(1)相關(guān)關(guān)系：當(dāng)自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系.與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.
(2)散點圖：表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點圖，它可直觀地判斷兩變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示.若這些散點有 y 隨 x 增大而增大的趨勢，則稱兩個變量正相關(guān)；若這些散點有 y 隨 x 增大而減小的趨勢，則稱兩個變量負(fù)相關(guān).
它主要用于相關(guān)量的顯著性檢驗，以衡量它們之間的線性相關(guān)程度.當(dāng) r＞0 時表示兩個變量正相關(guān)，當(dāng) r＜0 時表示兩個變量負(fù)相關(guān).|r|越接近 1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強；當(dāng)|r|接近 0 時，表明兩個變量間幾乎不存在相關(guān)關(guān)系，相關(guān)性越弱.
設(shè) X，Y 為兩個分類變量，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(2×2 列聯(lián)表)如下：
a＋b＋c＋d 為樣本容量)來判斷“兩個變量有關(guān)系”的方法稱為獨立性檢驗.
(3)獨立性檢驗的一般步驟①根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表；②計算隨機變量χ2的值，查表確定臨界值xα；③如果χ2≥xα，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過P(χ2≥xα)；否則，就認(rèn)為在犯錯誤的概率不超過P(χ2≥xα)的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”.
(1)回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的方法，只有在散點圖大致呈線性分布時，求出的線性回歸方程才有實際意義，否則，求出的線性回歸方程毫無意義.根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)報，僅是一個預(yù)報值，而不是真實發(fā)生的值.
(2)獨立性檢驗是對兩個變量的關(guān)系的可信程度的判斷，而不是對其是否有關(guān)系的判斷.根據(jù)χ2 的值可以判斷兩個分類變量有關(guān)的可信程度，并用來指導(dǎo)科研和實際生活.
1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學(xué)水平與學(xué)
生的水平成正相關(guān)關(guān)系.(
(3)因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸
方程，所以沒有必要進(jìn)行相關(guān)性檢驗.(
(4)事件 X，Y 關(guān)系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)計算得到的
χ2 的觀測值越大.(
2.(教材改編題)為調(diào)查中學(xué)生近視情況，測得某校 150名男生中有 80 名近視，140 名女生中有 70 名近視.在檢驗這些學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時，用下列哪種方法最
B.均值與方差D.概率
A.回歸分析C.獨立性檢驗答案：C
3.(教材改編題)兩個變量 y 與 x 的回歸模型中，分別選擇了 4 個不同模型，它們的相關(guān)指數(shù) R2 如下，其中擬合效
A.模型 1 的相關(guān)指數(shù) R2 為 0.98B.模型 2 的相關(guān)指數(shù) R2 為 0.80C.模型 3 的相關(guān)指數(shù) R2 為 0.50D.模型 4 的相關(guān)指數(shù) R2 為 0.25答案：A
4.(2020 年全國Ⅰ)某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率 y 和溫度 x(單位：℃)的關(guān)系，在 20 個不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，20)得到散點圖(如圖 8-3-1)：圖 8-3-1
由此散點圖，在 10 ℃至 40 ℃之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率 y 和溫度 x 的回歸方程類型的
B.y＝a＋bx2D.y＝a＋bln x
A.y＝a＋bxC.y＝a＋bex答案：D
考點一1.觀察下列各圖形，
其中兩個變量 x，y 具有相關(guān)關(guān)系的圖是(
解析：由散點圖知③中的點都分布在一條直線附近.④中的點都分布在一條曲線附近，所以③④中的兩個變量具有相關(guān)關(guān)系.故選 C.
2.(多選題)關(guān)于回歸分析，下列說法正確的是(
A.在回歸分析中，變量間的關(guān)系若是非確定性關(guān)系，那么因變量不能由自變量唯一確定B.線性相關(guān)系數(shù)可以是正的也可以是負(fù)的C.在回歸分析中，如果 r2＝1 或 r＝±1，說明 x 與 y 之間完全線性相關(guān)D.樣本相關(guān)系數(shù) r∈(－1,1)
解析：選項 D 中，樣本相關(guān)系數(shù)應(yīng)滿足－1≤r≤1，
故 D 錯誤，ABC 都正確.故選 ABC.
3.x 和 y 的散點圖如圖 8-3-2 所示，則下列說法中正確
命題的序號有________.
