4.3.2 直線與平面垂直
某型號(hào)無人機(jī)如圖所示,其每根螺旋槳(如BC)與旋轉(zhuǎn)軸?AB?均垂直,垂足是B.設(shè)螺旋槳旋轉(zhuǎn)時(shí)構(gòu)成的平面為α,顯然,無人機(jī)的每根螺旋槳都在平面α內(nèi).試問,平面α與旋軸?AB?之間有怎樣的位置關(guān)系？
容易看出,平面α內(nèi)經(jīng)過點(diǎn)B的螺旋槳所在直線都與旋轉(zhuǎn)軸?AB?垂直.對于平面α內(nèi)不過點(diǎn)B的任意一條直線,它一定與平面α內(nèi)過點(diǎn)B的某條直線平行.由異面直線所成角的定義可知,這條直線也與旋轉(zhuǎn)軸AB?垂直.因此,平面α內(nèi)的每一條直線都與AB?垂直.
? 如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個(gè)平面互相垂直.這條直線稱為這個(gè)平面的垂線,這個(gè)平面稱為這條直線的垂面,直線與平面的交點(diǎn)稱為垂足.直線l與平面α垂直記作l ⊥α.
如圖所示,若l⊥α,m?α,根據(jù)直線與平面垂直的定義可知l⊥m.這是利用“直線與平面垂直”推出“直線與直線垂直”的主要方法.
在日常生活和生產(chǎn)中,常常需要判斷直線與平面的垂直關(guān)系.例如,國旗的旗桿與地面垂直、建筑的立柱與地面垂直等.但是,判斷直線與平面內(nèi)每一條直線都垂直是很難做到的.
經(jīng)過觀察研究,人們發(fā)現(xiàn)以下判定直線與平面垂直的方法：
? 直線與平面垂直的判定定理? 如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線與這個(gè)平面垂直.
? 如圖所示,若m、n是平面α內(nèi)的兩條相交直線,且直線l⊥m, l⊥n,則l⊥α.
例4 ?四個(gè)面都是正三角形的四面體稱為正四面體.已知正四面體ABCD,如圖所示.求證：BD⊥AC.
例5 ?證明: 如果兩條平行線中有一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.? 已知: m∥n,m⊥α,如圖所示. ?求證: n⊥α.
在平面α內(nèi)任取兩條相交直線c和d?,因?yàn)?m⊥α,c?α,d ? α,所以m⊥c,m⊥d.?又m∥n,故n⊥c,n⊥d, 根據(jù)直線與平面垂直的判定定理,由c與d相交,n⊥α.
例5是直線與平面垂直的另一個(gè)判定定理.
可以證明,例5中所述命題的逆命題也成立.如圖所示若m⊥α, n⊥α,則m∥n.
? 直線與平面垂直的性質(zhì)定理? 如果兩條直線都垂直于同一個(gè)平面,那么這兩條直線平行.?
?在空間中經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.?
例6 如圖所示,已知一條直線l和平面α平行,過直線l上任意兩點(diǎn)A、B分別引平面α的垂線?AA' 、BB',垂足分別為A' 、B'.?求證: AA'=BB'.?
? 因?yàn)?AA'⊥α, BB'⊥α,所以AA'∥ BB'. 設(shè)經(jīng)過直線AA'、BB'的平面為β,則β∩α=A'B'.? 由l∥α ,可知l∥A'B' ,因此四邊形AA'B'B??為平行四邊形,所以AA'=BB'.?
2.已知如圖,PO⊥α,垂直為O, PA∩α=A,m?α,且m⊥OA.求證: m⊥PA.
5.?某中職學(xué)校建設(shè)新校區(qū)時(shí),修建了升旗臺(tái),用于開展愛國主義教育活動(dòng).技術(shù)人員在安裝旗桿時(shí),要保證旗桿與地面垂直.請你幫忙設(shè)計(jì)一個(gè)方案以確保旗桿與地?面垂直.
4.3 直線與平面的位置關(guān)系
1.書面作業(yè)：完成課后習(xí)題和《學(xué)習(xí)指導(dǎo)與練習(xí)》；2.查漏補(bǔ)缺：根據(jù)個(gè)人情況對課堂學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)與回顧;3.拓展作業(yè)：閱讀教材擴(kuò)展延伸內(nèi)容.

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中職數(shù)學(xué)高教版（2021·十四五）拓展模塊一（上冊）電子課本

4.3.2 直線與平面垂直

版本： 高教版（2021·十四五）

年級： 拓展模塊一（上冊）

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