高教版（2021）拓展模塊一上冊(cè)4.3.1 直線與平面平行教案-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

?授課題目
4.3直線與平面的位置關(guān)系
選用教材
高等教育出版社《數(shù)學(xué)》
（拓展模塊一上冊(cè)）
授課時(shí)長
5課時(shí)
授課類型
新授課
教學(xué)提示
本課是整章的重點(diǎn)內(nèi)容，將點(diǎn)、直線、平面均融合在一起．通過引導(dǎo)學(xué)生將筆抽象為直線，將桌面抽象為平面，比較筆與桌面的不同位置，來直觀感受直線與平面之間的不同位置關(guān)系，并由此總結(jié)出直線與平面的三種位置關(guān)系．在此基礎(chǔ)上通過平面性質(zhì)2，引導(dǎo)學(xué)生從理論上歸納出直線與平面的三種位置關(guān)系，然后引導(dǎo)學(xué)生用自然語言表示出三種位置的定義，并用圖形語言、符號(hào)語言來表示．教學(xué)時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)或觀察教室、課桌等特殊長方體，加深對(duì)三種位置關(guān)系的理解．
教學(xué)目標(biāo)
知道直線與平面之間的三種位置關(guān)系；知道直線與平面平行的定義、判定與性質(zhì)定理，能根據(jù)判定定理來證明直線與平面平行，能根據(jù)性質(zhì)定理來證明直線與直線平行；知道直線與平面垂直的定義、判定與性質(zhì)定理，能根據(jù)定義或判定定理來證明直線與平面垂直，能根據(jù)性質(zhì)定理來證明直線與直線平行；知道直線在平面內(nèi)的射影的定義，知道直線與平面所成角的定義；會(huì)找出直線在平面內(nèi)的射影，會(huì)解決直線與平面所成角的簡單問題；逐步培養(yǎng)和提升直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).
教學(xué)重點(diǎn)
直線與平面平行的判定與性質(zhì)定理；直線與平面垂直的判定與性質(zhì)定理．
教學(xué)難點(diǎn)
直線與平面垂直的判定定理、直線與平面所成角的求法．
教學(xué)環(huán)節(jié)
教學(xué)內(nèi)容
教師
活動(dòng)
學(xué)生
活動(dòng)
設(shè)計(jì)
意圖
情境導(dǎo)入
如圖所示，將一支鉛筆平放到桌面上，然后水平拿起來，再堅(jiān)直放置在桌面上.在此過程中，這支鉛筆(看作一條直線)與桌面分別有幾個(gè)公共點(diǎn)？
提出
問題

引發(fā)
思考
思考

分析

回答
結(jié)合熟悉內(nèi)容創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境
新知探索
容易看出，當(dāng)筆平放在桌面上時(shí)，它與桌面有無數(shù)多個(gè)公共點(diǎn)；將筆水平拿起，它與桌面沒有公共點(diǎn)；當(dāng)筆豎直放置時(shí)，它與桌面只有一個(gè)公共點(diǎn).事實(shí)上，根據(jù)公理2，當(dāng)一條直線與一個(gè)平面有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).除此之外，直線與平面或者只有1個(gè)公共點(diǎn)，或者沒有公共點(diǎn).因此，直線與平面有三種?位置關(guān)系.

1.直線在平面內(nèi)，此時(shí)直線與平面有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn). 如圖(1)所示，當(dāng)直線a在平面α內(nèi)時(shí)，記作a ? α.
2. 直線與平面相交，此時(shí)直線與平面只有一個(gè)公共點(diǎn).如圖(2)所示，當(dāng)直線b在平面α相交于點(diǎn)B時(shí)，記作b∩α=B.
3. 直線與平面平行，此時(shí)直線與平面沒有公共點(diǎn). 如圖(3)所示，當(dāng)直線c在平面α平行時(shí)，記作c∥α .畫圖時(shí),把直線畫在表示平面的平行四邊形外,并與平行四邊形的一條邊平行.
直線l與平面α相交或平行，稱直線 l 在平面α外，記作l與?α.
講解

講解說明
理解

思考
領(lǐng)會(huì)
借助實(shí)例總結(jié)出直線與平面的三種位置關(guān)系
情境導(dǎo)入
4.3.1 共面直線
如圖所示，一本打開的書的封面右邊沿所在直線m已經(jīng)不在書內(nèi)頁所在平面α內(nèi)，那么，m與α是相交還是平行呢？
觀察發(fā)現(xiàn)，書脊所在直線n是封面所在平面與書內(nèi)頁所在平面的交線，且m∥n.
能否通過m∥n來判斷直線m與平面α之間的位置關(guān)系呢？

提出問題
引發(fā)思考

觀察
思考
討論
交流

引出異面直線概念
新知探索
一般情形為，m?α，n?α，且m∥n，如圖(1)所示.