解析：在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，因此 x，y 是負(fù)相關(guān)關(guān)系，故①正確；由散點圖知用 y正確；x，y 之間可以建立線性回歸方程，但擬合效果不好，故③錯誤.
[例 1](1)(多選題)某市物價部門對 5 家商場的某商品一天的銷售量及其價格進(jìn)行調(diào)查，5 家商場的售價 x(元)和銷售量 y(件)之間的一組數(shù)據(jù)如表所示：
(2)某農(nóng)科所實地考察，研究發(fā)現(xiàn)某貧困村適合種植兩種藥材，可以通過種植這兩種藥材脫貧，通過大量考察研究得知藥材 A 的畝產(chǎn)量約為 300 kg，其收購價格處于上漲趨勢，最近五年的價格如下表：
藥材 B 的收購價格始終為 20 元/kg，其畝產(chǎn)量的頻率
分布直方圖如圖 8-3-3，
(1)若藥材 A 的單價 y(單位：元/kg)與年份編號 x 具有線性相關(guān)關(guān)系，請求出 y 關(guān)于 x 的回歸直線方程，并估計2023 年藥材 A 的單價；(2)用上述頻率分布直方圖估計藥材 B 的平均畝產(chǎn)量，若不考慮其他因素，試判斷 2023 年該村應(yīng)種植藥材 A 還是藥材 B？并說明理由.
(2)由(1)知，2023 年種植藥材 A 的收入為 39.2×300＝
由頻率分布直方圖可知，(360×0.005＋380×0.01＋400×0.017 5＋420×0.012 5＋440×0.005)×20＝401，
∴藥材 B 的平均畝產(chǎn)量為 401 kg，
∵藥材 B 的收購價格始終為 20 元/kg，
∴2023 年種植藥材 B 的收入為 20×401＝8 020＜
故 2023 年該村應(yīng)種植藥材 A.
【題后反思】回歸分析問題的類型及解題方法(1)求經(jīng)驗回歸方程
①根據(jù)散點圖判斷兩變量是否線性相關(guān)，如不是，應(yīng)
通過換元構(gòu)造線性相關(guān).
②利用公式，求出回歸系數(shù) .
③利用經(jīng)驗回歸直線過樣本點的中心求系數(shù)a.
(2)利用經(jīng)驗回歸方程進(jìn)行預(yù)測時，可把經(jīng)驗回歸方程
看作一次函數(shù)求函數(shù)值.
(3)利用經(jīng)驗回歸方程判斷正、負(fù)相關(guān)時，決定是正相
關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是系數(shù) .
(4)判斷經(jīng)驗回歸方程的擬合效果，可以利用樣本相關(guān)系數(shù)判斷，|r|越趨近于 1，兩變量的線性相關(guān)性越強.
某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解這種產(chǎn)品的年廣告費支出 x(單位：萬元)對年銷售額 y(單位：萬元)的影響，對近 5 年的年廣告費支出 x 和年銷售額y 進(jìn)行統(tǒng)計，得到如下數(shù)據(jù)：
(1)請根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立 y 與 x 的經(jīng)驗回歸方程；(2)當(dāng)年廣告費支出為 10 萬元時，估計年銷售額 y 的預(yù)報值是多少萬元？附：回歸方程中斜率和截距的最?。斯烙嫻椒謩e
(2)當(dāng) x＝10 時， ＝6.5×10＋17.5＝82.5(萬元)，所以當(dāng)年廣告費支出為 10 萬元時，估計年銷售額 y
的預(yù)報值是 82.5 萬元.
[例 2]電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對“中國詩詞大會”的收視情況，隨機抽取了 100 名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性有 55 名.將日均收看該節(jié)目時間不低于 40 分鐘的觀眾稱為“詩詞迷”，已知“詩詞迷”中有 15 名男性，“非詩詞迷”共有 75 名.
(1)根據(jù)已知條件完成下面的 2×2 列聯(lián)表，并據(jù)此資料判斷是否有 95%的把握認(rèn)為是否為“詩詞迷”與性別有關(guān)？
(2)采用分層隨機抽樣的方式從“詩詞迷”中任意選取 5 人進(jìn)行問卷調(diào)查，若再從這 5 人中任意選取 2 人獎勵詩詞大禮包，求選取的 2 人為一位男性一位女性的概率.
