1．如圖所示，△ABC∽△DEF，則∠D的度數(shù)為（ ）
A．35°B．45°C．65°D．80°
2．下列各坐標(biāo)表示的點(diǎn)中，在函數(shù)y＝x2+1的圖象上的是（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，4）C．（1，2）D．（1，4）
3．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，AD＝3，BD＝2，則AE與EC的比是（ ）
A．3：2B．3：5C．9：16D．9：4
4．將二次函數(shù)y＝﹣2x2的圖象向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的二次函數(shù)的表達(dá)式為（ ）
A．y＝﹣2x2+3B．y＝﹣2x2﹣3
C．y＝﹣2（x﹣3）2D．y＝﹣2（x+3）2
5．如圖，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，則BC＝（ ）
A．2B．C．D．4
6．已知（﹣3，y1）（1，y2）是二次函數(shù)y＝2x2﹣4x圖象上的兩點(diǎn)，那么y1，y2的大小關(guān)系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y(tǒng)2D．不能確定
7．在物理課中同學(xué)們?cè)鴮W(xué)過小孔成像：在較暗的屋子里，把一支點(diǎn)燃的蠟燭放在一塊半透明的塑料薄膜前面，在它們之間數(shù)一塊鉆有小孔章的紙板，由于光沿直線傳播，塑料薄膜上就出現(xiàn)了蠟燭火焰倒立的像（如圖1），這種現(xiàn)象就是小孔成像，在圖2中，如果蠟燭火焰圖1根B到孔O的距離為4cm，火焰根的像B'到孔O的距離為10cm，蠟燭火焰AB的高度為2cm，那么倒立的像A'B'的高度為（ ）
A．2cmB．4cmC．5cmD．7cm
8．如圖，要在二次函數(shù)y＝x（2﹣x）的圖象上找一點(diǎn)M（a，b），針對(duì)b的不同取值，所找點(diǎn)M的個(gè)數(shù)，有下列三種說法：①如果b＝﹣3，那么點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為0；②如果b＝1，那么點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為1；③如果b＝3，那么點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為2．上述說法中正確的序號(hào)是（ ）
A．①B．②C．③D．②③
二、填空題
9．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的對(duì)稱軸為直線x＝1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是（3，0），那么二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．
10．已知：，則＝ ．
11．已知點(diǎn)A（1，y1）、點(diǎn)B（2，y2）在拋物線y＝ax2﹣2上，且y1＜y2，那么a的取值范圍是 ．
12．已知兩個(gè)相似三角形的面積之比是4：9，那么這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比是 ．
13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（1，2），點(diǎn)Q（3，2），如果二次函數(shù)y＝ax2的圖象與線段PQ有交點(diǎn)，那么a的取值范圍為 ．
14．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，自變量x與函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值如下表．則當(dāng)﹣3＜x＜3時(shí)，y滿足的范圍是 ．
15．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，D是AC的中點(diǎn)，在邊AB上確定點(diǎn)E的位置．使得△ADE∽△ABC，那么AE的長(zhǎng)為 ．
16．如圖，一座懸索橋的橋面OA與主懸鋼索MN之間用垂直鋼索連接，主懸鋼索是拋物線形狀，兩端到橋面的距離OM與AN相等，小強(qiáng)騎自行車從橋的一端O沿直線勻速穿過橋面到達(dá)另一端A，當(dāng)他行駛18秒時(shí)和28秒時(shí)所在地方的主懸鋼索的高度相同，那么他通過整個(gè)橋面OA共需 秒．
三、解答題
17．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3的圖象經(jīng)過A（1，﹣4），B（﹣1，0）兩點(diǎn)．
（1）求a和b的值；
（2）在坐標(biāo)系xOy中畫出該二次函數(shù)的圖象．
18．如圖，在△ABC，AC⊥BC，D是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，E是AC上的一點(diǎn)，連接ED，∠A＝∠D．
求證：△ABC∽△DEC．
19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝a（x﹣3）2﹣4的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）已知點(diǎn)D在二次函數(shù)y＝a（x﹣3）2﹣4的圖象上，且點(diǎn)D和點(diǎn)C到x軸的距離相等，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
20．如圖，BE是△ABC的角平分線，在BE的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)D．滿足CD＝BC．求證：＝．
21．已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+5（a≠0）．
（1）二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為 ，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
（2）當(dāng)a＝1時(shí)，如果P（n，y1），Q（n+1，y2）是該二次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且y1＞y2，求實(shí)數(shù)n的取值范圍．
22．定義：如圖①，如果點(diǎn)D在△ABC的邊AB上且滿足∠1＝∠2，那么稱點(diǎn)D為△ABC的“理想點(diǎn)”，如圖②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，如果點(diǎn)D是△ABC的“理想點(diǎn)”，連接CD．求CD的長(zhǎng)．
23．已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+a+1（a≠0）圖象的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)B．
