能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題,
體會圖形的變化在解決最值問題中的作用.
【重點難點】
重點：利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”問題
難點：如何利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題
【學(xué)習(xí)過程】
自主學(xué)習(xí)：
如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，走哪條路最近？你的理由是什么？
二、合作探究：
eq \a\vs4\al(探究點一) 探索最短路徑問題
活動一：相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：
從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？
精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的 知識回答了這個問題．這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”．
你能將這個問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？
追問1 這是一個實際問題，你打算首先做什么？
追問2 你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？
問題2：如圖，點A，B 在直線l 的同側(cè)，點C 是直線上的一個動點，當(dāng)點C 在l 的什么位置時，AC與CB的和最??？

追問3：對于問題2，如何將點B“移”到l的另一側(cè)B′處，滿足直線l 上的任意一點C，都保持CB 與CB′的長度相等？你能利用軸對稱的有關(guān)知識，找到上問中符合條件的點B′嗎？你能用所學(xué)的知識證明你的作法正確嗎？
eq \a\vs4\al(探究點二) 選址造橋問題
如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直．)
嘗試應(yīng)用
如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個村莊.欲在l上的某處修建一個水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實線表示鋪設(shè)的管道，則所需要管道最短的是（ ）
如圖，牧童在A處放馬，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD,,若點A到河岸CD的中點的距離為500米，則牧童從A處把馬牽到河邊飲水再回家，所走的最短距離是 米.
4、如圖所示，M、N是△ABC邊AB與AC上兩點，在BC邊上求作一點P，使△PMN的周長最小。

四、補償提高
如圖，一個旅游船從大橋AB 的P 處前往山腳下的Q 處接游客，然后將游客送往河岸BC 上，再返回P 處，請畫出旅游船的最短路徑．

【學(xué)后反思】


參考答案：
探究一、
追問1、
答：將A，B 兩地抽象為兩個點，將河l 抽象為一條直線．
追問2
答：(1)從A 地出發(fā)，到河邊l 飲馬，然后到B 地； (2)在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與A，B 連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A 地到飲馬地，再回到B 地的路程之和；(3)現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點．設(shè)C 為直線上的一個動點，上面的問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點C 在l 的什么位置時，AC 與CB 的和最小(如圖)．

追問3
作法：
(1)作點B 關(guān)于直線l 的對稱點B′；
(2)連接AB′，與直線l 交于點C.
則點C 即為所求．
證明：如圖，在直線l上任取一點C′(與點C 不重合)，連接AC′，BC′，B′C′.由軸對稱的性質(zhì)知， BC ＝B′C，BC′＝B′C′.
∴ AC ＋BC＝ AC ＋B′C ＝ AB′，
AC′＋BC′＝ AC′＋B′C′.
在△AB′C′中， AB′＜AC′＋B′C′，
∴ AC ＋BC＜AC′＋BC′.
即 AC ＋BC 最短.
探究二、
分析：從A到B要走的路線是A→M→N→B，如圖所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．
解：在直線a上取任意一點M′，作M′N′⊥b于點N′，平移AM，使點M′移動到點N′的位置，點A移動到點A′的位置，連接A′B交直線b于點N，過點N作MN⊥a于點M，則路徑AMNB最短．
理由如下：如圖，點M′為直線a上任意一點(不與點M重合)，
∵線段A′N′是線段AM平移得到的
∴AA′＝MN′，A′N′＝AM
∴AM′＋MN′＋BN′＝A′N′＋AA′＋BN′
∵MN平行AA′且MN＝AA′
∴MN可以看作是AA′經(jīng)過平移得到的
∴A′N＝AM
∴AM＋NB＝A′N＋NB
∵根據(jù)兩點之間線段最短，得A′N＋NB＝A′B

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13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題

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