學習重難點
教材分析
本節(jié)課建立復數(shù)與有序?qū)崝?shù)對、平面內(nèi)的點、以原點為起點的向量之間的一一對應(yīng)關(guān)系，知道復平面內(nèi)復數(shù)的幾何意義；會求復數(shù)的模和復數(shù)的共軛復數(shù)；能用平面內(nèi)的點或以原點為起點的向量表示復數(shù).
學情分析
學生已經(jīng)學過絕對值的幾何意義及向量的坐標表示，通過類比學生比較容易理解復數(shù)的幾何意義，在學習向量時，學生已經(jīng)知道向量和坐標系中的點是一一對應(yīng)的，因此這節(jié)課的關(guān)鍵是讓學生理解為什么復數(shù)與實數(shù)對（坐標）一一對應(yīng)．
教學工具
教學課件
課時安排
2課時
教學過程
5.1.2 復數(shù)的幾何意義
（一）創(chuàng)設(shè)情境，生成問題
我們知道,任意一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示,那么復數(shù)可否用點來表示呢？
【設(shè)計意圖】與實數(shù)對比.
（二）調(diào)動思維，探究新知
由復數(shù)相等的定義,復數(shù)z=a+bi與有序?qū)崝?shù)對(a,b)之間是一一對應(yīng)的.而有序?qū)崝?shù)對(a,b)與平面直角坐標系中的點也是 一一對應(yīng)的．因此,復數(shù)集里的復數(shù)與平面直角坐標系中的點可以建立一一對應(yīng)關(guān)系,即復數(shù)可以用平面直角坐標系中的點來表示.
如圖所示,復數(shù)z=a+bi可以用平面直角坐標系中的點Z(a,b)來表示.用來表示復數(shù)的平面稱為復平面,直角坐標系中的x軸稱為實軸,y軸(除去原點)稱為虛軸.顯然,實軸上的點都表示實數(shù);虛軸上的點都表示純虛數(shù).
例如,復平面內(nèi)的原點O(0,0)表示實數(shù)O,點A(1,0)表示實數(shù),點B(0,-1)表示純虛數(shù)-i,點D(1,-1 )表示復數(shù) 1- i.
由于復數(shù)z=a+bi與點Z(a,b)是一一對應(yīng)的,點Z(a,b)與向量也是一一對應(yīng)的,如圖所示.因此,復數(shù)z=a+bi既可以用點Z(a,b)表示,也可以用向量表示,這就是復數(shù)的幾何意義.
一般地,向量的長度稱為復數(shù)z=a+bi的模,記作|z|或|a+bi|，
即
顯然,復數(shù)的模就是它在復平面中所對應(yīng)的點到原點的距離.如果b=0,那么復數(shù)z=a+bi是 一個實數(shù),它的模等于實數(shù)a的絕對值|a|.
探究與發(fā)現(xiàn)
全體虛數(shù)構(gòu)成的集合稱為虛數(shù)集,全體純虛數(shù)構(gòu)成的集合稱為純虛數(shù)集,它們與實數(shù)集、復數(shù)集之間具有怎樣的關(guān)系？
復數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系可以用下圖表示.
【設(shè)計意圖】引導學生結(jié)合復數(shù)相等的定義認識到復數(shù)的實質(zhì)是一個有序?qū)崝?shù)對，再運用學習代數(shù)、解析幾何的經(jīng)驗領(lǐng)會到復數(shù)的幾何意義是平面上的點.
（三）鞏固知識，典例練習
【典例1】在復平面內(nèi)，畫出表示復數(shù)3-i、4、2i 的點和向量.
解: 如圖所示表示復數(shù)3-i的點為A(3,-1)，向量為
表示復數(shù)4的點為B（4，0），向量為
表示復數(shù)2i 的點為C（0，2）， 向量為
【典例2】已知復數(shù)
（1）在復平面內(nèi)畫出復數(shù)對應(yīng)的點和向量；
（2）求復數(shù)的模，并比較模的大小.
解：(1)如圖所示,復數(shù)z1、z2對應(yīng)的點分別為Z1、Z2，對應(yīng)的向量分別為
（2）
所以Z1=Z2
【設(shè)計意圖】在理解復平面概念的基礎(chǔ)上，訓練如何用復平面內(nèi)的點表示復數(shù)，如何在復平面內(nèi)表示復數(shù).
一般地,如果兩個復數(shù)的實部相等,虛部互為相反數(shù),那么這兩個復數(shù)互為共軛復數(shù).