（1）求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）求點(diǎn)B的縱坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；
（3）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)．當(dāng)二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+a+1（a≠0）的圖象與直線y＝a+1圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包含邊界）只有2個(gè)整點(diǎn)時(shí)，直接寫出a的取值范圍．
24．如圖△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且＝．
（1）求證：△AED∽△ABC；
（2）求線段DE長(zhǎng)的取值范圍．
25．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）已知點(diǎn)P（1，0），Q（3，﹣2a﹣1），如果線段PQ與二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax（a≠0）的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)．結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍．
26．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，過點(diǎn)A作BC的垂線AD，垂足為D，E為線段DC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C，點(diǎn)D重合），連接AE．以點(diǎn)A為中心，將線段AE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AF，連接BF，與線段AD交于點(diǎn)G．
（1）求證：∠BAE＝∠CAF；
（2）用等式表示線段BG與FG的數(shù)量關(guān)系，并證明．
27．2022年北京冬奧會(huì)即將召開，激起了人們對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的極大熱情．如圖是某跳臺(tái)滑雪訓(xùn)練場(chǎng)的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為x軸，過跳臺(tái)終點(diǎn)A作水平線的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，圖中的拋物線C1：y＝﹣x2+x+1近似表示滑雪場(chǎng)地上的一座小山坡，某運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)O正上方3米處的A點(diǎn)滑出，滑出后沿一段拋物線C2：y＝﹣x2+bx+c運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到離A處的水平距離為4米時(shí)離水平線的高度為7米，求拋物線C2的函數(shù)表達(dá)式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)的水平距離為多少米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員恰好落在小山坡的B處？
2021-2022學(xué)年北京市通州區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題
1．如圖所示，△ABC∽△DEF，則∠D的度數(shù)為（ ）
A．35°B．45°C．65°D．80°
【分析】直接利用相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得出答案．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴∠B＝∠E＝35°，∠C＝∠F＝80°，
∴∠D＝180°﹣35°﹣80°＝65°．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，正確得出對(duì)應(yīng)角度數(shù)是解題關(guān)鍵．
2．下列各坐標(biāo)表示的點(diǎn)中，在函數(shù)y＝x2+1的圖象上的是（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，4）C．（1，2）D．（1，4）
【分析】將各選項(xiàng)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式y(tǒng)＝x2+1檢驗(yàn)即可．
【解答】解：當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝x2+1＝（﹣1）2+1＝2，
∴點(diǎn)（﹣1，﹣2）和點(diǎn)（﹣1，4）不在該函數(shù)圖象上；
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝x2+1＝12+1＝2，
∴點(diǎn)（1，2）在該函數(shù)圖象上，點(diǎn)（1，4）不在該函數(shù)圖象上；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)，都滿足該函數(shù)的解析式．
3．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，AD＝3，BD＝2，則AE與EC的比是（ ）
A．3：2B．3：5C．9：16D．9：4
【分析】直接利用平行線分線段成比例定理求解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝＝．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．
4．將二次函數(shù)y＝﹣2x2的圖象向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的二次函數(shù)的表達(dá)式為（ ）
A．y＝﹣2x2+3B．y＝﹣2x2﹣3
C．y＝﹣2（x﹣3）2D．y＝﹣2（x+3）2
【分析】直接利用二次函數(shù)的平移規(guī)律“上加下減”，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：將二次函數(shù)y＝﹣2x2的圖象向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的二次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣2x2+3．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次圖象的圖象與幾何變換．熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．
5．如圖，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，則BC＝（ ）
A．2B．C．D．4
【分析】直接利用相似三角形的性質(zhì)得出BC2＝AC?CD，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：∵△ABC∽△BDC，
