學(xué)習(xí)重難點
教材分析
本節(jié)課是三種圓錐曲線的最后一種，研究拋物線的簡單幾何性質(zhì)，利用曲線方程研究曲線的性質(zhì)，是解析幾何的主要任務(wù)目的，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，既讓學(xué)生了解了拋物線的幾何性質(zhì)，又讓學(xué)生初步體會了利用曲線方程來研究其性質(zhì)的過程.
學(xué)情分析
學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓和雙曲線的標準方程和性質(zhì)以及拋物線的標準方程，初步掌握了利用曲線圖形探究曲線性質(zhì)的方法，有親歷體驗和探究的興趣，具有一定的動手操作，歸納猜想，邏輯推理的能力．
教學(xué)工具
教學(xué)課件
課時安排
2課時
教學(xué)過程
（一）創(chuàng)設(shè)情境，生成問題
情境與問題
前面,我們利用雙曲線的標準方程獲得了雙曲線的幾何性質(zhì),是否可以利用拋物線的標準方程研究拋物線的幾何性質(zhì)呢？
【設(shè)計意圖】提示學(xué)生數(shù)形結(jié)合.
（二）調(diào)動思維，探究新知
下面以拋物線的標準方程y2=2px為例,研究拋物線的幾何性質(zhì).
1．范圍
在方程中,y2=2px 中,由p>0, y2≥0,可知x≥0.這表明,拋物線在y 軸的右側(cè),如圖所示.當x的值增大時,y2的值也隨著增大,即|y| 的值增大.
2.對稱性
在方程中,將y換成-y,方程不改變.
這說明,拋物線關(guān)于x軸對稱.一般地,把拋物線的對稱軸稱為拋物線的軸.
3.頂點
在方程中,令 y=0,得 x=0. 因此,拋物線的頂點為原點.一般地,拋物線與它的軸的交點稱為拋物線的頂點.
4．離心率
拋物線上的點M 到焦點的距離與它到準線的距離的比稱為拋物線的離心率,記作e. 由拋物線的定義知,e=1.
探究與發(fā)現(xiàn)
為什么拱橋的橋拱大多設(shè)計為拋物線的形狀？
橋梁的主要受力是橋面的荷載重量及自身重量，都是垂直向下的，采用拋物線拱形可以將垂直受力轉(zhuǎn)移到橫向的橋墩或岸邊的地面，這樣可以加寬橋梁下面的通道寬度，減少橋墩數(shù)量，因此，橋梁大多設(shè)計成拋物線拱形。
【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決問題方法.
（五）鞏固知識，典例練習(xí)
【典例1】根據(jù)條件，求拋物線的標準方程.
(1) 關(guān)于y軸對稱，且過點P(4,-2);
(2) 對稱軸為坐標軸，且過點P(10,5).
解(1) 由于物線關(guān)于y軸對稱，而點P為第四象限的點,故拋物線的焦點在y軸的負半軸上.
設(shè)拋物線的標準方程為.將點P的坐標(4,-2) 代入方程，，解得p=4.
因此，拋物線的標準方程為；
（2）設(shè)拋物線的標準方程為，將點P的坐標(10,5)代入上述兩個方程，或，解得.
因此，拋物線的標準方程為.
溫馨提示
當問題中沒有明確指出拋物線的焦點位置或?qū)ΨQ軸時，一般需要分情況討論.
【典例2】用“描點法”畫出拋物線 y2=4x的圖形.
拋物線具有對稱性,因此只需先畫出拋物線在第一象限內(nèi)的圖形,然后根據(jù)對稱性畫出全部圖形.
解: 當y≥0時,拋物線的方程可以變形為 .
在[0,+∞)上,選取幾個整數(shù)作為x的值,計算出對應(yīng)的y值,列表
以表中的x值為橫坐標,對應(yīng)的y值為縱坐標,在直角坐標系中依次描出相應(yīng)的點(x,y),用光滑的曲線順次鏈接各點得到拋物線在第一象限內(nèi)的圖形.然后利用對稱性,畫出全部圖形.
【典例3】如圖(1)所示,一條隧道的頂部是拋物線拱,拱高為2m,跨度為6m,求拱形縱截線所在的拋物線方程.
解: 以拱形縱截線的頂點為坐標原點、拱高所在直線為y軸,建立平面直角坐標系,如圖(2)所示,則拋物線方程可設(shè)為x2=-2py.
設(shè)拱形的兩個端點分別為點A、B.則由拱高為2m和跨度為6m可得AB兩點的坐標分別為(-3,-2)、(3 ,-2)．把點B的坐標代人方程x2=-2py ,可得.