共軛復數(shù)用表示,即如果z=a+bi,那么=a-bi.
例2可知,兩個共輪復數(shù)的模相等,表示兩個共軛復數(shù)的點關(guān)于實軸對稱.特別地,實數(shù)a 的共軛復數(shù)仍是a本身.
【典例3】設(shè)復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z,問滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形？
（1）|z|=3；
（2）2≤|z|≤3.
解：(1)由|z|=3知，向量的模等于3，所以滿足條件|z|=3的點Z的集合是以原點O為圓心，以3為半徑的圓.
(2)不等式2≤|z|≤3可化為
滿足條件在以原點O為圓心，以2為半徑的圓上或其外部，滿足條件|z|≤3的點Z在以原點為圓心、以3為半徑的圓上或其內(nèi)部.因此，滿足條件2≤|z|≤3的點的集合是以原點O為圓心、分別以2和3為半徑的兩個圓所圍成的圓環(huán).
【設(shè)計意圖】鞏固復數(shù)幾何意義，提升學生直觀想象核心素養(yǎng).
溫馨提示
兩個實數(shù)可以比較大小,試問兩個復數(shù)可以比較大小嗎？.
（四）鞏固練習，提升素養(yǎng)
1.復數(shù)z＝－1－2i(i為虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于( C )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
解： z＝－1－2i對應(yīng)點Z(－1，－2)，位于第三象限．
2. 已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，則下列各式正確的是( D )
A．z1＞z2B．z1＜z2
C．|z1|＞|z2|D．|z1|＜|z2|
解：不全為實數(shù)的兩個復數(shù)不能比較大小，排除選項A，B．
又|z1|＝，|z2|＝eq \r(52＋42)，∴|z1|＜|z2|．
故選D．
【設(shè)計意圖】通過練習及時掌握學生的知識掌握情況，查漏補缺
（五）鞏固練習，提升素養(yǎng)
1. 在復平面內(nèi)畫出表示下列復數(shù)的點和向量.
（1） （2） （3） （4）3
2. 求下列復數(shù)的模
（1）4- （2）2 （3） （4）
3.寫出 下列復數(shù)的共軛復數(shù)，并求它們的模
(1) 5+12i (2)
4.指出滿足下列條件的復數(shù)z所對應(yīng)的點的集合是什么圖形.
(1) (2)
【設(shè)計意圖】通過練習及時掌握學生的知識掌握情況，查漏補缺
（六）課堂小結(jié)，反思感悟
1.知識總結(jié)：
2.自我反思：
（1）通過這節(jié)課，你學到了什么知識？


（2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想與方法？


（3）你的學習效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？


【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學生反思學習過程的能力
（七）作業(yè)布置，繼續(xù)探究
(1)讀書部分： 教材章節(jié)5.1.2；
(2)書面作業(yè)： P162習題5.1的4,5.
（八）教學反思

知識
能力與素養(yǎng)
能建立復數(shù)與有序?qū)崝?shù)對、平面內(nèi)的點、以原點為起點的向量之間的一一對應(yīng)關(guān)系，知道復平面內(nèi)復數(shù)的幾何意義；會求復數(shù)的模和復數(shù)的共軛復數(shù)；能用平面內(nèi)的點或以原點為起點的向量表示復數(shù).
培養(yǎng)和提升數(shù)學運算和邏輯推理等核心素養(yǎng)
重點
難點
求復數(shù)的模和復數(shù)的共軛復數(shù)．
復數(shù)的幾何意義．

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5.1.2 復數(shù)的幾何意義

版本： 高教版（2021）

年級： 拓展模塊一 上冊

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