∴＝，
∵AC＝4，CD＝2，
∴BC2＝AC?CD＝4×2＝8，
∴BC＝2．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，正確得出對(duì)應(yīng)邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．
6．已知（﹣3，y1）（1，y2）是二次函數(shù)y＝2x2﹣4x圖象上的兩點(diǎn)，那么y1，y2的大小關(guān)系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y(tǒng)2D．不能確定
【分析】將x＝﹣3和x＝1分別代入函數(shù)解析式求得y的值，然后比較大?。?br>【解答】解：當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y1＝2×（﹣3）2﹣4×（﹣3）＝30，
當(dāng)x＝1時(shí)，y2＝2×12﹣4×1＝﹣2，
∴y1＞y2．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是將x的值代入函數(shù)解析式求得y的值．
7．在物理課中同學(xué)們?cè)鴮W(xué)過小孔成像：在較暗的屋子里，把一支點(diǎn)燃的蠟燭放在一塊半透明的塑料薄膜前面，在它們之間數(shù)一塊鉆有小孔章的紙板，由于光沿直線傳播，塑料薄膜上就出現(xiàn)了蠟燭火焰倒立的像（如圖1），這種現(xiàn)象就是小孔成像，在圖2中，如果蠟燭火焰圖1根B到孔O的距離為4cm，火焰根的像B'到孔O的距離為10cm，蠟燭火焰AB的高度為2cm，那么倒立的像A'B'的高度為（ ）
A．2cmB．4cmC．5cmD．7cm
【分析】由AB∥A′B′知△ABO∽△A′B′O，據(jù)此可得，解之即可得出答案．
【解答】解：如圖，
∵AB∥A′B′，
∴△ABO∽△A′B′O，
則，即，
解得A′B′＝5（cm），
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)．
8．如圖，要在二次函數(shù)y＝x（2﹣x）的圖象上找一點(diǎn)M（a，b），針對(duì)b的不同取值，所找點(diǎn)M的個(gè)數(shù)，有下列三種說法：①如果b＝﹣3，那么點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為0；②如果b＝1，那么點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為1；③如果b＝3，那么點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為2．上述說法中正確的序號(hào)是（ ）
A．①B．②C．③D．②③
【分析】把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線解析式，即可得到關(guān)于a的一元二次方程，根據(jù)根的判別式即可判斷．
【解答】解：∵點(diǎn)M（a，b）在拋物線y＝x（2﹣x）上，點(diǎn)M（a，b），
當(dāng)b＝﹣3時(shí)，﹣3＝a（2﹣a），整理得a2﹣2a﹣3＝0，
∵Δ＝4﹣4×（﹣3）＞0，
∴有兩個(gè)不相等的值，
∴點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為2，①錯(cuò)誤；
當(dāng)b＝1時(shí)，1＝a（2﹣a），整理得a2﹣2a+1＝0，
∵Δ＝4﹣4×1＝0，
∴a有兩個(gè)相同的值，
∴點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為1，②正確；
當(dāng)b＝3時(shí)，3＝a（2﹣a），整理得a2﹣2a+3＝0，
∵Δ＝4﹣4×3＜0，
∴點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為0，③錯(cuò)誤；
故正確的②，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一元二次方程根的判別式，熟練掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
9．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的對(duì)稱軸為直線x＝1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是（3，0），那么二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是 （﹣1，0） ．
【分析】找出點(diǎn)（3，0）關(guān)于x＝1的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
【解答】解：∵拋物線與x軸的一交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
∴點(diǎn)（3，0）關(guān)于x＝1的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，0）．
故答案為：（﹣1，0）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，利用拋物線的對(duì)稱性求得點(diǎn)（3，0）的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
10．已知：，則＝ ．
【分析】根據(jù)得出y＝，再把它代入中，即可求出答案．
【解答】解：∵，
∴y＝，
則＝＝；
故填：．
【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查了比例的基本性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單．
11．已知點(diǎn)A（1，y1）、點(diǎn)B（2，y2）在拋物線y＝ax2﹣2上，且y1＜y2，那么a的取值范圍是 a＞0 ．
【分析】利用A、B坐標(biāo)且y1＜y2和二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷．
【解答】解：由已知拋物線為y＝ax2﹣2，
∴對(duì)稱軸為x＝0，
∵x1＜x2，
要使y1＜y2，則在x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大，
∴a＞0，
故a的取值范圍是：a＞0．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的增減性．由A、B坐標(biāo)和y1＜y2是解題關(guān)鍵．
12．已知兩個(gè)相似三角形的面積之比是4：9，那么這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比是 2：3 ．
【分析】因?yàn)橄嗨迫切蔚拿娣e比等于相似比的平方，所以這兩個(gè)三角形的相似比是2：3．
【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形的面積比為4：9，
∴它們對(duì)應(yīng)的相似比是2：3．
