學習重難點
教材分析
本節(jié)課是通過研究橢圓的標準方程來探究橢圓的簡單幾何性質(zhì)，是本單元的重點內(nèi)容之一，利用曲線方程研究曲線的性質(zhì)，是解析幾何的主要任務目的，通過本節(jié)課的學習，既讓學生了解了橢圓的幾何性質(zhì)，又讓學生初步體會了利用曲線方程來研究其性質(zhì)的過程，同進也為下一步學習雙曲線和拋物線的性質(zhì)做好了鋪墊.
學情分析
學生已經(jīng)學習了橢圓定義和標準方程，有親歷體驗和探究的興趣，具有一定的動手操作，歸納猜想，邏輯推理的能力．
教學工具
教學課件
課時安排
2課時
教學過程
（一）創(chuàng)設(shè)情境，生成問題
情境與問題
在基礎(chǔ)模塊,我們利用直線和圓的標準方程得到了圓的性質(zhì),是否可以利用橢圓的標準方程來研究橢圓的性質(zhì)呢？
【設(shè)計意圖】提示學生數(shù)形結(jié)合.
（二）調(diào)動思維，探究新知
下面以為例,探究橢圓的幾何性質(zhì).
1．范圍
從方程中可以看到：

即 －a≤x≤a，－b≤y≤b．
這說明橢圓位于四條直線所圍成的矩形內(nèi)．
這說明,橢圓位于四條直線x=-a,x=a,y=-b,y=b所圍成的矩形框內(nèi),如圖所示.
2.對稱性
在橢圓的標準方程中，將y換成－y，方程依然成立．這說明當點P（x，y）在橢圓上時，其關(guān)于x軸的對稱點也在橢圓上，因此橢圓關(guān)于x軸對稱．
同理，將x換成－x，方程依然成立．這說明當點P（x，y）在橢圓上時，其關(guān)于y軸的對稱點也在橢圓上；將x換成－x，y換成－y，方程依然成立．這說明當點P（x，y）在橢圓上時，其關(guān)于坐標原點的對稱點也在橢圓上．
由此可知，橢圓既關(guān)于x軸對稱，又關(guān)于y軸對稱，還關(guān)于坐標原點對稱．x軸與y軸都叫做橢圓的對稱軸，坐標原點叫做橢圓的對稱中心（簡稱中心）．
3.頂點
在方程中，令y = 0，得x = ±a，說明橢圓與x軸有兩個交點和；同樣，令x = 0，得y = ±b，說明橢圓與x軸有兩個交點和．
橢圓與它的對稱軸的交點叫做橢圓的頂點．因此四個點是橢圓的四個頂點．線段分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為2a和2b．a(chǎn)和b分別表示橢圓的半長軸長和半短軸長．
4．離心率
橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率，記作e．即
．
因為a＞c＞0，所以0＜e＜1．當e增大逐漸接近1的時候，c逐漸接近a，從而越小，因此橢圓越扁；反之，當e減小逐漸接近0的時候，c逐漸接近0，從而逐漸接近a，此時橢圓逐漸接近于圓．
同樣，可以得到橢圓的范圍、對稱性、頂點、長軸、短軸及離心率等基本性質(zhì).
探究與發(fā)現(xiàn)
為什么油罐車的儲油罐、灑水車的儲水箱一般設(shè)計為橢圓的形狀？
可以降低分散液體對罐壁的壓力，在裝同體積下，同強度，橢圓型設(shè)計上可以縮小壁厚，減少材料。同時，也提高行車平衡能力，而且也便于清洗。如果是方型，就沒辦法把低下的油放干凈，而且行車時油對壁的沖擊很大.
【設(shè)計意圖】橢圓的范圍和對稱性易于直觀判斷，運用代數(shù)方法進行界定可以幫助學生習得幾何問題代數(shù)化的思想方法，培養(yǎng)學生科學嚴謹?shù)目茖W精神.
（五）鞏固知識，典例練習
【典例1】求橢圓16x2+25y2=400的長軸長、短軸長、離心率、焦點和頂點的坐標.
解: 將所給的方程化為標準方程，得
這是焦點在x軸上的橢圓的標準方程，并且a = 5，b = 4．
因為 ．
所以橢圓的長軸長2a = 10，短軸長2b = 8，離心率焦點坐標為頂點坐標為
【典例2】分別求滿足下列條件的橢圓的標準方程.
（1）經(jīng)過點M(4，0) 、N(0，－3)；
（2）短軸長為6，離心率為．

