(1)解受條件限制的排列、組合題,通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法).分類時標準應統(tǒng)一,避免出現(xiàn)重復或遺漏.
(2)對于分配問題,一般先分組,再分配,注意平均分
組與不平均分組的區(qū)別,避免重復或遺漏.
1.判斷下列結論正誤(在括號內打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列.((2)一個組合中取出的元素講究元素的先后順序.
2.(教材改編題)有 6 名男醫(yī)生、5 名女醫(yī)生,從中選出2 名男醫(yī)生、1 名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組,則不同的選法
3.(教材改編題)已知某公園有 4 個門,從一個門進,另
一個門出,則不同的走法的種數(shù)為(
4.(2021 年全國乙)將 5 名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺 4 個項目進行培訓,每名志愿者只分配到 1 個項目,每個項目至少分配 1 名志愿者,
則不同的分配方案共有(
5.(2020 年山東)6 名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者,每名同學只去 1 個場館,甲場館安排 1 名,乙場館安
排 2 名,丙場館安排 3 名,則不同的安排方法共有(
B.90 種D.30 種
A.120 種C.60 種答案:C
[例 1]有 3 名男生,2 名女生,在下列不同要求下,求
(1)全體排成一行,其中甲只能在中間或者兩邊的位
置,共____種排法;
(2)全體排成一行,其中男生必須排在一起,共____種
(3)全體排成一行,男生不能排在一起,共____種排法;
(4)全體排成一行,其中甲、乙、丙三人從左到右的順
序不變,共____種排法;
(5)全體排成一行,其中甲不在最左邊,乙不在最右邊,
(6)若再加入一名女生,全體排成一行,男女各不相鄰,
(7)排成前后兩排,前排 3 人,后排 2 人,共____種排
(8)全體排成一行,甲、乙兩人中間必須有 1 人,共___
答案:(1)72(6)72(7)120
【題后反思】排列應用問題的分類與解法
(1)對于有限制條件的排列問題,分析問題時有位置分析法、元素分析法,在實際進行排列時一般采用特殊元素優(yōu)先原則,即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置,對于分類過多的問題可以采用間接法.
(2)對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法.
【變式訓練】1.用 1,2,3,4,5 這五個數(shù)字,可以組成比 20 000 大,并
且百位數(shù)不是數(shù)字 3 的沒有重復數(shù)字的五位數(shù),共有(
A.96 個C.72 個
B.78 個D.64 個
2.(2021 年福州期中)6 張卡片上分別寫有數(shù)字 1,1,2,3,4,5,從中取 4 張排成一排,可以組成不同的四位奇數(shù)的個數(shù)
解析:尾數(shù)為 1 時,符合要求的四位奇數(shù)有
60(個);尾數(shù)為 3,5 時,同樣分情況討論,以 3 在末尾為例,1,1 被同時選中,再從 2,4,5 中任取 1 個,再與 1,1 排在前 3
綜上,3 在末尾的奇數(shù)的個數(shù)為 9+24=33.同理 5 在
末尾的奇數(shù)的個數(shù)為 33.
所以可以組成不同的四位奇數(shù)的個數(shù)為 60+33+33
[例 2]某市工商局對 35 種商品進行抽樣檢查,已知其中有 15 種假貨.現(xiàn)從 35 種商品中選取 3 種.(1)其中某一種假貨必須在內,不同的取法有多少種?(2)其中某一種假貨不能在內,不同的取法有多少種?(3)恰有 2 種假貨在內,不同的取法有多少種?(4)至少有 2 種假貨在內,不同的取法有多少種?(5)至多有 2 種假貨在內,不同的取法有多少種?
【題后反思】組合問題常有以下兩類題型變化:(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:
“含”,則先將這些元素取出,再由另外元素補足;“不含”,則先將這些元素剔除,再從剩下的元素中去選取.(2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型:解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關鍵詞的含義,謹防重復與漏解.用直接法和間接法都可以求解,用直接法分類復雜時,考慮逆向思維,用間接法處理.
【變式訓練】1.(2021 年潮州期末)高二年級要從 3 名男生,2 名女生中選派 3 人參加某次社區(qū)服務,如果要求至少有 1 名女生,
那么不同的選派方案有(A.6 種C.8 種
2.若從 1,2,3,…,9 這 9 個整數(shù)中同時取 4 個不同的
數(shù),其和為偶數(shù),則不同的取法共有(
解析:這 9 個整數(shù)中共有 4 個不同的偶數(shù)和 5 個不同的奇數(shù),要使和為偶數(shù),則 4 個數(shù)全為奇數(shù),或全為偶數(shù),66(種).故選 D.答案:D
[例 3]北京 APEC 峰會期間,有 2 位女性和 3 位男性共5 位領導人站成一排照相,則女性領導人甲不在兩端,3
位男性領導人中有且只有 2 位相鄰的站法有(
解析:從 3 位男性領導人中任取 2 人“捆”在一起記作 A,A 共有  ?。?(種)不同排法,剩下 1 位男性領導人記作 B,2 位女性分別記作甲、乙;則女領導人甲必須在 A,B 之間,此時共有 6×2=12(種)排法(A 左 B 右和 A 右 B 左),最后再在排好的三個元素中選出四個位置插入乙,∴共有12×4=48(種)不同排法.