假設(shè)直線m與平面α相交，記交點(diǎn)為點(diǎn)P，如圖(2)所示.?由m∥n知P?n.根據(jù)異面直線判定定理，m與n是異面直線，這與m∥n矛盾.故直線?m?與平面α不相交，從而m∥α.
于是有下面的結(jié)論：
直線與平面平行的判定定理? 如果平面外的一條直線與這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條平面外直線與這個(gè)平面平行.
講解

展示圖形提示說明

說明強(qiáng)調(diào)

理解

觀察
特征
交流
討論

領(lǐng)會(huì)
要點(diǎn)

該定理實(shí)質(zhì)是通過證明直線與直線平行得到直線與平面平行

典型例題
例1 如圖所示，在棱柱ABCD-A1B1C1D1中：
(1)與平面AC平行的棱所在直線有哪些？
(2)判斷?AA1與平面DBB1D1的位置關(guān)系.?
解 (1)因?yàn)槔庵鱾?cè)面均為平行四邊形，所以A1B1∥AB.?
又因?yàn)锳1B1?平面AC，AB ?平面AC，所以
A1B1∥平面AC；同理可知，直線B1C1、C1D1、A1D1均與平面AC平行.
因此，與平面AC平行的棱所在直線有A1B1、B1C1、C1D1、A1D1.?
(2)因?yàn)?AA1∥BB1，且AA1?平面?DBB1D1，BB1?平面DBB1D1，所以AA1//平面DBB1D.

例2 在空間四邊形ABCD?中，點(diǎn)E、F分別是AB、AD?的中點(diǎn)，如圖所示，求證:EF//平面BCD.?
?證明連接E、F.因?yàn)镋、F分別是?AB、AD?的中點(diǎn)，所以EF//BD.?
又因?yàn)镋?平面BCD，BD?平面BCD，所以BF//平?面?BCD.
提問
引導(dǎo)

講解
強(qiáng)調(diào)

指導(dǎo)學(xué)習(xí)

提問
引導(dǎo)

講解
強(qiáng)調(diào)

思考
分析

解決
交流

主動(dòng)
求解

思考
分析

解決
交流

例1在回顧棱柱基礎(chǔ)上初次利用判定定理解決問題
例2在回顧三角形中位線定理基礎(chǔ)上鞏固提升
情境導(dǎo)入
探究與發(fā)現(xiàn)
既然直線與直線的平行可以用來判定直線與平面平行，那么能否利用直線與平面的平行來判定直線與直線平行呢？

引發(fā)思考

討論
交流
引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題
新知探索
如圖(1)所示， m∥α， m?β，α∩β=n.那么，m與n是什么位置關(guān)系？

顯然，m與n共面于平面B內(nèi)，則n與n要么相交，要么平行.若m與n相交，且交點(diǎn)為P，如圖(2)所示，則P也是直線m與平面α的交點(diǎn)，這與條件m//α相矛盾.所以m//n.于是，有下面的結(jié)論：
直線與平面平行的性質(zhì)定理如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過這條直線的任一平面和這個(gè)平面的交線與這條直線平行.
講解

展示圖形提示說明

說明強(qiáng)調(diào)

理解

觀察
特征
交流
討論

領(lǐng)會(huì)
要點(diǎn)

解決設(shè)定問題引出性質(zhì)定理，反證法提升邏輯推理核心素養(yǎng)
典型例題
例3 已知n //m，m//α，n? α，求證：n //α.

證明過直線n?作平面β交平面α于直線l，如圖所示.
因?yàn)閙//α，根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理，可知m//l .又?m //n，故n//l.
根據(jù)直線與平面平行的判定定理，由n?l，l?α，可知n //α.
提問
引導(dǎo)

講解
強(qiáng)調(diào)

指導(dǎo)
思考
分析

解決
交流

主動(dòng)
求解
鞏固定理，引導(dǎo)學(xué)生作輔助平面解決問題
鞏固練習(xí)
練習(xí)4.3.1
1.?判斷下列命題的真假,并說明理由.
(1)如果m//n，n?α，那么m//α；
(2)如果m//n，m?α，那么m//α；
(3)如果m//α，n?α，那么m//n;
(4)如果m//α，m?β，α∩β=n，那么m//n.?
2.?填空題.
(1) 如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線與這個(gè)平面有個(gè)公共點(diǎn)；
(2) 如果一條直線與一個(gè)平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么它們的位置關(guān)系是，此時(shí)直線與平面面共有個(gè)公共點(diǎn)：?
(3)如果一條直線與一個(gè)平面相交，那么它們有個(gè)公共點(diǎn)；
(4)如果一條直線與一個(gè)平面平行,那么這條直線與平面內(nèi)的條直線平行.
3.?如圖所示，四面體ABCD中，點(diǎn)E、F分別是?AB、AD?上的點(diǎn)，且AE=AB，AF=AD.
求證：EF∥平面ECD.

