前面我們研究過一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}. 同學(xué)們通過討論下面兩個(gè)問題，可以體會(huì)如何運(yùn)用所學(xué)知識(shí)選擇最短路徑.
（1）能利用軸對(duì)稱變換解決實(shí)際問題.
（2）能利用作圖解決生活中的軸對(duì)稱問題.（作圖建模）
　　問題1　從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然后到B 地．到河邊什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？
　　將A，B 兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l 抽象為一條直線．
設(shè)C 為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時(shí)，AC 與CB 的和最?。ㄈ鐖D）．
如圖所示，點(diǎn)A、B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在l上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離的和最短？
連接AB，與直線l相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)即為所求.
如果我們能把點(diǎn)B移到l的另一側(cè)B′處，同時(shí)對(duì)直線l 上的任意一點(diǎn)C，都保持CB 與CB′的長(zhǎng)度相等，就可以把問題轉(zhuǎn)化為上面的情況.
作出點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B′ ，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)可以得到CB′=CB.
連接AB′，與直線l 相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C 即為所求．
　　證明：如圖，在直線l 上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C 不重合），連接AC′，BC′，B′C′． 由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，BC =B′C，BC′=B′C′． ∴　AC +BC= AC +B′C = AB′， AC′+BC′ = AC′+B′C′．
在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴　AC +BC＜AC′+BC′．即　AC +BC 最短．
練習(xí)1 如圖，A、B是兩個(gè)蓄水池，都在河流a的同側(cè)，為了方便灌溉作物，要在河邊建一個(gè)抽水站，將河水送到A、B兩地，問該站建在河邊什么地方，可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點(diǎn)（保留作圖痕跡）.
解：如圖，P點(diǎn)即為該點(diǎn).
如圖所示，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.）
當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，AM+MN+NB最??？
由于河岸寬度是固定的，因此當(dāng)AM+NB最小時(shí)，AM+MN+NB最小.
將AM沿與河岸垂直的方向平移，點(diǎn)M移到點(diǎn)N，點(diǎn)A移到點(diǎn)A′，則AA′ = MN，AM + NB = A′N + NB. 這樣問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)， A′N+NB最??？
連接A′B與b相交于N，N點(diǎn)即為所求.
練習(xí)2 牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B處，請(qǐng)畫出最短路徑.
1.作圖在直線l上找一點(diǎn)C，使AC+BC最小.
2.如圖，已知牧馬營(yíng)地在P處，每天牧馬人要趕著馬群先到河邊飲水，再帶到草地吃草，請(qǐng)你替牧馬人設(shè)計(jì)出最短的放牧路線.
解：如圖AP+AB即為最短的放牧路線.
3. 如圖，M、N分別是△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，在邊BC上求作一點(diǎn)P，使△PMN的周長(zhǎng)最小.
解：如圖，作點(diǎn)M關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接M′N，交BC于點(diǎn)P，則△PMN的周長(zhǎng)最小.
4.如圖，已知直線MN與MN異側(cè)兩點(diǎn)A、B，在MN上求作一點(diǎn)P，使PA-PB最大，請(qǐng)說明理由.
解：如圖，作B點(diǎn)關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′并延長(zhǎng)，交MN于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求. 理由：點(diǎn)A，B′，P在同一條直線上時(shí)，PA-PB′最大，即PA-PB最大.
在解決最短路徑問題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱、平移等變化把已知問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇.

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