故答案為2：3．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積比等于相似比的平方．
13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（1，2），點(diǎn)Q（3，2），如果二次函數(shù)y＝ax2的圖象與線段PQ有交點(diǎn)，那么a的取值范圍為 ≤a≤2 ．
【分析】線段PQ在第一象限，當(dāng)開口向下時(shí)顯然無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)開口向上時(shí)，開口越大|a|越小，當(dāng)y＝ax2經(jīng)過點(diǎn)Q（3，2）求出a的最小值，當(dāng)y＝ax2經(jīng)過點(diǎn)P（1，2）求出a的最大值．
【解答】解：由題意可知：線段PQ在第一象限，當(dāng)a＜0時(shí)開口向下，顯然y＝ax2的圖象與線段PQ沒有交點(diǎn)，當(dāng)開口向上時(shí)，由拋物線性質(zhì)開口越大a越小”可知：
當(dāng)y＝ax2經(jīng)過點(diǎn)Q（3，2）時(shí)，a有最小值，此時(shí)2＝9a，解出a＝；
當(dāng)y＝ax2經(jīng)過點(diǎn)P（1，2）時(shí)，a有最大值，此時(shí)2＝a，解出a＝2．
故a的取值范圍為：≤a≤2．
故答案為：≤a≤2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的性質(zhì)，掌握拋物線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，自變量x與函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值如下表．則當(dāng)﹣3＜x＜3時(shí)，y滿足的范圍是 ﹣4＜y≤4 ．
【分析】利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可根據(jù)x＝﹣3及x＝3時(shí)y的值，結(jié)合二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可找出﹣3＜x＜3時(shí)y的取值范圍．
【解答】解：從表格看出，函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝1，頂點(diǎn)為（1，4），函數(shù)有最大值4，
∴拋物線開口向下，當(dāng)x＝﹣3時(shí)，取最小值﹣4，
∴當(dāng)﹣3＜x＜3時(shí)，﹣4＜y≤4，
故答案為，﹣4＜y≤4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)看懂表格信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于基礎(chǔ)題．
15．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，D是AC的中點(diǎn)，在邊AB上確定點(diǎn)E的位置．使得△ADE∽△ABC，那么AE的長(zhǎng)為 ．
【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵AC＝4，D是AC的中點(diǎn)，
∴AD＝AC＝2，
當(dāng)△ADE∽△ABC時(shí)，
則AE：AC＝AD：AB，
即AE：4＝2：5，
∴AE＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
16．如圖，一座懸索橋的橋面OA與主懸鋼索MN之間用垂直鋼索連接，主懸鋼索是拋物線形狀，兩端到橋面的距離OM與AN相等，小強(qiáng)騎自行車從橋的一端O沿直線勻速穿過橋面到達(dá)另一端A，當(dāng)他行駛18秒時(shí)和28秒時(shí)所在地方的主懸鋼索的高度相同，那么他通過整個(gè)橋面OA共需 46 秒．
【分析】由題意及拋物線的對(duì)稱性，可求得拋物線的對(duì)稱軸，從而可得小強(qiáng)通過整個(gè)橋面OA的一半所需要的時(shí)間，再乘以2即可得出答案．
【解答】解：∵主懸鋼索是拋物線形狀，兩端到橋面的距離OM與AN相等，且小強(qiáng)騎行18秒時(shí)和28秒時(shí)所在地方的主懸鋼索的高度相同，
∴MN的對(duì)稱軸為直線x＝＝23，
∴他通過整個(gè)橋面OA共需23×2＝46（秒）．
故答案為：46．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，明確題意、熟練掌握二次函數(shù)的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
17．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3的圖象經(jīng)過A（1，﹣4），B（﹣1，0）兩點(diǎn)．
（1）求a和b的值；
（2）在坐標(biāo)系xOy中畫出該二次函數(shù)的圖象．
【分析】（1）把兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，即可求出答案；
（2）把解析式配成頂點(diǎn)式，然后利用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)圖象．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣4），（﹣1，0），
∴，
解得：，
∴a＝1，b＝﹣2；
（2）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4），
∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象經(jīng)過A（1，﹣4），B（﹣1，0）兩點(diǎn)．
∴圖象經(jīng)過（0，3），（2，﹣3），（3，0）兩點(diǎn)．
如圖，
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，能根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出關(guān)系式是解此題的關(guān)鍵．
18．如圖，在△ABC，AC⊥BC，D是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，E是AC上的一點(diǎn)，連接ED，∠A＝∠D．
求證：△ABC∽△DEC．
【分析】利用兩角法即可判斷出△ABC∽△DEC．
【解答】證明：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
又∵∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，屬于基礎(chǔ)題，注意相似三角形的判定可以是：兩角法，兩邊及其夾角法，三邊法．
19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝a（x﹣3）2﹣4的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）已知點(diǎn)D在二次函數(shù)y＝a（x﹣3）2﹣4的圖象上，且點(diǎn)D和點(diǎn)C到x軸的距離相等，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【分析】（1）把點(diǎn)C坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求出a的值，然后即可得到二次函數(shù)解析式；令y＝0，解關(guān)于x的一元二次方程，即可得到A、B的坐標(biāo)；