4.?已知正方體ABCD-A1B1C1D1.求證：
(1) CD∥平面A1C1；
(2) A1C1∥平面AC.
5.?某中職學(xué)校機(jī)械加工技術(shù)專業(yè)學(xué)生在加工長方體?ABCD-A1B1C1D1形狀的零件時(shí)，如圖所示，需要沿著由上底面A1C1上的點(diǎn)E與棱AD確定的平面將零件切開.切削前需在長方體相應(yīng)的面上畫出輪廓線，試問該怎樣畫這個(gè)輪廓線？經(jīng)過點(diǎn)E所畫的直線與底面AC?是什么位置關(guān)系？

提問

巡視

指導(dǎo)

思考

動(dòng)手
求解

交流

及時(shí)掌握學(xué)生掌握情況查漏補(bǔ)缺
情境導(dǎo)入
4.3.2 直線與平面垂直
某型號(hào)無人機(jī)如圖所示，其每根螺旋槳(如BC)與旋轉(zhuǎn)軸?AB?均垂直，垂足是B.設(shè)螺旋槳旋轉(zhuǎn)時(shí)構(gòu)成的平面為α，顯然，無人機(jī)的每根螺旋槳都在平面α內(nèi).試問，平面α與旋軸?AB?之間有怎樣的位置關(guān)系？
提出
問題
引發(fā)
思考
思考

分析
回答
從線面垂直概念的的形成過程引入
探索新知
容易看出，平面α內(nèi)經(jīng)過點(diǎn)B的螺旋槳所在直線都與旋轉(zhuǎn)軸?AB?垂直.對(duì)于平面α內(nèi)不過點(diǎn)B的任意一條直線，它一定與平面α內(nèi)過點(diǎn)B的某條直線平行.由異面直線所成角的定義可知，這條直線也與旋轉(zhuǎn)軸AB?垂直.因此，平面α內(nèi)的每一條直線都與AB?垂直.
據(jù)此，有如下定義：
如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個(gè)平面互相垂直.這條直線稱為這個(gè)平面的垂線，這個(gè)平面稱為這條直線的垂面，直線與平面的交點(diǎn)稱為垂足.直線l與平面α垂直記作l ⊥α.
如圖所示，若l⊥α，m?α，根據(jù)直線與平面垂直的定義可知l⊥m.這是利用“直線與平面垂直”推出“直線與直線垂直”的主要方法.

在日常生活和生產(chǎn)中，常常需要判斷直線與平面的垂直關(guān)系.例如，國旗的旗桿與地面垂直、建筑的立柱與地面垂直等.但是，判斷直線與平面內(nèi)每一條直線都垂直是很難做到的.
經(jīng)過觀察研究，人們發(fā)現(xiàn)以下判定直線與平面垂直的方法：
直線與平面垂直的判定定理? 如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線與這個(gè)平面垂直.
如圖所示，若m、n是平面α內(nèi)的兩條相交直線，且直線l⊥m，l⊥n，則l⊥α.

講解

說明

展示圖像引發(fā)思考

理解

領(lǐng)會(huì)

觀察
圖像
分析
問題

通過“線線垂直”來說明“線面垂直”

利用三角形全等的證明過程較為復(fù)雜，教材對(duì)判定定理未作證明
典型例題
例4 四個(gè)面都是正三角形的四面體稱為正四面體.已知
正四面體ABCD，如圖所示.求證：BD⊥AC.

證明設(shè)BD的中點(diǎn)為O，連接?AO?、CO.?
因?yàn)檎拿骟w?ABCD?的四個(gè)面都是正三角形，所以AO⊥BD，CO?⊥BD.
又AO∩CO=O，且AO、CO ?平面AOC，故BD⊥平面AOC.
根據(jù)直線與平面垂直的定義，由AC ?平面AOC，可知BD⊥AC.

例5 ?證明: 如果兩條平行線中有一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.?
已知: m∥n，m⊥α，如圖所示.
求證: n⊥α.