因此,拱形縱截線所在的拋物線方程為.
【設(shè)計意圖】注意觀察學(xué)生是否理解知識點
（四）鞏固練習(xí)，提升素養(yǎng)
【鞏固1】已知拋物線的頂點為原點，對稱軸為坐標軸，并且經(jīng)過點M（―5，―10）．求拋物線的標準方程．
分析 點M（―5，―10）在第三象限．由于題中沒有明確指出對稱軸是x軸還是y軸，因此有兩種情況（如圖）．
解 設(shè)所求拋物線的標準方程為
將點M的坐標分別代入方程，得
解得
故拋物線的標準方程為
【鞏固2】已知拋物線關(guān)于x軸對稱，頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點．求拋物線的標準方程并利用“描點法”畫出圖形．
解 由于點為第四象限的點，且拋物線關(guān)于x軸對稱，頂點在坐標原點，故拋物線的焦點在x軸的正半軸上．設(shè)其方程為
（）．
將點的坐標代入方程，得
，
解得 p = 2．
故拋物線的標準方程為
．
可以先畫出拋物線在第一象限內(nèi)的圖形，然后再利用拋物線的對稱性，畫出全部圖形．
拋物線的方程在第一象限內(nèi)可以變形為
．
在［0，＋∞）內(nèi)，選出幾個x的值，計算出對應(yīng)的y值．列表：
以表中的x值為橫坐標，對應(yīng)的y值為縱坐標，在直角坐標系中依次描出相應(yīng)的點（x，y），用光滑的曲線順次聯(lián)結(jié)各點得到拋物線在第一象限內(nèi)的圖形．然后利用對稱性，畫出全部圖形．
【設(shè)計意圖】通過練習(xí)及時掌握學(xué)生的知識掌握情況，查漏補缺
（五）鞏固練習(xí)，提升素養(yǎng)
1.根據(jù)條件,求拋物線的標準方程.
（1）準線方程為 x=4；
（2）焦點為F(0,-3)；
（3）關(guān)于x軸對稱,且過點(5,-4)；
（4）對稱軸為坐標軸,且過點(6,3).
2.在直角坐標系中,畫出下列拋物線的圖像.
（1） y2=-6x ; （2）x2=9y.
3.已知拋物線的頂點為坐標原點,焦點在x軸上,拋物線上一點P(-3,m)到焦點的距離為5,求拋物線的標準方程.
4.已知垂直于x軸的直線交拋物線 y2=6x于A、B兩點,且 ，求直線AB的方程.
【設(shè)計意圖】通過練習(xí)及時掌握學(xué)生的知識掌握情況，查漏補缺
（六）課堂小結(jié)，反思感悟
1.知識總結(jié)：
2.自我反思：
（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？


（2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想與方法？


（3）你的學(xué)習(xí)效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？


【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生反思學(xué)習(xí)過程的能力
（七）作業(yè)布置，繼續(xù)探究
(1)讀書部分： 教材章節(jié)3.3.2；
(2)書面作業(yè)： P86習(xí)題3.3的2，4.
（八）教學(xué)反思

知識
能力與素養(yǎng)
了解各種拋物線標準方程所表示的性質(zhì)．
學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到提高．
重點
難點
四種拋物線標準方程所表示的性質(zhì)．
四種拋物線標準方程所表示的性質(zhì)．
x
0
1
2
3
4
…
y
0
2
2.8
3.5
4
…
x
0
1
2
3
4
…
y
0
2
2.8
3.5
4
…

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中職數(shù)學(xué)高教版（2021）拓展模塊一 上冊電子課本

3.3.2 拋物線的幾何性質(zhì)

版本： 高教版（2021）

年級： 拓展模塊一 上冊

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