（2）由點(diǎn)D和點(diǎn)C到x軸的距離相等，可得點(diǎn)D和點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等或互為相反數(shù)，代入二次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝（x﹣3）2﹣4即可求解．
【解答】解：（1）把點(diǎn)C（0，5）代入y＝a（x﹣3）2﹣4得，
9a﹣4＝5，
解得a＝1，
所以，二次函數(shù)的解析式為y＝（x﹣3）2﹣4＝x2﹣6x+5；
令y＝0，則x2﹣6x+5＝0，
解得x1＝1，x2＝5，
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴A（1，0），B（5，0）；
（2）∵點(diǎn)D和點(diǎn)C（0，5）到x軸的距離相等，
∴點(diǎn)D和點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等或互為相反數(shù)，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為5或﹣5
當(dāng)y＝（x﹣3）2﹣4＝5時(shí)，解得x1＝0（舍去），x2＝6，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，5）；
當(dāng)y＝（x﹣3）2﹣4＝﹣5時(shí)，原方程無(wú)解．
綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，5）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，令二次函數(shù)解析式y(tǒng)＝0，解關(guān)于x的一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
20．如圖，BE是△ABC的角平分線，在BE的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)D．滿足CD＝BC．求證：＝．
【分析】由BE是△ABC的角平分線，得∠ABE＝∠CBE，由CD＝BC，得∠CBE＝∠D，則∠ABE＝∠D，而∠AEB＝∠CED，即可根據(jù)“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”證明△ABE∽△CDE，得＝，則＝．
【解答】證明：∵BE是△ABC的角平分線，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵CD＝BC，
∴∠CBE＝∠D，
∴∠ABE＝∠D，
∵∠AEB＝∠CED，
∴△ABE∽△CDE，
∴＝，
∴＝．
【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，推導(dǎo)出∠ABE＝∠D并且證明△ABE∽△CDE是解題的關(guān)鍵．
21．已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+5（a≠0）．
（1）二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為 x＝1 ，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 （0，5） ．
（2）當(dāng)a＝1時(shí)，如果P（n，y1），Q（n+1，y2）是該二次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且y1＞y2，求實(shí)數(shù)n的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸公式求對(duì)稱軸，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝5，即可得到與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）將x＝n或n+1分別代入二次函數(shù)解析式，解不等式即可得出n的取值范圍．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+5，
∴對(duì)稱軸為x＝﹣＝1，
∵當(dāng)x＝0時(shí)，y＝5，
∴與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）；
故答案為：x＝1，（0，5）．
（2）當(dāng)a＝1時(shí)，y＝x2﹣2x+5，
∵P（n，y1），Q（n+1，y2）是該二次函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)，且y1＞y2，
n2﹣2n+5＞（n+1）2﹣2（n+1）+5，
化簡(jiǎn)整理得，4n+8＜0，
∴n＜，
∴實(shí)數(shù)n的取值范圍是n＜．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟練的掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
22．定義：如圖①，如果點(diǎn)D在△ABC的邊AB上且滿足∠1＝∠2，那么稱點(diǎn)D為△ABC的“理想點(diǎn)”，如圖②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，如果點(diǎn)D是△ABC的“理想點(diǎn)”，連接CD．求CD的長(zhǎng)．
【分析】由D是△ABC的“理想點(diǎn)”，分三種情況：當(dāng)D在AB上時(shí)，CD是AB邊上的高，根據(jù)面積法可求CD長(zhǎng)度；當(dāng)D在AC上時(shí)，△BDC∽△ABC，對(duì)應(yīng)邊成比例即可求CD長(zhǎng)度；D不可能在BC上．
【解答】解：①D在AB上時(shí)，如圖：
∵D是△ABC的“理想點(diǎn)”，
∴∠ACD＝∠B或∠BCD＝∠A，
當(dāng)∠ACD＝∠B時(shí)，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠CDB＝90°，即CD是AB邊上的高，
當(dāng)∠BCD＝∠A時(shí)，同理可證∠CDB＝90°，即CD是AB邊上的高，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝＝3，
∵S△ABC＝AB?CD＝AC?BC，
∴CD＝，
②∵AC＝4，BC＝3，
∴AC＞BC有∠B＞∠A，
∴“理想點(diǎn)”D不可能在BC邊上，
③D在AC邊上時(shí)，如圖：
∵D是△ABC的“理想點(diǎn)”，
∴∠DBC＝∠A，
又∠C＝∠C，
∴△BDC∽△ABC，
∴，即，
∴CD＝，
綜上所述，點(diǎn)D是△ABC的“理想點(diǎn)”，CD的長(zhǎng)為或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解“理想點(diǎn)”的定義．
