1. 明確三角形高、中線與角平分線的定義.2. 會(huì)應(yīng)用三角形高線、中線、角平分線的性質(zhì)解決問題.3. 了解三角形的穩(wěn)定性.
你還記得如何過一個(gè)定點(diǎn)向已知直線作垂線嗎？
思考：過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，你能畫出它對(duì)邊的垂線嗎？
我們從點(diǎn) A 向 BC 所作的垂線，就是△ABC的高，想一想，你能用自己的話描述一下三角形高的定義嗎？
三角形的高從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段，叫做這個(gè)三角形的高.想一想：三角形的高 (有/沒有)長(zhǎng)度.每個(gè)三角形都有 條高.
如圖，(1)、(2)和(3)中的三個(gè)∠B 有什么不同？這三條△ABC 的邊 BC 上的高 AD 各自在三角形的什么位置？你能說出其中的規(guī)律嗎？
解：圖 (1) 中的∠ABC是銳角，圖 (2) 中的∠ABC直角，圖 (3) 中的∠ABC鈍角；圖 (1) 中△ABC的邊 BC 上的高 AD 在三角形內(nèi)部，圖 (2) 中△ABC的邊 BC 上的高 AD 在三角形邊上，圖 (3) 中△ABC的邊 BC 上的高 AD 在三角形外部.
通過上題來觀察銳角三角形、鈍角三角形以及直角三角形的三條高，并進(jìn)行總結(jié).
觀察下面幾個(gè)圖形，我們發(fā)現(xiàn)三角形的三條高所在的直線都交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的垂心。
銳角三角形的垂心位于三角形內(nèi)部，鈍角三角形的垂心位于三角形外部，直角三角形的垂心位于三角形直角頂點(diǎn)上.
在三角形中，連接三角形一個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的線段，叫做這個(gè)三角形的中線.
如圖，AD 是 BC 邊上的中線，BE 是 AC 邊上的中線，CF 是 AB 邊上的中線.
同一個(gè)三角形中三條中線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的重心.
我們知道，三角形的面積是一半的底乘高，那么根據(jù)這個(gè)性質(zhì)，給你一個(gè)特定的三角形，你能通過作一條線段，將該三角形的面積一分為二嗎？
歸納總結(jié)：三角形的任意一條中線平分這個(gè)三角形的面積.
思考：三角形內(nèi)部有沒有一條線段，可以把三角形的某個(gè)角一分為二呢？嘗試著做一下.
三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.
如圖，AD 為∠BAC的角平分線，BF 為∠ABC的角平分線，CE 為∠ACB的角平分線.
三條角平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心.
思考：三角形的角平分線和角的平分線有什么區(qū)別？
三角形的角平分線是一條線段，角的平分線是一條射線.
工程建筑中經(jīng)常采用三角形的結(jié)構(gòu)，如屋頂，想一想其中的道理是什么呢？
如下圖，將三根木條用釘子釘成一個(gè)三角形木架，然后扭動(dòng)它，它的形狀會(huì)改變嗎？用四根木條釘成一個(gè)四邊形，然后扭動(dòng)它，它的形狀會(huì)改變嗎？
我們可以發(fā)現(xiàn)：三角形木架的形狀不會(huì)改變，而四邊形木架的形狀會(huì)改變.這就是說，三角形是具有穩(wěn)定性的圖形，而四邊形沒有穩(wěn)定性.
2. 如圖，在△ABC中，點(diǎn) D 為 BC 邊上一點(diǎn)，連接 AD，取 AD 的中點(diǎn) P，連接 BP，CP，若△ABC的面積為4 cm2，則△BPC的面積為 .
從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段，叫做這個(gè)三角形的高.三角形的三條高所在的直線都交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的垂心。銳角三角形的垂心位于三角形內(nèi)部，鈍角三角形的垂心位于三角形外部，直角三角形的垂心位于三角形直角頂點(diǎn)上.
在三角形中，連接三角形一個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的線段，叫做這個(gè)三角形的中線.同一個(gè)三角形中三條中線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的重心.三角形的任意一條中線平分這個(gè)三角形的面積.三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.三條角平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心.三角形是具有穩(wěn)定性的圖形，而四邊形沒有穩(wěn)定性.

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11.1.2 三角形的高、中線與角平分線

版本： 人教版

年級(jí)： 八年級(jí)上冊(cè)

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