋beq \\al(2,2)＋beq \\al(2,3)))
位置關(guān)系
向量表示
直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2
l1∥l2
u1∥u2?u1＝λu2
l1⊥l2
u1⊥u2?u1·u2＝0
直線l的方向向量為u，平面α的法向量為n
l∥α
u⊥n?u·n＝0
l⊥α
u∥n?u＝λn
平面α，β的法向量分別為n1，n2
α∥β
n1∥n2?n1＝λn2
α⊥β
n1⊥n2?n1·n2＝0

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2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(知識(shí)梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測)專題40空間向量及其應(yīng)用(新高考專用)(原卷版+解析)

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2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(知識(shí)梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測)專題14函數(shù)模型及其應(yīng)用(新高考專用)(原卷版+解析)

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(知識(shí)梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測)專題14函數(shù)模型及其應(yīng)用(新高考專用)(原卷版+解析)
第54講 空間向量及其應(yīng)用 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）

第54講 空間向量及其應(yīng)用 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）
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