23．已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+a+1（a≠0）圖象的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)B．
（1）求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）求點(diǎn)B的縱坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；
（3）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)．當(dāng)二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+a+1（a≠0）的圖象與直線y＝a+1圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包含邊界）只有2個(gè)整點(diǎn)時(shí)，直接寫出a的取值范圍．
【分析】（1）化成頂點(diǎn)式即可求得；
（2）令x＝0，求得函數(shù)值即可求得；
（3）結(jié)合圖象，根據(jù)a的符號(hào)與圖象形狀的關(guān)系列不等式求解．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+a+1＝a（x﹣1）2+1，
∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1）；
（2）令x＝0，則y＝ax2﹣2ax+a+1＝a+1，
∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)a+1；
（3）當(dāng)a＜0時(shí)，如圖1，
當(dāng)﹣2≤a+1＜﹣1時(shí)，封閉區(qū)域內(nèi)（不包含邊界）只有2個(gè)整點(diǎn)，
∴﹣3≤a＜﹣2時(shí)，封閉區(qū)域內(nèi)（不包含邊界）只有2個(gè)整點(diǎn)；
當(dāng)a＞0時(shí)，如圖2，
當(dāng)3＜a+1≤4時(shí)，封閉區(qū)域內(nèi)（不包含邊界）只有2個(gè)整點(diǎn)，
∴2＜a≤3時(shí)，封閉區(qū)域內(nèi)（不包含邊界）只有2個(gè)整點(diǎn)；
綜上，當(dāng)二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+a+1（a≠0）的圖象與直線y＝a+1圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包含邊界）只有2個(gè)整點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍是﹣3≤a＜﹣2或2＜a≤3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，通過數(shù)形結(jié)合求解．
24．如圖△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且＝．
（1）求證：△AED∽△ABC；
（2）求線段DE長(zhǎng)的取值范圍．
【分析】（1）由AB＝6，AC＝4，得＝，則＝，變形為＝，而∠A是△AED和△ABC的公共角，即可根據(jù)“兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”證明△AED∽△ABC；
（2）先由＝，確定AD＞0，AE＞0，則DE＞0，再由0＜AE≤4，確定當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，AE＝AC＝4，此時(shí)AE最大，DE也最大，即可根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出此時(shí)DE的值為，即DE的最大值為，于是得到線段DE長(zhǎng)的取值范圍是0＜DE≤．
【解答】（1）證明：∵AB＝6，AC＝4，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC．
（2）點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且＝，
∴AD＞0，AE＞0，
∴DE＞0，
∵0＜AE≤4，
∴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，AE＝AC＝4，此時(shí)AE最大，DE也最大，
∵△AED∽△ABC，
∴＝＝＝，
∴DE＝BC＝×5＝，
∴線段DE長(zhǎng)的取值范圍是0＜DE≤．
【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查相似三角形的判定與性質(zhì)、線段長(zhǎng)度的取值范圍的求解等知識(shí)與方法，根據(jù)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)范圍確定線段DE最大時(shí)點(diǎn)E的位置是解題的關(guān)鍵．
25．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）已知點(diǎn)P（1，0），Q（3，﹣2a﹣1），如果線段PQ與二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax（a≠0）的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)．結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍．
【分析】（1）令y＝0，解一元一次方程即可即可得到A、B的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)P（1，0），Q（3，﹣2a﹣1），如果線段PQ與二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax（a≠0）的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，即可求a的取值范圍．
【解答】解：（1）令y＝0，則ax2﹣4ax＝0，即ax（x﹣4）＝0，
解得x＝0或x＝4，
∴A（0，0），B（4，0）；
（3）二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax（a≠0）的圖象的對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝2，圖象過點(diǎn)A（0，0），B（4，0）；
當(dāng)a＜0時(shí)，
若線段PQ與二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax（a≠0）的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則9a﹣12a≤﹣2a﹣1，解得a≥1（不合題意，舍去）；
當(dāng)a＞0時(shí)，
若線段PQ與二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax（a≠0）的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則9a﹣12a≥﹣2a﹣1，