證明在平面α內(nèi)任取兩條相交直線c和d?，因?yàn)?m⊥α,c?α，d ? α，所以m⊥c，m⊥d.?又m∥n，故n⊥c，
n⊥d，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，由c與d相交，n⊥α.

溫馨提示
例5是直線與平面垂直的另一個(gè)判定定理.

可以證明，例5中所述命題的逆命題也成立.如圖所示若m⊥α，n⊥α，則m∥n.

直線與平面垂直的性質(zhì)定理? 如果兩條直線都垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.?
根據(jù)該定理可以證明：
在空間中經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.?
提問
引導(dǎo)

講解
強(qiáng)調(diào)

指導(dǎo)
思考
分析

解決
交流

主動(dòng)
求解
例4引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)在空間怎樣通過作輔助線來建立輔助面

例5鞏固線面垂直判定定理的同時(shí)，介紹了線面垂直的另一種判定方法，可以看作線面垂直第二判定定理

典型例題
例6 如圖所示，已知一條直線l和平面α平行，過直線l上任意兩點(diǎn)A、B分別引平面α的垂線?AA'、BB'，垂足分別為A'、B'.?求證: AA'=BB'.?

證明因?yàn)?AA'⊥α，BB'⊥α，所以AA'∥ BB'.
設(shè)經(jīng)過直線AA'、BB'的平面為β，則β∩α=A'B'.?
由l∥α，可知l∥A'B' ，因此四邊形AA'B'B為平行四邊形，所以AA'=BB'.?
提問
引導(dǎo)

講解
強(qiáng)調(diào)

指導(dǎo)分析
思考
分析

解決
交流

主動(dòng)
求解
例6為學(xué)有余力學(xué)生思考“線面平行”距離打下基礎(chǔ)

鞏固練習(xí)
練習(xí)4.3.2
1.判斷下列命題的真假.
(1)如果直線m垂直于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，那么m⊥α；
(2)如果l⊥m，且m?α，n?α，那么l⊥α；
(3)如果l⊥α，m⊥α，那么l⊥m.
2.已知如圖，PO⊥α，垂直為O， PA∩α=A，m?α，且m⊥OA.求證: m⊥PA.

3.如果l⊥α，m//α，求證: l⊥m.
4.己知線段AB、CD?位于平面α的同側(cè)，AB ⊥α， DC⊥α，垂足分別為?B、C，AB=DC.求證: AD=BC.
5.某中職學(xué)校建設(shè)新校區(qū)時(shí)，修建了升旗臺(tái)，用于開展愛國主義教育活動(dòng).技術(shù)人員在安裝旗桿時(shí)，要保證旗桿與地面垂直.請(qǐng)你幫忙設(shè)計(jì)一個(gè)方案以確保旗桿與地?面垂直.

提問

巡視

指導(dǎo)

思考

動(dòng)手
求解

交流

及時(shí)掌握學(xué)生掌握情況查漏補(bǔ)缺
情境導(dǎo)入
4.3.3 直線與平面所成的角
我國是擁有斜拉索橋最多的國家.斜拉索橋是大跨度橋梁的主要橋型，依靠若干斜拉將梁體重量和橋面載荷傳至橋塔、橋墩.斜拉索安裝位置的設(shè)計(jì)是斜拉索橋設(shè)計(jì)的重要內(nèi)容.如圖所示，斜拉索AC所在的直線與橋面所在的平面口相交，但是它們并不垂直.不同斜拉索相對(duì)于橋面的傾斜程度是不同的,如何描述這種不同呢？

提出
問題

引發(fā)
思考
觀察
思考

交流
回答
感受直線與平面所成角的情況，滲透課程思政
探索新知
如果直線與平面相交但不垂直,就稱直線是平面的斜線.斜線與平面的交點(diǎn)稱為斜足,經(jīng)過斜線上不是斜足的一點(diǎn)作平面的垂線,連接垂足與斜足的直線稱為斜線在這個(gè)平面上的射影.
如圖所示，直線m是平面α的斜線，點(diǎn)P為斜足，
A∈m且AB⊥α,垂足為B,則BP是斜線m在平面α內(nèi)的射影.顯然, 直線?AP?與射影BP所成的角θ反映了斜線相對(duì)于平面的傾斜程度.?

