直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判定
(1)代數(shù)法：把圓錐曲線方程 C 與直線方程 l 聯(lián)立消去
y，整理得到關(guān)于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0.
(2)幾何法：在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出圓錐曲線和直線，利用圖象和性質(zhì)可判定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.
(1)直線與雙曲線交于一點(diǎn)時(shí)，易誤認(rèn)為只有直線與雙曲線相切.而當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交于一點(diǎn).
(2)直線與拋物線交于一點(diǎn)時(shí)，除直線與拋物線相切外，易忽視直線與對(duì)稱軸平行或重合時(shí)也與拋物線相交于一點(diǎn).
(4)解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的規(guī)律“聯(lián)立方程求交點(diǎn)，根與系數(shù)的關(guān)系求弦長(zhǎng)，根的分布找范圍，曲線定義不能忘.”
1.判斷下列說法的正誤(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)“直線 l 與橢圓 C 相切”的充要條件是“直線 l 與
橢圓 C 只有一個(gè)公共點(diǎn)”.(
(2)“直線 l 與雙曲線 C 相切”的充要條件是“直線 l
與雙曲線 C 只有一個(gè)公共點(diǎn)”.(
(3)“直線 l 與拋物線 C 相切”的充要條件是“直線 l
與拋物線 C 只有一個(gè)公共點(diǎn)”.(
2.(教材改編題)過點(diǎn)(0,1)作直線，使它與拋物線 y2＝4x
僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有(
A.1 條C.3 條答案：C
3.(教材改編題)拋物線y＝ax2與直線y＝kx＋b(k≠0)交于A，B兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x3，則(　　)A.x3＝x1＋x2B.x1x2＝x1x3＋x2x3C.x1＋x2＋x3＝0D.x1x2＋x2x3＋x3x1＝0
直線和圓錐曲線的位置關(guān)系
1.若直線 mx＋ny＝4 與⊙O：x2＋y2＝4 沒有交點(diǎn)，則
【題后反思】研究直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)，但對(duì)于選擇題、填空題，常根據(jù)幾何條件，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
(1)求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線 AB：y＝2x＋m 和圓 M 相切，且與橢圓 C 交
于 A，B 兩點(diǎn)，求|AB|的值.
解：(1)如圖 7-8-2，設(shè)△PQF1 的內(nèi)切圓⊙M 切 PF1，QF1，PQ于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，|EF1|＝|FF1|＝x，|QF|＝|QG|＝y(tǒng)
【題后反思】直線與圓錐曲線相交時(shí)弦長(zhǎng)的求法(1)定義法：過圓錐曲線的焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問題，利用圓錐
曲線的定義可優(yōu)化解題.
(2)點(diǎn)距法：將直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，再運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式求弦長(zhǎng).(3)弦長(zhǎng)公式法：體現(xiàn)了解析幾何中設(shè)而不求的思想，其實(shí)質(zhì)是利用兩點(diǎn)之間的距離公式以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.
(1)求曲線 C 的方程；
(2)直線 PN 與曲線 C 相交于 E，F(xiàn) 兩點(diǎn)，與圓 M 相交于另一點(diǎn) Q，且點(diǎn) P，E 位于點(diǎn) N 的同側(cè)，當(dāng)△PMN 面積最大時(shí)，求|PE|＋|FQ|的值.
假設(shè)點(diǎn) P 在 x 軸上方.
為弦中點(diǎn)的直線所在方程為(A.3x＋4y＋7＝0C.3x－4y＋1＝0
)B.2x＋5y－7＝0D.3x＋4y－7＝0
由中點(diǎn)弦確定曲線方程或參數(shù)的值
【題后反思】處理中點(diǎn)弦問題的常用方法(1)點(diǎn)差法，即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)后，代入圓錐曲線
個(gè)未知量，這樣就直接將中點(diǎn)和直線的斜率聯(lián)系起來，借用中點(diǎn)公式即可求得斜率.用點(diǎn)差法求直線方程后需驗(yàn)證直線與圓錐曲線是否相交.(2)根與系數(shù)的關(guān)系，即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解.
1.(考向 2)(2021 年石家莊摸底)已知點(diǎn) E 在 y 軸上，點(diǎn)F 是拋物線 y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)，直線 EF 與拋物線交于M，N 兩點(diǎn)，若點(diǎn) M 為線段 EF 的中點(diǎn)，且|NF|＝12，則p＝________.
⊙數(shù)學(xué)運(yùn)算在研究位置關(guān)系中的應(yīng)用
數(shù)學(xué)運(yùn)算是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段.在該部分主要表現(xiàn)為理解運(yùn)算對(duì)象——直線方程和圓錐曲線方程構(gòu)成的方程組的運(yùn)算，通過探究運(yùn)算思路、選擇運(yùn)算過程，得到與位置關(guān)系相關(guān)的結(jié)論.
【題后反思】該題考查了直線和圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題以及直線斜率的求解，還考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).根據(jù)題意——中點(diǎn)的提示，可選用點(diǎn)差法利用中點(diǎn)坐標(biāo)表示弦所在直線的斜率，從而起到簡(jiǎn)化計(jì)算流程的效果.由此可見，數(shù)學(xué)運(yùn)算也要根據(jù)具體的要求和情景選擇適宜的運(yùn)算方法，避免煩瑣的計(jì)算過程，提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

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