解: （1）因為橢圓與坐標軸的交點就是橢圓的頂點,所以,點M、N就是橢圓的頂點,并且長半軸長a=4,短半軸長b=3.
由于橢圓的長軸在x軸上,故其焦點在x軸上.于是,所求橢圓的標準方程為
（2）因為 所以a = 5，
若橢圓的焦點在x軸上，所求的橢圓方程為
若橢圓的焦點在y軸上，所求的橢圓方程為
溫馨提示
求橢圓的標準方程時,如果橢圓的焦點位置不明確,應分別就焦點在x軸和y 軸上兩種情形進行討論.
【典例3】用“描點法”畫出橢圓的圖形.
分析：由于橢圓具有對稱性,一般只需先畫出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形,然后利用對稱性,畫出全部圖形.
解: 當y≥0時,橢圓的方程可以變形為
在[0,5]內(nèi),選取幾個整數(shù)作為x的值,計算出對應的y值,列表
以表中的x值為橫坐標,對應的y值為縱坐標,在直角坐標系中依次描出相應的點(x,y),用光滑的曲線順次鏈接各點,得到橢圓在第一象限內(nèi)的圖形.然后利用橢圓的對稱性,畫出全部圖形.
溫馨提示
我們可以利用橢圓的頂點和對稱性畫出大致圖像.具體步驟如下：
（1）由a2=25,得a=5,則得到橢圓的兩個頂點A1(-5,0)、A2(5,0)；
（2）由b2=9,得b=3,則得到橢圓的另外兩個頂點B1(0,-3),B2(0,3) ；
（3）依據(jù)橢圓的圖形特征,用光滑的曲線連接四個點,則橢圓的大致圖像就畫好了.
【設(shè)計意圖】例1強調(diào)先將橢圓化為標準方程并要規(guī)范解題步驟，例2應強調(diào)先確定橢圓的焦點位置再求出相應的量，例3強化學生作圖的能力.
（四）鞏固練習，提升素養(yǎng)
【鞏固1】求橢圓的長軸長、短軸長、離心率、焦點和頂點的坐標，并用“描點法”畫出它的圖形．
解 將所給的方程化為標準方程，得
．
這是焦點在x軸上的橢圓的標準方程，并且a = 5，b = 3．
因為 ．
所以橢圓的長軸長2a = 10，短軸長2b = 6，離心率焦點坐標為頂點坐標為
【鞏固2】求適合下列條件的橢圓的標準方程：
（1）經(jīng)過點P(－3，0) 、Q(0，－2)；
（2）長軸長為18，離心率為．
解 （1）由于點P、Q在坐標軸上，并且以坐標軸為對稱軸的橢圓與坐標軸的焦點就是橢圓的頂點，故點P、Q分別是橢圓長軸和短軸的一個端點．于是
a = 3， b = 2．
由于橢圓的長軸在x軸上，故橢圓的焦點在x軸上．因此所求的橢圓標準方程為
．
（2）因為
所以 a = 9， c = 3．
于是
橢圓的焦點可能在x軸上，也可能在y軸上．因此，所求的橢圓方程為
或．
【設(shè)計意圖】通過練習及時掌握學生的知識掌握情況，查漏補缺
（五）鞏固練習，提升素養(yǎng)
1. 求下列橢圓的長軸長、短軸長、焦距、離心率、焦點和頂點的坐標.
（1）；（2）
2．求滿足下列條件的橢圓的標準方程：
（1），焦點在x軸上；
（2），焦點在y軸上；
（3）經(jīng)過點P(－6，0) 、Q(0，8)；
（4）長軸長為18，離心率為．
3．求下列直線和橢圓的交點坐標
(1) ；
(2) ．
4．如圖所示,一個橢圓形溜冰場的長軸的兩端到同一個焦點的距離分別為40m和10m,求這個橢圓的標準方程和兩個焦點的坐標.
【設(shè)計意圖】通過練習及時掌握學生的知識掌握情況，查漏補缺
（六）課堂小結(jié)，反思感悟
1.知識總結(jié)：
2.自我反思：
（1）通過這節(jié)課，你學到了什么知識？


（2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想與方法？


（3）你的學習效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？


【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學生反思學習過程的能力
（七）作業(yè)布置，繼續(xù)探究
(1)讀書部分： 教材章節(jié)3.1.2；
(2)書面作業(yè)： P63習題3.1的3，4，5,6.
（八）教學反思

知識
能力與素養(yǎng)
理解標準方程所表示的橢圓的范圍、對稱性、頂點、離心率等幾何性質(zhì)．
學生的數(shù)學思維能力得到提高．
重點
難點
橢圓的性質(zhì)．
橢圓離心率概念．
x
0
1
2
3
4
5
y
3
2.94
2.275
2.4
1.8
0

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3.1.2 橢圓的幾何性質(zhì)

版本： 高教版（2021）

年級： 拓展模塊一 上冊

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