一般地,平面的一條斜線與它在該平面上的射影所成的角,稱為這條斜線與這個(gè)平面所成的角.?
規(guī)定:當(dāng)直線在平面內(nèi)或直線與平面平行時(shí),它與平面所成的角是0;當(dāng)直線與平面垂直時(shí),它與平面所成的角為于是,直線與平面所成的角的范圍為.?
講解

說明

展示圖像幫助思考

講解強(qiáng)調(diào)

理解

思考

觀察
圖像
理解
要點(diǎn)

學(xué)習(xí)
領(lǐng)會(huì)

將“線面”問題轉(zhuǎn)化為“線線”問題，“降維”解決

典型例題
例7如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a.
(1)找出BC1在底面ABCD上的射影；
(2)求BC1與底面ABCD所成角的大小；
(3)求BD1與底面ABCD所成角的正切值.

解 (1)因?yàn)檎襟wABCD-A1B1C1D1的各個(gè)面都是正方形，所以CC1⊥DC，CC1⊥BC，且DC∩BC=C，從而，
CC1⊥平面ABCD且垂足為C.
又BC1∩平面ABCD=B，故BC是BC1在平面ABCD上的射影.
(2)由(1)知，BC1與底面ABCD所成的角是∠C1BC.因?yàn)锽C1是正方形BCC1B1的對(duì)角線，所以∠C1BC=.于是，BC1與底面ABCD所成角為.
(3)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，因?yàn)镈D1⊥AD，
DD1⊥DC，且AD∩DC=D，所以DD1⊥底面ABCD，從而BD是BD1在平面ABCD上的射影，且DD1⊥BD.
因?yàn)镈D1=a，BD=a，所以tanD1BD=，即BD1與底面ABCD所成角的正切值是.

例8 中國于2015年實(shí)現(xiàn)了“無電地區(qū)人口全部用上電”的目標(biāo).?如圖所示，為防止電桿傾斜.工作人員用一根鋼絲繩作牽拉繩.受周圍環(huán)境影響，牽拉繩接地點(diǎn)?A?到電桿與地面的交點(diǎn)C的距離是2.5m. 若牽拉繩與水平地面所成的角為?60°.求牽拉繩與電桿的連接處點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離.
解由題意可知電桿與地面是垂直的，所以?BC⊥AC，且AC是AB在地面上的射影，于是∠BAC= 60°.
在RtΔABC中，因?yàn)锳C=2.5m，所以BC=ACtan∠BAC=
2.5tan60°=.
因此，牽拉繩與電桿的連接處點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離是?.
提問
引導(dǎo)

講解
強(qiáng)調(diào)

指導(dǎo)分析

提問
引導(dǎo)

講解
強(qiáng)調(diào)

指導(dǎo)分析
思考
分析

解決
交流

主動(dòng)
求解

思考
分析

解決
交流

主動(dòng)
求解
例7在學(xué)生熟悉的正方體中習(xí)得線面所成角的概念及求法，歸納出求線面所成角的三個(gè)基本步驟：“找”、“證”、“求”

例8是線面所成角在實(shí)際生活中的應(yīng)用，同時(shí)實(shí)施課程思政

鞏固練習(xí)
練習(xí)4.3.3
1.?觀察教室墻面，從中找出直線與平面之間三種位置關(guān)系的情形.
?2.?畫出符合下列描述的一個(gè)圖形，并用符號(hào)表示出來.?
(1)直線l與平面α平行，直線m?在平面α內(nèi)；?
(2)點(diǎn)M在直線l上，且在平面β內(nèi)，l不在平面β內(nèi)；
(3)直線AB與平面γ相交于點(diǎn)?A，直線?BC?垂直于平面γ，且垂足為C.?
3.?在長方體?ABCD-A1B1C1D1中, 找出對(duì)角線AC1分別在六個(gè)面上的射影.?
4.?己知AB∩α=A, 線段AB?的長是它在平面α上射影的2倍, 求直線?AB?與平面α所成的角的大小.
5.在長正方體?ABCD-A1B1C1D1中，求：?
(1)?AD1?與平面ABCD所成的角的大小；
(2) AC1?與平面BCC1B1所成的角的正切值.

提問

巡視

指導(dǎo)

思考

動(dòng)手
求解

交流

及時(shí)掌握學(xué)生掌握情況查漏補(bǔ)缺
歸納總結(jié)

引導(dǎo)

提問

回憶

反思

培養(yǎng)
學(xué)生
總結(jié)
學(xué)習(xí)
過程
能力
布置作業(yè)
1.書面作業(yè)：完成課后習(xí)題和《學(xué)習(xí)指導(dǎo)與練習(xí)》；
2.查漏補(bǔ)缺：根據(jù)個(gè)人情況對(duì)課堂學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)與回顧;
3.拓展作業(yè)：閱讀教材擴(kuò)展延伸內(nèi)容.
說明
記錄
繼續(xù)探究
延伸學(xué)習(xí)

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