在與三角形有關(guān)的線段中，除了它的三邊外，還有它的高、中線和角平分線，這節(jié)課我們來學習三角形的高、中線和角平分線的意義、作法和發(fā)現(xiàn)的規(guī)律性結(jié)論.
學習目標： 1．了解三角形的高、中線和角平分線的意義. 2．會畫出三角形的高、中線和角平分線. 3．結(jié)合圖形寫出三種線段分別得到的相應(yīng)結(jié)論.
　　問題1　與三角形有關(guān)的線段，除了三條邊，還有三角形的高．過三角形的一個頂點，你能畫出它的對邊的垂線嗎？
　　問題2　你能描述三角形的高嗎？
　　如圖，在△ABC 中，AD⊥BC ，點D是垂足，則AD是△ABC的邊BC上的高，此時： ∠ADB = ∠ADC = 90°．
　　三角形的高： 從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高．
　　問題3　分別畫一個銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，你能分別畫出這三個三角形的三條高嗎？
　　銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部；　　直角三角形的兩條高分別與兩條邊重合；　　鈍角三角形的兩條高在三角形的外部．
三角形三條高所在的直線交于一點．
　　練習1　在下圖中，正確畫出△ABC 中邊BC 上高的是（ ）．
解：△ABE，△ABD，△ABC，△AED，△AEC，△ADC.
練習2　如圖，寫出以AE為高的三角形.
　　問題4　剛才我們學習了三角形的高，我們已經(jīng)知道了三角形的面積公式，你能經(jīng)過三角形的一個頂點畫一條線段，將這個三角形分為面積相等的兩個三角形嗎？
理解三角形的中線的概念
　　三角形的中線： 在三角形中，連接一個頂點與它對邊的中點的線段叫做三角形的中線．
　　問題5　如上頁圖，畫出△ABC 的另兩條中線，觀察三條中線，你有什么發(fā)現(xiàn)？
　　三角形的三條中線相交于一點，三角形三條中線的交點叫做三角形的重心．
　　畫一個銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，再分別畫出這三個三角形的三條中線.
　　練習3　如圖，AD，BE，CF 是△ABC 的三條中線．（1）AC = AE = EC； CD = ； AF = AB；（2）若S△ABC = 12 cm2， 則S△ABD = ．
S△ABC = 2S△ABM = 40 平方厘米
　　練習4　如圖所示，AM 是△ABC的中線，△ABM 的面積是 20 平方厘米，求△ABC 的面積.
　　問題6　準備一個三角形紙片ABC ，按圖所示的方法折疊，展開后，折痕BD 把∠ABC 分成∠1和∠2 兩個角．∠1 和∠2 有什么關(guān)系？
理解三角形的角平分線的概念
　　三角形的角平分線： 在三角形中，一個角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線．
　　如圖，畫∠BAC 的平分線，與BC 相交于點D，則AD 是△ABC 的角平分線，此時有：
　　問題7　如上頁圖，畫出△ABC 的另兩條角平分線，觀察三條角平分線，你有什么發(fā)現(xiàn)？
　　觀察銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條角平分線，你又有什么發(fā)現(xiàn)？
　　三角形的三條角平分線相交于一點．
　　練習5　如圖，AD，BE，CF 是△ABC 的三條角平分線，則：∠1 = ； ∠3 = ； ∠ACB =2 .
【課本P5 練習 第2題（2）】
1.以下說法錯誤的是（ ）A.三角形的三條高一定在三角形內(nèi)部交于一點B.三角形的三條中線一定在三角形內(nèi)部交于一點C.三角形的三條角平分線一定在三角形內(nèi)部交于一點D.一個三角形的三條高、中線、角平分線分別交于同一個點
2.如圖，（1）（2）和（3）中的三個∠B有什么不同？這三條△ABC的邊BC上的高AD在各自三角形的什么位置？你能說出其中的規(guī)律嗎？
【課本P5 練習 第1題】
規(guī)律：銳角三角形的高在三角形的內(nèi)部；直角三角形的直角邊上的高在另一直角邊上；鈍角三角形較短邊的高在三角形的外部。
3.填空：如圖，AD， BE， CF是△ABC的三條中線，則AB＝2_____________，BD＝________________， AE＝ _______。
【課本P5 練習 第2題（1）】
4.如圖，AD是△ABC的邊BC上的中線，已知AB = 5cm，AC = 3cm.△ABD的面積為a cm2，（1）S△ABC = ______cm2；（2）△ABD與△ACD的周長之差為___cm.
5.在△ABC 中，AD 是∠A 的平分線，DE∥AC 交AB于E，EF∥AD 交BC 于F，試問EF是△BED的角平分線嗎？說說你的理由.
解：EF是△BED的角平分線，理由如下：∵AD是∠BAC的平分線，∴∠1=∠2. ∵ DE∥AC，∴∠5=∠2=∠1.∵EF∥AD，∴∠3=∠5，∠4=∠1，∴∠3=∠4，∴EF 是△BED 的角平分線.
三角形中的幾種重要線段

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11.1.2 三角形的高、中線與角平分線

版本： 人教版（2024）

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