[例 4]某次聯(lián)歡會要安排 3 個歌舞類節(jié)目,2 個小品類節(jié)目和 1 個相聲類節(jié)目的演出順序,則同類節(jié)目不相鄰的
解析:安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目的順序有三種:“小品 1,小品 2,相聲”“小品 1,相聲,小品 2”和“相聲,小品 1,小品 2”.對于第一種情況,形式為“□小品 1 歌舞 1 小品 2□相聲□”,有   ?。?6(種)安排方法;同理,第三種情況也有 36 種安排方法,對于第二種情況,三個節(jié)目形成 4 個空,其形式為“□小品 1相聲□小品2”,有   =48(種)安排方法,故共有 36+36+48=
120(種)安排方法.
[例 5]某城市關系要好的 A,B,C,D 四個家庭各有兩個孩子共 8 人,他們準備甲、乙兩輛汽車出去游玩,每車限坐 4 名(乘同一輛車的 4 個孩子不考慮位置),其中 A家庭的孿生姐妹需乘同一輛車,則乘坐甲車的 4 個孩子恰
有 2 個來自同一個家庭的乘坐方式共有(
解析:根據(jù)題意,分兩種情況討論:
①A 家庭的孿生姐妹在甲車上,甲車上另外的兩個孩子要來自不同的家庭,可以在剩下的三個家庭中任選 2 個,
②A 家庭的孿生姐妹不在甲車上,需要在剩下的三個家庭中任選 1 個,讓其 2 個孩子都在甲車上,對于剩余的兩個家庭,從每個家庭的 2 個孩子中任選一個來乘坐甲車,故共有 12+12=24(種)乘坐方式.
【反思感悟】解排列、組合問題要遵循的兩個原則(1)按元素(位置)的性質進行分類.(2)按事情發(fā)生的過程進行分步.
具體地說,解排列、組合問題常以元素(位置)為主體,即先滿足特殊元素(位置),再考慮其他元素(位置).
1.(考向 1)把 5 件不同的產品擺成一排,若產品 A 與產品 B 相鄰,且產品 A 與產品 C 不相鄰,則不同的擺法有_______種.
2.(考向2)(2021年廣德模擬)將《紅樓夢》《西游記》《三國演義》《水滸傳》《唐詩三百首》《徐志摩詩集》
和《戲曲論叢》7 本書放在一排,下面結論成立的是(  )
A.戲曲書放在中間的不同放法有 7!種B.詩集相鄰的不同放法有 2×6!種C.四大古典名著互不相鄰的不同放法有 3!種D.四大古典名著不放在兩端的不同方法有 種
解析:對于 A,戲曲書只有一本,所以其余 6 本書可
以全排列,共有 6!種不同排列方法,A 錯誤;對于 B,詩集共 2 本,把詩集當成一本,不同放法有6!種,這兩本又可交換位置,所以不同放法總數(shù)為 2×6!,B 正確;
對于 C,四大古典名著互不相鄰,那只能在這四本書的 3 個空隙中放置其他書,共有 3!種放法,這四本書又可以全排列,所以不同放法總數(shù)為 4!×3!,C 錯誤;
3.(考向 3)從 6 男 2 女共 8 名學生中選出隊長 1 人,副隊長 1 人,普通隊員 2 人組成 4 人服務隊,要求服務隊中至少有 1 名女生,則共有________種不同的選法.(用數(shù)字作答)
⊙排列組合中的平均分配問題
[例 6]六本不同的書,按照以下要求處理,各有幾種分
(1)平均分成三堆,每堆兩本;
(2)平均分給甲、乙、丙三人,每人兩本;(3)一堆一本,一堆兩本,一堆三本;(4)甲得一本,乙得兩本,丙得三本;
(5)一人得一本,一人得兩本,一人得三本.
【反思感悟】(1)對于整體均分問題,往往是先分組再排列,在解題時要注意分組后,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后一定要除以 (n 為均分的組數(shù)),避免重復計數(shù).
(2)對于部分均分問題,解題時要注意重復的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù),即若有 m 組元素個數(shù)相等,則分組時應除以 m!.
(3)對于不等分問題,首先要對分配數(shù)量的可能情形進行一一列舉,然后再對每一種情形分類討論.在每一類的計數(shù)中,又要考慮是分步計數(shù)還是分類計數(shù),是排列問題還是組合問題.
1.教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育,在全國重點師范大學免費培養(yǎng)教育專業(yè)師范生,畢業(yè)后要分到相應的地區(qū)任教,現(xiàn)有 6 個免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3 所學校去任教,有________種不同的分派方法.
2.某學校派出 5 名優(yōu)秀教師去邊遠地區(qū)的三所中學進行教學交流,每所中學至少派一名教師,則不同的分派方
A.80 種C.120 種
B.90 種D.150 種

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