解：(1)在抽取的 100 個人中，“非詩詞迷”共有 75名，則“詩詞迷”有 25 人，女性有 55 名，所以 2×2 列聯(lián)表如下：
所以沒有 95%的把握認(rèn)為是否為“詩詞迷”與性別有關(guān).
新型冠狀病毒的傳染主要是人與人之間進(jìn)行傳播，感染人群年齡大多數(shù)是 50 歲以上人群.該病毒進(jìn)入人體后有潛伏期，潛伏期是指病原體侵入人體至最早出現(xiàn)臨床癥狀的這段時間，潛伏期越長，感染到他人的可能性越高，現(xiàn)對 400 個病例的潛伏期(單位：天)進(jìn)行調(diào)查，如果認(rèn)為超過 8 天的潛伏期屬于“長潛伏期”，按照年齡統(tǒng)計樣本，50 歲以上人數(shù)占 70%，長期潛伏人數(shù)占 25%，其中 50 歲以上長期潛伏者有 60 人.
(1)請根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成 2×2 列聯(lián)表；單位：人
(2)判斷是否有 95% 的把握認(rèn)為是否是“長期潛伏”者與年齡有關(guān).
解：(1)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下 2×2 列聯(lián)表，單
3.841，所以有 95%以上的把握認(rèn)為是否是“長期潛伏者”與年齡有關(guān).
⊙非線性回歸的應(yīng)用問題
[例 3]為了研究一種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù) y(單位：個)和溫度x(單位：℃)是否有關(guān)，現(xiàn)收集了 7 組觀測數(shù)據(jù)列于下表中，并作出了如圖 8-3-4 所示的散點圖，發(fā)現(xiàn)樣本點沒有分布在某個帶狀區(qū)域內(nèi)，兩個變量不呈線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)分別
和溫度 x 的回歸方程來建立兩個變量之間的關(guān)系.
(1) 分別在圖 8-3-5(1)(2)中畫出 y 關(guān)于 t 的散點圖和 z關(guān)于 x 的散點圖，根據(jù)散點圖判斷哪一個模型更適合作為昆蟲的產(chǎn)卵數(shù) y 關(guān)于溫度 x 的回歸方程.(給出判斷即可，不必說明理由)
解：(1)畫出 y 關(guān)于 t 的散點圖，如圖 8-3-6 所示.
畫出 z 關(guān)于 x 的散點圖，如圖 8-3-7 所示.
根據(jù)散點圖可以判斷模型②更適合作為昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)
y 關(guān)于溫度 x 的回歸方程類型.
【反思感悟】非線性回歸方程的求法(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)作出散點圖；
(2)根據(jù)散點圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)；
(3)作恰當(dāng)變換，將其轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)，求線性回歸方
(4)在(3)的基礎(chǔ)上通過相應(yīng)變換，即可得非線性回歸方
1.(2021 年昌江期中)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費 x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤 z(單位：千元)的影響，對近 8 年的宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到散點圖(如圖 8-3-8)及一些統(tǒng)計量的值.
(1)根據(jù)散點圖判斷 y＝a＋bx 與 y＝c＋d ，哪一個適合作為年銷售量 y 關(guān)于年宣傳費 x 的回歸方程類型；(給出判斷即可，不必說明理由)
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立 y 關(guān)于 x 的回
(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤 z 與 x，y 的關(guān)系為 z＝
0.2y－x，根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：
①當(dāng)年宣傳費 x＝49 時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值
②當(dāng)年宣傳費 x 為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？
2.(2021 年汕頭模擬)二手車經(jīng)銷商小王對其所經(jīng)營的A 型號二手汽車的使用年數(shù) x 與銷售價格 y(單位：萬元/輛)進(jìn)行整理，得到如下數(shù)據(jù)：
下面是 z 關(guān)于 x 的折線圖：
(1)由折線圖可以看出，可以用線性回歸模型擬合 z 與
x 的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；
(2)求 y 關(guān)于 x 的回歸方程，并預(yù)測某輛 A 型號二手車當(dāng)使用年數(shù)為 9 年時售價約為多少？(b，a 小數(shù)點后保留兩位有效數(shù)字)
(3)基于成本的考慮，該型號二手車的售價不得低于 7118 元，請根據(jù)(2)求出的回歸方程預(yù)測在收購該型號二手車時車輛的使用年數(shù)不得超過多少年？

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