解得0＜a≤1，
綜上所述，當(dāng)0＜a≤1時(shí)，線段PQ與二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax（a≠0）的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，通過數(shù)形結(jié)合求解．
26．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，過點(diǎn)A作BC的垂線AD，垂足為D，E為線段DC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C，點(diǎn)D重合），連接AE．以點(diǎn)A為中心，將線段AE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AF，連接BF，與線段AD交于點(diǎn)G．
（1）求證：∠BAE＝∠CAF；
（2）用等式表示線段BG與FG的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠EAF＝90°，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論；
（2）通過平行線分線段成比例即可證出G為BF的中點(diǎn)．
【解答】（1）證明：∵將線段AE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AF，
∴∠EAF＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠EAF，
∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAF﹣∠CAE，
即∠BAE＝∠CAF；
（2）解：BG＝FG．
證明：如圖，連接CF，
由（1）知，∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴∠ABE＝∠ACF＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠BCF＝45°+45°＝90°，
∴BC⊥CF，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴AD∥CF，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴BG＝FG．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
27．2022年北京冬奧會(huì)即將召開，激起了人們對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的極大熱情．如圖是某跳臺(tái)滑雪訓(xùn)練場(chǎng)的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為x軸，過跳臺(tái)終點(diǎn)A作水平線的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，圖中的拋物線C1：y＝﹣x2+x+1近似表示滑雪場(chǎng)地上的一座小山坡，某運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)O正上方3米處的A點(diǎn)滑出，滑出后沿一段拋物線C2：y＝﹣x2+bx+c運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到離A處的水平距離為4米時(shí)離水平線的高度為7米，求拋物線C2的函數(shù)表達(dá)式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)的水平距離為多少米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員恰好落在小山坡的B處？
【分析】（1）根據(jù)題意將點(diǎn)（0，3）和（4，7）代入C2：y＝﹣x2+bx+c求出b、c的值即可寫出C2的函數(shù)解析式；
（2）解方程組，求出x的值即可．
【解答】解：（1）由題意可知拋物線C2：y＝﹣x2+bx+c過點(diǎn)（0，3）和（4，7），將其代入得：
，
解得：，
∴拋物線C2的函數(shù)解析式為：y＝﹣x2+x+3；
（2）聯(lián)立方程組得：，
消去y并整理得：x2﹣8x﹣48＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝12，
∵點(diǎn)B在第一象限，
∴x＝12，
答：當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)的水平距離為12米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員恰好落在小山坡的B處．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)及其應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)，并能將實(shí)際問題與二次函數(shù)模型相結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/7/21 21:49:50；用戶：菁優(yōu)校本題庫(kù)；郵箱：2471@xyh.cm；學(xué)號(hào)：56380052x
…
﹣3
﹣1
1
3
…
y
…
﹣4
2
4
2
…
x
…
﹣3
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1
3
…
y
…
﹣4
2
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2
…

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2022-2023學(xué)年北京市通州區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案解析)

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2022-2023學(xué)年北京市通州區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年北京市通州區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）
2022-2023學(xué)年北京市通州區(qū)七年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年北京市通州區(qū)七年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）
2021-2022學(xué)年北京市通州區(qū)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2021-2022學(xué)年北京市通州區(qū)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）
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